专题01 三角形中的倒角模型之平分平行（射影）构等腰、角平分线第二定理模型-2024-2025学年八年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（沪科版）

专题01 三角形中的倒角模型之平分平行（射影）构等腰、角平分线第二定理模型 角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各大模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，，本专题就角平分线的非全等类模型作相应的总结，需学生反复掌握。 1 模型1.平分平行（射影）构等腰模型 2 模型2.角平分线第二定理（内角平分线定理与外角平分线定理）模型 12 25 【知识储备】 模型1.平分平行（射影）构等腰模型 角平分线加平行线必出等腰三角形：由平行线得到内错角相等，由角平分线得到相等的角，等量代换构造等腰。平行线、角平分线及等腰，任意由其中两个条件都可以得出第三个。 （简称：“知二求一”，在以后还会遇到很多类似总结）。 角平分线加射影模型必出等腰三角形：由等角的余角相等和对顶角相等构造等腰。 1）角平分线加平行线必出等腰三角形．    图1 图2 图3 条件：如图1，OO’平分∠MON，过OO’的一点P作PQ//ON. 结论：△OPQ是等腰三角形。 证明：∵PQ//ON，∴∠1=∠3，∵OO’平分∠MON，∴∠2=∠1， ∴∠2=∠3，∴OQ=PQ，∴△OPQ是等腰三角形。 条件：如图2，△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，DE ∥ BC。结论：△BDE是等腰三角形。 证明：∵DE ∥ BC，∴∠BDE=∠DBC，∵BD是∠ABC的角平分线，∴∠DBE=∠DBC， ∴∠DBE=∠BDE，∴BE=DE，∴△BDE是等腰三角形。 条件：如图3，在中，平分，平分，过点O作的平行线与，分别相交于点M，N．结论：△BOM、△CON都是等腰三角形。 证明：由题意得：MN ∥ BC，∴∠BOM=∠OBC，∵BO是∠ABC的角平分线，∴∠OBM=∠OBC， ∴∠BOM=∠MBO，∴BM=OM，∴△BOM是等腰三角形。同理可得：△CON也是等腰三角形。 2）角平分线加射影模型必出等腰三角形． → 图4 条件：如图4，BE平分∠CBA，∠ACB＝∠CDA＝90°. 结论：三角形CEF是等腰三角形。 证明：∵BE平分∠CBA，∴∠CBE=∠ABE，∵∠ACB＝90°，∴∠CBE+∠CEB=90°， ∵∠CDA＝90° ，∴∠ABE+∠BFD=90°，∵∠BFD=∠CFE，∴∠ABE+∠CFE=90°， ∴∠CEB=∠CFE，∴CF=CE，∴三角形CEF是等腰三角形。 例1．（2023·河南濮阳·统考二模）如图，直线，点、分别在、上，以点为圆心，适当长为半径画弧，交、于点、；分别以、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点；作射线交于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 例2．（2023河南安阳八年级期末）如图，点是的，的平分线的交点，交于点，交于点，若的周长为，那么的长为（    ） A． B． C． D． 例3．（2023·重庆·八年级期末）如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，若FG=4，ED=8，求EB+DC= ．    例4.（2023.成都市青羊区八年级期中）如图，在中，，于点D，的平分线BE交AD于F，交AC于E，若，，则_____________． 例5．（2023.山东八年级期末）如图①，△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F.(1)图①中有几个等腰三角形?猜想:EF与BE、CF之间有怎样的关系. (2)如图②,若AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗?如果有，分别指出它们.在第(1)问中EF与BE、CF间的关系还存在吗?(3)如图③，若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F.这时图中还有等腰三角形吗?EF与BE、CF关系又如何?说明你的理由. 模型2.角平分线第二定理（内角平分线定理与外角平分线定理）模型 角平分线第二定理：三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。 该定理现在教材里面虽然没有讲，但它在实战确有很大的作用（可以避免去构造勾股定理或相似），很多时候能起到事半功倍的良好效果。 1）内角平分线定理 条件：如图，在△ABC中，若BD是∠ABC的平分线。 结论： 证明：作，作DHAB垂足分别为F，H. ∵BD是∠ABC的平分线，∴DF=DH，则= = （2）作BECA垂足为E，则 = = ∴= 2）外角平分线定理 图2 图3 条件：如图2，在△ABC中，∠BAC的外角平分线交BC的延长线于点D。 结论：． 证明：如图2，过C作．交BA的延长线于E， ∵，∴，∠2＝∠4，∠1＝∠3，∵∠1＝∠2，∴∠4＝∠3，∴AE＝AC，∴． 3）奔驰模型 条件：如图3，的三边、、的长分别是a，b，c，其三条角平分线交于点O，将分为三个三角形。结论：=c：a：b。 证明：过点作于点，作于点，作于点．   由题意知：，，是的三条角平分线，，于，， 的三边、、长分别为a，b，c， ． 例1．（2022秋·山东菏泽·八年级统考期中）如图，在中，，，，是的平分线，设和的面积分别是，，则 ． 例2．（2023·广东惠州·八年级校考阶段练习）如图，的三边，，长分别是3，4，5，其三条角平分线将分为三个三角形，则为（    ）    A． B． C． D． 例3．（2022秋·安徽合肥·九年级校考阶段练习）阅读下列材料，完成相应的学习任务： 已知角平分线分线段成比例定理内容：三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例，如图①，在△ABC中，AD平分∠BAC，则．下面是这个定理的部分证明过程． (1)证明：如图②，过C作CE∥DA，交BA的延长线于E．请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分． (2)你还有其他的证明方法么？如果有，另外写出一个完整的证明过程 例4、△ABC中，∠BAC的外角平分线交BC的延长线于点D，求证：． 例5.（2022秋·北京·八年级北京八十中校考期中）在中，D是边上的点（不与点B、C重合），连接． (1)如图1，当点D是边的中点时，_____； (2)如图2，当平分时，若，，求的值（用含m、n的式子表示）； (3)如图3，平分，延长到E．使得，连接，若，求的值． 课后专项训练 1．（2023秋·湖北十堰·八年级统考期末）如图，中，，点为各内角平分线的交点，过点作的垂线，垂足为，若，那么的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2022秋·山西大同·八年级校考期中）如图，的三边、、长分别是30、40、50，和的角平分线交于O，则等于（    ） A． B． C． D． 3．（2023·河南开封·统考模拟预测）如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，以下结论错误的是（    ） A．是的平分线 B． C．点在线段的垂直平分线上 D． 4．（2023·贵州·中考模拟）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MNBC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，则线段MN的长为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 5．（2023春·山东日照·八年级日照港中学校考阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．若AC=3，AB=5，则线段DE的长为（    ） A． B．3 C． D．1 6．（2023湖北省武汉市八年级月考）如图，已知AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，FG平分∠EFD交AB于点G，若∠BEF＝70°，则∠AGF的度数为（    ） A．35° B．45° C．55° D．65° 7．（2023秋·湖南益阳·八年级统考期末）如图，，是的角平分线，，相交于点于F，，下列四个结论： ①；②；③若的周长为m，，则 ④若，则 其中正确的结论是 （填写序号）． 8．（2023春·陕西宝鸡·八年级统考期末）如图，的三边的长分别是9、12、15．其三条角平分线交于点O，将分为三个三角形，则等于（　　） A． B． C． D． 9．（2023春·上海·七年级专题练习）如图，、分别是的一个内角的平分线与一个外角的平分线，过点作，分别交、于点E、F．如果四边形的周长是16，，那么 10．（2023·北京顺义·统考二模）如图，在中，，分别是，的平分线，过点D作，分别交，于点E，F．若，，则的长为 ． 11．（2022秋·江苏南京·八年级校考阶段练习）如图，中，，、分别为、上的点，，、的平分线分别交于点、，若，则的度数为 ． 12．（2023江苏八年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，过顶点A的直线DE∥BC，∠ABC，∠ACB的平分线分别交DE于点E、D，若AC=9， AB=12，则DE的长为 ． 13．（2023天津市八年级期中）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4cm，AD＝7cm，∠ABC的角平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，则DE＝ cm． 14．（2023·贵州·八年级统考期末）如图①，在中，和的平分线交于点过点作交于交于（1）求证:是等腰三角形．（2）如图①，猜想:线段与线段之间有怎样的数量关系？并说明理由．（3）如图②，若中的平分线与三角形外角的平分线交于，过点作交于点交于点这时图中线段与线段之间的数量关系又如何？直接写出答案，不说明理由． 15．（2024·河南南阳·八年级校考期末）我们已经学习过角平分线性质定理，即：角平分线上的点到角两边的距离相等．如图，已知的角平分线BD交边AC于点D． (1)求证：=(2)求证：=；(3)如果BC=4，AB=6，AC=5，那么CD=______． 16．（2023湖北省黄冈市八年级月考）（1）如图1，已知：在中，，平分，平分，过点作，分别交于两点，则图中共有__________个等腰三角形；与之间的数量关系是__________，的周长是__________； （2）如图2，若将（1）中“中，”该为“若为不等边三角形，”其余条件不变，则图中共有__________个等腰三角形；与之间的数量关系是什么？证明你的结论，并求出的周长； 17．（2023春·江苏八年级课时练习）已知，是一条角平分线． 【探究发现】如图1，若是的角平分线．可得到结论：． 小红的解法如下： 过点D作于点E，于点F，过点A作于点G， ∵是的角平分线，且， ∴______． ∴______， 又∵， ∴______． 【类比探究】如图2，若是的外角平分线，与的延长线交于点D．求证： 【拓展应用】如图3，在中，，分别是的角平分线且相交于点D，，直接写出的值是______． 18.（2023·河南驻马店·校考三模）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务． 《数学的发现》是2006年科学出版社出版的图书，作者是（美）乔治·波利亚．本书通过对各种类型生动而有趣的典型问题（有些是非数学的））进行细致剖析，提出它们的本质特征，从而总结出各种数学模型． 共高三角形：有一条公共高的三角形称为共高三角形． 共高定理：如图①，设点M在直线上，点P为直线外一点，则有 下面是该结论的证明过程：证明：如图①，过点P作于点Q， ．．．．．． 按要求完成下列任务： (1)请你按照以上证明思路，结合图①完成剩余的证明； (2)如图②，，①画出的平分线（不写画法，保留作图痕迹，使用2B铅笔作图）； ②若的平分线交于D，求证：；(3)如图③，E是平行四边形边上一点，连接并延长，交的延长线于点F，连接，若的面积为2，则的面积为 ； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 三角形中的倒角模型之平分平行（射影）构等腰、角平分线第二定理模型 角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各大模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，，本专题就角平分线的非全等类模型作相应的总结，需学生反复掌握。 1 模型1.平分平行（射影）构等腰模型 2 模型2.角平分线第二定理（内角平分线定理与外角平分线定理）模型 12 25 【知识储备】 模型1.平分平行（射影）构等腰模型 角平分线加平行线必出等腰三角形：由平行线得到内错角相等，由角平分线得到相等的角，等量代换构造等腰。平行线、角平分线及等腰，任意由其中两个条件都可以得出第三个。 （简称：“知二求一”，在以后还会遇到很多类似总结）。 角平分线加射影模型必出等腰三角形：由等角的余角相等和对顶角相等构造等腰。 1）角平分线加平行线必出等腰三角形．    图1 图2 图3 条件：如图1，OO’平分∠MON，过OO’的一点P作PQ//ON. 结论：△OPQ是等腰三角形。 证明：∵PQ//ON，∴∠1=∠3，∵OO’平分∠MON，∴∠2=∠1， ∴∠2=∠3，∴OQ=PQ，∴△OPQ是等腰三角形。 条件：如图2，△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，DE ∥ BC。结论：△BDE是等腰三角形。 证明：∵DE ∥ BC，∴∠BDE=∠DBC，∵BD是∠ABC的角平分线，∴∠DBE=∠DBC， ∴∠DBE=∠BDE，∴BE=DE，∴△BDE是等腰三角形。 条件：如图3，在中，平分，平分，过点O作的平行线与，分别相交于点M，N．结论：△BOM、△CON都是等腰三角形。 证明：由题意得：MN ∥ BC，∴∠BOM=∠OBC，∵BO是∠ABC的角平分线，∴∠OBM=∠OBC， ∴∠BOM=∠MBO，∴BM=OM，∴△BOM是等腰三角形。同理可得：△CON也是等腰三角形。 2）角平分线加射影模型必出等腰三角形． → 图4 条件：如图4，BE平分∠CBA，∠ACB＝∠CDA＝90°. 结论：三角形CEF是等腰三角形。 证明：∵BE平分∠CBA，∴∠CBE=∠ABE，∵∠ACB＝90°，∴∠CBE+∠CEB=90°， ∵∠CDA＝90° ，∴∠ABE+∠BFD=90°，∵∠BFD=∠CFE，∴∠ABE+∠CFE=90°， ∴∠CEB=∠CFE，∴CF=CE，∴三角形CEF是等腰三角形。 例1．（2023·河南濮阳·统考二模）如图，直线，点、分别在、上，以点为圆心，适当长为半径画弧，交、于点、；分别以、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点；作射线交于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据作图可知是的角平分线，进而根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵，∴ ∵，∴根据作图可知是的角平分线， ∴，故选：B． 【点睛】本题考查了作角平分线，平行线的性质，熟练掌握基本作图是解题的关键． 例2．（2023河南安阳八年级期末）如图，点是的，的平分线的交点，交于点，交于点，若的周长为，那么的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由OB，OC分别是△ABC的∠ABC和∠ACB的平分线和OD∥AB、OE∥AC可推出BD=OD，OE=EC，从而得出BC的长等于△ODE的周长即可． 【详解】解：∵OD∥AB，OE∥AC，∴∠ABO=∠BOD，∠ACO=∠EOC， ∵点是的，的平分线的交点， ∴∠ABO=∠OBD，∠ACO=∠OCE；∴∠OBD =∠BOD，∠EOC=∠OCE； ∴BD=OD，CE=OE；∴△ODE的周长=OD+DE+OE=BD+DE+EC= BC ∵的周长为，∴BC=9cm．故选：B． 【点睛】此题考查了平行线性质，角平分线定义以及等腰三角形的判定定理，熟练掌握相关知识是解题的关键，难度中等． 例3．（2023·重庆·八年级期末）如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，若FG=4，ED=8，求EB+DC= ．    【答案】12 【分析】由角平分线与平行线易得∠EBG=∠EGB，从而得到EB=EG，同理可得DF=DC，再根据EB+DC=EG+DF=ED+FG即可得答案． 【详解】∵BG平分∠EBC∴∠EBG=∠GBC ∵ED∥BC∴∠EGB=∠GBC∴∠EBG=∠EGB ∴EB=EG 同理可得DF=DC ∴EB+DC=EG+DF=ED+FG=8+4=12故答案为：12． 【点睛】本题考角平分线与平行线，掌握角平分线加平行线，可得等腰三角形这一几何模型是解题的关键． 例4.（2023.成都市青羊区八年级期中）如图，在中，，于点D，的平分线BE交AD于F，交AC于E，若，，则_____________． 【答案】5 【详解】由角度分析易知，即， ∵ ∴ ∵ ∴ 【点睛】这道题主要讲解角平分线加射影模型必出等腰三角形的模型． 例5．（2023.山东八年级期末）如图①，△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F.(1)图①中有几个等腰三角形?猜想:EF与BE、CF之间有怎样的关系. (2)如图②,若AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗?如果有，分别指出它们.在第(1)问中EF与BE、CF间的关系还存在吗?(3)如图③，若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F.这时图中还有等腰三角形吗?EF与BE、CF关系又如何?说明你的理由. 【答案】（1）△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC共5个，EF=BE+FC；（2）有，△EOB、△FOC，存在；（3）有，EF=BE-FC． 【分析】（1）由AB=AC，可得∠ABC=∠ACB；又已知OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB；故∠EBO=∠OBC=∠FCO=∠OCB；根据EF∥BC，可得：∠OEB=∠OBC=∠EBO，∠FOC=∠FCO=∠BCO；由此可得出的等腰三角形有：△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC； 已知了△EOB和△FOC是等腰三角形，则EO=BE，OF=FC，则EF=BE+FC． （2）由（1）的证明过程可知：在证△OEB、△OFC是等腰三角形的过程中，与AB=AC的条件没有关系，故这两个等腰三角形还成立．所以（1）中得出的EF=BE+FC的结论仍成立． （3）思路与（2）相同，只不过结果变成了EF=BE-FC． 【详解】解：（1）图中是等腰三角形的有：△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC； EF、BE、FC的关系是EF=BE+FC．理由如下： ∵AB=AC，∴∠ACB=∠ABC，△ABC是等腰三角形； ∵BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB， ∴∠ABO=∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACO=∠ACB， ∵EF∥BC，∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB， ∴∠ABO=∠OBC=∠EOB=∠OCB=∠FOC=∠FCO， ∴△EOB、△OBC、△FOC都是等腰三角形， ∵EF∥BC，∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB， ∴∠AEF=∠AFE，∴△AEF是等腰三角形， ∵OB、OC平分∠ABC、∠ACB，∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB； ∵EF∥BC，∴∠EOB=∠OBC=∠EBO，∠FOC=∠OCB=∠FCO； 即EO=EB，FO=FC；∴EF=EO+OF=BE+CF； （2）当AB≠AC时，△EOB、△FOC仍为等腰三角形，（1）的结论仍然成立． ∵OB、OC平分∠ABC、∠ACB，∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB； ∵EF∥BC，∴∠EOB=∠OBC=∠EBO，∠FOC=∠OCB=∠FCO； 即EO=EB，FO=FC；∴EF=EO+OF=BE+CF； （3）△EOB和△FOC仍是等腰三角形，EF=BE-FC．理由如下： 同（1）可证得△EOB是等腰三角形；∵EO∥BC，∴∠FOC=∠OCG； ∵OC平分∠ACG，∴∠ACO=∠FOC=∠OCG， ∴FO=FC，故△FOC是等腰三角形；∴EF=EO-FO=BE-FC． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线、角平分线的性质等知识．进行线段的等量代换是正确解答本题的关键． 模型2.角平分线第二定理（内角平分线定理与外角平分线定理）模型 角平分线第二定理：三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。 该定理现在教材里面虽然没有讲，但它在实战确有很大的作用（可以避免去构造勾股定理或相似），很多时候能起到事半功倍的良好效果。 1）内角平分线定理 条件：如图，在△ABC中，若BD是∠ABC的平分线。 结论： 证明：作，作DHAB垂足分别为F，H. ∵BD是∠ABC的平分线，∴DF=DH，则= = （2）作BECA垂足为E，则 = = ∴= 2）外角平分线定理 图2 图3 条件：如图2，在△ABC中，∠BAC的外角平分线交BC的延长线于点D。 结论：． 证明：如图2，过C作．交BA的延长线于E， ∵，∴，∠2＝∠4，∠1＝∠3，∵∠1＝∠2，∴∠4＝∠3，∴AE＝AC，∴． 3）奔驰模型 条件：如图3，的三边、、的长分别是a，b，c，其三条角平分线交于点O，将分为三个三角形。结论：=c：a：b。 证明：过点作于点，作于点，作于点．   由题意知：，，是的三条角平分线，，于，， 的三边、、长分别为a，b，c， ． 例1．（2022秋·山东菏泽·八年级统考期中）如图，在中，，，，是的平分线，设和的面积分别是，，则 ． 【答案】/ 【分析】过点D作于E，根据角平分线的性质得出，再根据三角形的面积公式得出与即可求解． 【详解】解：如图，过点D作于E， ∵，，是的角平分线，∴， ∵，，∴，故答案为：． 【点睛】本题考查角平分线的性质，三角形的面积公式，根据角平分线的性质得出是解题的关键． 例2．（2023·广东惠州·八年级校考阶段练习）如图，的三边，，长分别是3，4，5，其三条角平分线将分为三个三角形，则为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作于点，作于点，作于点，由，，是的三条角平分线，根据角平分线的性质，可得，然后利用三角形面积的计算公式表示出、、，结合已知，即可得到所求的三个面积的比． 【详解】解：过点作于点，作于点，作于点．    ，，是的三条角平分线，，于，， 的三边、、长分别为3、4、5， ．故选：D． 【点睛】本题考查角平分线的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用角平分线的性质定理解决问题． 例3．（2022秋·安徽合肥·九年级校考阶段练习）阅读下列材料，完成相应的学习任务： 已知角平分线分线段成比例定理内容：三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例，如图①，在△ABC中，AD平分∠BAC，则．下面是这个定理的部分证明过程． (1)证明：如图②，过C作CE∥DA，交BA的延长线于E．请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分． (2)你还有其他的证明方法么？如果有，另外写出一个完整的证明过程 【答案】(1)见解析 (2)有，见解析 【分析】（1）过C作，交BA的延长线于E，根据平行线分线段成比例定理得到＝，等量代换证明结论．（2）利用等面积法即可证明． 【详解】（1）证明：如图②，过C作，交BA的延长线于E， 则∠1＝∠E，∠DAC＝∠ACE， ∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠DAC，∴∠E＝∠ACE，∴AC＝AE， ∵，∴＝，∴＝； （2）解：有其他的证明方法，理由如下： 过点A作AE⊥BC，过点D作DF⊥AB，过点D作DG⊥AC， ∵AD是∠BAC的角平分线， DF⊥AB，过点D作DG⊥AC，∴DF=DG， ∵， ， ， ∴，，∴ ． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、平行线分线段成比例以及等腰三角形的判定，构造适当的辅助线证明线段成比例是解题的关键． 例4、△ABC中，∠BAC的外角平分线交BC的延长线于点D，求证：． 证明：过C作AD的平行线交AB于点E． ∵ ∴，∠1=∠3，∠2=∠4 ∵AD为∠BAC的外角平分线 ∴∠1=∠2 ∴∠3=∠1=∠2=∠4 ∴AE=AC ∴ 例5.（2022秋·北京·八年级北京八十中校考期中）在中，D是边上的点（不与点B、C重合），连接． (1)如图1，当点D是边的中点时，_____； (2)如图2，当平分时，若，，求的值（用含m、n的式子表示）； (3)如图3，平分，延长到E．使得，连接，若，求的值． 【答案】(1)(2)(3)16 【分析】（1）过A作于E，根据三角形面积公式求出即可； （2）过D作于E，于F，根据角平分线性质求出，根据三角形面积公式求出即可；（3）根据已知和（1）（2）的结论求出和的面积，即可求出答案． 【详解】（1））过A作于E，∵点D是边上的中点，∴， ∴故答案为：； （2）过D作于E，于F，∵为的角平分线，∴， ∵，，∴； （3）∵，∴由（1）知：，∵，∴， ∵，平分，∴由（2）知：， ∴，∴，故答案为：16． 【点睛】本题考查了角平分线性质和三角形的面积公式，能根据（1）（2）得出规律是解此题的关键． 课后专项训练 1．（2023秋·湖北十堰·八年级统考期末）如图，中，，点为各内角平分线的交点，过点作的垂线，垂足为，若，那么的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】连接，过点I作于M，于N，利用角平分线的性质，以及等积法求线段的长度，即可得解． 【详解】解：连接，过点I作于M，于N， ∵点I为各内角平分线的交点，，∴， ∵，，∴， ∵，∴， 即：，∴，故A正确．故选：A． 【点睛】本题主要考查角平分线的性质，等积法求线段长度．熟练掌握角平分线的性质，利用等积法求线段的长度是解题的关键． 2．（2022秋·山西大同·八年级校考期中）如图，的三边、、长分别是30、40、50，和的角平分线交于O，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过O分别作，，，根据角平分线的性质得到OD=OE=OF，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：过O分别作，，， BO是平分线，，CO是平分线，，， ，，， ．故选：D． 【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是本题的关键． 3．（2023·河南开封·统考模拟预测）如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，以下结论错误的是（    ） A．是的平分线 B． C．点在线段的垂直平分线上 D． 【答案】D 【分析】由作图可得：平分 可判断A，再求解 可得 可判断B，再证明 可判断C，过作于 再证明 再利用 ，可判断D 从而可得答案． 【详解】解： 由作图可得：平分 故A不符合题意； 故B不符合题意； 在的垂直平分线上，故C不符合题意； 过作于 平分 故D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理，角平分线的作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的判定，等腰三角形的判定，掌握以上知识是解题的关键． 4．（2023·贵州·中考模拟）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MNBC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，则线段MN的长为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】利用角平分线和平行可以证明△BME和△CNE是等腰三角形，而可得BM+CN=MN即可解答． 【详解】解：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E，∴∠MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB， ∵MNBC，∴∠EBC=∠MEB，∠NEC=∠ECB， ∴∠MBE=∠MEB，∠NEC=∠ECN，∴BM=ME，EN=CN， ∴MN=ME+EN，即MN=BM+CN．∵BM+CN=9∴MN=9，故选D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握角平分线和平行可以证明等腰三角形是解题的关键． 5．（2023春·山东日照·八年级日照港中学校考阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．若AC=3，AB=5，则线段DE的长为（    ） A． B．3 C． D．1 【答案】C 【分析】过点F作FG⊥AB于点G，由∠ACB=90°，CD⊥AB，AF平分∠CAB，可得∠CAF=∠FAD，从而得到CE=CF，再由角平分线的性质定理，可得FC=FG，再证得，可得 ，然后设 ，则 ，再由勾股定理可得 ，然后利用三角形的面积求出 ，即可求解． 【详解】解：如图，过点F作FG⊥AB于点G， ∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠CDA=90°，∴∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°， ∵AF平分∠CAB，∴∠CAF=∠FAD，∴∠CFA=∠AED=∠CEF，∴CE=CF， ∵AF平分∠CAB，∠ACF=∠AGF=90°，∴FC=FG， ∵，∴，∴ ， ∵AC=3，AB=5，∠ACB=90°，∴BC=4， ， 设 ，则 ，∵ ，∴ ， 解得： ，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ．故选：C 【点睛】本题主要考查了勾股定理，角平分线的性质定理，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握勾股定理，角平分线的性质定理，等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 6．（2023湖北省武汉市八年级月考）如图，已知AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，FG平分∠EFD交AB于点G，若∠BEF＝70°，则∠AGF的度数为（    ） A．35° B．45° C．55° D．65° 【答案】C 【分析】先根据平行线的性质得出，再根据平分得出，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得出结论． 【详解】解：证明：∵AB∥CD，∴∠EGF＝∠DFG， ∵FG平分∠DEF，∴∠EFG＝∠DFG，∴∠EFG＝∠EGF， ∵∠BEF＝70°，∴∠AGF＝∠EFG＝（180°﹣70°）＝55°，故选：C． 【点睛】本题考查的是平行线的性质，熟知平行线及角平分线的性质是解答此题的关键． 7．（2023秋·湖南益阳·八年级统考期末）如图，，是的角平分线，，相交于点于F，，下列四个结论： ①；②；③若的周长为m，，则 ④若，则 其中正确的结论是 （填写序号）． 【答案】①②④ 【分析】①利用三角形的内角和以及角平分线平分角，求出的度数，进行判断；②在上截取，证明，得到，再证明，得到，进而得到；③连接，过点作，垂足分别为：，利用角平分线的性质，以及，进行求解即可；④根据，得到，根据，得到，进而得到，根据，得到：，即可得到． 【详解】解：①∵，∴， ∵，是的角平分线，∴， ∴；故①正确； ②如图，在上截取， ∵是的角平分线，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴， ∵是的角平分线，∴，∵， ∴，∴，∴；故②正确； ③连接，过点作，垂足分别为：， ∵，是的角平分线，∴， ∴；故③错误； ④如图，由②知，， ∴，，∵，∴， ∴，∴，∴， 即：；故④正确；综上，正确的是①②④；故答案为：①②④． 【点睛】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，利用截长补短法，证明三角形全等，是解题的关键． 8．（2023春·陕西宝鸡·八年级统考期末）如图，的三边的长分别是9、12、15．其三条角平分线交于点O，将分为三个三角形，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过O点作，垂足分别为D，E，F，根据角平分线的性质可知：，根据勾股定理可求解的长，再利用三角形的面积公式计算可求解． 【详解】解：过O点作，垂足分别为D，E，F， ∵的三条角平分线交于点O，∴，∵， ∴ ，故选：C． 【点睛】本题主要考查勾股定理，三角形的面积，角平分线的性质，利用角平分线的性质求得是解题的关键． 9．（2023春·上海·七年级专题练习）如图，、分别是的一个内角的平分线与一个外角的平分线，过点作，分别交、于点E、F．如果四边形的周长是16，，那么 【答案】5 【分析】根据角平分线的性质可得，，由平行线的性质可得，，可推出，，等量代换可得，则答案可解． 【详解】∵、分别是内角和外角平分线，∴，， ∵，∴，， ∴，，∴，，∵四边形周长是16， ∴，，，， ∵，∴，∴，故答案为：5． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，熟记性质定理是解题的关键． 10．（2023·北京顺义·统考二模）如图，在中，，分别是，的平分线，过点D作，分别交，于点E，F．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】证明均为等腰三角形，得到，即可得出结果． 【详解】解：∵，分别是，的平分线，∴， ∵，∴， ∴，∴；故答案为：． 【点睛】本题考查角平分线，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质．熟练掌握遇到角平分线和平行线，常常会有等腰三角形，是解题的关键． 11．（2022秋·江苏南京·八年级校考阶段练习）如图，中，，、分别为、上的点，，、的平分线分别交于点、，若，则的度数为 ． 【答案】16°/16度 【分析】根据等腰三角形的性质与三角形外角的性质可得出∠B、∠C的度数，再利用平行线的性质和角平分线的定义得出结论． 【详解】解：∵，∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵EG平分， ∴， ∵， ∴，故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质、平行线的性质及角平分线的性质，解答本题的关键是利用等腰三角形及三角形外角的性质求出 12．（2023江苏八年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，过顶点A的直线DE∥BC，∠ABC，∠ACB的平分线分别交DE于点E、D，若AC=9， AB=12，则DE的长为 ． 【答案】21 【详解】试题分析：由平行线的性质、角平分线的性质推知∠E=∠ABE，则AB=AE．同理可得AD=AC，所以线段DE的长度转化为线段AB、AC的和． 解：∵DE∥BC，∴∠E=∠EBC. ∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC，∴∠E=∠ABE，∴AB=AE. 同理可得：AD=AC，∴DE=AD+AE=AB+AC=21.故答案为21. 13．（2023天津市八年级期中）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4cm，AD＝7cm，∠ABC的角平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，则DE＝ cm． 【答案】3 【分析】利用平行四边形的性质得出ADBC，进而得出∠AEB=∠CBF，再利用角平分线的性质得出∠ABF=∠CBF，进而得出∠AEB=∠ABF，即可得出AE的长，即可得出答案． 【详解】解：∵在平行四边形ABCD中，∴ADBC，∴∠AEB=∠CBF， ∵∠ABC的角平分线交AD于点E，∴∠ABF=∠CBF，∴∠AEB=∠ABF，∴AB=AE， ∵AB=4cm，AD=7cm，∴DE=3cm．故答案为：3． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及角平分线的性质，得出∠AEB=∠ABF是解题关键． 14．（2023·贵州·八年级统考期末）如图①，在中，和的平分线交于点过点作交于交于（1）求证:是等腰三角形．（2）如图①，猜想:线段与线段之间有怎样的数量关系？并说明理由．（3）如图②，若中的平分线与三角形外角的平分线交于，过点作交于点交于点这时图中线段与线段之间的数量关系又如何？直接写出答案，不说明理由． 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3） 【分析】（1）根据角平分线的定义可得，然后根据平行线的性质可得，从而得出根据等角对等边即可证出结论； （2）根据角平分线的定义可得，然后根据平行线的性质可得，从而得出根据等角对等边可得；同理证出从而证出结论； （3）根据角平分线的定义可得，然后根据平行线的性质可得，从而得出根据等角对等边可得；同理证出从而证出结论． 【详解】（1）求证：平分 是等腰三角形 （2）猜想： 理由如下：平分 同理可得． （3），理由如下 平分 同理可得． 【点睛】此题考查的是角平分线的定义、平行线的性质和等腰三角形的判定，掌握角平分线的定义、平行线的性质和等腰三角形的判定是解决此题的关键． 15．（2024·河南南阳·八年级校考期末）我们已经学习过角平分线性质定理，即：角平分线上的点到角两边的距离相等．如图，已知的角平分线BD交边AC于点D． (1)求证：=(2)求证：=；(3)如果BC=4，AB=6，AC=5，那么CD=______． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)2 【分析】（1）作，作DHAB，根据角平分线的性质可得DF=DH，继而根据三角形面积公式进行求解即可得；（2）作BECA，继而根据三角形面积公式进行求解即可得； （3）由（2）可得= ，结合已知可得AD=AC-CD，代入相关数据进行求解即可得． 【详解】（1）作，作DHAB垂足分别为F，H ∵BD是的角平分线． ∴DF=DH 则有：= = （2）作BECA垂足为E 则有： = = ∴= （3）由（2）知，= BC=4，AB=6，AC=5， 故答案为：2 【点睛】本题考查角平分线的性质、三角形面积等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 16．（2023湖北省黄冈市八年级月考）（1）如图1，已知：在中，，平分，平分，过点作，分别交于两点，则图中共有__________个等腰三角形；与之间的数量关系是__________，的周长是__________； （2）如图2，若将（1）中“中，”该为“若为不等边三角形，”其余条件不变，则图中共有__________个等腰三角形；与之间的数量关系是什么？证明你的结论，并求出的周长； 【答案】（1）5；；20；（2）2，， 【分析】（1）根据角平分线的定义可得，，再根据两直线平行，内错角相等可得，，然后求出，，再根据等角对等边可得，，然后解答即可；（2）根据角平分线的定义可得，，再根据两直线平行，内错角相等可得，，然后求出，，再根据等角对等边可得，，然后解答即可． 【详解】解（1），， 平分，平分， ，，，， ，， ，，， 等腰三角形有5个， ，即， 的周长， 故答案为：5；；20； （2），平分，平分， ，， ，，， ，等腰三角形有， ，即， ， 此时有2个等腰三角形，． 【点睛】本题主要考查的是等腰三角形的性质和判定，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键． 17．（2023春·江苏八年级课时练习）已知，是一条角平分线． 【探究发现】如图1，若是的角平分线．可得到结论：． 小红的解法如下： 过点D作于点E，于点F，过点A作于点G， ∵是的角平分线，且， ∴______． ∴______， 又∵， ∴______． 【类比探究】如图2，若是的外角平分线，与的延长线交于点D．求证： 【拓展应用】如图3，在中，，分别是的角平分线且相交于点D，，直接写出的值是______． 【答案】（1）；；；（2）见解析；（3） 【分析】探究发现：根据题干中的解题思路求解即可； 类比探究：过点D作于N，过点D作于M．过点A作于点P．利用角平分线的性质及等面积法证明即可； 拓展应用：在BC上取点G，使得，连接，先利用全等三角形的判定得出再由其性质及前面的结论求解即可． 【详解】探究发现：解：过点D作于点E，于点F，过点A作于点G， ∵是的角平分线，且，∴∴， 又∵，∴，故答案为：，；； 类比探究：证明：过点D作于N，过点D作于．过点A作于点P． ∵平分，∴． ∴，∴ 拓展应用：在BC上取点G，使得，连接， ∵分别是的角平分线且相交于点D， ∴，， ∵，∴，∴， ∴∴是的角平分线 由（1）知，，设，，则， 由（1）知，． 【点睛】题目主要考查角平分线的性质及全等三角形的判定和性质，三角形等面积法等，理解题意，熟练掌握运算角平分线的性质是解题关键． 18.（2023·河南驻马店·校考三模）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务． 《数学的发现》是2006年科学出版社出版的图书，作者是（美）乔治·波利亚．本书通过对各种类型生动而有趣的典型问题（有些是非数学的））进行细致剖析，提出它们的本质特征，从而总结出各种数学模型． 共高三角形：有一条公共高的三角形称为共高三角形． 共高定理：如图①，设点M在直线上，点P为直线外一点，则有 下面是该结论的证明过程：证明：如图①，过点P作于点Q， ．．．．．． 按要求完成下列任务： (1)请你按照以上证明思路，结合图①完成剩余的证明； (2)如图②，，①画出的平分线（不写画法，保留作图痕迹，使用2B铅笔作图）； ②若的平分线交于D，求证：；(3)如图③，E是平行四边形边上一点，连接并延长，交的延长线于点F，连接，若的面积为2，则的面积为 ； 【答案】(1)见解析(2)①图见解析②证明见解析(3)2 【分析】（1）利用面积公式，补全证明即可；（2）①根据角平分线的作图方法，画出的平分线即可；②过点作于点，于点，利用角平分线的性质，三角形的面积公式，以及共高定理，即可得证；（3）证明，得到，根据共高定理，得到：，进而得到即可得出结果． 【详解】（1）解：补全剩余证明如下： ∵ ∴； （2）①如图所示：即为所求； ②证明：如图，过点作于点，于点， ∵是的平分线，∴， ∴， 由共高定理，得：， ∴； （3）∵四边形是平行四边形，∴，， ∴，∴，∴ 又∵，∴，由共高定理，可得：， ∴． 【点睛】本题考查角平分线的作图方法，角平分线的性质，相似三角形的判定和性质．理解并掌握共高定理，是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$