21.4二次函数的应用（3知识点+7题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（沪科版）

21．4 二次函数的应用 课程标准 会利用二次函数解决简单的实际问题 学习目标 课时1：①会分析面积、利润等实际问题中的数量关系，建立二次函数模型；②会利用二次函数的知识解决面积、利润等最值问题． 课时2：①会根据具体的情境建立适当的平面直角坐标系，将有关线段的长度转化为坐标系中点的坐标；②会用简便的方法求出二次函数解析式，从而用二次函数的知识解决实际问题． 课时3：①掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题；②利用二次函数知识解决运动中的有关问题；③能运用二次函数的图象与性质进行决策． 知识点01 面积问题中的二次函数模型 ·已知正方形的边长为a，面积为S，S关于a的二次函数：S=a2 ·已知矩形的周长为c，长为a，面积为S，S关于a的二次函数：S=(c-a)a=-a2+ca ·已知圆的半径为r，面积为S，S关于r的二次函数：S=πr2 ·已知扇形的圆心角为n，对应的圆的半径为r，扇形的面积为S，S关于r的二次函数： 【即学即练1】已知一个直角三角形两直角边长之和为10 cm，则这个直角三角形的最大面积为（　　） A．6．25 cm2 B．12．5 cm2 C．25 cm2 D．31．25 cm2 【答案】B 【详解】解：设一条直角边长为，则另一条直角边长为， ∴， ∵， ∴当时，面积的最大值为， 故选：B． 【即学即练2】（22-23九年级上·安徽·期中）如图，学校要用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃，矩形的边为围墙的一部分，已知墙长为．要想使花圃的面积最大，求边的长及花圃的最大面积．    【答案】边的长为米时，有最大面积，且最大面积为平方米 【详解】设为米，矩形的面积为平方米，则 米， 且 ，故抛物线开口向下， ∴当 时, 有最大值是, 此时(米), 答：边的长为米时，有最大面积，且最大面积为平方米． 知识点02 数学建模——二次函数 ①根据实际模型（示意图）建立平面直角坐标系，转化为数学问题； ②表示出相关点的坐标； ③建立二次函数模型：求二次函数关系式 ④运用二次函数的图象与性质进行决策（求最值、截线长等） 【即学即练3】（2024·河南·三模）高速隧道是为了更好地适应地形、保护环境、节省土地和提高通行效率等方面的需要，除此之外高速隧道还有重要的战略意义．如图所示，某高速隧道的下部近似为矩形，上部近似为一条抛物线．已知米，米，高速隧道的最高点P（抛物线的顶点）离地面的距离为10米． (1)建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式； (2)若在高速隧道入口的上部安装两个车道指示灯E，F，若平行线段与之间的距离为8米，则点E与隧道左壁之间的距离为多少米？ 【答案】(1) (2)点E与隧道左壁之间的距离为米． 【详解】（1）解：由题意可得：， 设抛物线的解析式为：， 则有：，解得：， ∴． （2）解：∵平行线段与之间的距离为8米，矩形且， ∴点E到x轴的距离为9且在第一象限， ∴点E的纵坐标为， ∴，解得：或（舍去）． ∴点E与隧道左壁之间的距离为米． 【即学即练4】（2024·河南洛阳·一模）如图1，一辆灌溉车正为绿化带浇水，喷水口H离地面竖直高度为米．建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，若下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口米，灌溉车到绿化带的距离为d米． (1)求上边缘抛物线的函数解析式； (2)下边缘抛物线与x轴交点B的坐标为； (3)若米，则灌溉车行驶时喷出的水能否浇灌到整个绿化带？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)能，理由见解析 【详解】（1）解：由题意得：是上边缘抛物线的顶点， 设， 又∵抛物线过点， ∴， 解得：， ∴上边缘抛物线的函数解析式为， （2）∵对称轴为直线， ∴点的对称点为， ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， 当时，， 解得(舍去)， ∴点的坐标为， 故答案为：； （3）∵米，米，米， ∴点的坐标为， 当时，， 当时，随的增大而减小， ∴灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带． 知识点03 销售等实际问题中的二次函数模型 ·根据实际问题中的信息确定二次函数关系式： ①找准变量之间的关系，列等量关系；②变形为二次函数的一般形式． ·根据题意解决问题并做出决策 ·增长率问题：第三次的值=第一次的值×(1+增长率)² 特别注意： 在实际问题中，将二次函数模型化为顶点式后，求取得最值时的自变量的值时：不要忽视实际情况下自变量x的取值范围． 【题型一：图形问题——求最大面积或最大周长】 例1．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）一段长为的墙前有一块矩形空地，用长的篱笆围成如图所示的图形（靠墙的一边不用篱笆，篱笆的厚度忽略不计），其中四边形和四边形是矩形，四边形是边长为的正方形，设． (1)若矩形的面积为，求的长； (2)当的长为多少时，矩形的面积最大，最大面积是多少？ 【答案】(1) (2)当的长时，矩形的面积最大，最大面积是． 【详解】（1）解：，， ， ， ，， ， ， ； （2）解：， ， 当时，， 即当的长时，矩形的面积最大，最大面积是． 变式1．用72米木料制作成一个如图所示的“目”形长方形大窗框（横档，也用木料）．其中，要使窗框的面积最大，则的长为 ，此时窗框的面积为 ．    【答案】9m；162 m² 【详解】解：设的长为米，则的长为米 则窗框的面积 ∵ ∴当时，窗框的面积最大，最大面积为162m² 【技巧方法与总结】①根据条件确定二次函数关系式；②将二次函数关系式化为顶点式；③利用二次函数的最值求值 【题型二：图形上的动点运动问题】 例2．（21-22九年级上·安徽芜湖·期末）如图，矩形的两边长，，点、分别从A、B同时出发，在边上沿方向以每秒的速度匀速运动，在边上沿方向以每秒的速度匀速运动．当到达点时，、停止运动．设运动时间为秒，的面积为 (1)求关于的函数关系式，并写出的取值范围； (2)求的面积的最大值． 【详解】（1）∵，，， ， 即； （2）由知，， ， 当时，随的增大而增大， 而， 当时，， 即的最大面积是． 变式2．如图，在四边形中，,，点P以的速度由运动，到达点D停止；同时点Q以的速度由运动，到达点C停止．设的面积为y，运动时间为xs． （1）请写出y与x之间函数关系式并画出图像； （2）当时，求运动时间． 【答案】见详解． 【详解】 由题意得： 作交于点M ∵ ∴点Q到达点B上的时间是,点P到达点D的时间是 当时， ∵ ∴在中， ∴． 当点Q到达终点C的时间是,故当时，如图，的底为，高为，为定值． ∴． 综上所述：． 函数图像： （2）同理，当时， ． 当时，P到达点D，三角形PDQ不存在． ∴，，根据题意得x=2，即运动时间2s时． 【点睛】． 【方法技巧与总结】 ①确定二次函数的函数的关系式（关键是：找到三角形的边与高，用未知数表示）；②注意分情况讨论 【题型三：拱桥&隧道问题】 例3．如图，某一抛物线型隧道在墙体处建造，现以地面和墙体分别为x轴和y轴建立平面直角坐标系，已知，且抛物线经过．请根据以上信息，解决下列问题： (1)求此抛物线的函数表达式； (2)有一辆宽，高的货车想要通过隧道，请问该货车能否正常通过？请说明理由； (3)现准备在抛物线上一点E处，安装一直角形钢拱架支护材料对隧道进行维修（点F，G分别在x轴，y轴上，且轴，轴），现有钢拱架支护材料是否够用？请说明理由． 【答案】(1) (2)不能，见解析 (3)现有钢拱架支护材料够用，见解析 【详解】（1）解：由题意，∵， ∴设抛物线的表达式为， 由得， ， 解得：， ∴； （2）解：∵， ∴抛物线对称轴为直线， ∵货车宽， ∴当货车从门中间进入时，把代入， 得， ∴货车不能正常驶入； （3）解：由题意，设点，则点， 由题意得， ∵点G在点A的下方， ∴， ∴或， ∵令， ∴或， ∴或（舍去）； ∵， ∴当时，有最大值， ∴的最大值为： ， ∴现有钢拱架支护材料够用． 变式3．（2024·陕西西安·二模）如图，某一抛物线型隧道在墙体处建造，现以地面和墙体分别为轴和轴建立平面直角坐标系．已知米，且抛物线经过点请根据以上信息，解决下列问题． (1)求此抛物线的函数表达式； (2)现准备在抛物线上的点处，安装一个直角形钢拱架对隧道进行维修（点，分别在轴，轴上，且，轴，轴），已知钢拱架的长为米，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）∵米， ∴设抛物线的函数表达式为 将点，代入， 得， 解得， ∴抛物线的函数表达式是； （2）由题意，设点，则点，， 由题意，得 解得，， 当时，（不符合题意，舍去）； 当时， ∴点的坐标为． 【技巧方法与总结】（1）待定系数法求出抛物线的解析式．（2）构造一元二次方程解题：①设动点的横坐标，利用已知解析式表示纵坐标；②表示线段长和线段间的等量关系——建立方程； 【题型四：投球问题】 例4．（2024·贵州黔东南·一模）小明和小亮在做传球训练，某同学借做此情境编了一道数学题． 在如图的平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m，小明从点处将球传出，其运动路线为抛物线的一部分，小亮在处接住球，然后跳起将球传出，球的运动路线是抛物线的一部分． (1)求抛物线的函数表达式； (2)设抛物线的顶点为点，在轴上找一点，求使的值最大的点的坐标； (3)若小明在轴上方2m的高度上，且到点水平距离不超过1m的范围内可以接到球，求符合条件的的整数值． 【答案】(1) (2)坐标为 (3)符合条件的的整数值为7，8 【详解】（1）解：点在抛物线上， ，解得， 抛物线的表达式为； （2）解：直线与轴的交点就是所求的点，如图所示： 的顶点的坐标为， 设直线的解析式为， ， ，解得， 直线的解析式为， 当时，解得，即直线与轴的交点为， 点坐标为； （3）解：小明在轴上方的高度上，且到点水平距离不超过的范围内可以接到球， 设接球点为点，点坐标为，如图所示： 则， 把代入，得， 解得； 把代入，得， 解得； ， 符合条件的的整数值为7，8． 变式4-1． 如图，已知排球场的长度为18米，位于球场中线处球网的高度为2．24米，一队员站在点处发球，排球从点的正上方1．8米的点向正前方飞出，当排球运行至离点的水平距离为6米时，到达最高点．建立如图所示的平面直角坐标系． (1)当球上升的最大高度为3．3米时，对方距球网0．3米的点处有一队员，他起跳后能拦截的最大高度为2．9米，这次他是否可以拦网成功？请通过计算说明． (2)若该队员发球既要过球网，又不出边界，求排球飞行的最大高度的取值范围．（排球压线属于没出界） 【答案】(1)能成功，见解析 (2) 【详解】（1）解：根据题意知此时抛物线的顶点的坐标为， 设抛物线解析式为， 将点代入，得：， 解得：， 排球飞行的高度与水平距离的函数关系式为， 由题意当时，， 故这次他可以拦网成功； （2）设抛物线解析式为， 将点代入，得：，即， 此时抛物线解析式为， 根据题意，得：， 解得：． 答：排球飞行的最大高度的取值范围是． 变式4-2． （2024·辽宁鞍山·一模）乒乓球被誉为中国国球．2023年的世界乒乓球锦标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．图2是图1所示乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度（距离球台的高度）为的点A处，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分． 乒乓球到球台的竖直高度记为y（单位：），乒乓球运行的水平距离记为x（单位：）．测得如下数据： 水平距离 0 10 50 90 130 170 230 竖直高度 33 45 49 45 33 0 (1)如图3，在平面直角坐标系中，描出表格中各组数值所对应的点，并画出表示乒乓球运行轨迹形状的大致图象． (2)①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是______，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是______． ②求满足条件的抛物线的表达式． (3)技术分析：如果只上下调整击球高度，乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出的取值范围，以利于有针对性的训练，如图2，乒乓球台长为，球网高为．现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球高度的值约为．请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值（乒乓球大小忽略不计）． 【答案】(1)见解析 (2)①49，230；② (3)乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值为 【详解】（1）解：如图所示， （2）解：①观察表格数据，可知当和时，函数值相等，则对称轴为直线，顶点坐标为， 又抛物线开口向下，可得最高点时，与球台之间的距离是， 当时，， ∴乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是； 故答案为：；． ②设抛物线解析式为，将代入得， ， 解得：， ∴抛物线解析式为； （3）解：∵当时，抛物线的解析式为， 设乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值为，则平移距离为， ∴平移后的抛物线的解析式为， 依题意，当时，， 即， 解得：． 答：乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值为． 【方法技巧与总结】①待定系数法确定函数关系式；②求范围的问题：利用临界点法求出自变量的值，再根据题意确定范围． 【题型五：喷水问题】 例5．（23-24九年级上·广东汕头·期中）“水幕电影”的工作原理是把影像打在抛物线状的水幕上，通过光学原理折射出图象．水幕是由若干个水嘴喷出的水柱组成的(如图)，水柱的最高点为 ，，，水嘴高 ．    (1)以 为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式； (2)求水柱落点与水嘴底部的距离 ． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为 ∵，， ∴ ∵． ∴ 把代入得： ∴ ∴ ∴ （2）解：令 ∴ ∴ 解得：， ∴点 ∴ 变式5．某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，喷水池中心为原点建立直角坐标系． (1)求水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式； (2)主师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1．8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？ (3)经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池直径扩大到24米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度． 【答案】(1) (2)7 (3) 【详解】（1）解：由题意得第一象限抛物线的顶点坐标为， ∵水柱关于轴对称， ∴第二象限抛物线的顶点坐标为 设水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式为， 将代入，得：， 解得：， ∴水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式为． （2）解：当函数值时，有， 解得，， 结合图形可得，为了不被淋湿，身高1．8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内． （3）解：当时，， 喷出水柱的形状不变，水池的高度不变， 设改造后水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式为， 该函数图象过点， ， 解得， 改造后水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式为， 该抛物线的顶点坐标为， 故扩建改造后喷水池水柱的最大高度为米． 【方法技巧与总结】喷泉问题：喷泉的纵截面是轴对称的，根据轴对称性质可得水柱所在抛物线（第二象限部分）的顶点 【题型六：销售问题——最大利润】 例6．（2024·山东德州·一模）红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．小明在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用6240元购进甲灯笼与用8400 元购进乙灯笼的数量相同，已知乙灯笼每对进价比甲灯笼每对进价多9元． (1)求甲、乙两种灯笼每对的进价； (2)经市场调查发现，乙灯笼每对售价50元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2对．销售部门规定其销售单价不高于每对65元，设乙灯笼每对涨价为x元，小明一天通过乙灯笼获得利润y元． ①求出y与x之间的函数解析式； ②乙种灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？ 【答案】(1)甲种灯笼26元，乙种灯笼35元 (2)①；②乙种灯笼的销售单价为65元时，一天获得利润最大 【详解】（1）解：设每对甲种灯笼的进价x元，每对乙种灯笼的进价元，                  两边同乘得：， 解得：， 经检验：为该分式方程的解，且符合题意．   答：甲种灯笼26元，乙种灯笼35元； （2）解：①， 故y与x的函数解析式为                    ②， ∴函数在对称轴时有最大值．                    ∵销售部门规定其销售单价不高于每对65元 ，                     ∴乙种灯笼的销售单价为65元时，一天获得利润最大． 变式6．（2024·广东深圳·一模）飞盘运动是一种老少皆宜的健身项目，只要有一片空旷的场地就能让我们开心地锻炼．某商家销售某品牌的橡胶飞盘，成本价为每个16元，销售中平均每天销售量y（个）与销售单价x（元）的关系可以近似地看作一次函数，如表所示： x 18 20 22 24 y 70 60 50 40 (1)求出y与x之间的函数关系式； (2)设该商家每天销售该品牌的橡胶飞盘的利润为w（元），求w与x之间的函数关系式，当x取何值时，w的值达到最大? 最大值是多少? 【答案】(1) (2)，当时，w取最大值，最大值为320 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为， 由表中数据知，当时，，当时，， ， 解得， y与x之间的函数关系式为； （2）解：由题意知， ， 即w与x之间的函数关系式为； ， 当时，w取最大值，最大值为320． 【方法总结】根据利润、销量、进价、售价之间的关系可得总利润与单价（数量）之间的二次函数关系式，化为顶点式可得最值． 【题型七：增长率问题】 例7．（22-23八年级下·安徽马鞍山·期末）2022年第一季度我省总值约为10000亿元，第三季度的总值约为11025亿元． (1)假定第二季度、第三季度我省总值的增长率相同，求这个增长率； (2)若保持这样的增长率不变，估计到2023年第一季度，我省的总值能否突破12000亿元？并说明理由． 【答案】(1)5% (2)能突破，理由见解析 【详解】（1）设第二季度、第三季度我省总值的增长率为，根据题意得 ， 解得，（不合题意，舍去）， 答：第二季度、第三季度我省总值的增长率为5%； （2）到2023年第一季度，我省的总值能突破12000亿元， 理由：2023年第一季度我省总值为（亿元）（亿元）， ∴到2023年第一季度，我省的总值能突破12000亿元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 变式7．（23-24九年级上·宁夏银川·期末）某商城在2024年元旦节期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个14元，标价为每个20元． (1)商城举行了“感恩老客户”活动，对于老客户，商城连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个16．2元的价格售出，求商城每次降价的百分率； (2)市场调研表明：当每个售价20元时，平均每天能够售出40个，当每个售价每降1元时，平均每天就能多售出10个，在保证每个商品的售价不低于进价的前提下，商城要想获得最大利润，每个商品的定价应为多少元？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)19元；250元 【详解】（1）设商城每次降价的百分率为x， 根据题意，得， 解得（舍去）， 答：商城每次降价的百分率为为． （2）设降价x元，则每个盈利元，每天可售出个，每天的总利润为w元， 根据题意，得 ， ∴当时，利润最大，250(元), 答：定价为19元，最大利润为250元． 1．如图，若用长的铁丝借助墙围成一个斜边为的直角三角形，则所围成的的最大面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，则， ∴， ∵， ∴该函数图象的开口向下， ∴当时，面积最大，为， 故选D． 2．某种药品售价为每盒300元，经过医保局连续两次“灵魂砍价”，药品企业同意降价若干进入国家医保用药目录．如果每次降价的百分率都是x，则两次降价后的价格y（元）与每次降价的百分率x之间的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵每次降价的百分率都是x， ∴两次降价后的价格y（元）与每次降价的百分率x之间的函数关系式是． 故选：B． 3．（23-24九年级上·浙江温州·期末）某农场要建矩形的饲养室，如图所示，一面靠着现有足够长的墙，其他三面用材料建设围墙，在中间再建一道墙隔开，并在两处各留宽的门，已知计划中的材料可建墙体总长为（不包括门），则能建成的饲养室最大总占地面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：依题意，设矩形的面积为垂直于墙的矩形的饲养室的边长为，平行于墙的矩形的饲养室的边长则， 则， ∵， ∴开口向下，在时，有最大值，且为， 则能建成的饲养室最大总占地面积为， 故选：B． 4．用80米木料制作成一个如图所示的“目”形长方形大窗框（横档，也用木料）．其中，要使窗框的面积最大，则的长为（　　）    A．8米 B．9米 C．10米 D．米 【答案】C 【详解】解：设的长为米，则的长为米 则窗框的面积 ∵ ∴当时，窗框的面积最大 故选：C 【点睛】本题考查二次函数的实际应用．掌握建模思想是解题关键． 5．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）用总长为米的材料做成如图1的矩形窗框，设窗框的宽为米，窗框的面积为米，关于的函数图象如图2，则的值是（　　） A．6 B．7 C．8 D．不能确定 【答案】A 【详解】解：设窗框的长为， ， 根据函数图像，可知当时，窗框的面积最大，最大值为， 即， ； 故选A． 二、解答题 6．某公司月份的营收为万元，设每个月营收的增长率相同，且为 ，月份的营收为万元，写出关于的函数解析式． 【答案】 【详解】解：因为月份的营收为万元，月份起，每月增长率都为，所以月份的营收为万元，月份的营收为万元． ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数关系式解题的关键． 7．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）《劳动教育》成为一门独立的课程，某校率先行动，在校园内开辟了一块劳动教育基地．八年级数学兴趣小组在课余时间里，利用一面学校的墙（墙的最大可用长度为22米），现用长为34米的篱笆（篱笆正好要全部用完，且不考虑接头的部分），围成中间隔有一道篱笆的长方形菜地，在菜地的前端各设计了两个宽1米的小门，供同学们进行劳动实践．设垂直于墙的篱笆边长为米． (1)求当为何值时，围成的菜地面积为81平方米； (2)要想围成菜地面积为120平方米，可能吗？请计算说明理由； (3)围成菜地的最大面积为 平方米． 【答案】(1)米 (2)不能，理由见详解 (3)108 【详解】（1）解：∵篱笆的总长为米，菜地的前端各设计了两个宽米的小门，且垂直于墙的篱笆边为米， ∴长为米． 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； 故当围成的菜地面积为平方米时，为米． （2）解：不能围成面积为平方米的菜地，理由如下： 依题意得：， 整理得：， ∵， ∴该方程无实数根， 即不能围成面积为平方米的菜地． （3）， 则当时，， 故围成菜地的最大面积为108平方米． 8．（2023·山东菏泽·三模）在“乡村振兴”行动中，某村办企业以A、B两种农作物为原料开发了一种有机产品．A原料的单价是B原料单价的1．5倍，若用900元收购A原料会比用900元收购B原料少．生产该产品每盒需要A原料和B原料，每盒还需其他成本9元．市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒；每涨价1元，每天少销售10盒． (1)求每盒产品的成本（成本原料费其他成本）； (2)设每盒产品的售价是x元（x是整数），每天的利润是w元，求w关于x的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）； (3)求每盒产品的售价为多少元时，每天的利润最大． 【答案】(1)每盒产品的成本为30元； (2) (3)当每盒产品的售价为70元时，每天最大利润为16000元 【详解】（1）设B原料单价为m元，则A原料单价为元， 根据题意，得， 解得， 经检验是方程的解， ， 每盒产品的成本是：（元， 答：每盒产品的成本为30元； （2）根据题意，得， 关于的函数解析式为：； （3）由（2）知， ∵， ∴抛物线开口向下， 当每盒产品的售价为70元时，每天最大利润为16000元． 9．（2023·四川攀枝花·二模）掷实心球是江西省初中学业水平测试体育考试的选考项目．如图1是一名女生投掷实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（）与水平距离x（）之间的函数关系如图2所示，抛出时起点处高度为，当水平距离为3时，实心球行进至最高点3处．    (1)求y关于x的函数表达式： (2)根据江西省初中学业水平测试体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于7．80，此项考试得分为满分17．5分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由． 【答案】(1) (2)该女生在此项考试中没有得满分，理由见解析 【详解】（1）解：设y关于x的函数表达式为， 将代入得，，解得，， ∴； （2）解：该女生在此项考试中没有得满分，理由如下： 令，则， 解得，或（舍去）， ∴实心球从起点到落地点的水平距离为， ∵， ∴该女生在此项考试中没有得满分． 10．如图是某公园一喷水池，在水池中央有一垂直于地面的喷水柱，喷水时，水流在各方向沿形状相同的抛物线落下．若水流喷出的高度（m）与水平距离（m）之间的函数关系式为．    (1)求喷出的水流离地面的最大高度； (2)求喷嘴离地面的高度； (3)若把喷水池改成圆形，那么水池半径至少为多少时，才能使喷出的水流不落在水池外？ 【答案】(1)2．25m (2)1．25m (3)半径至少为2．5m 【详解】（1）解：水流喷出的高度（m）与水平距离（m）之间的函数关系式为， 喷出的水流离地面的最大高度为：2．25m； （2）解：当，则m， 答：喷嘴离地面的高度为1．25m； （3）解：由题意可得；时，， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：水池半径至少为2．5m时，才能使喷出的水流不落在水池外． 【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，根据题意得出以及的意义是解题关键． 11．（23-24九年级上·宁夏银川·期末）某商城在2024年元旦节期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个14元，标价为每个20元． (1)商城举行了“感恩老客户”活动，对于老客户，商城连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个16．2元的价格售出，求商城每次降价的百分率； (2)市场调研表明：当每个售价20元时，平均每天能够售出40个，当每个售价每降1元时，平均每天就能多售出10个，在保证每个商品的售价不低于进价的前提下，商城要想获得最大利润，每个商品的定价应为多少元？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)19元；250元 【详解】（1）设商城每次降价的百分率为x， 根据题意，得， 解得（舍去）， 答：商城每次降价的百分率为为． （2）设降价x元，则每个盈利元，每天可售出个，每天的总利润为w元， 根据题意，得 ， ∴当时，利润最大，250(元), 答：定价为19元，最大利润为250元． 12．（2023·安徽合肥·一模）如图是某隧道截面示意图，它是由抛物线和长方形构成，已知米，米，抛物线顶点到地面的垂直距离为10米，以所在直线为轴，以所在直线为轴建立直角坐标系， (1)求抛物线的解析式； (2)一辆特殊货运汽车载着一个长方体集装箱，集装箱宽为4米，最高处与地面距离为6米，隧道内设双向行车道，双向行车道间隔距离为2米，交通部门规定，车载货物顶部距离隧道壁的竖直距离不少于米，才能安全通行，问这辆特殊货车能否安全通过隧道？ 【答案】(1) (2)这辆特殊货车不能安全通过隧道 【详解】（1）解：根据题意，顶点的坐标为，点的坐标为， 设抛物线的解析式为， 把点代入得：， 解得：， 即所求抛物线的解析式为：； （2）根据题意，假设货车在右侧车道行驶，则其最右侧点的横坐标为：时， ， ∴不能安全通过隧道， 答：这辆特殊货车不能安全通过隧道． 13．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形和抛物线构成，其中，，取中点，过点作线段的垂直平分线交抛物线于点，若以点为原点，所在直线为轴，为轴建立如图所示平面直角坐标系，抛物线的顶点．请回答下列问题：    (1)求抛物线的解析式； (2)如图，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置，，若，求两个正方形装置的间距的长．    【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：根据题意，，，，， 设抛物线的解析式为， 将、、代入， 得，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：根据题意，设，则，， 将L坐标代入中，得， 解得或（舍去）， ∴， 答：两个正方形装置的间距的长为． 1．（2024·陕西西安·一模）陕北窑洞，具有十分浓厚的民俗风情和土气息． 如图所示，某窑洞口的下部近似为矩形 ，上部近似为一条抛物线． 已知 米，米，窑洞的最高点 (抛物线的顶点)高地面 的距离为 米． (1)建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的表达式； (2)若在窑洞口的上部要安装一个正方形窗户，使得点 在矩形 的边上，点 在抛物线上，那么这个正方形窗户 的边长为多少米？ 【答案】(1) (2)1米 【详解】（1）解：∵在矩形中，米，米， ∴米，米， ∴，，， ∴抛物线的对称轴是直线， 又∵窑洞的最高点(抛物线的顶点)高地面的距离为米， ∴， 设抛物线的解析式是：， 将点C代入得：， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）设这个正方形窗户 的边长为米， 即， ∴点G的纵坐标是：(米)， 由抛物线和正方形的对称性可知：， ∴(米)， ∴点G的横坐标是：(米)， ∴， 将点G代入抛物线解析式得：， 解得：(舍去) ∴这个正方形窗户的边长为1米． 2．（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）为贯彻落实国家关于全面推进城镇老旧小区改造提升和城市更新工作，以人民为中心，努力提高保障和改善民生水平，切实解决老旧小区的配套设施，提升居民的幸福指数．合肥某小区计划在的中央广场种植景观树和花卉． 市场调查发现：花卉的种植费用y（元/）与花卉的种植面积x（）之间的函数关系如图所示，景观树的种植费用为15元/． (1)求y与x之间的函数表达式． (2)花卉的种植面积不少于，且景观树的种植面积不得少于花卉的2倍，当x为何值时，种植的总费用w（元）最少？最少是多少元？ 【答案】(1) (2)当时，种植的总费用最少，最少为2700元； 【详解】（1）解：当时，； 当时， 设函数关系式为， ∵线段过点，， ， 解得：， ， 当时，， 即：； （2）解：花卉的种植面积不少于， ， 又景观树的种植面积不得少于花卉的2倍， 解得：， ， 当时， 由（1）知，， 景观树的种植费用为15元/． ， 当时，； 当时， 由（1）知， ， ， ∴当时， ， ， 当时，种植的总费用最少，最少为2700元； （2023·安徽·模拟预测）如图，为等腰直角三角形，，正方形的边长为1，且与在同一条直线上，从点与点重合开始，沿直线向右平移，直至点与点完全重合时停止．设的长为与正方形重合部分（图中阴影部分）的面积为，则与之间的函数图像大致是（    ） A．B．C．D． 【答案】B 【详解】解：①当时，∵为等腰直角三角形，，正方形的边长为1， ∴ ∵设的长为x, ∴； ②当时， ∵设的长为x, ∴,, ∵, ∴ ； ③当时，根据题意，得， ， ∴ ． ∴．观察图像，知B项正确， 故选：B． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 21.4 二次函数的应用 课程标准 会利用二次函数解决简单的实际问题 学习目标 课时1：①会分析面积、利润等实际问题中的数量关系，建立二次函数模型；②会利用二次函数的知识解决面积、利润等最值问题． 课时2：①会根据具体的情境建立适当的平面直角坐标系，将有关线段的长度转化为坐标系中点的坐标；②会用简便的方法求出二次函数解析式，从而用二次函数的知识解决实际问题． 课时3：①掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题；②利用二次函数知识解决运动中的有关问题；③能运用二次函数的图象与性质进行决策． 知识点01 面积问题中的二次函数模型 ·已知正方形的边长为a，面积为S，S关于a的二次函数：S=a2 ·已知矩形的周长为c，长为a，面积为S，S关于a的二次函数：S=(c-a)a=-a2+ca ·已知圆的半径为r，面积为S，S关于r的二次函数：S=πr2 ·已知扇形的圆心角为n，对应的圆的半径为r，扇形的面积为S，S关于r的二次函数： 【即学即练1】已知一个直角三角形两直角边长之和为10 cm，则这个直角三角形的最大面积为（　　） A．6．25 cm2 B．12．5 cm2 C．25 cm2 D．31．25 cm2 【即学即练2】（22-23九年级上·安徽·期中）如图，学校要用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃，矩形的边为围墙的一部分，已知墙长为．要想使花圃的面积最大，求边的长及花圃的最大面积．    知识点02 数学建模——二次函数 ①根据实际模型（示意图）建立平面直角坐标系，转化为数学问题； ②表示出相关点的坐标； ③建立二次函数模型：求二次函数关系式 ④运用二次函数的图象与性质进行决策（求最值、截线长等） 【即学即练3】（2024·河南·三模）高速隧道是为了更好地适应地形、保护环境、节省土地和提高通行效率等方面的需要，除此之外高速隧道还有重要的战略意义．如图所示，某高速隧道的下部近似为矩形，上部近似为一条抛物线．已知米，米，高速隧道的最高点P（抛物线的顶点）离地面的距离为10米． (1)建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式； (2)若在高速隧道入口的上部安装两个车道指示灯E，F，若平行线段与之间的距离为8米，则点E与隧道左壁之间的距离为多少米？ 【即学即练4】（2024·河南洛阳·一模）如图1，一辆灌溉车正为绿化带浇水，喷水口H离地面竖直高度为米．建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，若下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口米，灌溉车到绿化带的距离为d米． (1)求上边缘抛物线的函数解析式； (2)下边缘抛物线与x轴交点B的坐标为； (3)若米，则灌溉车行驶时喷出的水能否浇灌到整个绿化带？请说明理由． 知识点03 销售等实际问题中的二次函数模型 ·根据实际问题中的信息确定二次函数关系式： ①找准变量之间的关系，列等量关系；②变形为二次函数的一般形式． ·根据题意解决问题并做出决策 ·增长率问题：第三次的值=第一次的值×(1+增长率)² 特别注意： 在实际问题中，将二次函数模型化为顶点式后，求取得最值时的自变量的值时：不要忽视实际情况下自变量x的取值范围． 【题型一：图形问题——求最大面积或最大周长】 例1．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）一段长为的墙前有一块矩形空地，用长的篱笆围成如图所示的图形（靠墙的一边不用篱笆，篱笆的厚度忽略不计），其中四边形和四边形是矩形，四边形是边长为的正方形，设． (1)若矩形的面积为，求的长； (2)当的长为多少时，矩形的面积最大，最大面积是多少？ 变式1．用72米木料制作成一个如图所示的“目”形长方形大窗框（横档，也用木料）．其中，要使窗框的面积最大，则的长为 ，此时窗框的面积为 ．    【技巧方法与总结】①根据条件确定二次函数关系式；②将二次函数关系式化为顶点式；③利用二次函数的最值求值 【题型二：图形上的动点运动问题】 例2．（21-22九年级上·安徽芜湖·期末）如图，矩形的两边长，，点、分别从A、B同时出发，在边上沿方向以每秒的速度匀速运动，在边上沿方向以每秒的速度匀速运动．当到达点时，、停止运动．设运动时间为秒，的面积为 (1)求关于的函数关系式，并写出的取值范围； (2)求的面积的最大值． 变式2．如图，在四边形中，,，点P以的速度由运动，到达点D停止；同时点Q以的速度由运动，到达点C停止．设的面积为y，运动时间为xs． （1）请写出y与x之间函数关系式并画出图像； （2）当时，求运动时间． 【方法技巧与总结】 ①确定二次函数的函数的关系式（关键是：找到三角形的边与高，用未知数表示）；②注意分情况讨论 【题型三：拱桥&隧道问题】 例3．如图，某一抛物线型隧道在墙体处建造，现以地面和墙体分别为x轴和y轴建立平面直角坐标系，已知，且抛物线经过．请根据以上信息，解决下列问题： (1)求此抛物线的函数表达式； (2)有一辆宽，高的货车想要通过隧道，请问该货车能否正常通过？请说明理由； (3)现准备在抛物线上一点E处，安装一直角形钢拱架支护材料对隧道进行维修（点F，G分别在x轴，y轴上，且轴，轴），现有钢拱架支护材料是否够用？请说明理由． 变式3．（2024·陕西西安·二模）如图，某一抛物线型隧道在墙体处建造，现以地面和墙体分别为轴和轴建立平面直角坐标系．已知米，且抛物线经过点请根据以上信息，解决下列问题． (1)求此抛物线的函数表达式； (2)现准备在抛物线上的点处，安装一个直角形钢拱架对隧道进行维修（点，分别在轴，轴上，且，轴，轴），已知钢拱架的长为米，求点的坐标． 【技巧方法与总结】（1）待定系数法求出抛物线的解析式．（2）构造一元二次方程解题：①设动点的横坐标，利用已知解析式表示纵坐标；②表示线段长和线段间的等量关系——建立方程； 【题型四：投球问题】 例4．（2024·贵州黔东南·一模）小明和小亮在做传球训练，某同学借做此情境编了一道数学题． 在如图的平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m，小明从点处将球传出，其运动路线为抛物线的一部分，小亮在处接住球，然后跳起将球传出，球的运动路线是抛物线的一部分． (1)求抛物线的函数表达式； (2)设抛物线的顶点为点，在轴上找一点，求使的值最大的点的坐标； (3)若小明在轴上方2m的高度上，且到点水平距离不超过1m的范围内可以接到球，求符合条件的的整数值． 变式4-1． 如图，已知排球场的长度为18米，位于球场中线处球网的高度为2．24米，一队员站在点处发球，排球从点的正上方1．8米的点向正前方飞出，当排球运行至离点的水平距离为6米时，到达最高点．建立如图所示的平面直角坐标系． (1)当球上升的最大高度为3．3米时，对方距球网0．3米的点处有一队员，他起跳后能拦截的最大高度为2．9米，这次他是否可以拦网成功？请通过计算说明． (2)若该队员发球既要过球网，又不出边界，求排球飞行的最大高度的取值范围．（排球压线属于没出界） 变式4-2． （2024·辽宁鞍山·一模）乒乓球被誉为中国国球．2023年的世界乒乓球锦标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．图2是图1所示乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度（距离球台的高度）为的点A处，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分． 乒乓球到球台的竖直高度记为y（单位：），乒乓球运行的水平距离记为x（单位：）．测得如下数据： 水平距离 0 10 50 90 130 170 230 竖直高度 33 45 49 45 33 0 (1)如图3，在平面直角坐标系中，描出表格中各组数值所对应的点，并画出表示乒乓球运行轨迹形状的大致图象． (2)①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是______，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是______． ②求满足条件的抛物线的表达式． (3)技术分析：如果只上下调整击球高度，乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出的取值范围，以利于有针对性的训练，如图2，乒乓球台长为，球网高为．现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球高度的值约为．请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值（乒乓球大小忽略不计）． 【方法技巧与总结】①待定系数法确定函数关系式；②求范围的问题：利用临界点法求出自变量的值，再根据题意确定范围． 【题型五：喷水问题】 例5．（23-24九年级上·广东汕头·期中）“水幕电影”的工作原理是把影像打在抛物线状的水幕上，通过光学原理折射出图象．水幕是由若干个水嘴喷出的水柱组成的(如图)，水柱的最高点为 ，，，水嘴高 ．    (1)以 为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式； (2)求水柱落点与水嘴底部的距离 ． 变式5．某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，喷水池中心为原点建立直角坐标系． (1)求水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式； (2)主师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1．8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？ (3)经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池直径扩大到24米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度． 【方法技巧与总结】喷泉问题：喷泉的纵截面是轴对称的，根据轴对称性质可得水柱所在抛物线（第二象限部分）的顶点 【题型六：销售问题——最大利润】 例6．（2024·山东德州·一模）红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．小明在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用6240元购进甲灯笼与用8400 元购进乙灯笼的数量相同，已知乙灯笼每对进价比甲灯笼每对进价多9元． (1)求甲、乙两种灯笼每对的进价； (2)经市场调查发现，乙灯笼每对售价50元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2对．销售部门规定其销售单价不高于每对65元，设乙灯笼每对涨价为x元，小明一天通过乙灯笼获得利润y元． ①求出y与x之间的函数解析式； ②乙种灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？ 变式6．（2024·广东深圳·一模）飞盘运动是一种老少皆宜的健身项目，只要有一片空旷的场地就能让我们开心地锻炼．某商家销售某品牌的橡胶飞盘，成本价为每个16元，销售中平均每天销售量y（个）与销售单价x（元）的关系可以近似地看作一次函数，如表所示： x 18 20 22 24 y 70 60 50 40 (1)求出y与x之间的函数关系式； (2)设该商家每天销售该品牌的橡胶飞盘的利润为w（元），求w与x之间的函数关系式，当x取何值时，w的值达到最大? 最大值是多少? 【方法总结】根据利润、销量、进价、售价之间的关系可得总利润与单价（数量）之间的二次函数关系式，化为顶点式可得最值． 【题型七：增长率问题】 例7．（22-23八年级下·安徽马鞍山·期末）2022年第一季度我省总值约为10000亿元，第三季度的总值约为11025亿元． (1)假定第二季度、第三季度我省总值的增长率相同，求这个增长率； (2)若保持这样的增长率不变，估计到2023年第一季度，我省的总值能否突破12000亿元？并说明理由． 变式7．（23-24九年级上·宁夏银川·期末）某商城在2024年元旦节期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个14元，标价为每个20元． (1)商城举行了“感恩老客户”活动，对于老客户，商城连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个16．2元的价格售出，求商城每次降价的百分率； (2)市场调研表明：当每个售价20元时，平均每天能够售出40个，当每个售价每降1元时，平均每天就能多售出10个，在保证每个商品的售价不低于进价的前提下，商城要想获得最大利润，每个商品的定价应为多少元？最大利润是多少？ 1．如图，若用长的铁丝借助墙围成一个斜边为的直角三角形，则所围成的的最大面积为（　　） A． B． C． D． 2．某种药品售价为每盒300元，经过医保局连续两次“灵魂砍价”，药品企业同意降价若干进入国家医保用药目录．如果每次降价的百分率都是x，则两次降价后的价格y（元）与每次降价的百分率x之间的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·浙江温州·期末）某农场要建矩形的饲养室，如图所示，一面靠着现有足够长的墙，其他三面用材料建设围墙，在中间再建一道墙隔开，并在两处各留宽的门，已知计划中的材料可建墙体总长为（不包括门），则能建成的饲养室最大总占地面积为（    ） A． B． C． D． 4．用80米木料制作成一个如图所示的“目”形长方形大窗框（横档，也用木料）．其中，要使窗框的面积最大，则的长为（　　）    A．8米 B．9米 C．10米 D．米 5．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）用总长为米的材料做成如图1的矩形窗框，设窗框的宽为米，窗框的面积为米，关于的函数图象如图2，则的值是（　　） A．6 B．7 C．8 D．不能确定 二、解答题 6．某公司月份的营收为万元，设每个月营收的增长率相同，且为 ，月份的营收为万元，写出关于的函数解析式． 7．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）《劳动教育》成为一门独立的课程，某校率先行动，在校园内开辟了一块劳动教育基地．八年级数学兴趣小组在课余时间里，利用一面学校的墙（墙的最大可用长度为22米），现用长为34米的篱笆（篱笆正好要全部用完，且不考虑接头的部分），围成中间隔有一道篱笆的长方形菜地，在菜地的前端各设计了两个宽1米的小门，供同学们进行劳动实践．设垂直于墙的篱笆边长为米． (1)求当为何值时，围成的菜地面积为81平方米； (2)要想围成菜地面积为120平方米，可能吗？请计算说明理由； (3)围成菜地的最大面积为 平方米． 8．（2023·山东菏泽·三模）在“乡村振兴”行动中，某村办企业以A、B两种农作物为原料开发了一种有机产品．A原料的单价是B原料单价的1．5倍，若用900元收购A原料会比用900元收购B原料少．生产该产品每盒需要A原料和B原料，每盒还需其他成本9元．市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒；每涨价1元，每天少销售10盒． (1)求每盒产品的成本（成本原料费其他成本）； (2)设每盒产品的售价是x元（x是整数），每天的利润是w元，求w关于x的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）； (3)求每盒产品的售价为多少元时，每天的利润最大． 9．（2023·四川攀枝花·二模）掷实心球是江西省初中学业水平测试体育考试的选考项目．如图1是一名女生投掷实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（）与水平距离x（）之间的函数关系如图2所示，抛出时起点处高度为，当水平距离为3时，实心球行进至最高点3处．    (1)求y关于x的函数表达式： (2)根据江西省初中学业水平测试体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于7．80，此项考试得分为满分17．5分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由． 10．如图是某公园一喷水池，在水池中央有一垂直于地面的喷水柱，喷水时，水流在各方向沿形状相同的抛物线落下．若水流喷出的高度（m）与水平距离（m）之间的函数关系式为．    (1)求喷出的水流离地面的最大高度； (2)求喷嘴离地面的高度； (3)若把喷水池改成圆形，那么水池半径至少为多少时，才能使喷出的水流不落在水池外？ 11．（23-24九年级上·宁夏银川·期末）某商城在2024年元旦节期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个14元，标价为每个20元． (1)商城举行了“感恩老客户”活动，对于老客户，商城连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个16．2元的价格售出，求商城每次降价的百分率； (2)市场调研表明：当每个售价20元时，平均每天能够售出40个，当每个售价每降1元时，平均每天就能多售出10个，在保证每个商品的售价不低于进价的前提下，商城要想获得最大利润，每个商品的定价应为多少元？最大利润是多少？ 12．（2023·安徽合肥·一模）如图是某隧道截面示意图，它是由抛物线和长方形构成，已知米，米，抛物线顶点到地面的垂直距离为10米，以所在直线为轴，以所在直线为轴建立直角坐标系， (1)求抛物线的解析式； (2)一辆特殊货运汽车载着一个长方体集装箱，集装箱宽为4米，最高处与地面距离为6米，隧道内设双向行车道，双向行车道间隔距离为2米，交通部门规定，车载货物顶部距离隧道壁的竖直距离不少于米，才能安全通行，问这辆特殊货车能否安全通过隧道？ 13．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形和抛物线构成，其中，，取中点，过点作线段的垂直平分线交抛物线于点，若以点为原点，所在直线为轴，为轴建立如图所示平面直角坐标系，抛物线的顶点．请回答下列问题：    (1)求抛物线的解析式； (2)如图，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置，，若，求两个正方形装置的间距的长．    1．（2024·陕西西安·一模）陕北窑洞，具有十分浓厚的民俗风情和土气息． 如图所示，某窑洞口的下部近似为矩形 ，上部近似为一条抛物线． 已知 米，米，窑洞的最高点 (抛物线的顶点)高地面 的距离为 米． (1)建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的表达式； (2)若在窑洞口的上部要安装一个正方形窗户，使得点 在矩形 的边上，点 在抛物线上，那么这个正方形窗户 的边长为多少米？ 2．（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）为贯彻落实国家关于全面推进城镇老旧小区改造提升和城市更新工作，以人民为中心，努力提高保障和改善民生水平，切实解决老旧小区的配套设施，提升居民的幸福指数．合肥某小区计划在的中央广场种植景观树和花卉． 市场调查发现：花卉的种植费用y（元/）与花卉的种植面积x（）之间的函数关系如图所示，景观树的种植费用为15元/． (1)求y与x之间的函数表达式． (2)花卉的种植面积不少于，且景观树的种植面积不得少于花卉的2倍，当x为何值时，种植的总费用w（元）最少？最少是多少元？ （2023·安徽·模拟预测）如图，为等腰直角三角形，，正方形的边长为1，且与在同一条直线上，从点与点重合开始，沿直线向右平移，直至点与点完全重合时停止．设的长为与正方形重合部分（图中阴影部分）的面积为，则与之间的函数图像大致是（    ） A．B．C．D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$