21.5反比例函数（4知识点+12题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（沪科版）

21.5 反比例函数 课程标准 学习目标 1．结合具体情境用实例体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的表达式； 2．会用描点法画出反比例函数的图象； 3．知道当k>0和k<0时反比例函数 图象的整体特征； 4．能用反比例函数解决简单的实际问题． 课时1：①理解反比例函数的概念，知道反比例函数的意义（结合具体情境用实例体会）；②掌握反比例函数的一般形式：会根据具体情境列反比例函数表达式；③学会建立反比例函数关系式解决问题的方法． 课时2：①能描点画出反比例函数的两支图象，了解反比例函数的图象的意义；②会分析反比例函数的图象，理解反比例函数中字母k表示的意义，掌握反比例函数的图象的性质；③会求反比例函数解析式，用反比例函数知识解决问题． 知识点01 反比例函数的相关概念 ·反比例关系：两种量相对应的两个数（x、y）的积一定，满足．这两个变量之间的关系叫做反比例关系． ·反比例函数的定义：一般地，表达式形如（k是常数，k0）的函数叫做反比例函数． 补充：反比例函数的解析式也可以写成的形式．自变量x的取值范围是x0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数． 【即学即练1】（23-24七年级下·山东·期末）下列函数中，是关于的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【即学即练2】（23-24八年级下·山东烟台·期末）下列问题中两个变量之间的关系不是反比例函数的是（    ） A．某人参加赛跑时，时间与跑步平均速度之间的关系 B．长方形的面积一定，它的两条邻边的长与之间的关系 C．压强公式中，一定时，压强与受力面积之间的关系 D．三角形的一条边长一定时，它的面积与这条边上的高之间的关系 【即学即练3】已知反比例函效，则k不可以取下列的哪个值（    ） A． B．0 C．1 D．2 知识点02 反比例函数的图象与性质 ·反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，两个分支关于原点对称． 反比例函数 k的符号 k>0 k<0 图像 变量的取值范围 x的取值范围是x0， y的取值范围是y0； 性质 图像的两个分支分别在第一、三象限． 每个象限内，图象自左向右下降， 函数ｙ随ｘ的增大而减小． 图像的两个分支分别在第二、四象限． 每个象限内，图象自左向右上升， 函数ｙ随ｘ的增大而增大． 补充：由于反比例函数中自变量x0，函数y0，所以，它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴． 【即学即练4】（22-23九年级上·河北邢台·期末）已知是反比例函数，则它的图象在（    ） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限 【即学即练5】（23-24八年级下·浙江湖州·期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的一支曲线是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【即学即练6】关于反比例函数，下列说法不正确的是（    ） A．图象是中心对称图形 B．当时，随的增大而增大 C．图象经过点 D．若，则 知识点03 反比例函数解析式的确定 ·待定系数法：由于在反比例函数中，只有一个待定系数k，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式． 【即学即练7】（22-23九年级上·四川成都·期末）若反比例函数经过点，则k的值为（　　） A．4 B．2 C． D． 【即学即练8】已知反比例函数，点在反比例函数的图象上，则的值为 ； 知识点04 反比例函数中反比例系数的几何意义 ·过反比例函数图像上任一点P(x,y)作x轴、y轴的垂线PM，PN，所得的矩形PMON的面积：S=PMPN=，． 【即学即练9】（23-24九年级上·安徽马鞍山·期中）如图，点在双曲线上，轴于B，,则 ．    【即学即练10】如图，A是反比例函数的图象上一点，过点A作轴于点，点在轴上，且，则的值为 ．    【即学即练11】反比例函数，，在同一坐标系中的图像如图所示，则，，的大小关系为 ．（用“<”连接） 与k的几何意义有关的图形面积问题： ·运用k的几何意义解组合双曲线间的图形面积问题： ·运用k的几何意义转化图形面积 例：双曲线上两点A、B与原点构成的三角形的面积=与坐标轴构成的直角梯形的面积 【题型一：根据反比例函数定义求参数的值】 例1．若是反比例函数，则的值是 ． 变式1．若函数是反比例函数，的值是（    ） A． B．1 C． D．不能确定 【方法技巧与总结】 应用形式的反比例函数解析式确定参数的值：自变量的次数为-1，系数k≠0． 【题型二：给出反比例函数关系式描述性质】 例2．（2024·湖北武汉·一模）关于反比例函数，下列结论正确的是（    ） A．图象位于第一、三象限； B．图象与坐标轴有交点； C．若图象经过点，则必经过点； D．图象上有两点，，若，则． 变式2．（23-24九年级上·山东烟台·期中）已知反比例函数，下列说法错误的是（   ） A．在每个象限内，y的值随x的值增大而增大 B．是轴对称图形，也是中心对称图形 C．过原点的直线与交于点，则该直线与一定还交于点 D．图象分别位于第二、四象限内 【方法技巧与总结】 ①反比例函数的图象即是轴对称图形，也是中心对称图形；②反比例函数的增减性只在每个象限内讨论． 【题型三：根据反比例函数的性质求参数范围】 例3．若反比例函数的图象的一个分支在第二象限，则的取值范围是 ． 变式3．已知反比例函数（m为常数，）图象的两个分支分布在第二、四象限，则m的取值范围是 ． 【方法技巧与总结】①根据题意进行分类讨论；②分析几何关系，用含t的式子表示相关线段的长． 【题型四：根据反比例函数的增减性比较自（因）变量的大小】 例4．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）已知点均在反比例函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 变式4-1．（23-24九年级上·安徽宿州·期末）在函数的图象上有三点，，．则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 变式4-2．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）已知点，，都在函数的图象上，则a，b，c的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】①先根据k的值确定函数在每个象限内的增减性，比较同一象限内的点的坐标的大小；②比较纵坐标的大小：k>0，第一象限的点的纵坐标一定大于第三象限的点的纵坐标；k<0，第二象限的点的纵坐标一定大于第四象限的点的纵坐标． 【题型五：判断反比例函数与一次函数的图象】 例5．函数与在同一平面直角坐标系内的图象大致是（    ） A． B． C． D． 变式5．（23-24九年级上·安徽亳州·期末）已知关于x的二次函数的图象与x轴有两个交点，则关于x的一次函数与反比例函数的图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【方法技巧与总结】 法一：①确定参数的的取值范围；②对参数的正负进行分类讨论，分别确定两个图象的的位置．法二：特殊值法表示出满足条件的函数解析式，分别确定两个函数图象所在象限． 【题型六：判断反比例函数与二次函数的图象】 例6．（2024·广东汕头·二模）已知抛物线与轴没有交点，则函数的大致图象是（  ） A． B． C． D． 变式6-1． （23-24九年级上·安徽合肥·期末）若反比例函数的图象位于第一、三象限，则二次函数的图象大致为（    ） A．  B．  C．   D．   变式6-2．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）若实数满足，且，则与的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 法一：①确定参数的的取值范围；②对参数的正负进行分类讨论，分别确定两个图象的的位置．法二：特殊值法表示出满足条件的函数解析式，分别确定两个函数图象所在象限． 【题型七：运用k的几何意义求k值】 例7．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，在平面直角坐标系中，，将沿y轴向上平移3个单位长度至，连接，若反比例函数的图象恰好经过点A及的中点D，则k值等于（    ） A．6 B． C．3 D． 变式7-1． （23-24九年级上·安徽淮南·期末）如图，反比例函数的图像经过平行四边形顶点C，D，若点A、点B、点C的坐标分别为，，，且，则k的值是（    ）    A．9 B．10 C．12 D．15 例8．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）如图，与位于平面直角坐标系中，，，，若点坐标为，反比例函数恰好经过点，则的值是（    ） A． B．6 C． D． 变式8-1．把一块含角的三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系中，其中角的顶点在轴上，斜边与轴的夹角，若，当点同时落在一个反比例函数图像上时， ． ※变式8-2．（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）如图，点和在反比例函数（）的图象上，其中．过点A作轴于点．    （1）的值为 ； （2）若的面积为，则 ． 例9． 如图，点在双曲线上， 点在双曲线 上，轴，过点作轴于，连接，与相交于点，若，则的值为（  ） A．6 B．12 C．8 D．18 变式9-1．（23-24九年级上·安徽滁州·期中）双曲线和如图所示，是双曲线上一点，过点作轴，垂足为，交双曲线于点，连接，若的面积为2，则 ．    变式9-2．（23-24九年级上·安徽池州·期中）如图，两个反比例函数和在第二象限内的图象依次是和，设点A在上，轴于点D，交于点B，轴于点E，交于点C，若四边形的面积为，则 ． 【方法技巧与总结】①根据反比例函数系数k的几何意义表示出相应的三角形或矩形的面积；②利用反比例函数解析式表示图象上的未知点的坐标；③灵活使用三角形、平行四边形的相关性质建立等量关系求未知参数． 【题型八：由反比例函数图象的对称性求点的坐标】 例10．如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A、B两点，若点的坐标为，则点A的坐标是 ． 变式10-1．（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是 ． 变式10-2．已知正比例函数图像与反比例函数图像都经过点，那么这两个函数图象必都经过另一个点的坐标为 ． 例11．（23-24九年级上·安徽淮北·期中）如图，四边形为平行四边形，和平行于x轴，点A在函数的图象上，点B，D在函数的图象上，点C在y轴上，则四边形的面积为 ．    变式11．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数和的图象的四个分支上，则的值= ．    【方法技巧与总结】正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，已知一个交点坐标，由关于原点对称的点的坐标特点求出另一交点坐标． 【题型九：反比例函数图象的平移问题】 例12．（23-24九年级上·湖南永州·期末）我们知道函数的图象可以由反比例函数的图象左右平移得到，下列关于的图象的性质： ①的图象可以由的图象向右平移3个单位长度得到； ②的图象关于点对称； ③的图象关于直线对称； ④若，根据图象可知，的解集是． 其中正确的是（   ） A．①② B．②③ C．②④ D．①②④ 变式12．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）将双曲线（，，2，3，…1012）向左平移2个单位，再向下平移1个单位后与直线相交于2024个点，这2024个交点的横坐标的和为（     ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】函数图象的左右平移只对x进行变换的规律： “左加右减”． 【题型十：反比例函数与一次函数的综合问题——根据图象的交点解不等式】 例13．（23-24八年级下·四川宜宾·期末）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数（a、b是常数，且）与反比例函数（c是常数，且）的图象相交于，两点，则不等式的解集是（    ） A． B．或 C．或 D． 变式13-1．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图，一次函数与反比例函数在第一象限内交于点，则当时，的解集为 ． 变式13-2．（2024·安徽六安·一模）已知：如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点和点，与轴交于点． (1)求，及点坐标； (2)根据图象直接写出不等式的解集； (3)若是轴上一点，且满足的面积等于，求点坐标． 【技巧方法与总结】①表示出一次函数与反比例函数的交点坐标；②运用数形结合的思想分析问题：根据函数图象的上下位置关系，找出关于自变量x的不等式组的解集． 例14．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和，与轴交于点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)在轴上取一点，当的面积为2时，求点的坐标； (3)将直线向下平移2个单位长度后得到直线，当函数值时，求的取值范围． 变式14．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，且与轴交于点，点的坐标为．    (1)求的值及点的坐标； (2)结合图象直接写出不等式组的解集． 【题型十一：反比例函数与图形综合】 例15．（22-23九年级上·安徽蚌埠·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点和点，连接并延长与反比例函数的图象交于点．    (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)是否在双曲线上存在一点，使得以点、、、为顶点的四边形成为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标，并求出该平行四边形的面积；若不存在，请说明理由． 变式15．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）一次函数的图象与反比例函数的图象交于，．与x轴交于C． (1)求a，b，k的值； (2)观察图象，直接写出不等式的解集； (3)延长交反比例函数图象于点P．求的面积． 例16．（23-24九年级上·安徽宿州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，长方形的边分别在轴、轴上，点的坐标为，双曲线的图象经过线段的中点． (1)求的值； (2)若点在反比例函数的图象上运动（不与点重合），过作轴于点，记的面积为，求关于的解析式，并写出的取值范围． 【技巧方法与总结】①待定系数法求函数的解析式；②联立函数表达式为方程组，求函数图象的交点坐标；③根据反比例函数关系式表示反比例函数图象上的点的坐标；④根据已知的三角形、平行四边形等几何性质表示其他相关点的坐标，列等量关系解题． 【题型十二：反比例函数的实际应用】（含学科融合） 例16． （23-24八年级下·江苏苏州·期末）公元前3世纪，古希腊学者阿基米德发现了著名的“杠杆原理”．杠杆平衡时，阻力阻力臂动力动力臂．几位同学玩撬石头的游戏，已知阻力（石头重量）和阻力臂分别为和． (1)设动力臂为，动力为，求出与的函数表达式； (2)若小明使用的力量，他该选择动力臂为多少米的撬棍正好能撬动这块大石头？ 变式16-1．（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）已知汽车前灯电路上的电压保持不变，选用灯泡的电阻与通过的电流强度I（A）成反比例．当选用灯泡的电阻为时，测得通过的电流强度为． (1)求I关于R的函数表达式和自变量R的取值范围； (2)若通过的电流强度I正好为，求选用灯泡的电阻R的值． 变式16-2．（23-24八年级下·浙江衢州·期末）综合与实践：如何测量一个空矿泉水瓶的质量? 素材1：如图1是一架自制天平，支点O固定不变，左侧托盘 A 固定在某处，右侧托盘B 在横梁滑动．在A中放置一个重物，在B中放置一定质量的砝码，移动托盘B可使天平左右平衡．增加砝码的质量，多次试验，将砝码的质量与对应的OB长度记录下来，并绘制成散点图（如图2） ． 素材2：由于一个空的矿泉水瓶太轻，无法称量．小组进行如下操作，保持素材1的装置不变，在托盘 B中放置一个内盛水的矿泉水瓶，移动托盘B，使得天平左右平衡，测得 ． (1)任务 1：请在图1中连线，猜想y关于x的函数类型，并求出函数表达式，且任选一对对应值验证． (2)任务2：求出一个空矿泉水瓶的质量． 【技巧方法与总结】①天平问题：动力动力臂阻力阻力臂；②电阻R、电流I、电压U之间的关系：电流I关于电阻R的函数表达式为． 例17．（2024·安徽六安·二模）某水果店今年2月至5月份销售甲、乙两种新鲜水果，已知甲种水果每月售价与x月份之间关系如下表所示： 月份x 2 3 4 5 售价份（元） 12 8 6 4．8 甲种水果进价元/千克与月份x之间满足，销售量P千克与x之间满足． 乙种水果每个月售价与月份x之间满足，对应图象如图所示． 乙种水果进价元/千克与x之间满足，平均每月销售160千克． (1)用所学的函数模型刻画与x之间的函数关系式 (2)求与x之间的函数关系式； (3)试求水果店哪个月销售甲、乙两种水果获得的总利润最大，最大总利润是多少元？ 变式17．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）学校下午放学时校门口的“堵塞”情况已成为社会热点问题，某校对本校下午放学校门口“堵塞”情况做了一个调查发现：每天放学时间2分钟后校门外学生流量变化大致可以用“拥挤指数”（）与放学后时间（分钟）的函数关系描述．如图，2～12分钟呈二次函数状态，且在第12分钟达到该函数最大值100，此后变化大致为反比例函数的图象趋势．若“拥挤指数”，校门外呈现“拥挤状态”，需要护学岗执勤人员维护秩序、疏导交通． (1)求该二次函数的解析式和k的值； (2)“拥挤状态”持续的时间是否超过15分钟？请说明理由． 一、选择题 1．（23-24八年级上·上海闵行·期末）下列说法正确的是（    ） A．周长为1的矩形的长与宽成正比例 B．面积为1的等腰三角形的腰长与底边长成正比例 C．面积为1的矩形的长与宽成反比例 D．等边三角形的面积与它的边长成正比例 2．下列函数中，是的反比例函数的为（    ） A． B． C． D． 3．受到压力为（F为常数）的物体，所受的压强与受力面积的函数表达式为，则这个函数的图象为（　　） A．B．C． D． 4．（23-24九年级上·山西吕梁·期末）已知反比例函数的图象经过点与），则的值为（   ） A． B．4 C． D．8 5．反比例函数的大致图象是（　　） A．B．C． D． 6．已知反比例函数的图象在第一、三象限内，则k的值为（　　） A．1 B．2 C．4 D． 7．（23-24九年级上·安徽六安·期末）已知反比例函数，下列说法中正确的是（    ） A．该函数的图象分布在第一、三象限 B．点在该函数图象上 C．y随x的增大而增大 D．该图象是轴对称图形 8．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）若在反比例函数图象的任一支上，y都随x的增大而增大，则下列点可能在这个函数图象上的为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24九年级上·安徽亳州·期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点，反比例函数的图象经过点，则下列结论错误的是（    ） A．当时，随增大而减小 B．当时，随增大而减小 C．当时，随增大而减小 D．当时，随增大而减小 10．如图，反比例函数的图象与经过原点的直线相交于、两点，点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 11．（23-24八年级下·四川眉山·期中）若函数是反比例函数，且时，随的增大而减小，则的值是（    ） A． B．1 C． D．不能确定 12．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图像可能是（    ） A． B． C． D． 13．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）反比例函数的图象在每个象限内，函数随的增大而减小，则的值可以(　　) A．3 B．2 C．1 D．0 14．（23-24九年级上·安徽滁州·期末）若三点都在反比例函数的图像上，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 15．（2024·陕西榆林·三模）已知点关于y轴的对称点在反比例函数的图象上，则a的值为 ． 16．（23-24八年级下·江苏盐城·期末）在平面直角坐标系中，若点，在反比例函数的图像上，则 ．（填 “”“”或“”）． 17．（2024·云南·中考真题）已知点在反比例函数的图象上，则 ． 18．（2023·广西桂林·二模）如图，双曲线（为常数，）与直线（为常数，）相交于、两点，如果点的坐标是，那么点的坐标为 ． 19．（2024·四川遂宁·中考真题）反比例函数的图象在第一、三象限，则点在第 象限． 20．（23-24八年级下·江苏常州·期末）反比例函数的图象经过，，三点，则的值为 ． 21．（2024·内蒙古包头·中考真题）若反比例函数，，当时，函数的最大值是，函数的最大值是，则 ． 22．已知P、Q两点分别在反比例函数和的图象上，若点与点关于y轴对称，则m的值为 ． 23．（2024·北京东城·二模）在平面直角坐标系中，若点是函数和的图象的一个交点，则这两个函数图象的另一个交点的坐标是 ． 24．（2024·江苏南京·三模）如图，图像分别是反比例函数、、（为常数）的部分图像，比较的大小关系 ．（用“或”连接） 25．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）如图，点是反比例函数的图象上的任意一点，若过点作轴，垂足为，使得的面积等于，则 ．    26．如图，反比例函数的图象上有一点，轴于点，点在轴上，则的面积为 ． 三、解答题 27．（23-24八年级下·四川乐山·期末）如下图所示，已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两个点． (1)求这两个函数的解析式； (2)当时，根据图象直接写出满足时x的取值范围． 28．如图，直线与反比例函数，且的图象交于点A，点A的横坐标为2． (1)求反比例函数的表达式． (2)点B在反比例函数图象上，且点B的纵坐标是6，连接，．求的面积． 29．台灯的亮度控制可以通过用旋钮调节电阻控制电流的变化来实现．如图是该台灯的电流与电阻的反比例函数图象，该图象经过点． (1)求关于的函数解析式； (2)当时，求的取值范围． 30．（2024·安徽芜湖·一模）如图，一次函数与反比例函数的图像交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据图像，直接写出满足的x的取值范围． 31．（23-24九年级上·安徽亳州·期末）如图，二次函数与反比例函数的图象交于． (1)求k的值； (2)根据图象，写出二次函数值大于反比例函数值时x的取值范围． 32．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象交于，两点，与轴交于点． (1)求反比例函数的表达式与点坐标； (2)请直接写出不等式的解集； (3)若点是线段上的一个动点，作轴交反比例函数的图象于点，则的面积的最大值为______． 1．（23-24九年级下·山东泰安·期中）已知二次函数的图象如图所示，则正比例函数的图象与反比例函数的图象在同一坐标系中大致是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）已知二次函数的图象如图所示．则一次函数图象和反比例函数的图象在同一坐标系中大致为（    ） A．B．C． D． 3．（23-24九年级上·安徽安庆·期中）某医药研究所开发一种新药，成年人按规定的剂量服用，服药后每毫升血液中的含药量y（毫克）与时间t（时）之间的函数关系近似满足如图所示曲线，当每毫升血液中的含药量不少于0．8毫克时治疗有效，则服药后治疗疾病的有效时间为 小时．    4．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，平面直角坐标系中，的边在x轴的正半轴，B、C在第一象限内，反比例函数的图象经过点C和边的中点D，点D到x轴的距离为3，则平行四边形的面积为 ． 5．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，是等边三角形，过原点，底边轴交轴于点，双曲线过A、B两点，过点作轴交双曲线于点，若，则的值是 ． 6．【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻R、之间关系为，通过实验得出如下数据： R/Ω … 1 2 b 4 6 … I/A … a 3 2．4 2 1．5 … (1)______，______； (2)根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数的图象与性质． ①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象； ②随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是______； (3)结合（2）中函数图象分析，当时，的解集为______． 7．（2024·安徽蚌埠·三模）小贤是滑雪运动员，在如图所示的一段滑板赛道上训练．在一个以水平地面为轴的平面直角坐标系中，这段赛道由两段不完整的曲线构成．其中，段赛道近似满足双曲线，段赛道近似满足抛物线，点处距离地面的高度为，到轴的距离为，点处到轴的距离为，段赛道与轴的交点与水平地面的距离为，落地点与原点的距离也是． (1)求段赛道的解析式及其自变量的取值范围． (2)求这段赛道的最高点距离地面的高度． (3)某运动员在段赛道上滑行至距离轴时，在赛道的同样高度上有一个旗门，问此时该运动员与旗门的水平距离为多少？ 1．（2024·安徽合肥·二模）如图，为坐标原点，面积为8的的斜边经过点O，轴，A，B两点均在反比例函数的图象上． （1） ； （2）等腰的顶点D在反比例函数的图象上，底边经过点C，若的面积为16，，则的长为 ． 2．（23-24九年级上·安徽六安·期末）如图，的边在轴的正半轴上，，反比例函数的图象经过点．为反比例函数图像上一动点，过点作轴交于点，交于点，（1）反比例函数的表达式为 ； （2）当点运动到直线上时，连接，记的面积为，的面积为，则的值为 ． 3．（23-24九年级上·安徽蚌埠·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A，C 恰好落在双曲线 上，且点O在上，交x轴于点M，连接． （1）当点C 坐标为时，B点的坐标为 （写出数值结果）； （2）当平分时，正方形 的边长的值为 ． 4．【阅读理解】求证：对于任意正实数a、b，． 证明：， ， ，（只有当时，）． 推论：在、均为正实数中，若为定值，则；当时，有最小值． 根据上述内容，回答下列问题： 问题1：若，当　　时，有最小值为_____． 问题2：已知，试求出函数的最小值． 问题3：如图，已知点、，点为双曲线在第一象限内的点．过点作轴于点，轴于点．试求出四边形面积的最小值，并说明此时四边形的形状． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 21.5 反比例函数 课程标准 学习目标 1．结合具体情境用实例体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的表达式； 2．会用描点法画出反比例函数的图象； 3．知道当k>0和k<0时反比例函数 图象的整体特征； 4．能用反比例函数解决简单的实际问题． 课时1：①理解反比例函数的概念，知道反比例函数的意义（结合具体情境用实例体会）；②掌握反比例函数的一般形式：会根据具体情境列反比例函数表达式；③学会建立反比例函数关系式解决问题的方法． 课时2：①能描点画出反比例函数的两支图象，了解反比例函数的图象的意义；②会分析反比例函数的图象，理解反比例函数中字母k表示的意义，掌握反比例函数的图象的性质；③会求反比例函数解析式，用反比例函数知识解决问题． 知识点01 反比例函数的相关概念 ·反比例关系：两种量相对应的两个数（x、y）的积一定，满足．这两个变量之间的关系叫做反比例关系． ·反比例函数的定义：一般地，表达式形如（k是常数，k0）的函数叫做反比例函数． 补充：反比例函数的解析式也可以写成的形式．自变量x的取值范围是x0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数． 【即学即练1】（23-24七年级下·山东·期末）下列函数中，是关于的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A．不是关于x的正比例函数，故A错误； B．是关于x的反比例函数，故B正确； C．不是关于x的反比例函数，故C错误； D．不是关于x的反比例函数，D错误． 故选：B． 【即学即练2】（23-24八年级下·山东烟台·期末）下列问题中两个变量之间的关系不是反比例函数的是（    ） A．某人参加赛跑时，时间与跑步平均速度之间的关系 B．长方形的面积一定，它的两条邻边的长与之间的关系 C．压强公式中，一定时，压强与受力面积之间的关系 D．三角形的一条边长一定时，它的面积与这条边上的高之间的关系 【答案】D 【详解】解：A、由题意得，，则时间与跑步平均速度之间的关系是反比例函数，不符合题意； B、由题意得，，则长方形的面积一定，它的两条邻边的长与之间的关系是反比例函数，不符合题意； C、由题意得，，则一定时，压强与受力面积之间的关是反比例函数，不符合题意； D、由题意得，（l为一边长，h为该边上的高），则l一定时，它的面积与这条边上的高之间的关系不是反比例函数，符合题意； 故选：D 【即学即练3】已知反比例函效，则k不可以取下列的哪个值（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【详解】解：， ，即， 故选：C． 知识点02 反比例函数的图象与性质 ·反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，两个分支关于原点对称． 反比例函数 k的符号 k>0 k<0 图像 变量的取值范围 x的取值范围是x0， y的取值范围是y0； 性质 图像的两个分支分别在第一、三象限． 每个象限内，图象自左向右下降， 函数ｙ随ｘ的增大而减小． 图像的两个分支分别在第二、四象限． 每个象限内，图象自左向右上升， 函数ｙ随ｘ的增大而增大． 补充：由于反比例函数中自变量x0，函数y0，所以，它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴． 【即学即练4】（22-23九年级上·河北邢台·期末）已知是反比例函数，则它的图象在（    ） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限 【答案】D 【详解】∵是反比例函数， ∴， ∴图像分布第二、四象限， 故选D． 【即学即练5】（23-24八年级下·浙江湖州·期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的一支曲线是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【详解】解：反比例函数经过点，则由图知，第④个符合题意， 故选：D． 【即学即练6】关于反比例函数，下列说法不正确的是（    ） A．图象是中心对称图形 B．当时，随的增大而增大 C．图象经过点 D．若，则 【答案】D 【详解】解：A．由反比例函数的图象对称性可知，反比例函数的图象是关于原点对称，图象是中心对称图，本题说法正确，故该选项不符合题意； B．因为，所以当时在每个象限内，y随着x的增大而增大，本题说法正确，故该选项不符合题意； C．当时，，所以函数图象过点，本题说法正确，故该选项不符合题意； D．因为，函数图象位于第二、四象限，在每个象限内y随着x的增大而增大，当时，，所以当，则，本题说法不正确，故该选项符合题意； 故选：D． 知识点03 反比例函数解析式的确定 ·待定系数法：由于在反比例函数中，只有一个待定系数k，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式． 【即学即练7】（22-23九年级上·四川成都·期末）若反比例函数经过点，则k的值为（　　） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【详解】解：∵反比例函数经过点， ∴． 故选：A． 【即学即练8】已知反比例函数，点在反比例函数的图象上，则的值为 ； 【答案】 【详解】将代入 得，， 解得， 故答案为：； 知识点04 反比例函数中反比例系数的几何意义 ·过反比例函数图像上任一点P(x,y)作x轴、y轴的垂线PM，PN，所得的矩形PMON的面积：S=PMPN=，． 【即学即练9】（23-24九年级上·安徽马鞍山·期中）如图，点在双曲线上，轴于B，,则 ．    【答案】14 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∵图象在一、三象限， ∴， ∴； 故答案为：14 【即学即练10】如图，A是反比例函数的图象上一点，过点A作轴于点，点在轴上，且，则的值为 ．    【答案】 【详解】解：设点A的坐标为， 点A在第二象限， ，， ， ， 是反比例函数的图象上一点， ， 故答案为：． 【即学即练11】反比例函数，，在同一坐标系中的图像如图所示，则，，的大小关系为 ．（用“<”连接） 【答案】 【详解】解：由图可知，图像在第三象限，；，图像在第四象限，、； 取，如图所示： ； 综上所述，， 故答案为：． 与k的几何意义有关的图形面积问题： ·运用k的几何意义解组合双曲线间的图形面积问题： ·运用k的几何意义转化图形面积 例：双曲线上两点A、B与原点构成的三角形的面积=与坐标轴构成的直角梯形的面积 【题型一：根据反比例函数定义求参数的值】 例1．若是反比例函数，则的值是 ． 【答案】 【详解】解：是反比例函数， ，且， 则，且， ， 故答案为：． 变式1．若函数是反比例函数，的值是（    ） A． B．1 C． D．不能确定 【答案】A 【详解】∵是反比例函数， ∴， 解得． 故选：A． 【方法技巧与总结】 应用形式的反比例函数解析式确定参数的值：自变量的次数为-1，系数k≠0． 【题型二：给出反比例函数关系式描述性质】 例2．（2024·湖北武汉·一模）关于反比例函数，下列结论正确的是（    ） A．图象位于第一、三象限； B．图象与坐标轴有交点； C．若图象经过点，则必经过点； D．图象上有两点，，若，则． 【答案】C 【详解】解：根据反比例函数图象可得： 当时，反比例函数图象位于二、四象限，选项错误； 反比例函数图象与坐标轴无交点，选项错误； 由反比例函数表达式可得，，选项正确； 当时，，随着的增大而增大，即若，则； ，随着的增大而增大，即若，则， 但时，，选项错误． 故选：． 变式2．（23-24九年级上·山东烟台·期中）已知反比例函数，下列说法错误的是（   ） A．在每个象限内，y的值随x的值增大而增大 B．是轴对称图形，也是中心对称图形 C．过原点的直线与交于点，则该直线与一定还交于点 D．图象分别位于第二、四象限内 【答案】C 【详解】解：A、，，在每个象限内，y的值随x的值增大而增大，故A选项正确； B、反比例函数图象，是轴对称图形，也是中心对称图形，故B选项正确； C、过原点的直线与交于点，则该直线与一定还交于点，故C选项错误； D、图象分别位于第二、四象限内，故D选项正确 故选：C． 【方法技巧与总结】 ①反比例函数的图象即是轴对称图形，也是中心对称图形；②反比例函数的增减性只在每个象限内讨论． 【题型三：根据反比例函数的性质求参数范围】 例3．若反比例函数的图象的一个分支在第二象限，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握和运用反比例函数的图象与性质是解决本题的关键． 根据反比例函数的图象的一个分支在第二象限可得，然后解不等式即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象的一个分支在第二象限， ∴，解得： ． 故答案为：． 变式3．已知反比例函数（m为常数，）图象的两个分支分布在第二、四象限，则m的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，根据的k值小于0，反比例函数在第二、四象限，据此即可作答． 【详解】解∶∵反比例函数（m为常数，）图象的两个分支分布在第二、四象限， ∴， 解得， 故答案为： ． 【方法技巧与总结】①根据题意进行分类讨论；②分析几何关系，用含t的式子表示相关线段的长． 【题型四：根据反比例函数的增减性比较自（因）变量的大小】 例4．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）已知点均在反比例函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴图象在一三象限，且在每个象限内随的增大而减小， ∵， ∴． 故选：C． 变式4-1．（23-24九年级上·安徽宿州·期末）在函数的图象上有三点，，．则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵，函数图象如图， 图象在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小 故选B． 变式4-2．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）已知点，，都在函数的图象上，则a，b，c的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， ， 反比例函数的图象在第二、四象限，且在每一象限内，y随着x的增大而增大， ， 点，在第二象限，点在第四象限， ． 故选：C． 【方法技巧与总结】①先根据k的值确定函数在每个象限内的增减性，比较同一象限内的点的坐标的大小；②比较纵坐标的大小：k>0，第一象限的点的纵坐标一定大于第三象限的点的纵坐标；k<0，第二象限的点的纵坐标一定大于第四象限的点的纵坐标． 【题型五：判断反比例函数与一次函数的图象】 例5．函数与在同一平面直角坐标系内的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：当时，，反比例函数的图象在一、三象限，一次函数的图象过一、二、四象限，选项符合； 当时，， ∴反比例函数的图象在二、四象限，一次函数的图象过一、三、四象限，无选项符合． 故选：． 变式5．（23-24九年级上·安徽亳州·期末）已知关于x的二次函数的图象与x轴有两个交点，则关于x的一次函数与反比例函数的图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【详解】解：当时，抛物线的开口向下，对称轴为y轴，与y轴正半轴交于一点， 即，，， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴反比例函数的图象经过第二、四象限．C选项符合题意 当时，抛物线的开口向上，对称轴为y轴，与y轴负半轴交于一点， 即，， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限， ∴反比例函数的图象经过第一、三象限． 故选：C． 【方法技巧与总结】 法一：①确定参数的的取值范围；②对参数的正负进行分类讨论，分别确定两个图象的的位置．法二：特殊值法表示出满足条件的函数解析式，分别确定两个函数图象所在象限． 【题型六：判断反比例函数与二次函数的图象】 例6．（2024·广东汕头·二模）已知抛物线与轴没有交点，则函数的大致图象是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵抛物线与轴没有交点， ∴没有实数根， ∴ ∴ ∴函数的图象在第一、第三象限， 故选：A． 变式6-1． （23-24九年级上·安徽合肥·期末）若反比例函数的图象位于第一、三象限，则二次函数的图象大致为（    ） A．  B．  C．   D．   【答案】D 【详解】解：反比例函数的图象位于第一、三象限， ， 故二次函数开口向上，且交轴的负半轴， 故选D． 变式6-2．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）若实数满足，且，则与的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵二次函数的开口方向向下，且与轴的坐标相交于正半轴， ∴， ∵ ∴排除选项； 当时， ∴，故错误； 当时，， 故选． 【方法技巧与总结】 法一：①确定参数的的取值范围；②对参数的正负进行分类讨论，分别确定两个图象的的位置．法二：特殊值法表示出满足条件的函数解析式，分别确定两个函数图象所在象限． 【题型七：运用k的几何意义求k值】 例7．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，在平面直角坐标系中，，将沿y轴向上平移3个单位长度至，连接，若反比例函数的图象恰好经过点A及的中点D，则k值等于（    ） A．6 B． C．3 D． 【答案】B 【详解】解：延长，交轴于点，由题意知，轴， 沿y轴向上平移3个单位长度至，且， ，， 四边形为菱形， ， 设，则， ，且点D为的中点， ， 与都在反比例函数图象上， ，解得，即， ， ，即， ，即． 故选：B． 变式7-1． （23-24九年级上·安徽淮南·期末）如图，反比例函数的图像经过平行四边形顶点C，D，若点A、点B、点C的坐标分别为，，，且，则k的值是（    ）    A．9 B．10 C．12 D．15 【答案】A 【详解】解：四边形是平行四边形， ， 可由平移得到， 点、点、点C的坐标分别为，，, 点D坐标为， 反比例函数的图像经过点C，D， ， ， ， ，， ， 故选A． 例8．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）如图，与位于平面直角坐标系中，，，，若点坐标为，反比例函数恰好经过点，则的值是（    ） A． B．6 C． D． 【答案】C 【详解】解：过点作轴于点，如图所示 ，，，， ，， 在中，，即， ， 在中，，即， ，，， ， 点， ． 故选：C． 变式8-1．把一块含角的三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系中，其中角的顶点在轴上，斜边与轴的夹角，若，当点同时落在一个反比例函数图像上时， ． 【答案】 【分析】题考查反比例函数求，涉及反比例函数图像与性质、含的直角三角形性质、勾股定理等知识，过作轴，过作轴，如图所示，表示出和，利用反比例函数图像与性质列方程求解得到，代入即可得到答案，数形结合，求出反比例函数图像上点的坐标是解决问题的关键． 【详解】解：过作轴，过作轴，如图所示： 在中，，，则， 在中，，则， ， ，， ， 在中，，，则，， 设，则，则，解得， ， 点落在一个反比例函数图像上， ． ※变式8-2．（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）如图，点和在反比例函数（）的图象上，其中．过点A作轴于点．    （1）的值为 ； （2）若的面积为，则 ． 【答案】 5 2 【详解】解：（1）∵点和在反比例函数（）的图象上， ∴， 故答案为：5 （2）∵， ∴， ∴， 过点B作轴于点D，交于点E，    ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 整理得：， 令， 则， 解得：，， ∵， ∴，即， ∴， 故答案为：2． 例9． 如图，点在双曲线上， 点在双曲线 上，轴，过点作轴于，连接，与相交于点，若，则的值为（  ） A．6 B．12 C．8 D．18 【答案】D 【详解】解：过点作轴于，延长线段，交轴于， 轴，轴， 四边形是矩形，四边形是矩形， ，， ， 点在双曲线上， ，同理， ， ， ， ， 故选：． 变式9-1．（23-24九年级上·安徽滁州·期中）双曲线和如图所示，是双曲线上一点，过点作轴，垂足为，交双曲线于点，连接，若的面积为2，则 ．    【答案】5 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵反比例函数位于第一象限， ∴， ∴ 故答案为：5． 变式9-2．（23-24九年级上·安徽池州·期中）如图，两个反比例函数和在第二象限内的图象依次是和，设点A在上，轴于点D，交于点B，轴于点E，交于点C，若四边形的面积为，则 ． 【答案】 【详解】解：∵轴，轴， ∴， ∴四边形的面积为． ，即． 故答案为：． 【方法技巧与总结】①根据反比例函数系数k的几何意义表示出相应的三角形或矩形的面积；②利用反比例函数解析式表示图象上的未知点的坐标；③灵活使用三角形、平行四边形的相关性质建立等量关系求未知参数． 【题型八：由反比例函数图象的对称性求点的坐标】 例10．如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A、B两点，若点的坐标为，则点A的坐标是 ． 【答案】 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称， ∴A、B两点关于原点对称， ∵B的坐标为， ∴A的坐标为， 故答案为：． 变式10-1．（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是 ． 【答案】0 【详解】解：∵函数的图象经过点和， ∴有， ∴， 故答案为：0． 变式10-2．已知正比例函数图像与反比例函数图像都经过点，那么这两个函数图象必都经过另一个点的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：∵反比例函数的图象与正比例函数图象的两个交点一定关于原点对称， 另一个交点的坐标与点关于原点对称， 即该点的坐标为． 故答案为：． 例11．（23-24九年级上·安徽淮北·期中）如图，四边形为平行四边形，和平行于x轴，点A在函数的图象上，点B，D在函数的图象上，点C在y轴上，则四边形的面积为 ．    【答案】21 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∵和平行于x轴，点A在函数的图象上，点B，D在函数的图象上， 设，则，， ∵点C在y轴上， ∴点横坐标为， 将代入得，，即， ∴、平行线间的距离为， ∴， 故答案为：21． 变式11．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数和的图象的四个分支上，则的值= ．    【答案】 【详解】 ：根据正方形和双曲线的中心对称性，、的交点为O，如图，过点A作轴于M，过点D作轴于N，则，      ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，则， ∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴， 故答案为：． 【方法技巧与总结】正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，已知一个交点坐标，由关于原点对称的点的坐标特点求出另一交点坐标． 【题型九：反比例函数图象的平移问题】 例12．（23-24九年级上·湖南永州·期末）我们知道函数的图象可以由反比例函数的图象左右平移得到，下列关于的图象的性质： ①的图象可以由的图象向右平移3个单位长度得到； ②的图象关于点对称； ③的图象关于直线对称； ④若，根据图象可知，的解集是． 其中正确的是（   ） A．①② B．②③ C．②④ D．①②④ 【答案】B 【分析】 ①由平移变函数关系式的规律“左加右减”，即可判断；②由的图象关于对称，即可判断；③由的图象关于直线对称，即可判断；④画出图象，结合图象，即可求解． 【详解】解：①的图象可以由的图象向左平移3个单位长度得到，结论错误； ②的图象关于对称，当时，，的图象关于点对称；结论正确； ③的图象关于直线对称，的图象关于直线对称；结论正确； ④如图， 根据图象可知，的解集是；结论错误； 正确的有②③； 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，平移的性质，反比例函数图象与几何变换，掌握性质，数形结合是解题的关键． 变式12．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）将双曲线（，，2，3，…1012）向左平移2个单位，再向下平移1个单位后与直线相交于2024个点，这2024个交点的横坐标的和为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，平移后的双曲线的解析式为，联立解析式，利用根与系数的关系，进行求解即可． 【详解】解：由题意，平移后的双曲线的解析式为：， 联立，整理，得：， 设两个交点的横坐标为， 则：， ∵交点的横坐标之和与的值无关， ∴每两个交点的横坐标之和均为， ∴这2024个交点的横坐标的和为； 故选C． 【方法技巧与总结】函数图象的左右平移只对x进行变换的规律： “左加右减”． 【题型十：反比例函数与一次函数的综合问题——根据图象的交点解不等式】 例13．（23-24八年级下·四川宜宾·期末）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数（a、b是常数，且）与反比例函数（c是常数，且）的图象相交于，两点，则不等式的解集是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【详解】解：∵一次函数(k，b是常数，且) 与反比例函数 (c是常数，且) 的图象相交于，两点， ∴不等式的解集是或． 故选：C． 变式13-1．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图，一次函数与反比例函数在第一象限内交于点，则当时，的解集为 ． 【答案】/ 【详解】解：结合图像可知，的解集为． 故答案为：． 变式13-2．（2024·安徽六安·一模）已知：如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点和点，与轴交于点． (1)求，及点坐标； (2)根据图象直接写出不等式的解集； (3)若是轴上一点，且满足的面积等于，求点坐标． 【答案】(1)，， (2)或 (3)或 【详解】（1）解：一次函数经过点， ， ， 点A在反比例函数 的图象上， ， 反比例函数为 ， 由题意得 ， 解得 或 ， 的坐标为； （2）解：由图象可知：或； （3）解：设点P的坐标为， 在中， 令， 得， 点D的坐标为， ， 或， 点P的坐标为或． 【技巧方法与总结】①表示出一次函数与反比例函数的交点坐标；②运用数形结合的思想分析问题：根据函数图象的上下位置关系，找出关于自变量x的不等式组的解集． 例14．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和，与轴交于点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)在轴上取一点，当的面积为2时，求点的坐标； (3)将直线向下平移2个单位长度后得到直线，当函数值时，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【详解】（1）， ， ∴ 由 得，， （2）， ， ，当时，，则， 或 （3）∵直线向下平移2个单位长度后得到直线， ∴ 当时，解得， 根据函数图象可得：当时，或． 变式14．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，且与轴交于点，点的坐标为．    (1)求的值及点的坐标； (2)结合图象直接写出不等式组的解集． 【答案】(1)；点的坐标为 (2) 【详解】（1）将点代入中，得：， 解得：； 将点代入中，得：， 解得：， 一次函数解析式为． 当时，， 解得：， 点的坐标为． （2）观察函数图象，可知：当时，一次函数图象在轴上方且在反比例函数图象下方， 不等式组的解集为． 【题型十一：反比例函数与图形综合】 例15．（22-23九年级上·安徽蚌埠·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点和点，连接并延长与反比例函数的图象交于点．    (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)是否在双曲线上存在一点，使得以点、、、为顶点的四边形成为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标，并求出该平行四边形的面积；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，32 【详解】（1）解：将代入反比例函数解析式得：， 则反比例解析式为； 将代入反比例解析式得：，即， 将与坐标代入中，得：， 解得：， 则一次函数解析式为； （2）解：存在， ∵、关于原点对称，，    ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴设直线的解析式为， 代入得，， 解得， 解，得或， ∴； 作轴于，轴于，设直线交轴于，则， ∴， ∴ ， ∴． 变式15．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）一次函数的图象与反比例函数的图象交于，．与x轴交于C． (1)求a，b，k的值； (2)观察图象，直接写出不等式的解集； (3)延长交反比例函数图象于点P．求的面积． 【答案】(1)，，； (2)或； (3) 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过， ， ， ， ， ， 点、在的图象上， ， 解得：， ∴，，； （2）解：由图象可得：不等式的解集为或； （3）解：由（1）可知一次函数为， 令，则， ， ， ， 延长交反比例函数图象于点，则点与点关于原点对称， ， ． 例16．（23-24九年级上·安徽宿州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，长方形的边分别在轴、轴上，点的坐标为，双曲线的图象经过线段的中点． (1)求的值； (2)若点在反比例函数的图象上运动（不与点重合），过作轴于点，记的面积为，求关于的解析式，并写出的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）根据长方形的性质得到点的坐标，再代入到即可求解； （）由（）得到反比例函数解析式为，由反比例函数可得，，分点在的上方和下方两种情况解答即可求解； 本题考查了用待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的几何应用，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵长方形的边分别在轴、轴上，点的坐标为， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴反比例函数解析式为， ∵点在反比例函数的图象上运动（不与点重合）， ∴， 当点在的上方运动时，如图，此时， ∵轴， ∴，， ∴ ∴； 当点在的上方运动时，如图，此时， ∵轴， ∴，， ∴， ∴； 综上，． 【技巧方法与总结】①待定系数法求函数的解析式；②联立函数表达式为方程组，求函数图象的交点坐标；③根据反比例函数关系式表示反比例函数图象上的点的坐标；④根据已知的三角形、平行四边形等几何性质表示其他相关点的坐标，列等量关系解题． 【题型十二：反比例函数的实际应用】（含学科融合） 例16． （23-24八年级下·江苏苏州·期末）公元前3世纪，古希腊学者阿基米德发现了著名的“杠杆原理”．杠杆平衡时，阻力阻力臂动力动力臂．几位同学玩撬石头的游戏，已知阻力（石头重量）和阻力臂分别为和． (1)设动力臂为，动力为，求出与的函数表达式； (2)若小明使用的力量，他该选择动力臂为多少米的撬棍正好能撬动这块大石头？ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：，则； （2）解：当时，，则． 变式16-1．（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）已知汽车前灯电路上的电压保持不变，选用灯泡的电阻与通过的电流强度I（A）成反比例．当选用灯泡的电阻为时，测得通过的电流强度为． (1)求I关于R的函数表达式和自变量R的取值范围； (2)若通过的电流强度I正好为，求选用灯泡的电阻R的值． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：设I关于R的函数表达式为， 将，代入得，， ∴， 由题意知，， ∴I关于R的函数表达式为，自变量R的取值范围； （2）解：将代入得，， 解得，， ∴选用灯泡的电阻R的值为． 变式16-2．（23-24八年级下·浙江衢州·期末）综合与实践：如何测量一个空矿泉水瓶的质量? 素材1：如图1是一架自制天平，支点O固定不变，左侧托盘 A 固定在某处，右侧托盘B 在横梁滑动．在A中放置一个重物，在B中放置一定质量的砝码，移动托盘B可使天平左右平衡．增加砝码的质量，多次试验，将砝码的质量与对应的OB长度记录下来，并绘制成散点图（如图2） ． 素材2：由于一个空的矿泉水瓶太轻，无法称量．小组进行如下操作，保持素材1的装置不变，在托盘 B中放置一个内盛水的矿泉水瓶，移动托盘B，使得天平左右平衡，测得 ． (1)任务 1：请在图1中连线，猜想y关于x的函数类型，并求出函数表达式，且任选一对对应值验证． (2)任务2：求出一个空矿泉水瓶的质量． 【答案】(1)图见解析；反比例函数；；见解析 (2) 【详解】（1）解：连线如下图所示： 反比例函数；                                         设 y关于x的函数表达式为 ， 把代入函数表达式得，解得，             ∴y关于x的函数表达式为 ．                        把代入函数表达式，得， 成立． （2）解：当时, 即, 解得． 则． 所以空矿泉水瓶的质量为． 【技巧方法与总结】①天平问题：动力动力臂阻力阻力臂；②电阻R、电流I、电压U之间的关系：电流I关于电阻R的函数表达式为． 例17．（2024·安徽六安·二模）某水果店今年2月至5月份销售甲、乙两种新鲜水果，已知甲种水果每月售价与x月份之间关系如下表所示： 月份x 2 3 4 5 售价份（元） 12 8 6 4．8 甲种水果进价元/千克与月份x之间满足，销售量P千克与x之间满足． 乙种水果每个月售价与月份x之间满足，对应图象如图所示． 乙种水果进价元/千克与x之间满足，平均每月销售160千克． (1)用所学的函数模型刻画与x之间的函数关系式 (2)求与x之间的函数关系式； (3)试求水果店哪个月销售甲、乙两种水果获得的总利润最大，最大总利润是多少元？ 【答案】(1)（，为整数） (2) (3)水果店2月销售甲乙两种水果获得的总利润最大，为1480元 【详解】（1）解：由题意，根据表格数据，， 与之间成反比例函数关系． 故可设， ． （，为整数）； （2）解：由题意，将，代入中， ． ． ． （3）解：由题意，设水果店销售甲、乙两种水果的总利润为元，销售甲种水果利润为元，销售乙种水果利润为元， 则 ． ， 当时，最大，最大值为1480元． 答：水果店2月销售甲乙两种水果获得的总利润最大，为1480元． 变式17．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）学校下午放学时校门口的“堵塞”情况已成为社会热点问题，某校对本校下午放学校门口“堵塞”情况做了一个调查发现：每天放学时间2分钟后校门外学生流量变化大致可以用“拥挤指数”（）与放学后时间（分钟）的函数关系描述．如图，2～12分钟呈二次函数状态，且在第12分钟达到该函数最大值100，此后变化大致为反比例函数的图象趋势．若“拥挤指数”，校门外呈现“拥挤状态”，需要护学岗执勤人员维护秩序、疏导交通． (1)求该二次函数的解析式和k的值； (2)“拥挤状态”持续的时间是否超过15分钟？请说明理由． 【答案】(1)； (2)“拥挤状态”持续的时间没有超过15分钟 【详解】（1）解：设该二次函数的解析式为， 把点代入，得，解得： ∴所求二次函数的解析式为 把点代入得：； （2）解：没有超过15分钟， 理由如下： 由解得：，（舍去）， 由，解得：， ， 所以“拥挤状态”持续的时间没有超过15分钟． 一、选择题 1．（23-24八年级上·上海闵行·期末）下列说法正确的是（    ） A．周长为1的矩形的长与宽成正比例 B．面积为1的等腰三角形的腰长与底边长成正比例 C．面积为1的矩形的长与宽成反比例 D．等边三角形的面积与它的边长成正比例 【答案】C 【详解】解：A、设长方形的长为x、宽为y， ∴，即， ∴长方形的长和宽不成任何比例关系，故本选项错误； B、设等腰三角形的腰为a，底边长为b， ∴等腰三角形底边上的高为， ∵等腰三角形的面积为1， ∴，即， ∴面积一定的等腰三角形的腰长和底边长不成任何比例关系，故本选项错误； C、∵长方形的面积长宽，该长方形的面积是定值1， ∴长与宽的乘积为定值， ∴面积为1的长方形的长与宽成反比例，故本选项正确； D、设等边三角形的边长为t，面积为S， ∴等边三角形的高为， ∴， ∴等边三角形的面积与边长不成比例关系，故本选项错误． 故选C． 2．下列函数中，是的反比例函数的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：、是一次函数，故此选项不符合题意； B、自变量的指数是2，不是反比例函数，故此选项不符合题意； C、符合反比例函数的定义，是的反比例函数，故此选项符合题意； D、是二次函数，故此选项不符合题意． 故选：C． 3．受到压力为（F为常数）的物体，所受的压强与受力面积的函数表达式为，则这个函数的图象为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，F为常数， 的图象是双曲线，且双曲线的图象在第一、三象限， ， 双曲线的图象在一象限, 故选：． 4．（23-24九年级上·山西吕梁·期末）已知反比例函数的图象经过点与），则的值为（   ） A． B．4 C． D．8 【答案】B 【详解】解：设反比例函数解析式为：， 代入点，解得：， 代入，解得：， 故选B． 5．反比例函数的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， 则函数在第二、四象限． 故选：B 6．已知反比例函数的图象在第一、三象限内，则k的值为（　　） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】C 【详解】解：∵反比例函数的图象在第一、三象限内， ∴，且， ∴，且， ∴， 故选：C． 7．（23-24九年级上·安徽六安·期末）已知反比例函数，下列说法中正确的是（    ） A．该函数的图象分布在第一、三象限 B．点在该函数图象上 C．y随x的增大而增大 D．该图象是轴对称图形 【答案】D 【详解】解：A、，函数的图象在第二、四象限，选项说法错误，不符合题意； B、因为，所以点不在函数图象上，选项说法错误，不符合题意； C、，在每个象限内，y随着x的增大而增大，选项说法错误，不符合题意； D、，函数的图象在第二、四象限，并且图象是轴对称图形，选项说法正确，符合题意； 故选：D． 8．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）若在反比例函数图象的任一支上，y都随x的增大而增大，则下列点可能在这个函数图象上的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：因为在反比例函数 图象的任一支上，都随的增大而增大， ∴ A、故A不符合题意； B、故B不符合题意； C、故C符合题意； D、故D不符合题意． 故选：． 9．（23-24九年级上·安徽亳州·期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点，反比例函数的图象经过点，则下列结论错误的是（    ） A．当时，随增大而减小 B．当时，随增大而减小 C．当时，随增大而减小 D．当时，随增大而减小 【答案】C 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数图象经过一、三象限，在每个象限内，随增大而减小， ∴当时，随增大而减小，当时，随增大而减小，当时，随增大而减小， 当，时，随增大而减小，故C不正确； 故选：C． 10．如图，反比例函数的图象与经过原点的直线相交于、两点，点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：反比例函数的图象与经过原点的直线相交于、两点， 、两点关于原点对称， 点的坐标为， 点的坐标为． 故选D． 11．（23-24八年级下·四川眉山·期中）若函数是反比例函数，且时，随的增大而减小，则的值是（    ） A． B．1 C． D．不能确定 【答案】B 【详解】∵是反比例函数， ∴， 解得． ∵当时，y随着x的增大而减小， ∴反比例函数的图象一支位于第一象限， 则， ∴． 故选：B． 12．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：当时，一次函数的图像经过第一、二、三象限，且经过点；反比例函数的图像在第一、三象限，没有选项中的图像符合题意； 当时，一次函数的图像经过第二、三、西象限，且经过点，反比例函数的图像在第二、四象限，选项C中图像符合题意，选项A、B、D中图像不符合题意， 综上，选项C符合题意， 故选：C． 13．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）反比例函数的图象在每个象限内，函数随的增大而减小，则的值可以(　　) A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】D 【详解】解：根据题意，， 解得， ∴满足题意， 故选：D． 14．（23-24九年级上·安徽滁州·期末）若三点都在反比例函数的图像上，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵， ∴同一象限内，y随x的增大而减小， ∴，， ∴， 故选A． 二、填空题 15．（2024·陕西榆林·三模）已知点关于y轴的对称点在反比例函数的图象上，则a的值为 ． 【答案】 【详解】解：与关于y轴的对称， ， 解得：， 故答案为：． 16．（23-24八年级下·江苏盐城·期末）在平面直角坐标系中，若点，在反比例函数的图像上，则 ．（填 “”“”或“”）． 【答案】 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象在二、四象限， ∵， ∴点，在第四象限，y随x的增大而增大， ∴． 故答案为：． 17．（2024·云南·中考真题）已知点在反比例函数的图象上，则 ． 【答案】 【详解】解：点在反比例函数的图象上， ， 故答案为：． 18．（2023·广西桂林·二模）如图，双曲线（为常数，）与直线（为常数，）相交于、两点，如果点的坐标是，那么点的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：点、关于原点对称， 点的坐标为， 故答案为：． 19．（2024·四川遂宁·中考真题）反比例函数的图象在第一、三象限，则点在第 象限． 【答案】四/ 【详解】解：∵反比例函数的图象在第一、三象限， ∴ ∴ ∴点在第四象限， 故答案为：四． 20．（23-24八年级下·江苏常州·期末）反比例函数的图象经过，，三点，则的值为 ． 【答案】1 【详解】解：∵反比例函数的图象经过， ∴ 解得：， ∴ ∴反比例数解析式为， 将点代入得，，解得：， 故答案为：1． 21．（2024·内蒙古包头·中考真题）若反比例函数，，当时，函数的最大值是，函数的最大值是，则 ． 【答案】/ 【详解】解：函数，当时，函数随的增大而减小，最大值为， 时，， ，当时，函数随的增大而减大，函数的最大值为， ． 故答案为：． 22．已知P、Q两点分别在反比例函数和的图象上，若点与点关于y轴对称，则m的值为 ． 【答案】1 【详解】解：设， 点与点关于y轴对称， 点， P、Q两点分别在反比例函数和的图象上， 解得：， 故答案为∶1． 23．（2024·北京东城·二模）在平面直角坐标系中，若点是函数和的图象的一个交点，则这两个函数图象的另一个交点的坐标是 ． 【答案】 【详解】解：∵正比例函数和反比例函数的图象的两个交点关于原点对称， ∴由一个交点的坐标是，可得另一个交点的坐标是， 故答案为：． 24．（2024·江苏南京·三模）如图，图像分别是反比例函数、、（为常数）的部分图像，比较的大小关系 ．（用“或”连接） 【答案】 【详解】解：∵反比例函数、的图象分布在第三象限， ∴，， 又∵反比例函数随的增大减小的更快， ∴， ∵反比例函数的图象分布在第四象限， ∴， ∴． 25．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）如图，点是反比例函数的图象上的任意一点，若过点作轴，垂足为，使得的面积等于，则 ．    【答案】 【详解】解：根据题意可知：，即． 又反比例函数的图象位于第二象限， ， ． 故答案为：． 26．如图，反比例函数的图象上有一点，轴于点，点在轴上，则的面积为 ． 【答案】 【详解】解：连接， ∵轴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 27．（23-24八年级下·四川乐山·期末）如下图所示，已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两个点． (1)求这两个函数的解析式； (2)当时，根据图象直接写出满足时x的取值范围． 【答案】(1)一次函数解析式为，反比例函数解析式为 (2) 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两个点． ∴把、代入得， ， 解得，， ∴一次函数解析式为； 把代入，得， 解得，， 所以，反比例函数的解析式为 （2）解：由图象得：x的取值范围是． 28．如图，直线与反比例函数，且的图象交于点A，点A的横坐标为2． (1)求反比例函数的表达式． (2)点B在反比例函数图象上，且点B的纵坐标是6，连接，．求的面积． 【答案】(1) (2)18 【详解】（1）解：点横坐标为2，且在直线的图象上， ， ， ∵点在反比例函数，且的图象上， ， ∴反比例函数解析式为． （2）解：∵点在反比例函数图象上，且点的纵坐标是6， ， 设直线的解析式为， ， 解得， ∴直线的解析式为， ∴直线与轴的交点为， ． 29．台灯的亮度控制可以通过用旋钮调节电阻控制电流的变化来实现．如图是该台灯的电流与电阻的反比例函数图象，该图象经过点． (1)求关于的函数解析式； (2)当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：设反比例函数解析式为， 反比例函数图象经过点， ， 关于的函数解析式为； （2）解：当时，， 当时，， 当时，的取值范围为． 30．（2024·安徽芜湖·一模）如图，一次函数与反比例函数的图像交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据图像，直接写出满足的x的取值范围． 【答案】(1)反比例函数的解析式为；一次函数解析式为 (2)或 【详解】（1）解：∵在反比例函数的图像上， ∴， ∴反比例函数的解析式为； 又在反比例函数的图像上， ∴， 解得，， ∴， 把，代入得： ， 解得，， ∴一次函数解析式为； （2）解：∵， ∴由图象得，当或时，一次函数的图象在反比例函数的图象上或上方， ∴不等式的x的取值范围为或． 31．（23-24九年级上·安徽亳州·期末）如图，二次函数与反比例函数的图象交于． (1)求k的值； (2)根据图象，写出二次函数值大于反比例函数值时x的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解：将代入得，， ∴， 将代入得，， 解得，， ∴k的值为； （2）解：由图象可知，二次函数值大于反比例函数值时x的取值范围为或． 32．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象交于，两点，与轴交于点． (1)求反比例函数的表达式与点坐标； (2)请直接写出不等式的解集； (3)若点是线段上的一个动点，作轴交反比例函数的图象于点，则的面积的最大值为______． 【答案】(1)y， (2)或 (3) 【详解】（1）解：在一次函数的图象上， ， 即， 又在反比例函数图象上， ，即， 反比例函数的表达式为：， 一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象交于，两点， 设点， ， ， ， 或， ； （2）解：，即求一次函数的函数值大于反比例函数的函数值时的解集， 由图象可知：当或时，； （3）解：由题意可知：设点， ， ， ， 当，即时， 的面积的最大值为：， 故答案为：． 1．（23-24九年级下·山东泰安·期中）已知二次函数的图象如图所示，则正比例函数的图象与反比例函数的图象在同一坐标系中大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵二次函数的图象开口方向向下， ∴， 对称轴在y轴的右边， ∴， ∴， 当时，， ∵， ∴， ∴反比例函数的图象在第一、三象限，正比例函数的图象在第一、三象限． 故选：C． 2．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）已知二次函数的图象如图所示．则一次函数图象和反比例函数的图象在同一坐标系中大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下， ∴， ∵， ∴， ∵抛物线交轴的正半轴， ∴， ∴直线经过一、二、三象限， 由图象可知：当时，， ∴， 反比例函数的图象必过一、三象限， 综上所述：A、C、D错误，B正确， 故选：B． 3．（23-24九年级上·安徽安庆·期中）某医药研究所开发一种新药，成年人按规定的剂量服用，服药后每毫升血液中的含药量y（毫克）与时间t（时）之间的函数关系近似满足如图所示曲线，当每毫升血液中的含药量不少于0．8毫克时治疗有效，则服药后治疗疾病的有效时间为 小时．    【答案】4．8 【详解】解：由题意可得： 当时，， 当时，函数关系式为， 将代入可得：， 所以与的函数关系式为； 当时，函数关系式为， 将代入可得：， 所以与的函数关系式是：； 当时，将代入可得：， 解得：； 当时，将代入可得：， 解得：． （小时）， 所以成年人服药一次有效的时间是小时． 故答案为：． 4．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，平面直角坐标系中，的边在x轴的正半轴，B、C在第一象限内，反比例函数的图象经过点C和边的中点D，点D到x轴的距离为3，则平行四边形的面积为 ． 【答案】36 【详解】点D到x轴的距离为3， 点D的纵坐标为3， 点D的纵坐标代入得：    点D的坐标为 点D为AB中点， 点B的纵坐标为6， 四边形为平行四边形， 点C的纵坐标为6， 点C的纵坐标代入 ， ， ， 延长交y轴E于，作轴于F， ，， ， ，，， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， ， 故答案为：36 5．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，是等边三角形，过原点，底边轴交轴于点，双曲线过A、B两点，过点作轴交双曲线于点，若，则的值是 ． 【答案】6 【详解】解：如图，过点作与点， 双曲线过A、B两点，且过原点， 设，则， ，， ，， 是等边三角形，， ， ， ， 轴， ， 轴， ， ， ， ， ， 故答案为：6 6．【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻R、之间关系为，通过实验得出如下数据： R/Ω … 1 2 b 4 6 … I/A … a 3 2．4 2 1．5 … (1)______，______； (2)根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数的图象与性质． ①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象； ②随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是______； (3)结合（2）中函数图象分析，当时，的解集为______． 【答案】(1)4，3 (2)①见解析；②不断减小 (3)或． 【详解】（1）根据题意得：，， ，， 故答案为：4，3， （2）①根据表格数据描点，在平面直角坐标系中函数的图象如图 ②由图象可知随着自变量的不断增大，函数值的不断减小， 故答案为：不断减小； （3）作函数的图象，如图2， 由函数图象可知， 当或时，， 即当时，的解集为：或， 故答案为：或． 7．（2024·安徽蚌埠·三模）小贤是滑雪运动员，在如图所示的一段滑板赛道上训练．在一个以水平地面为轴的平面直角坐标系中，这段赛道由两段不完整的曲线构成．其中，段赛道近似满足双曲线，段赛道近似满足抛物线，点处距离地面的高度为，到轴的距离为，点处到轴的距离为，段赛道与轴的交点与水平地面的距离为，落地点与原点的距离也是． (1)求段赛道的解析式及其自变量的取值范围． (2)求这段赛道的最高点距离地面的高度． (3)某运动员在段赛道上滑行至距离轴时，在赛道的同样高度上有一个旗门，问此时该运动员与旗门的水平距离为多少？ 【答案】(1)赛道的解析式为，自变量取值范围为； (2)这段赛道的最高点距离地面的高度为． (3)此时该运动员与旗门的水平距离为． 【分析】（1）待定系数法求出反比例函数解析式，再利用解析式求出自变量取值范围即可； （2）先利用待定系数法求出抛物线解析式，根据解析式求出顶点纵坐标即可； （3）分别求出运动员在两个赛道中的横坐标，再计算水平距离即可． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴赛道的解析式为， 当时，， ∴， ∴赛道的解析式为，自变量取值范围为； （2）解：由题意可知，，， ∵，，都在抛物线图象上， ∴， 解得 ∴抛物线解析式为， 当时，， ∴这段赛道的最高点距离地面的高度为． （3）解：当时，， ∴运动员在段赛道上的坐标为， 在抛物线中，令得 ， 整理得∶， 解得，舍去， ∵， ∴此时该运动员与旗门的水平距离为． 1．（2024·安徽合肥·二模）如图，为坐标原点，面积为8的的斜边经过点O，轴，A，B两点均在反比例函数的图象上． （1） ； （2）等腰的顶点D在反比例函数的图象上，底边经过点C，若的面积为16，，则的长为 ． 【答案】 4 【详解】解：（1）如图，∵的面积为8，轴，反比例函数图象是关于原点成中心对称图形， ∴ 又 ∴ ∴ ∴ 又， ∴； 故答案为：4． （2）∵，的面积为8，设，则， ∴， ∴， ∴点B的坐标为， 如图，过点D作于F，设点D的坐标为，则， ∵的面积为16， ∴，解得 ， ∴， 故答案为：4；． 2．（23-24九年级上·安徽六安·期末）如图，的边在轴的正半轴上，，反比例函数的图象经过点．为反比例函数图像上一动点，过点作轴交于点，交于点， （1）反比例函数的表达式为 ； （2）当点运动到直线上时，连接，记的面积为，的面积为，则的值为 ． 【答案】 / 【详解】解：（1）将代入得：， 解得：， ∴反比例函数解析式为； 故答案为：； （2）∵， ∴， 设直线的解析式为：，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：，， ∴， 把代入得：， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（23-24九年级上·安徽蚌埠·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A，C 恰好落在双曲线 上，且点O在上，交x轴于点M，连接． （1）当点C 坐标为时，B点的坐标为 （写出数值结果）； （2）当平分时，正方形 的边长的值为 ． 【答案】 【分析】（1）先求解，过C作轴于G，过B作轴于Q，证明，可得，，从而可得答案； （2）设，同理可得：，求解直线为：，可得，求解，，如图，过M点作于H点，证明，可得，可得，而，求解,，从而可得答案． 【详解】解：（1）∵在上， ∴，即， 如图，过C作轴于G，过B作轴于Q， ∴， ∵正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴； 故答案为：； （2）设， 同理可得：， 设直线为， ∴， 解得：， ∴直线为：， 当时，则， 解得：，即， ∴， ， 如图，过M点作于H点， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 整理可得：， ∴，而， ∴,， ∴正方形的面积为：， ∴． 故答案为：． 4．【阅读理解】求证：对于任意正实数a、b，． 证明：， ， ，（只有当时，）． 推论：在、均为正实数中，若为定值，则；当时，有最小值． 根据上述内容，回答下列问题： 问题1：若，当　　时，有最小值为_____． 问题2：已知，试求出函数的最小值． 问题3：如图，已知点、，点为双曲线在第一象限内的点．过点作轴于点，轴于点．试求出四边形面积的最小值，并说明此时四边形的形状． 【答案】问题1：4；8 问题2：8 问题3：最小值12，四边形ABCD是菱形 【详解】解：问题1：由【阅读理解】知，当，即（舍去）或时，有最小值， 故答案为：4；8； 问题 ； 由【阅读理解】知，当，即（舍去）或时，有最小值， 当时，函数有最小值； 问题3：设点，其中， 轴，轴， ，， ， ， ， ， ， ， 只有当，即时，有最小值12， 此时，， ，， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$