第二章实数 暑假整理与预习（三）2024-2025学年北师大版数学八年级上册

2024年北师大八年级数学暑假第二章实数整理与预习（三） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1.下列实数中，是无理数的是(    ) A. B. C. D. 2.估计的值在(    ) A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间 3.下列运算正确的是(    ) A. B. C. D. 4.的值为(    ) A. B. C. D. 5.下列说法正确的是(    ) A. ，，都是无理数 B. 带根号的数都是无理数 C. 无理数是开方开不尽的数 D. 无理数都是实数 6.如图，若数轴上的点，，，表示数，，，，则表示数的点应在(    ) A. ，之间 B. ，之间 C. ，之间 D. ，之间 7.如果，那么化简的结果是(    ) A. B. C. D. 8.将根号外的因式移到根号内为(    ) A. B. C. D. 9.对实数、，定义运算，已知，则的值为(    ) A. B. C. D. 或 10.如图，正方形中，点、在上，点是的中点，以为边长向正方形形内作正方形，以、为长和宽向正方形形内作长方形，已知正方形的面积为，正方形的面积为，则长方形的面积为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.已知是的算术平方根，是的立方根，则的值为______． 12.已知的小数部分为，的小数部分为，则          ． 13.计算            ． 14.观察表格 按表中规律若已知，，用含的式子表示，则 ______． 15.对于任何实数，可用表示不超过的最大整数，如，，现对进行如下操作：，这样对进行次操作后变为类似地，对进行          次操作后变为在进行次操作后变为的所有正整数中，最大的数是          ． 三、计算题：本大题共2小题，共12分。 16.计算：； ． 17.计算：；． 四、解答题：本题共6小题，共63分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 18.已知的算术平方根是，是的立方根，是的整数部分． 求的值； 求的平方根， 19.下面是小华同学解答题目的过程，请认真阅读并完成相应任务． 计算：． 任务一：以上步骤中，从第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______． 任务二：请写出正确的计算过程． 任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就二次根式运算时还需注意 的事项给其他同学提一条建议． 20.阅读以下材料，回答问题． 对于三个数，，，用表示这三个数中最小的数，用表示不小于的最小整数，则例如：；，，． ______； 若，求的值； 若，求的值． 21.在解决数学问题时，我们一般先仔细阅读题干，找出有用信息作为已知条件，然后利用这些信息解决问题，但是有的题目信息比较明显，我们把这样的信息成为为显性条件；而有的信息不太明显需要结合图形，特殊式子成立的条件，实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样的条件称为隐含条件；所以我们在做题时，要注意发现题目中的隐含条件． 【阅读理解】 阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题． 化简： 解：隐含条件，解得： 原式 【启发应用】按照上面的解法，试化简：； 【类比迁移】实数，在数轴上的位置如图所示，化简． 22.有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数，，使且，则将变成然后开方，从而化简． 例如：化简． 解：． 仿照上例化简下列各式： ； ． 23.小明在解决问题：已知，求的值． 他是这样分析与解的： ，， ，． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： ______， ______． 化简：． 若，请按照小明的方法求出的值． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1页，共 4页 2024 年北师大八年级数学暑假第二章实数整理与预习（三） 一、选择题（本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1.下列实数中，是无理数的是( ) A. 113 B. 4 C. 3 8 D. 2� 2.估计 38的值在( ) A. 4 和 5 之间 B. 5 和 6 之间 C. 6 和 7 之间 D. 7 和 8 之间 3.下列运算正确的是( ) A. 2 + 3 = 5 B. 20 = 4 5 C. 22 × 3 = 2 3 D. ( − 2)2 =− 2 4.(2 − 5)2022(2 + 5)2023的值为( ) A. −1 B. (2 − 5) C. 2 + 5 D. −2 − 5 5.下列说法正确的是( ) A. 2， 3， 4都是无理数 B.带根号的数都是无理数 C.无理数是开方开不尽的数 D.无理数都是实数 6.如图，若数轴上的点�，�，�，�表示数−1，1，2，3，则表示数 4 − 11的点应在( ) A. �，�之间 B. �，�之间 C. �，�之间 D. �，�之间 7.如果� ≥ 1，那么化简 −(1 − �)3的结果是( ) A. (1 − �) 1 − � B. (� − 1) � − 1 C. (1 − �) � − 1 D. (� − 1) 1 − � 8.将� − 1�根号外的因式移到根号内为( ) A. −� B. − −� C. − � D. � 9.对实数�、�，定义运算� ∗ � = �2�(� ≥ �) ��2(� < �) ，已知 3 ∗ � = 36，则�的值为( ) A. 4 B. ± 12 C. 12 D. 4 或± 12 10.如图，正方形����中，点�、�在��上，点�是��的中点，以��为边长向正方形���� 形内作正方形����，以��、��为长和宽向正方形����形内作长方形����，已知 正方形����的面积为 70，正方形����的面积为 40，则长方形����的面积为( ) A. 5 B. 7.5 C. 10 D. 12.5 第 2页，共 4页 二、填空题：本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分。 11.已知 2� − �是 25 的算术平方根，3� + 4�是 8 的立方根，则� − 2�的值为______． 12.已知 5 + 7的小数部分为�，5 − 7的小数部分为�，则� + � = ． 13.计算 11+ 2+ 1 2+ 3 + 1 3+ 4 +⋅⋅⋅+ 1 2021+ 2022 = ． 14.观察表格 � … 0.0001 0.01 1 100 10000 … � … 0.01 0.1 1 10 100 … 按表中规律若已知 � = 8.973， � = 897.3，用含�的式子表示�，则� = ______． 15.对于任何实数�，可用[�]表示不超过�的最大整数，如[4] = 4，[ 3] = 1，现对 72 进行如下操作： 72第 1 次 72 = 8第 2 次 8 = 2第 3 次 2 = 1，这样对 72 进行 3 次操作后变为 1.类似地，对 125 进行 次操作后变为 1;在进行 3 次操作后变为 1 的所有正整数中，最大的数是 ． 三、计算题：本大题共 2 小题，共 12 分。 16.计算：(1) 27 − 13+ 12； (2) 72− 16 8 + ( 3 + 1)( 3 − 1)． 17.计算：(1) 24 + 2 12 − 6 2− 3 6 ；(2)2 5 × 5 − 1 5 + 2 − 5 − (1 − 5) 2． 四、解答题：本题共 6 小题，共 63 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 18.已知 2� − 1 的算术平方根是 3，�是−8 的立方根，�是 14的整数部分． (1)求�, �, �的值； (2)求� − � + 3�的平方根， 第 3页，共 4页 19.下面是小华同学解答题目的过程，请认真阅读并完成相应任务． 计算：( 2 + 1)2 − 4 12． 解：原式 = 2 + 2 2 + 1 − 4 12⋯第一步 = 3 + 2 2 − 2 2⋯第二步 = 3⋯第三步 任务一：以上步骤中，从第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______． 任务二：请写出正确的计算过程． 任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就二次根式运算时还需注意 的事项给其他同学提一条建议． 20.阅读以下材料，回答问题． 对于三个数�，�，�，用���{�, �, �}表示这三个数中最小的数，用�(�)表示不小于�的最小整数，则�(�) − 1 < � ≤ �(�).例如：���{ − 1,2,3} =− 1；�(1.6) = 2，�(4) = 4，�( − 2.82) =− 2． (1)���{ 5, 2, 3} = ______； (2)若�(�) = 2� − 1，求�的值； (3)若���{2, �, 2� − 1} = �(�)，求�的值． 21.在解决数学问题时，我们一般先仔细阅读题干，找出有用信息作为已知条件，然后利用这些信息解决问 题，但是有的题目信息比较明显，我们把这样的信息成为为显性条件；而有的信息不太明显需要结合图形， 特殊式子成立的条件，实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样的条件称为隐含条件；所以我们在 做题时，要注意发现题目中的隐含条件． 【阅读理解】 阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题． 化简：( 1 − 3�)2 − |1 − �| 解：隐含条件 1 − 3� ≥ 0，解得：� ≤ 13 第 4页，共 4页 ∴ 1 − � > 0 ∵原式= (1 − 3�) − (1 − �) = 1 − 3� − 1 + � =− 2� 【启发应用】(1)按照上面的解法，试化简： (� − 3)2 − ( 2 − �)2； 【类比迁移】(2)实数�，�在数轴上的位置如图所示，化简 �2 + (� + �)2 − |� − �|． 22.有这样一类题目：将 � ± 2 �化简，如果你能找到两个数�，�，使�2 + �2 = �且�� = �，则将� ± 2 � = �2 + �2 ± 2��变成(� ± �)2然后开方，从而化简 � ± 2 �． 例如：化简 3 − 2 2． 解：3 − 2 2 = ( 2)2 − 2 2 + 1 = ( 2 − 1)2 = 2 − 1． 仿照上例化简下列各式： (1) 4 + 2 3； (2) 9 − 4 5． 23.小明在解决问题：已知� = 12+ 3，求 2� 2 − 8� + 1 的值． 他是这样分析与解的：∵ � = 12+ 3 = 2− 3 (2+ 3)(2− 3) = 2 − 3 ∴ � − 2 =− 3，∴ (� − 2)2 = 3，�2 − 4� + 4 = 3 ∴ �2 − 4� =− 1，∴ 2�2 − 8� + 1 = 2(�2 − 4�) + 1 = 2 × ( − 1) + 1 =− 1． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1) 13+ 2 = ______， 1 5+ 3 = ______． (2)化简： 111+ 9 + 1 13+ 11 +⋯+ 1 121+ 119． (3)若� = 12−1，请按照小明的方法求出 4� 2 − 8� + 1 的值． 参考答案 1.【答案】  2.【答案】  3.【答案】  4.【答案】  5.【答案】  6.【答案】  7.【答案】  8.【答案】  9.【答案】  10.【答案】  11.【答案】  12.【答案】  13.【答案】  14.【答案】  15.【答案】 16.【答案】解：原式 ； 原式 ．  17.【答案】解：原式． 原式， ， ．   18.【答案】解：的算术平方根是，是的立方根， ， ， ， ， 的整数部分是，即； 解：由得，，， ， 的平方根为， 的平方根为．   19.【答案】一  没有将带分数化为假分数再化简  20.【答案】  21.【答案】解：【启发应用】 隐含条件， 解得：， 所以 ； 【类比迁移】 从数轴可知：，，，， 所以 ．  22.【答案】解： ； ．  23.【答案】   第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$