第一章 特殊平行四边形（A卷·提升卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（四川成都专用，北师大版）

第一章 特殊平行四边形（A卷·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．矩形不一定具有的性质是（    ） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．对角相等 2．在下列定理中，逆命题错误的是（    ） A．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 B．等腰三角形的底角相等 C．线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点距离相等 D．全等三角形的面积相等 3．如图，菱形对角线AC、BD相交于点O，点E的CD的中点，且OE=4，则菱形ABCD的周长为（     ） A．32 B．20 C．16 D．12 4．如图，菱形的对角线交于点O，点M为的中点，连接，若，，则的长为（    ） A．4 B．3 C． D． 5．正方形，，，…按如图所示方式放置，点，，，…和，，，…分别在直线和x轴上，则点的纵坐标是（    ）    A． B． C． D． 6．如图，在中，，，平分交边于点D，E是的中点，若，则的长为（    ）    A． B． C．2 D．3 7．如图，四边形为平行四边形，延长到E，使，连接，添加一个条件，不能使四边形成为矩形的是（）    A． B． C． D． 8．如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点．若，．则四边形ABOM的周长为（    ） A．16 B．18 C．20 D．24 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9．在中，，，，是边上的中线，则的长为 ． 10．如图，在中，是斜边上的中线，若，则的长是 ．    11．已知：在四边形中，，相交于点，且点是的中点，，过点作，垂足为点，与交于点，，若，的面积为，则四边形的面积为 ．    12．如图，有一块边长为2的正方形塑料模板ABCD，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在A点，两条直角边分别与CD交于点F，与CB延长线交于点E，则四边形AECF的面积是 ． 13．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，以点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，BC于点E、F，分别以点E、F为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点G，连接CG，并延长交DB于M点，若，则线段 ． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14．如图，矩形中，对角线，相交于O，E，F分别是，的中点．若，求的长． 15．如图，某型号千斤顶的工作原理是利用四边形的不稳定性，图中的菱形是该型号千斤顶的示意图，保持菱形边长不变，可通过改变的长来调节的长．已知，的初始长为，如果要使的长达到，那么的长需要缩短多少． 16．如图，在四边形中，，，，，动点从点出发，以的速度向终点运动，同时动点从点出发，以的速度向终点运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒．    (1)当四边形是平行四边形时，求的值． (2)当____________时，四边形是矩形． (3)若，且点的运动速度不变，要使四边形能够成为正方形，则点的运动速度是____________． (4)在点，运动过程中，四边形能否成为菱形，若能，请求出值；若不能，请说明理由． 17．综合与实践 已知正方形纸片． 第一步：如图1，将正方形纸片沿、分别折叠，然后展开后得到折痕、，折痕相交于点． 第二步：如图2，将正方形纸片折叠，使点的对应点恰好落在上，得到折痕，与相交于点，然后展开，连接、． 问题解决： (1)的度数是________． (2)已知的边长是4，求的长， 18．问题探究： （1）请你在图①中作一条直线，使它将矩形分成面积相等的两部分： （2）如图②，M是正方形内一定点，请在图②中作出两条直线（要求其中一条直线必须过点M），使它们将正方形的面积四等分，并说明理由． 问题解决： （3）如图③，在平面直角坐标系中，直角梯形是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图，其中，开发区综合服务管理委员会（其占地面积不计）设在点处．为了方便驻区单位准备过点P修一条笔直的道路（路宽不计），并且使这条路所在的直线l将直角梯形分成面积相等的两部分，你认为直线l是否存在？若存在，求出直线l的表达式；若不存在，请说明理由． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小題，每小題4分，共20分，答案写在答题卡上） 19．如图，把边长为的正方形纸片分割成如图的三块，其中点为正方形的中心，为的中点，用这三块纸片拼成与该正方形不全等且面积相等的四边形（要求这三块纸片不重叠无缝隙），若四边形为矩形，则四边形的周长是 ． 20．如图，是菱形的边的中点，P是菱形的对角线上的动点，若，则的最小值是 ． 21．如图，点E在正方形ABCD的边CD上，将△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，连接EF，过点A作EF的垂线，垂足为点H，与BC交于点G．若BG＝5，CG＝3，则CE的长为 ． 22．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，以点B为圆心、BC的长为半径画弧交AD于点E，再分别以点C，E为圆心、大于CE的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线BF交CD于点G，则CG的长为 ． 23．如图，在菱形中，，折叠该菱形，使点A落在边上的点M处，折痕分别与边交于点E、F，当点M与点B重合时，的长为 ；当点M的位置变化时，长的最大值为 ． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24．消防云梯的作用主要是用于高层建筑火灾等救援任务，消防云梯的使用可以大幅提高消防救援的效率，缩短救援时间，减少救援难度和风险．如图，已知云梯最多只能伸长到 （即），消防车车身高 （即点A到地面的距离为），救人时云梯伸长至最长，在完成从 （即）高的B处救人后，还要到点B的正上方（即）高的D处救人，这时消防车需要从A处向着火的楼房靠近的水平距离为多少米？（提示∶延长交于点O，则）． 25．阅读理解：亲爱的同学们，在以后的学习中我们会学习一个定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．即：如图1：在中，，若点是斜边的中点，则． (1)牛刀小试：在图1中，若，，其他条件不变，则　　； (2)活学活用：如图2，已知，点、分别为、的中点，，．求的长； (3)问题解决：为了提高全民健身环境，公园管理部门想要建一个形状如图3中的四边形，其中，，，千米，要在公园的、之间铺设一条笔直的塑胶跑道，若跑道铺设成本每米200元，当最大时，请问管理部门预算160万元够用吗？ 26．在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，且，． (1)如图1，点为线段上一点，若，求点的坐标； (2)如图2，点在线段上，是直线上的两个动点且，是轴上任意一点，连接，求的最小值； (3)在（2）的条件下，当取最小值时，为直线上一动点，是平面内任意一点，当四点构成的四边形是以为边的菱形时，请直接写出点的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 特殊平行四边形（A卷·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．矩形不一定具有的性质是（    ） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．对角相等 【答案】B 【分析】根据矩形的性质逐一判断即可． 【详解】解：矩形具有的性质为对角线互相平分，对角线相等，对角相等，矩形不一定具有的性质为对角线互相垂直， 故选B． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，熟知矩形的性质是解题的关键． 2．在下列定理中，逆命题错误的是（    ） A．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 B．等腰三角形的底角相等 C．线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点距离相等 D．全等三角形的面积相等 【答案】D 【分析】本题考查判断逆命题的真假．先写出逆命题，再判断真假即可．将一个命题的题设和结论互换，得到的命题为原命题的逆命题． 【详解】解：A、逆命题为：三角形一边上的中线等于这条边长度的一半的三角形为直角三角形，为真命题，不符合题意； B、逆命题为：两角相等的三角形为等腰三角形，为真命题，不符合题意； C、逆命题为：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，为真命题，不符合题意； D、逆命题为：面积相等的两个三角形是全等三角形，为假命题，符合题意， 故选：D． 3．如图，菱形对角线AC、BD相交于点O，点E的CD的中点，且OE=4，则菱形ABCD的周长为（     ） A．32 B．20 C．16 D．12 【答案】A 【分析】由菱形的性质可得AB＝BC＝CD＝AD，BO＝DO，由三角形中位线定理可得BC＝2OE＝8，即可求菱形的周长． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形 ∴AB＝BC＝CD＝AD，BO＝DO， 又∵点E是CD的中点 ∴BC＝2OE＝8 ∴菱形ABCD的周长＝4×8＝32 故选A． 【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，熟练运用菱形的性质是本题的关键． 4．如图，菱形的对角线交于点O，点M为的中点，连接，若，，则的长为（    ） A．4 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查菱形的性质、勾股定理、中位线，熟练掌握菱形的性质和中位线的性质是解题的关键，利用菱形的性质：对角线相互垂直，中位线的性质：平行且等于底边的一半即可得到答案． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，，， ∴， ∵点M为的中点，点O为的中点， ∴． 故选：C． 5．正方形，，，…按如图所示方式放置，点，，，…和，，，…分别在直线和x轴上，则点的纵坐标是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线解析式先求出，进而证明、…都是等腰直角三角形，则可得的纵坐标是1，再求出的纵坐标是2，的纵坐标是，得出规律，即可得出结果． 【详解】解：设直线与x轴的交点为D， ∵直线与x轴，y轴的交点坐标为， ∴， ∴是等腰直角三角形， 又∵正方形，… ∴轴，轴，轴…， ∴， ∴、…都是等腰直角三角形， ∴ …， ∴点的纵坐标为，   点的纵坐标为， 点的纵坐标为， 点的纵坐标为， 点的纵坐标为， … 点的纵坐标为， 点的纵坐标为， 故选：C．    【点睛】本题主要考查了点的坐标规律探索，一次函数的性质，等腰直角三角形的性质与判定，明确题意，准确得到规律是解题的关键． 6．如图，在中，，，平分交边于点D，E是的中点，若，则的长为（    ）    A． B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】先证明，根据等角对等边得到，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分交边于点D， ∴， ∴， ∴， 在中，，E是的中点， ∴． 故选：C 【点睛】此题考查了直角三角形的性质、等角对等边等知识，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 7．如图，四边形为平行四边形，延长到E，使，连接，添加一个条件，不能使四边形成为矩形的是（）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定、菱形的判定等知识，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键． 先证四边形为平行四边形，再由矩形的判定和菱形的判定分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， A、∵时，， ∴， ∴平行四边形是矩形，故选项A不符合题意； B、∵， ∴时， ∴平行四边形是矩形，故选项B不符合题意； C、∵， ∴， ∴平行四边形是矩形，故选项C不符合题意； D、∵， ∴平行四边形是菱形，故选项D符合题意． 故选：D． 8．如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点．若，．则四边形ABOM的周长为（    ） A．16 B．18 C．20 D．24 【答案】C 【分析】由矩形的性质结合勾股定理可求出AC的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求得OB的长．再由三角形中位线的性质求得OM的长，继而求得四边形ABOM的周长． 【详解】解：∵矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12， ∴BC＝AD＝12，CD＝AB＝5，∠ABC＝90°，OA＝OC， ∴AC＝， ∴OB＝OA＝OC＝AC＝6.5． ∵M是AD的中点， ∴OM＝CD＝2.5，AM＝AD＝6， ∴四边形ABOM的周长为：AB＋OB＋OM＋AM＝5＋6.5＋2.5＋6＝20． 故选：C． 【点睛】此题考查了矩形的性质、三角形中位线的性质、勾股定理以及直角三角形斜边的中线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9．在中，，，，是边上的中线，则的长为 ． 【答案】// 【分析】本题主要考查勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，根据，即可求得答案． 【详解】如图所示，根据勾股定理可得 ． ∵是边上的中线， ∴． 故答案为： 10．如图，在中，是斜边上的中线，若，则的长是 ．    【答案】 【分析】先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半得到，再利用勾股定理求出答案即可． 【详解】解：∵在中，是斜边上的中线，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，熟知直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半是解题的关键． 11．已知：在四边形中，，相交于点，且点是的中点，，过点作，垂足为点，与交于点，，若，的面积为，则四边形的面积为 ．    【答案】 【分析】先根据题意求出，再利用三角形的面积求出，然后说明≌，即可得出，从而可求四边形的面积． 【详解】解：点是的中点，， ，， 的面积， ， ∴， ， ，， ，又，， ， 四边形的面积的面积的面积， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形的面积，斜边上的中线，全等三角形的判定和性质，熟练掌握中线的性质是解题关键． 12．如图，有一块边长为2的正方形塑料模板ABCD，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在A点，两条直角边分别与CD交于点F，与CB延长线交于点E，则四边形AECF的面积是 ． 【答案】4 【分析】由四边形为正方形可以得到，，又，而由此可以推出，，进一步得到，所以可以证明，所以，那么它们都加上四边形的面积，即四边形的面积正方形的面积，从而求出其面积． 【详解】解：四边形为正方形， ，， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 它们都加上四边形的面积， 可得到四边形的面积正方形的面积． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质、正方形的面积公式，正方形的性质，关键在于求证． 13．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，以点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，BC于点E、F，分别以点E、F为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点G，连接CG，并延长交DB于M点，若，则线段 ． 【答案】1 【分析】过点N作于点H，由四边形ABCD是正方形，得到是等腰直角三角形，继而求出，再根据角平分线的性质定理得出，再由外角的性质得到，最后由等角对等边得出BM的长度即可． 【详解】 如图，过点N作于点H 四边形ABCD是正方形 是等腰直角三角形 由作图可知，CM平分 ， 故答案为：1 【点睛】本题考查了角平分线的作图、角平分线的性质定理、正方形的性质、等腰直角三角形的性质、三角形外角的性质、等角对等边，能够综合应用上述知识是解题的关键． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14．如图，矩形中，对角线，相交于O，E，F分别是，的中点．若，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，中位线，根据矩形的性质得，根据点E、F分别是、的中点，是的中位线，即可得，即可得，掌握矩形的性质，中位线是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ， ∵点E、F分别是、的中点， 是的中位线， ， ， ． 15．如图，某型号千斤顶的工作原理是利用四边形的不稳定性，图中的菱形是该型号千斤顶的示意图，保持菱形边长不变，可通过改变的长来调节的长．已知，的初始长为，如果要使的长达到，那么的长需要缩短多少． 【答案】的长需要缩短 【分析】此题主要考查了菱形的性质，勾股定理，设与交于点O，于交于点，由菱形的性质得，，，在中由勾股定理可求出，则得出，在中由勾股定理可求出，则求出，然后再求出结果即可． 【详解】解：设与交于点O，于交于点，如下图所示：    依题意得：四边形，四边形均为菱形，且，， ， ， ， 在中，， ， ， ， 在中，，， 由勾股定理得：， ， ， 即的长需要缩短． 16．如图，在四边形中，，，，，动点从点出发，以的速度向终点运动，同时动点从点出发，以的速度向终点运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒．    (1)当四边形是平行四边形时，求的值． (2)当____________时，四边形是矩形． (3)若，且点的运动速度不变，要使四边形能够成为正方形，则点的运动速度是____________． (4)在点，运动过程中，四边形能否成为菱形，若能，请求出值；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) (4)不能，理由见解析 【分析】本题考查平行四边形，矩形，正方形，菱形的知识，解题的关键是掌握平行四边形，矩形，正方形，菱形的性质，根据动点的运动轨迹和运动速度，进行解答，即可． （1）根据题意，则，；根据四边形是平行四边形，则，即可； （2）根据矩形的性质，则，即可； （3）根据正方形的性质，则，设的运动速度为：，则，解出，即可； （4）根据菱形的性质，直角三角形的三边的关系，进行解答，即可． 【详解】（1）∵设运动时间为t秒，动点从点出发，以的速度向终点运动，同时动点从点出发，以的速度向终点运动， ∴，， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴． （2）由（1）得，； ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴ ∴ ∴． （3）∵四边形是正方形， ∴， 设的运动速度为： ∴， 解得：， ∴当点是运动速度为时，四边形是正方形． （4）四边形不能成为菱形，理由如下： 连接，，， ∵四边形中，，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴，， 假设四边形是菱形， ∴， 在中，， ∴是直角三角形的斜边，且直角边大于斜边，即， ∴假设不成立， ∴四边形不能成为菱形．    17．综合与实践 已知正方形纸片． 第一步：如图1，将正方形纸片沿、分别折叠，然后展开后得到折痕、，折痕相交于点． 第二步：如图2，将正方形纸片折叠，使点的对应点恰好落在上，得到折痕，与相交于点，然后展开，连接、． 问题解决： (1)的度数是________． (2)已知的边长是4，求的长， 【答案】(1)； (2)的长为 【分析】（1）由正方形的性质得：，由折叠的性质得，在中，根据三角形的内角和即可得答案； （2）由正方形和勾股定理求出得长，由折叠额性质得，，，，最后根据勾股定理计算可得答案． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ， 由折叠的性质得：， 在中，； （2）设， 在正方形中， ，， 由折叠知：，，，，， 在中，，即， 解得：， 的长为． 【点睛】本题考查了正方形得性质，三角形的内角和，图形的翻折，勾股定理的性质，解题的关键是熟练掌握翻折的性质． 18．问题探究： （1）请你在图①中作一条直线，使它将矩形分成面积相等的两部分： （2）如图②，M是正方形内一定点，请在图②中作出两条直线（要求其中一条直线必须过点M），使它们将正方形的面积四等分，并说明理由． 问题解决： （3）如图③，在平面直角坐标系中，直角梯形是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图，其中，开发区综合服务管理委员会（其占地面积不计）设在点处．为了方便驻区单位准备过点P修一条笔直的道路（路宽不计），并且使这条路所在的直线l将直角梯形分成面积相等的两部分，你认为直线l是否存在？若存在，求出直线l的表达式；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）作图见详解；（2）作图见详解，理由见详解；（3）存在，直线的解析式为，理由见详解 【分析】（1）根据矩形的性质即可求解； （2）根据正方形的性质即可求解； （3）根据问题探究的提示，可得直线，运用待定系数法求出直线的解析式，设直线的解析为，用含的式子表示的坐标，根据即可求解的值，由此即可求解． 【详解】解：（1）∵四边形是矩形， ∴，， ∴连接或连接即可将矩形分成面积相等的两部分，如图所示， ； （2）∵四边形是正方形， ∴如图所示，连接交于点，将正方形平分为四个面积相等的三角形， ∴连接并向两边延长交于点，将线段绕点逆时针旋转，交于点, ∴线段将正方形的面积四等分， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴，则， ∴， 同理，，， ∵， ∴，且， ∴，则， 同理，， ∴， 即， ∴直线将正方形的面积四等分； （3）存在直线，理由如下， 如图所示，过点作轴于点， ∵四边形是直角梯形，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴连接对角线交于点，连接并向两边延长，交于轴于点，交于点，交于点， ∴点是四边形的对称中心， 当将的面积平分时，则直线平分梯形的面积， ∴直线即为所求， 设直线的解析式为：，且， ∴，则， ∴直线的解析式为：， ∵，且四边形是矩形， ∴矩形是正方形，， ∴，则， 设直线的解析式为， ∴，则， ∴直线的解析式为：， ∵直线交于点， ∴联立方程组得，， 解得，， ∴点， ∵点的横坐标为，且在直线上， ∴， 解得，，即， ∴， 解得，， ∴， 解得，（负值舍去）， ∴， ∴直线的解析式为：． 【点睛】本题主要考查矩形，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，一次函数等知识的综合，掌握一次函数与几何图形的综合运用是解题的关键． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小題，每小題4分，共20分，答案写在答题卡上） 19．如图，把边长为的正方形纸片分割成如图的三块，其中点为正方形的中心，为的中点，用这三块纸片拼成与该正方形不全等且面积相等的四边形（要求这三块纸片不重叠无缝隙），若四边形为矩形，则四边形的周长是 ． 【答案】 【分析】根据四边形为矩形及为的中点即可得到，再利用正方形的性质得到即可解答． 【详解】解：如图所示， ∵四边形是正方形，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴四边形的周长是：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了图形的剪拼，全等图形，掌握图形的剪拼是解题的关键． 20．如图，是菱形的边的中点，P是菱形的对角线上的动点，若，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】首先利用菱形的性质和勾股定理求出菱形边长为5，再作点E关于的对称点，连接交于P，此时有最小值，最小值为 的长．然后证明四边形为平行四边形，求出即可． 【详解】解：∵， ∴ 作点E关于的对称点，连接交于P，此时有最小值，最小值为 的长． ∵菱形关于对称，是菱形的边的中点 ∴是AB的中点， ∴ ， ∴四边形是平行四边形， ∴，即的最小值为． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、轴对称等知识点，作点E关于的对称点，连接交于P，此时有最小值是解答本题的关键. 21．如图，点E在正方形ABCD的边CD上，将△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，连接EF，过点A作EF的垂线，垂足为点H，与BC交于点G．若BG＝5，CG＝3，则CE的长为 ． 【答案】 【分析】】根据AG垂直平分EF，求出EG=FG，设CE=x，则DE=8-x=BF，FG=EG=13-x根据勾股定理得CE2+CG2=EG2，进而求得CE. 【详解】解：如图所示，连接EG， 由旋转可知△ABF≌△ADE， ∴ DE=BF，AE=AF， ∵ AG⊥EF， ∴ H为EF的中点， ∴AG垂直平分EF， ∴ EG=FG， 设CE=x，则DE=8-x=BF，FG=EG=BF+BG=13-x， ∵∠C=90°， ∴CE2+CG2=EG2 即 x2+32=(13−x)2 解得 x=， ∴CE的长为， 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了正方形的性质以及旋转的性质，解决该题的关键是根据勾股定理列方程. 22．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，以点B为圆心、BC的长为半径画弧交AD于点E，再分别以点C，E为圆心、大于CE的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线BF交CD于点G，则CG的长为 ． 【答案】 【分析】根据作图过程可得BF是∠EBC的平分线，然后证明△EBG≌△CBG，再利用勾股定理即可求出CG的长． 【详解】解：如图，连接EG， 根据作图过程可知：BF是∠EBC的平分线， ∴∠EBG＝∠CBG， 在△EBG和△CBG中， ， ∴△EBG≌△CBG（SAS）， ∴GE＝GC，∠BEG=∠C=90°， 在Rt△ABE中，AB＝6，BE＝BC＝10， ∴AE＝＝8， ∴DE＝AD﹣AE＝10﹣8＝2， 在Rt△DGE中，DE＝2，DG＝DC﹣CG＝6﹣CG，EG＝CG， ∴EG2﹣DE2＝DG2 ∴CG2﹣22＝（6﹣CG）2， 解得CG＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，作图-基本作图，解决本题的关键是掌握矩形的性质． 23．如图，在菱形中，，折叠该菱形，使点A落在边上的点M处，折痕分别与边交于点E、F，当点M与点B重合时，的长为 ；当点M的位置变化时，长的最大值为 ． 【答案】 / 【分析】如图1中，求出等边的高即可．如图2中，连接交于点，过点作于点，交于点，过点作交的延长线于点，取的中点，连接．证明，求出的最小值，可得结论． 【详解】解：如图1中， 四边形是菱形， ，， ∴，都是等边三角形， 当点与重合时，是等边的高， ∴ ∴． 如图2中，连接交于点，过点作于点，交于点，过点作交的延长线于点，取的中点，连接． ，， ， ， 四边形是矩形， ∵ ∴ ∴ ， ，，， ， ， ， ， ，， ， 的最小值为， 的最大值为． 故答案为：，． 【点睛】本题考查菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24．消防云梯的作用主要是用于高层建筑火灾等救援任务，消防云梯的使用可以大幅提高消防救援的效率，缩短救援时间，减少救援难度和风险．如图，已知云梯最多只能伸长到 （即），消防车车身高 （即点A到地面的距离为），救人时云梯伸长至最长，在完成从 （即）高的B处救人后，还要到点B的正上方（即）高的D处救人，这时消防车需要从A处向着火的楼房靠近的水平距离为多少米？（提示∶延长交于点O，则）． 【答案】为 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出、的长是解题的关键，证明四边形是矩形，得，，再由勾股定理求出、的长，即可解决问题． 【详解】解：， 四边形是矩形， ，， 在中，，， ， 在中，，，， ， ， 答：为． 25．阅读理解：亲爱的同学们，在以后的学习中我们会学习一个定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．即：如图1：在中，，若点是斜边的中点，则． (1)牛刀小试：在图1中，若，，其他条件不变，则　　； (2)活学活用：如图2，已知，点、分别为、的中点，，．求的长； (3)问题解决：为了提高全民健身环境，公园管理部门想要建一个形状如图3中的四边形，其中，，，千米，要在公园的、之间铺设一条笔直的塑胶跑道，若跑道铺设成本每米200元，当最大时，请问管理部门预算160万元够用吗？ 【答案】(1)5 (2)5 (3)不够 【分析】（1）由，，，根据勾股定理求得的长为10，再根据“直角三角形上的中线等于斜边的一半”求出的长即可； （2）连接、，因为，点为的中点，，所以，而点是的中点，根据等腰三角形的“三线合一”性质得，则，在中即可根据勾股定理求出的长； （3）连接，取的中点，连接、，先证明是等边三角形，根据勾股定理求得千米，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长为3千米，则根据“两点之间，线段最短”可得到不等式，所以当、、在同一直线上时，的值最大，此时千米，再根据跑道铺设成本每米200元计算出跑道铺设的总成本，即可判断出管理部门预算160万元是否够用． 【详解】（1）解：如图1， ，，， ， 点是斜边的中点， ， 故答案为：5． （2）解：如图2，连接、， ，点是的中点，， ， ， ， ， 点是的中点，， ，， ， ， 的长是5． （3）解：如图3，连接，取的中点，连接、， 千米，， 是等边三角形， 千米， （千米）， ， ， （千米）， ， 千米， ， 千米， 如图4，当、、在同一直线上时，的值最大，此时千米， 跑道铺设成本每米200元， 元， 跑道铺设的总成本为元， ， 管理部门预算160万元不够用． 【点睛】此题考查勾股定理的应用、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等边三角形的判定与性质、“两点之间，线段最短”等知识与方法，正确地作出辅助线构造直角三角形斜边上的中线是解题的关键． 26．在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，且，． (1)如图1，点为线段上一点，若，求点的坐标； (2)如图2，点在线段上，是直线上的两个动点且，是轴上任意一点，连接，求的最小值； (3)在（2）的条件下，当取最小值时，为直线上一动点，是平面内任意一点，当四点构成的四边形是以为边的菱形时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或或或． 【分析】（1）作于，由求得，从而得出，进一步得出结果； （2）作点关于的对称点，将点沿的方向移动单位至，作于，交于，作于，交于，作于，则最小，最小为：，利用直角三角形的性质和勾股定理，进一步得出结果； （3）由（2）得：，，从而得出，，根据勾股定理求得，进而得出坐标，进而得出点坐标，同样另外两点． 【详解】（1）解：如图1， 作于， 由得， ， ， ， ； （2）解：如图2， 作点关于的对称点，将点沿的方向移动单位至，作于，交于，作于，交于，作于， 则最小，最小为：， ，， ， ，，， ， ，，， ∴， ， ， 的最小值为：； （3）解：如图3， ，， ∴， 由勾股定理得， 由（2）得：，， ， ， 、、、四点构成的四边形是以为边的菱形， ， ，， ，，，， ，， ，，，， ∴点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是较强的计算能力． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$