1.8 有理数的乘法（5大题型提分练）数学冀教版2024七年级上册

第一章 有理数 1.8 有理数的乘法（5大题型提分练） 知识点01 有理数的乘法 1.有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数同0相乘，都得0. 说明：进行有理数的乘法时，先确定积的符号，再确定积的绝对值. 2.倒数的定义：乘积是1的两个数互为倒数。（数a（a≠0）的倒数是什么？a（a≠0）的倒数是，0没倒数。 注： （1）当a（a≠0）为整数时，倒数为； (2)当a为分数时，分子分母互换，带分数换成假分数再求； (3)正数倒数为正，负数倒数为负； (4)倒数等于本身的数是1，-1； (5)相反数等于本身的数是0； (6)绝对值等于本身的数是非负数 3.多个有理数相乘的符号法则：几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．几个有理数相乘，有一个因数为0，积就为0． 4.有理数乘法运算律: (1)乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变． 式子表达为：ab=ba. (2)乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变．式子表达：(ab)c=a(bc)． (3）分配率:一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两数相乘，再把乘积相加。 式子表示为：a(b+c)=ab+ac (a,b,c为任意有理数) 题型一 两个有理数的乘法运算 1．计算的结果是（  ） A．6 B．1 C． D． 2．的值为（    ） A． B． C． D．1 3．若的运算结果为正数，则内的数字可以为（    ） A．2 B．1 C．0 D． 4．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 5．计算： ． 6．计算： ． 7．小明与小刚规定了一种新运算“”：若，是有理数，则，小明计算出，请帮小刚计算 ． 8．对于任意有理数、，定义一种新运算“”，规则如下：，例如，则 ． 9．计算： (1)； (2)． 10．定义新运算：． (1)求的值． (2)求的值． 题型二 多个有理数的乘法运算 1．如果，，，那么（    ） A． B． C． D． 2．下列各式中化简或计算结果为正的是（    ） A． B． C． D． 3．如果4个数的乘积为负数，那么这4个数中正数有（    ） A．1个或2个 B．1个或3个 C．2个或4个 D．3个或4个 4．我国古代《易经》一书中记载了一种“结绳计数”的方法，一女子在从右到左依次排列的绳子上打结，满七向左进一，用来记录采集到的野果数量，下列图示中表示162颗的是（    ） A．    B．    C．    D．    5．计算的值为 ． 6．若五个因数相乘，乘积为负，则负因数的个数为 ． 7．对于有理数m、n（m、n为正整数且），定义一种新运算，规定，则 ． 8．小明有5张写着以下数字的卡片，从中取出3张卡片，把这3张卡片上的数字相乘，最大的积是 ． 9．用简便方法计算： (1)； (2)． 10．对于正整数a、b，规定一种新运算*，等于由a开始的连续b个正整数的积，例如：，，那么的值等于多少？ 题型三 有理数乘法的实际应用 1．如果，，，那么（    ） A． B． C． D． 2．下列各式中化简或计算结果为正的是（    ） A． B． C． D． 3．如果4个数的乘积为负数，那么这4个数中正数有（    ） A．1个或2个 B．1个或3个 C．2个或4个 D．3个或4个 4．我国古代《易经》一书中记载了一种“结绳计数”的方法，一女子在从右到左依次排列的绳子上打结，满七向左进一，用来记录采集到的野果数量，下列图示中表示162颗的是（    ） A．    B．    C．    D．    5．亲爱的同学，祝贺你进入大金中学学习，假如你是8月26日8点来校报名，则距8月28日12点考试结束，中间有 小时． 6．一套运动服原价500元，现在商场促销活动，按7折出售，现在购买这套运动服比原价节省了 元． 7．如图，一个容积为480毫升的玻璃瓶里装有一些水，正立放置时水面高度为11厘米（玻璃瓶的下半部看成是圆柱体），倒立放置时上部空余部分的高度是5厘米，那么瓶内的水有 毫升． 8．不久前，国内五大银行陆续对客户通过手机银行办理的转账、汇款业务，无论跨行或异地都免收手续费，免收手续费前，国内某银行普通客户转账汇款手续费收费标准如下：金额在2000元（含）以下的，手续费为2元；金额在2000-5000元（含）的，手续费为5元；金额在5000-10000元（含）的，手续费为10元；金额10000-50000元（含）的，手续费为15元；50000元以上的，按转账金额的收取手续费，最高不超过50元/笔，小陈是该银行普通客户，他给异地的妹妹汇款6万元，需要缴手续费 元． 9．学校足球队要买50个足球，采购员看了甲、乙，丙三家体育用品商店，单价都是25元，但促销方式不同． 甲店：买10个足球免费赠送2个，不足10个不赠送．乙店：一律八折优惠． 丙店：购物每满100元，返还现金20元． 请你帮采购员算一算，去哪家商店买比较合适？（请写出计算过程） 10．如图是荣成市101路公交汽车的部分站点示意图．某天，小王参加公交志愿者服务活动，从崖头街道办事处出发，最后在站结束服务活动．如果规定向中医院方向为正，小王当天的乘车站数按先后顺序依次记录如下（单位：站）：． (1)请通过计算说明站是哪一站？（写站名） (2)若相邻两站之间的平均距离约为0.8千米，求这次小王志愿服务期间乘公交汽车行进的总路程约是多少千米？ 题型四 倒数 1．的倒数是（　　） A． B．2024 C． D． 2．下列互为倒数是（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 3．的倒数是（      ） A． B． C．2 D． 4．若互为倒数，且满足，则的值为（    ） A． B． C．2 D．4 5．有理数的倒数是 ． 6．2024的倒数的相反数为 ． 7． 的倒数是． 8．，那么□中填入正确的数是 ． 9．写出下列各数的倒数： ，，，，． 10．求下列各数的倒数． (1)； (2)； (3)； (4)5 题型五 有理数乘法运算律 1．若的值记为p，则的值可表示为（    ） A． B． C． D． 2．计算时，这个运算运用了（   ） A．加法交换律 B．分配律 C．乘法交换律 D．乘法结合律 3．观察算式：，在解题过程中，能使运算变得简便的运算律是（    ） A．乘法交换律、结合律 B．乘法结合律 C．乘法交换律 D．乘法对加法的分配律 4．对式子进行简便计算，如图所示，运用到的运算律①是（   ）． A．乘法交换律 B．乘法分配率 C．乘法结合律 D．加法交换律 5．计算： ； 6．计算： ． 7．计算： 8．计算时，观察算式的特点，运用分配律可得： 原式 = = ． 9．计算：； 10．阅读与思考 下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的计算． 逆用乘法分配律解题 我们知道，乘法分配律是，反过来．这就是说，当中有相同的a时，我们可以逆用乘法分配律得到，进而可使运算简便．例如：计算，若利用先乘后减显然很繁琐，注意到两项都有，因此逆用乘法分配律可得，这样计算就简便得多 计算： (1)； (2)； (3)． 1．一个数的倒数是，则这个数是（　　） A． B． C． D． 2．若，且，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．有四个互不相等的整数且，那么等于(     ) A． B． C． D．不能确定 4．计算，运算中运用的运算律为（    ）． A．乘法交换律 B．乘法分配律 C．乘法结合律 D．乘法交换律和乘法结合律 5．某水果种植基地种植一种优质黄桃，2020年黄桃总产量为，2021年增产，2022年引进先进管理技术以及种植面积的逐步扩大，每年黄桃的产量增产，若2022年后该地黄桃增产量不变，则该基地黄桃产量突破的年份是（    ） A．2022年 B．2023年 C．2024年 D．2025年 6．的绝对值的倒数是 ． 7．计算： ． 8．绝对值不小于1且小于3的所有整数的积是 ． 9．比较大小， （填“<”，“>”，或“=”）． 10．一种共享单车密码锁的密码是一个四位数，每位上都只能是1~4中的任意一个数字，那么一位淘气的小朋友要打开密码锁，最多要试 次．如果这种共享单车加一位密码，那么就要多试 次． 11．（1）计算：； （2）计算：． 12．（1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 13．定义新运算． (1)求； (2)这种新运算满足结合律吗？若满足，请说明理由；若不满足，请举反例． 14．对于有理数a、b，定义新运算：“”，． (1)计算：________；________； ________（填“>”或“=”或“<”）； (2)我们知道：有理数的加法运算和乘法运算满足交换律，那么，由（1）计算的结果，你认为这种运算：“”是否满足交换律？若满足，请说明理由；若不满足，请举例说明． 15．“十一”长假期间，我市银杏公园7天中每天旅游人数的变化情况如下表（正数表示比9月日多的人数，负数表示比9月日少的人数）： 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 人数变化千人 (1)请判断7天内游客人数量最多和最少的各是哪一天？它们相差多少千人？ (2)如果9月日旅游人数为2千人，平均每人公园内消费元，请问银杏公园在此7天内总收入为多少万元？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 有理数 1.8 有理数的乘法（5大题型提分练） 知识点01 有理数的乘法 1.有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数同0相乘，都得0. 说明：进行有理数的乘法时，先确定积的符号，再确定积的绝对值. 2.倒数的定义：乘积是1的两个数互为倒数。（数a（a≠0）的倒数是什么？a（a≠0）的倒数是，0没倒数。 注： （1）当a（a≠0）为整数时，倒数为； (2)当a为分数时，分子分母互换，带分数换成假分数再求； (3)正数倒数为正，负数倒数为负； (4)倒数等于本身的数是1，-1； (5)相反数等于本身的数是0； (6)绝对值等于本身的数是非负数 3.多个有理数相乘的符号法则：几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．几个有理数相乘，有一个因数为0，积就为0． 4.有理数乘法运算律: (1)乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变． 式子表达为：ab=ba. (2)乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变．式子表达：(ab)c=a(bc)． (3）分配率:一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两数相乘，再把乘积相加。 式子表示为：a(b+c)=ab+ac (a,b,c为任意有理数) 题型一 两个有理数的乘法运算 1．计算的结果是（  ） A．6 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的乘法，理解两个有理数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘是解题关键． 先确定符号，然后把绝对值相乘． 【详解】解：， 故选：D． 2．的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的乘法，按照有理数的乘法法则进行运算即可． 【详解】解： ， 故选：D． 3．若的运算结果为正数，则内的数字可以为（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算，根据有理数的乘法计算法则，分别计算出与四个选项中的数的乘积即可得到答案． 【详解】解：，，，， 四个算式的运算结果中，只有3是正数， 故选：D． 4．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的乘法运算，根据选项所给式子，逐个求解得到结果判定即可得到答案，熟练掌握有理数的乘法运算是解决问题的关键． 【详解】解：A、，正确，符合题意； B、，错误，不符合题意； C、，错误，不符合题意； D、，错误，不符合题意； 故选：A． 5．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，根据有理数的乘方运算进行计算即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 6．计算： ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了两个有理数的乘法运算. 【详解】解： ， 故答案为：1． 7．小明与小刚规定了一种新运算“”：若，是有理数，则，小明计算出，请帮小刚计算 ． 【答案】16 【分析】此题考查了有理数混合运算的应用，属于新定义题型，弄清题中的新定义是解本题的关键．根据题中的新定义，将，代入计算，即可求出的值． 【详解】解：根据题中的新定义得： ． 故答案为：． 8．对于任意有理数、，定义一种新运算“”，规则如下：，例如，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算，新定义，根据新定义得到，据此计算求解即可． 【详解】解：由题意得， ， 故答案为：． 9．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)6 (2)-2 【分析】本题主要考查了有理数的乘法，关键是熟记有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． 根据有理数乘法法则进行计算便可． 【详解】（1） ； （2） ． 10．定义新运算：． (1)求的值． (2)求的值． 【答案】(1)1 (2)19 【分析】此题主要考查了定义新运算，以及有理数的混合运算， （1）按新运算法则计算即可； （2）先算括号内的运算，再依次计算，按新运算法则计算即可； 注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． 【详解】（1）解： ； （2） ． 题型二 多个有理数的乘法运算 1．如果，，，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了有理数的乘法．由，根据两数相乘，异号得负，得出a与c异号；由，得，；由，得b与ac同号，又，得． 【详解】解：由，得a与c异号； 由，得，； 由，得． 故选：D． 2．下列各式中化简或计算结果为正的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了去括号，化简绝对值以及有理数乘法法则，分别计算出各选项结果再进行判断即可． 【详解】解：A. ，故此选项不符合题意； B. ，故此选项不符合题意； C. ，故此选项不符合题意； D. ，故此选项符合题意； 故选：D． 3．如果4个数的乘积为负数，那么这4个数中正数有（    ） A．1个或2个 B．1个或3个 C．2个或4个 D．3个或4个 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘法法则：根据同号得正，异号得负，结合4个数的乘积为负数，则有奇数个负数，据此即可作答． 【详解】解：∵同号得正，异号得负，结合4个数的乘积为负数， 则这4个数中负数有1个或3个 ∴这4个数中正数有3个或1个 故选：B 4．我国古代《易经》一书中记载了一种“结绳计数”的方法，一女子在从右到左依次排列的绳子上打结，满七向左进一，用来记录采集到的野果数量，下列图示中表示162颗的是（    ） A．    B．    C．    D．    【答案】D 【分析】本题主要考查有理数的运算，解题的关键是理解题意；由题意可分别求出各个选项中野果的数量，然后问题可求解． 【详解】解：A、，故不符合题意； B、，故不符合题意； C、，故不符合题意； D、，故符合题意； 故选D． 5．计算的值为 ． 【答案】0 【分析】本题考查有理数的乘法运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．根据任何数和零相乘都得零计算即可． 【详解】解： 故答案为：0 6．若五个因数相乘，乘积为负，则负因数的个数为 ． 【答案】1或3或5． 【分析】本题考查了有理数的乘法法则；根据几个不为0的有理数相乘的乘法法则进行分析判断即可． 【详解】解： ∵五个有理数的乘积为负数， ∴这五个有理数中，负因数的个数为1个或3个或5个， 故答案为：1或3或5． 7．对于有理数m、n（m、n为正整数且），定义一种新运算，规定，则 ． 【答案】 【分析】根据新运算的定义可得，即可求解． 【详解】解：由题意得 ； 故答案：． 【点睛】本题考查了新定义运算，理解新定义中的、的意义是解题的关键． 8．小明有5张写着以下数字的卡片，从中取出3张卡片，把这3张卡片上的数字相乘，最大的积是 ． 【答案】125 【分析】本题考查有理数的乘法运算．根据几个有理数相乘，负号的个数为奇数个，积为负，负号的个数为偶数时，积为正，得到最大的积为，进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：最大的积是； 故答案为：125． 9．用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)35 【分析】本题主要考查了有理数乘法，熟记乘法法则是解题的关键． （1）根据有理数的乘法交换律和结合律计算即可； （2）根据有理数的乘法交换律和结合律计算即可． 【详解】（1） ； （2） ． 10．对于正整数a、b，规定一种新运算*，等于由a开始的连续b个正整数的积，例如：，，那么的值等于多少？ 【答案】56 【分析】本题考查了有理数的乘法，理解新运算的运算方法是解题的关键．根据新运算的定义进行求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 题型三 有理数乘法的实际应用 1．如果，，，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了有理数的乘法．由，根据两数相乘，异号得负，得出a与c异号；由，得，；由，得b与ac同号，又，得． 【详解】解：由，得a与c异号； 由，得，； 由，得． 故选：D． 2．下列各式中化简或计算结果为正的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了去括号，化简绝对值以及有理数乘法法则，分别计算出各选项结果再进行判断即可． 【详解】解：A. ，故此选项不符合题意； B. ，故此选项不符合题意； C. ，故此选项不符合题意； D. ，故此选项符合题意； 故选：D． 3．如果4个数的乘积为负数，那么这4个数中正数有（    ） A．1个或2个 B．1个或3个 C．2个或4个 D．3个或4个 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘法法则：根据同号得正，异号得负，结合4个数的乘积为负数，则有奇数个负数，据此即可作答． 【详解】解：∵同号得正，异号得负，结合4个数的乘积为负数， 则这4个数中负数有1个或3个 ∴这4个数中正数有3个或1个 故选：B 4．我国古代《易经》一书中记载了一种“结绳计数”的方法，一女子在从右到左依次排列的绳子上打结，满七向左进一，用来记录采集到的野果数量，下列图示中表示162颗的是（    ） A．    B．    C．    D．    【答案】D 【分析】本题主要考查有理数的运算，解题的关键是理解题意；由题意可分别求出各个选项中野果的数量，然后问题可求解． 【详解】解：A、，故不符合题意； B、，故不符合题意； C、，故不符合题意； D、，故符合题意； 故选D． 5．亲爱的同学，祝贺你进入大金中学学习，假如你是8月26日8点来校报名，则距8月28日12点考试结束，中间有 小时． 【答案】52 【分析】本题主要考查了有理数四则混合计算的实际应用，8月26日8点到8月28日8点正好是两天，而8月28日12点考试结束，据此列式求解即可． 【详解】解：小时， ∴中间有52小时， 故答案为：52． 6．一套运动服原价500元，现在商场促销活动，按7折出售，现在购买这套运动服比原价节省了 元． 【答案】150 【分析】此题考查了有理数混合运算的应用．根据题意求出打7折的价格，用原价减去7折的价格，计算即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：（元， 则打折后他比原价节省了150元． 故答案为：150． 7．如图，一个容积为480毫升的玻璃瓶里装有一些水，正立放置时水面高度为11厘米（玻璃瓶的下半部看成是圆柱体），倒立放置时上部空余部分的高度是5厘米，那么瓶内的水有 毫升． 【答案】330 【分析】本题主要考查了有理数乘法的实际应用，根据题意得到水的体积与空余部分的体积之比为，再由瓶的容积为480毫升即可得到答案． 【详解】解：由题意得，水的体积与空余部分的体积之比为， ∴瓶内的水有毫升， 故答案为：330． 8．不久前，国内五大银行陆续对客户通过手机银行办理的转账、汇款业务，无论跨行或异地都免收手续费，免收手续费前，国内某银行普通客户转账汇款手续费收费标准如下：金额在2000元（含）以下的，手续费为2元；金额在2000-5000元（含）的，手续费为5元；金额在5000-10000元（含）的，手续费为10元；金额10000-50000元（含）的，手续费为15元；50000元以上的，按转账金额的收取手续费，最高不超过50元/笔，小陈是该银行普通客户，他给异地的妹妹汇款6万元，需要缴手续费 元． 【答案】18 【分析】本题考查了纳税问题，关键是理解分段收费是解题的关键； 根据汇款金额确定按照哪段收费，把转账金额看做单位“1”，用转账金额乘即可求出支付手续费 【详解】根据题意得： ， 小陈需要按照50000元以上的，按转账金额的收取手续费， 元 故答案为：18 9．学校足球队要买50个足球，采购员看了甲、乙，丙三家体育用品商店，单价都是25元，但促销方式不同． 甲店：买10个足球免费赠送2个，不足10个不赠送．乙店：一律八折优惠． 丙店：购物每满100元，返还现金20元． 请你帮采购员算一算，去哪家商店买比较合适？（请写出计算过程） 【答案】去乙商店购买最合算． 【分析】本题考查有理数运算的实际应用，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键．根据题意分别求得甲、乙、丙三家商店采购费用后进行比较即可． 【详解】解：甲店：（元）， 乙店：（元）， 丙店：（元），（元）， ∵， ∴去乙商店购买最合算． 10．如图是荣成市101路公交汽车的部分站点示意图．某天，小王参加公交志愿者服务活动，从崖头街道办事处出发，最后在站结束服务活动．如果规定向中医院方向为正，小王当天的乘车站数按先后顺序依次记录如下（单位：站）：． (1)请通过计算说明站是哪一站？（写站名） (2)若相邻两站之间的平均距离约为0.8千米，求这次小王志愿服务期间乘公交汽车行进的总路程约是多少千米？ 【答案】(1)站是大润发站； (2)22.4千米 【分析】本题考查了正数和负数的意义，有理数的混合运算，根据题意列出算式是解题的关键． （1）根据有理数的加法，可得答案； （2）根据绝对值的意义和有理数的加法可得总共的站数，再乘以0.8可得答案． 【详解】（1）解： ， 崖头街道办事处左边第2个站为大润发站，所以站是大润发站； （2）解：（千米）， 小明志愿服务期间乘坐公交车行进的总路程约是22.4千米． 题型四 倒数 1．的倒数是（　　） A． B．2024 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查倒数的定义，熟练掌握倒数的定义是解题的关键； 根据乘积为1的两个数互为倒数求解即可． 【详解】 解： 的倒数是， 故选：C． 2．下列互为倒数是（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】根据倒数的定义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、∵，∴和不互为倒数，不符合题意； B、，∴和互为倒数，符合题意； C、和，∴和不互为倒数，不符合题意； D、∵，∴和不互为倒数，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查的是倒数的定义，熟知乘积是1的两个数叫互为倒数是解题的关键． 3．的倒数是（      ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了倒数，根据倒数得定义求解即可． 【详解】解：的倒数是2， 故选：C． 4．若互为倒数，且满足，则的值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了倒数的定义，根据互为倒数，则，把代入，即可得出m的值，进一步即可得出n的值． 【详解】解：∵互为倒数， ∴， ∵， ∴， 则， 故选：B． 5．有理数的倒数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了倒数的定义，根据倒数的定义，即可求解．倒数：乘积是的两个有理数称为互为倒数，正数的倒数是正数；负数的倒数是负数；没有倒数. 【详解】解：有理数的倒数是， 故答案为：． 6．2024的倒数的相反数为 ． 【答案】 【分析】本题考查相反数的知识，解题的关键是掌握倒数，相反数的定义，即可． 【详解】∵的倒数为：， ∴的倒数的相反数为：． 故答案为：． 7． 的倒数是． 【答案】 【分析】本题考查了倒数的定义，先化为假分数，进而根据倒数的定义，即可求解． 【详解】解：∵ ∴的倒数是． 故答案为：． 8．，那么□中填入正确的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了倒数，乘积为1的两个数，计算即可． 【详解】∵， ∴故答案为：． 9．写出下列各数的倒数： ，，，，． 【答案】的倒数是，的倒数是，的倒数是，的倒数是，的倒数是 【分析】两数相乘为的数互为倒数，注意没有倒数；带分数要化为假分数、小数化为分数，再根据倒数的概念解答即可． 【详解】解：的倒数是， 的倒数是， ∵， ∴的倒数是， ∵， ∴的倒数是， ∵， ∴的倒数是， 综上可得：的倒数是，的倒数是，的倒数是，的倒数是，的倒数是． 【点睛】本题考查倒数，掌握倒数的定义是解题的关键． 10．求下列各数的倒数． (1)； (2)； (3)； (4)5 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了倒数，掌握倒数的定义（乘积是1的两数互为倒数）是解答本题的关键． （1）由可得结论； （2）把化为，由可得结论； （3）把化为，由可得结论； （1）由可得结论． 【详解】（1）解：∵， ∴的倒数为：； （2）解：， ∵， ∴的倒数为：， 即的倒数为：； （3）解：， ∵ ∴的倒数是， 即的倒数是； （4）解：∵， ∴5的倒数是， 题型五 有理数乘法运算律 1．若的值记为p，则的值可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查乘法分配律．利用乘法分配律将转化为，求解后即可得出结果． 【详解】解：∵的值记为p， ∴ ； 故选C． 2．计算时，这个运算运用了（   ） A．加法交换律 B．分配律 C．乘法交换律 D．乘法结合律 【答案】B 【分析】根据运算过程解答即可． 【详解】解： ， 所以这个运算运用了分配律， 故选：B． 【点睛】本题考查了利用乘法分配律计算，熟练掌握乘法的运算律是解题的关键． 3．观察算式：，在解题过程中，能使运算变得简便的运算律是（    ） A．乘法交换律、结合律 B．乘法结合律 C．乘法交换律 D．乘法对加法的分配律 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数乘法交换律和乘法的结合律，解决本题的关键是要熟练运算乘法的交换律和乘法的结合律进行简便计算．根据和乘积为1000，和28乘积是4，可以利用乘法的交换律和乘法的结合律进行简便计算． 【详解】解： ， ∴在解题过程中，能使运算变得简便的运算律是乘法交换律、结合律． 故选：A． 4．对式子进行简便计算，如图所示，运用到的运算律①是（   ）． A．乘法交换律 B．乘法分配率 C．乘法结合律 D．加法交换律 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘法运算律，根据计算过程结合有理数的乘法运算律进行判断即可得出答案，熟练掌握有理数的乘法运算律是解此题的关键． 【详解】解：，上面的计算中运用到的运算律是乘法结合律， 故选：C． 5．计算： ； 【答案】 【分析】利用乘法分配律进行简算即可． 【详解】解：； 故答案为：． 【点睛】本题考查有理数的乘法运算．熟练掌握有理数的乘法分配律，进行简算，是解题的关键． 6．计算： ． 【答案】 【分析】根据乘法分配律进行计算即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． 7．计算： 【答案】 【分析】根据乘法分配律计算即可． 【详解】 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意乘法分配律的应用． 8．计算时，观察算式的特点，运用分配律可得： 原式 = = ． 【答案】 1 【分析】根据乘法分配律计算即可； 【详解】解：原式= = = 故答案为：1；；；；； 【点睛】本题主要考查运用乘法分配律进行有理数乘法运算，正确计算是解题的关键． 9．计算：； 【答案】 【分析】本题考查有理数的乘法运算，利用乘法交换律和结合律进行计算即可． 【详解】解： ． 10．阅读与思考 下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的计算． 逆用乘法分配律解题 我们知道，乘法分配律是，反过来．这就是说，当中有相同的a时，我们可以逆用乘法分配律得到，进而可使运算简便．例如：计算，若利用先乘后减显然很繁琐，注意到两项都有，因此逆用乘法分配律可得，这样计算就简便得多 计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，逆用分配律简便计算是关键； （1）逆用分配律把原式化为，再计算即可； （2）逆用分配律把原式化为，再计算即可； （3）逆用乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． （3） ． 1．一个数的倒数是，则这个数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了倒数的定义，根据倒数的定义即可求解，掌握倒数的定义是解题的关键． 【详解】解：一个数的倒数是，所以这个数是， 故选：D． 2．若，且，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查有理数的加法和乘法运算，掌握有理数的加法和乘法运算法则是解题关键．加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．异号两数相加，绝对值相等时，和为零．绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．一个数同零相加仍得这个数；乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． 【详解】解：因为， 所以，异号． 因为， 所以负数的绝对值大于等于正数的绝对值，即当时，由，可知；当时，由，可知． 综上可知选项中只有B正确． 故选B． 3．有四个互不相等的整数且，那么等于(     ) A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查有理数的乘法运算，根据题意得出这四个数的值，即可确定这四个数的和，解题的关键在于根据题意判断出四个数的值． 【详解】解：由题意得：这四个整数小于或等于，且互不相等，再由乘积为可得，四个数中必有和， ∴四个数为：，，，， ∴和为， 故选：． 4．计算，运算中运用的运算律为（    ）． A．乘法交换律 B．乘法分配律 C．乘法结合律 D．乘法交换律和乘法结合律 【答案】D 【分析】解答时，运用了乘法交换律和乘法结合律． 【详解】∵运用的运算律为乘法交换律和乘法结合律， 故选D． 【点睛】本题考查了用运算律进行有理运算，熟练掌握运算律的使用规律是解题的关键． 5．某水果种植基地种植一种优质黄桃，2020年黄桃总产量为，2021年增产，2022年引进先进管理技术以及种植面积的逐步扩大，每年黄桃的产量增产，若2022年后该地黄桃增产量不变，则该基地黄桃产量突破的年份是（    ） A．2022年 B．2023年 C．2024年 D．2025年 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，理解题意成为解题的关键． 根据增长率求出依次求出2021年、2022年、2023年基地黄桃产量，然后对比即可解答． 【详解】解：2021年基地黄桃产量为， 2022年基地黄桃产量为， 2023年基地黄桃产量为， 因此突破的年份是2023年． 故选B． 6．的绝对值的倒数是 ． 【答案】5 【分析】本题考查了绝对值和倒数的定义，乘积是1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数，绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；零的绝对值是零；一个负数的绝对值是它的相反数． 【详解】解：，的倒数是5， 故答案为：5． 7．计算： ． 【答案】 【分析】先运用乘法分配律计算，再运用加法法则计算即可． 【详解】解：原式= = ＝ ＝ ＝ ＝ =． 【点睛】本题考查有理数混合运算，熟练掌握运算律进行简便计算是解题的关键． 8．绝对值不小于1且小于3的所有整数的积是 ． 【答案】0 【分析】找出绝对值不小于1且小于3的所有整数，因为里面有一个0的存在，再根据有理数乘法法则计算即可． 【详解】解：绝对值不小于1且小于3的整数有：、0、1、2， ． 故答案为：0． 【点睛】本题考查的有理数的乘法，解题的关键是牢记0乘以任何数都得0． 9．比较大小， （填“<”，“>”，或“=”）． 【答案】< 【分析】先根据乘法法则计算，再比较大小即可． 【详解】解：∵， 又∵， ∴． 故答案为：<． 【点睛】本题考查有理数乘法，有理数比较大小，熟练掌握有理数乘法法则是解题的关键． 10．一种共享单车密码锁的密码是一个四位数，每位上都只能是1~4中的任意一个数字，那么一位淘气的小朋友要打开密码锁，最多要试 次．如果这种共享单车加一位密码，那么就要多试 次． 【答案】 256 1024 【分析】密码是一个四位数，每位数字都可以是这4个数字中的任意一个，所以每个数位上的数字都有4种选择，然后根据乘法原理解答；如果要给这种共享单车加一位密码，那么密码是一个五位数，每位数字都可以是这4个数字中的任意一个，所以每个数位上的数字都有4种选择，然后根据乘法原理解答即可． 【详解】解：（次） 故最多要试256次． （次） 故如果要给这种共享单车加一位密码，那么就要多试1024次． 故答案为：256；1024． 【点睛】本题考查了乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法，……，做第n步有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法． 11．（1）计算：； （2）计算：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查有理数混合运算，熟练掌握乘法分配律是解题的关键． （1）先将化成，再运用乘法分配律计算即可； （2）逆用乘法分配律计算即可． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． 12．（1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1）2或或0；（2）3或 【分析】（1）分当时，当时，当时，当时四种情况，根据化简绝对值的方法进行求解即可； （2）根据可得a、b、c都为正数或a、b、c中只有一个为正数，据此根据化简绝对值的方法讨论求解即可． 【详解】解：（1）当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 综上所述，的值为2或或0． （2）∵， ∴， ∴a、b、c都为正数或a、b、c中只有一个为正数． ①若a、b、c都为正数，则； ②若a、b、c只有一个为正数，不妨设a为正数，故． 综上所述，的值为3或． 【点睛】本题主要考查了化简绝对值，熟知一个数的绝对值为非负数时解题的关键． 13．定义新运算． (1)求； (2)这种新运算满足结合律吗？若满足，请说明理由；若不满足，请举反例． 【答案】(1) (2)不满足，如 【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值； （2）不满足，举一个反例即可． 【详解】（1）根据题中的新定义得：； （2）不满足，例如：， ， ∴ 【点睛】此题考查了新定义，有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 14．对于有理数a、b，定义新运算：“”，． (1)计算：________；________； ________（填“>”或“=”或“<”）； (2)我们知道：有理数的加法运算和乘法运算满足交换律，那么，由（1）计算的结果，你认为这种运算：“”是否满足交换律？若满足，请说明理由；若不满足，请举例说明． 【答案】(1)，， (2)满足交换律，理由见解析 【分析】本题考查有理数的混合运算，新定义，理解新定义是关键． （1）按照题中新定义的运算进行计算即可作出判断； （2）就一般情况根据新定义进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，； ∴； ∵，， ∴； ∵，； ∴； 故答案：，， （2）解：运算：“”满足交换律 理由如下： 由新定义知：，， ∴， 表明运算“”满足交换律． 15．“十一”长假期间，我市银杏公园7天中每天旅游人数的变化情况如下表（正数表示比9月日多的人数，负数表示比9月日少的人数）： 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 人数变化千人 (1)请判断7天内游客人数量最多和最少的各是哪一天？它们相差多少千人？ (2)如果9月日旅游人数为2千人，平均每人公园内消费元，请问银杏公园在此7天内总收入为多少万元？ 【答案】(1)3日的人数的最多，5日的人数的最少，它们相差万人 (2)元 【分析】本题考查正负数的应用，有理数的加减法的应用，有理数的乘法．熟练掌握正负数的意义，以及有理数的运算法则，是解题的关键． （1）根据表格可知：3日的人数的最多，5日的人数的最少，两个数据的差值，即为它们相差的人数； （2）利用总收入等于平均每人消费乘以总人数，进行计算即可． 【详解】（1）解：由表格可知：3日的人数的最多，5日的人数的最少， 它们相差：（万人）； 答：3日的人数的最多，5日的人数的最少，它们相差万人； （2）解：7天总人数为：（万人）， ∴总收入为：（元）； 答：风景区在此7天内总收入为元． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$