2.2 基本不等式（6大题型）-2024-2025学年高一数学同步题型分类归纳讲与练（人教A版2019必修第一册）

2.2 基本不等式 知识点1 基本不等式 1、重要不等式 （1）公式：对于任意的实数，有，当且仅当时，等号成立． 【说明】，当且仅当时，等号成立． （2）常见变形：、、． 2、基本不等式 （1）公式：如果，，那么，当且仅当时，等号成立． 【说明】叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数． 因此基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． （2）常见变形：； （3）常用结论： ①（同号），当且仅当时取等号； （异号），当且仅当时取等号． ②（），当且仅当时取等号； （），当且仅当时取等号； 知识点2 最值定理 1、最值定理：已知都是正数， （1）若x＋y＝s(和s为定值)，则当x=y时，积xy有最大值，且这个值为． （2）若xy＝p(积p为定值)，则当x=y时，和x＋y有最小值，且这个值为2． 最值定理简记为：积定和最小，和定积最大． 2、在用基本不等式求函数的最值时，要满足三个条件：一正二定三取等． ①一正：各项均为正数； ②二定：含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③三相等：含变数的各项均相等，取得最值． 知识点3 基本不等式的变式与拓展 1、基本不等式链 或． 当且仅当时等号成立． 其中，为的调和平均值，为的平方平均值 2、基本不等式的拓展 （1）三元基本不等式：（均为正实数），当且仅当时等号成立． （2）元基本不等式：（均为正实数），当且仅当时等号成立． 1、利用基本不等式证明不等式 （1）解题思路：从已知不等式和条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需要证明的问题． （2）基本方法：利用基本不等式证明不等式时，首先要观察题中要证明的不等式的形式，若不能直接使用基本不等式，则考虑利用拆项、配凑等方法对不等式进行变形，使之达到能使用基本不等式的目的；若题目中还有已知条件，则首先观察已知条件和所证不等式之间的联系，当已知条件中含有“1”时，要注意“1”的代换．另外，解题中要时刻注意等号能否取到． 2、基本不等式在实际中的应用 （1）利用基本不等式解决实际问题时，应先仔细阅读题目信息，理解题意，明确其中的数量关系，并引入变量，依题意列出相应的函数关系式，然后用基本不等式求解． （2）在求所列函数的最值时，若用基本不等式，等号取不到，则可利用函数图象求解． 3、与基本不等式有关的恒成立问题 不等式恒成立问题的实质是已知不等式的解集求不等式中参数的取值范围，在满足条件的情况下可以把参数分离出来．常见求解策略是将不等式恒成立问题转化为最值问题，即恒成立；恒成立．但要注意函数中自变量的取值范围，性质很难研究，就不要使用分离参数法． 题型一 基本不等式理解与辨析 【例1】（21-22高一上·河南·月考）不等式中，等号成立的条件是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列不等式中等号可以取到的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24高一上·河南·月考）下列说法正确的是（    ） A．最小值为2 B．最大值为2 C．最小值为2 D．最大值为2 【变式1-3】（23-24高一上·湖南郴州·月考）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（       ） A． B． C． D． 题型二 利用基本不等式比较大小 【例2】（23-24高一上·四川广元·月考）已知a>1，b>1，记M＝，N＝，则M与N的大小关系为（    ） A．M>N B．M＝N C．M<N D．不确定 【变式2-1】（23-24高一上·江苏淮安·期中）已知实数a，b，c满足，，且，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知a、b为正实数，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24高二上·辽宁朝阳·月考）设，且， 则它们的大小关系是 A． B． C． D． 题型三 利用基本不等式求最值 【例3】（23-24高一下·湖南衡阳·期末）函数的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【变式3-1】（23-24高一下·江苏盐城·期末）若，，，则的最小值为 . 【变式3-2】（23-24高一下·河南·开学考试）（多选）已知，是两个正实数，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D．当时， 【变式3-3】（23-24高一上·江苏无锡·月考）已知正实数满足． (1)求的最小值及此时的值； (2)求的最大值及此时的值； (3)求的最小值及此时的值． 题型四 利用基本不等式证明不等式 【例4】（23-24高一上·安徽宿州·期中改编）已知，，均为正实数.求证：. 【变式4-1】已知正数，，满足，证明： (1)． (2)． 【变式4-2】（23-24高一上·辽宁大连·月考改编）已知，，都是正实数，求证： 【变式4-3】（23-24高一上·江苏苏州·月考改编）已知为正数，且满足.证明：. 题型五 基本不等式恒成立问题 【例5】（23-24高一上·陕西延安·月考）当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（23-24高一下·河南郑州·月考）若命题“任意正数x，y，不等式恒成立”是真命题，则正实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（23-24高一上·内蒙古赤峰·月考）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是 . 【变式5-3】（23-24高一上·新疆·月考）已知，若恒成立，则m的最大值为 题型六 基本不等式在实际中的应用 【例6】（23-24高一上·云南昆明·期末）如图，为满足居民健身需求，某小区计划在一块直角三角形空地中建一个内接矩形健身广场（阴影部分），则健身广场的最大面积为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（23-24高一上·福建福州·期中）将一根铁丝切割成三段，做成一个面积为、形状为直角三角形的工艺品框架，在下列4种长度的铁丝中，选用最合适（够用且浪费最少）的是（    ）（注：） A． B． C． D． 【变式6-2】（23-24高一上·天津北辰·期中）某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为48 m2，房屋正面每平方米造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元．如果墙高为3 m，且不计房屋背面和地面的费用，那么房屋的总造价最低为 元． 【变式6-3】（23-24高一上·河南开封·期末）如图，一份印刷品的排版（阴影部分）为矩形，面积为 32，它的左、右两边都留有宽为2的空白，上、下两边都留有宽为 1的空白.记纸张的面积为 S，排版矩形的长和宽分别为x，y. (1)用x，y 表示 S; (2)如何选择纸张的尺寸，才能使纸张的面积最小? 并求最小面积. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2 基本不等式 知识点1 基本不等式 1、重要不等式 （1）公式：对于任意的实数，有，当且仅当时，等号成立． 【说明】，当且仅当时，等号成立． （2）常见变形：、、． 2、基本不等式 （1）公式：如果，，那么，当且仅当时，等号成立． 【说明】叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数． 因此基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． （2）常见变形：； （3）常用结论： ①（同号），当且仅当时取等号； （异号），当且仅当时取等号． ②（），当且仅当时取等号； （），当且仅当时取等号； 知识点2 最值定理 1、最值定理：已知都是正数， （1）若x＋y＝s(和s为定值)，则当x=y时，积xy有最大值，且这个值为． （2）若xy＝p(积p为定值)，则当x=y时，和x＋y有最小值，且这个值为2． 最值定理简记为：积定和最小，和定积最大． 2、在用基本不等式求函数的最值时，要满足三个条件：一正二定三取等． ①一正：各项均为正数； ②二定：含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③三相等：含变数的各项均相等，取得最值． 知识点3 基本不等式的变式与拓展 1、基本不等式链 或． 当且仅当时等号成立． 其中，为的调和平均值，为的平方平均值 2、基本不等式的拓展 （1）三元基本不等式：（均为正实数），当且仅当时等号成立． （2）元基本不等式：（均为正实数），当且仅当时等号成立． 1、利用基本不等式证明不等式 （1）解题思路：从已知不等式和条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需要证明的问题． （2）基本方法：利用基本不等式证明不等式时，首先要观察题中要证明的不等式的形式，若不能直接使用基本不等式，则考虑利用拆项、配凑等方法对不等式进行变形，使之达到能使用基本不等式的目的；若题目中还有已知条件，则首先观察已知条件和所证不等式之间的联系，当已知条件中含有“1”时，要注意“1”的代换．另外，解题中要时刻注意等号能否取到． 2、基本不等式在实际中的应用 （1）利用基本不等式解决实际问题时，应先仔细阅读题目信息，理解题意，明确其中的数量关系，并引入变量，依题意列出相应的函数关系式，然后用基本不等式求解． （2）在求所列函数的最值时，若用基本不等式，等号取不到，则可利用函数图象求解． 3、与基本不等式有关的恒成立问题 不等式恒成立问题的实质是已知不等式的解集求不等式中参数的取值范围，在满足条件的情况下可以把参数分离出来．常见求解策略是将不等式恒成立问题转化为最值问题，即恒成立；恒成立．但要注意函数中自变量的取值范围，性质很难研究，就不要使用分离参数法． 题型一 基本不等式理解与辨析 【例1】（21-22高一上·河南·月考）不等式中，等号成立的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由基本不等式可知， 当且仅当，即时等号成立，故选：. 【变式1-1】下列不等式中等号可以取到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，因为，所以， 当且仅当，即，故等号不成立，故A不符合； 对于B，因为，所以， 当且仅当，即，故等号不成立，故B不符合； 对于C，因为，所以， 当且仅当，即时取等号，故C符合； 对于D，因为，所以， 当且仅当，即，故等号不成立，故D不符合.故选：C. 【变式1-2】（23-24高一上·河南·月考）下列说法正确的是（    ） A．最小值为2 B．最大值为2 C．最小值为2 D．最大值为2 【答案】C 【解析】当时，，当且仅当即时，等号成立； 当时，， 当且仅当即时，等号成立；故选项AB错误； 任意，，当且仅当时， 即也即时，等号成立，所以最小值为2，故选项C正确； 当趋向于无穷大时，也趋向于无穷大， 所以无最大值，故D错误.故选：C. 【变式1-3】（23-24高一上·湖南郴州·月考）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，可得圆的半径为， 又由， 在中，可得， 因为，所以，当且仅当时取等号．故选：D. 题型二 利用基本不等式比较大小 【例2】（23-24高一上·四川广元·月考）已知a>1，b>1，记M＝，N＝，则M与N的大小关系为（    ） A．M>N B．M＝N C．M<N D．不确定 【答案】A 【解析】因为， 所以，当且仅当取等号， 而，故选：A． 【变式2-1】（23-24高一上·江苏淮安·期中）已知实数a，b，c满足，，且，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，由基本不等式得，故， 因为，， 两式相减得，， 故，所以，故， 所以.故选：B 【变式2-2】已知a、b为正实数，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为a、b为正实数， 所以，当且仅当时，等号成立， ，所以，当且仅当时，等号成立， 综上：.故选：B 【变式2-3】（23-24高二上·辽宁朝阳·月考）设，且， 则它们的大小关系是 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】Q为调和不等式，M为几何不等式，N为算术平方数，R为平方平均数， 由均值不等式性质可知四种平均数满足调和不等式≤几何不等式≤算术平方数≤平方平均数 ∴Q＜M＜N＜R ∵≥，∴P＜Q，故选A． 题型三 利用基本不等式求最值 【例3】（23-24高一下·湖南衡阳·期末）函数的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【解析】由，则， 则， 当且仅当时，即时取等号，故选：C 【变式3-1】（23-24高一下·江苏盐城·期末）若，，，则的最小值为 . 【答案】 【解析】因为，，， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 【变式3-2】（23-24高一下·河南·开学考试）（多选）已知，是两个正实数，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D．当时， 【答案】BD 【解析】对于A，，当且仅当时取等号，故A错误； 对于B，当，时，，当且仅当时取等号，故B正确； 对于C，取，得，故C错误； 对于D，当时，， 当且仅当，即，时取等号，故D正确．故选：BD． 【变式3-3】（23-24高一上·江苏无锡·月考）已知正实数满足． (1)求的最小值及此时的值； (2)求的最大值及此时的值； (3)求的最小值及此时的值． 【答案】(1)，此时 (2)的最大值是，此时 (3)的最小值是3，此时 【解析】（1）由基本不等式有， 所以，等号成立当且仅当满足题意； （2）由基本不等式推论有，等号成立当且仅当， 所以的最大值是； （3）一方面，另一方面，所以， 从而，等号成立当且仅当， 所以的最小值是3. 题型四 利用基本不等式证明不等式 【例4】（23-24高一上·安徽宿州·期中改编）已知，，均为正实数.求证：. 【答案】证明见解析 【解析】证明：， ∴，，，∴，，， ∴，当且仅当“”时等号成立. 【变式4-1】已知正数，，满足，证明： (1)． (2)． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】（1）由，得， 当且仅当时，取得等号． （2）由基本不等式可知，，，， 所以 ， 当且仅当时，取得等号． 【变式4-2】（23-24高一上·辽宁大连·月考改编）已知，，都是正实数，求证： 【答案】证明见解析. 【解析】因为，，都是正实数， 所以，当且仅当，即时等号成立， ，当且仅当，即时等号成立， ，当且仅当，即时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立， 即. 【变式4-3】（23-24高一上·江苏苏州·月考改编）已知为正数，且满足.证明：. 【答案】证明见解析 【解析】  ，  ， ， ， 当且仅当时，等号成产， ，即. 题型五 基本不等式恒成立问题 【例5】（23-24高一上·陕西延安·月考）当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，，故， 当且仅当，即时等号成立， 所以不等式恒成立，故，故，故选：D 【变式5-1】（23-24高一下·河南郑州·月考）若命题“任意正数x，y，不等式恒成立”是真命题，则正实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 当且仅当时等号成立， 所以，即，解得（舍）或， 所以.故选：C. 【变式5-2】（23-24高一上·内蒙古赤峰·月考）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为， 当且仅当，即时，等号成立，所以, 所以实数的取值范围是：. 故答案为： 【变式5-3】（23-24高一上·新疆·月考）已知，若恒成立，则m的最大值为 【答案】9 【解析】由，知，，， 由，得， 又， ， 当且仅当，即时，取得最小值9， ，的最大值为9． 故答案为：9. 题型六 基本不等式在实际中的应用 【例6】（23-24高一上·云南昆明·期末）如图，为满足居民健身需求，某小区计划在一块直角三角形空地中建一个内接矩形健身广场（阴影部分），则健身广场的最大面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设矩形广场的长为，宽为，且，， 由三角形相似性质得，化简得， 而，当且仅当时取等，故， 故健身广场的最大面积为.故选：C 【变式6-1】（23-24高一上·福建福州·期中）将一根铁丝切割成三段，做成一个面积为、形状为直角三角形的工艺品框架，在下列4种长度的铁丝中，选用最合适（够用且浪费最少）的是（    ）（注：） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，设直角三角形的两条直角边为， 则，则， 此时三角形框架的周长， 当且仅当时，等号成立， 由于，所以.故选：C. 【变式6-2】（23-24高一上·天津北辰·期中）某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为48 m2，房屋正面每平方米造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元．如果墙高为3 m，且不计房屋背面和地面的费用，那么房屋的总造价最低为 元． 【答案】 【解析】设房屋底面一边长为m，则另一边长为m， 所以房屋的总造价为， 因为，所以， 当且仅当即时等号成立. 故答案为：. 【变式6-3】（23-24高一上·河南开封·期末）如图，一份印刷品的排版（阴影部分）为矩形，面积为 32，它的左、右两边都留有宽为2的空白，上、下两边都留有宽为 1的空白.记纸张的面积为 S，排版矩形的长和宽分别为x，y. (1)用x，y 表示 S; (2)如何选择纸张的尺寸，才能使纸张的面积最小? 并求最小面积. 【答案】(1)； (2)纸张的长和宽分别为12，6时，纸张的面积最小，最小面积为72. 【解析】（1）由题意，，. （2）， 当且仅当，即时等号成立， 所以纸张的长和宽分别为12，6时，纸张的面积最小，最小面积为72. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$