精品解析：浙江省金华市曙光学校2023-2024学年高二下学期5月期中考试数学试题

金华市曙光学校2023－2024学年第二学期期中考试 高二年级数学试题卷 （时间：80分钟 满分：100分） 一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，每小题列出的四个备选项中只有一个符合题目要求，不选、多选、错选均不得分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数（为虚数单位）的共轭复数是（ ） A B. C. D. 3. 函数的定义域是（ ） A B. C. D. 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 5. 计算：（ ） A. 10 B. 1 C. 2 D. 6. 函数的图象可以看成是将函数的图象（ ）得到的． A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 7. 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为，乙中靶的概率为0.9，且两人是否中靶相互独立．若甲、乙各射击一次，恰有一人中靶的概率为0.26，则（ ） A. 两人都中靶的概率为0.63 B. 两人都中靶的概率为0.70 C. 两人都中靶的概率为0.72 D. 两人都中靶的概率为0.74 8. 如果一个棱长为的正方体的八个顶点都在同一个球面上，且这个球的表面积为，则（ ） A. 1 B. C. D. 9. 在中，角的对边分别为.若，则（ ） A. B. C. D. 10. 我国著名数学家华罗庚先生曾说:“数缺形时少直观，形缺数时难入微.”在数学的学习和研究中，常用函数图象来研究函数性质，也常用函数解析式来研究函数图象的特征，已知函数的部分图象如下图所示，则可能的解析式是（ ） A. B. C. D. 11. 如下图所示，在正方体中，，分别是，中点，则异面直线与所成的角的大小为（ ） A. B. C. D. 12. 已知函数，其中，，若对任意，恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，每小题列出的四个备选项中有多个符合题目要求的，全部选对得4分，部分选对且没有错选得2分，不选、错选得0分） 13. 如图，四边形ABCD为直角梯形，∠D＝90°，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是（ ） A B. C. D. 14. 从某城市抽取100户居民进行月用电量调查，发现他们的用电量都在50到350度之间，将数据按照，，…，分成6组，画出的频率分布直方图如下图所示，则（ ） A. 直方图中的的值为0.0040 B. 这100户居民月用电的平均数约为186度 C. 这100户居民月用电中位数约为200度 D. 这100户居民月用电的众数约为175度 15. 在锐角中，有（ ） A. B. C. D. 16. 已知正方体的棱长为2，点O为的中点，若以O为球心，为半径的球面与正方体的棱有四个交点E，F，G，H，则下列结论正确的是（ ） A. 平面 B. 与EH所成的角的大小为45° C. 平面 D. 平面与平面OEF所成角夹角的余弦值为 三．填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分） 17. 若：；：，则是成立的_______________________条件. 18. 已知向量满足，且向量在向量上的投影向量为，则__________. 19. 沈括的《梦溪笔谈》是中国科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以为圆心为半径的圆弧，C是的中点，D在上，且．记的弧长的近似值为，“会圆术”给出了的一种计算公式：．若，，则根据该公式计算_________． 20. 已知函数，那么___________若存在实数，使得，则的个数是___________. 四、解答题（本大题共3小题，共33分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 21. 全世界越来越关注环境保护问题，某监测站点于2019年8月某日起连续n天监测空气质量指数（AQI），数据统计如下表： 空气质量指数（） [0，50] (50，100] (100.150] (150.200] (200.250] 空气质量等级 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 天数 20 40 m 10 5 （1）根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出n，m的值，并完成频率分布直方图； （2）由频率分布直方图，求该组数据的平均数与中位数. 22. 已知函数，． （1）求的最小正周期； （2）将函数的图象向右平移个单位长度后，得到的图象，求的单调递增区间． 23. 已知函数，其中. （1）当时，求的单调区间； （2）若对任意的，且，都有成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 金华市曙光学校2023－2024学年第二学期期中考试 高二年级数学试题卷 （时间：80分钟 满分：100分） 一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，每小题列出的四个备选项中只有一个符合题目要求，不选、多选、错选均不得分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出集合，然后根据交集的概念计算. 【详解】由题意，，于是. 故选：C 2. 复数（为虚数单位）的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据共轭复数的定义直接得出结果. 【详解】根据共轭复数的定义，的共轭复数是. 故选：D 3. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数特征得到不等式，求出定义域. 【详解】∵， ∴，即函数的定义域为. 故选：D. 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正切函数值及角的范围写出对应的角. 【详解】∵， ∴，又， ∴. 故选：A. 5. 计算：（ ） A. 10 B. 1 C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用对数的运算性质求值即可. 【详解】. 故选：B 6. 函数的图象可以看成是将函数的图象（ ）得到的． A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦型函数图象的变换规律进行求解即可. 【详解】因为， 所以函数的图象可以看成是将函数的图象向右平移个单位得到， 故选：B 7. 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为，乙中靶的概率为0.9，且两人是否中靶相互独立．若甲、乙各射击一次，恰有一人中靶的概率为0.26，则（ ） A. 两人都中靶的概率为0.63 B. 两人都中靶的概率为0.70 C. 两人都中靶的概率为0.72 D. 两人都中靶的概率为0.74 【答案】C 【解析】 【分析】根据相互独立事件概率计算公式，先求得，然后求得正确答案. 【详解】依题意， 解得， 所以两人都中靶的概率为. 故选：C 8. 如果一个棱长为的正方体的八个顶点都在同一个球面上，且这个球的表面积为，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用正方体的体对角线为其外接球的直径，结合球的表面积公式即可得解. 【详解】因为正方体的体对角线为其外接球的直径，且其棱长为， 所以， 由题意可知正方体的外接球的表面积为，则， 所以（负值舍去）. 故选：D. 9. 在中，角的对边分别为.若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 分析】利用正弦定理边化角可求得，结合可求得结果. 【详解】由正弦定理得： 故选： 【点睛】本题考查正弦定理边化角的应用问题，属于基础题. 10. 我国著名数学家华罗庚先生曾说:“数缺形时少直观，形缺数时难入微.”在数学的学习和研究中，常用函数图象来研究函数性质，也常用函数解析式来研究函数图象的特征，已知函数的部分图象如下图所示，则可能的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用特殊值法与导数研究函数的单调性，结合图像的单调性判断即可. 【详解】对于A，因为， 所以，，， 显然，， 所以在上并不单调递减，故A错误； 对于B，因为， 所以，，， 显然，， 所以在上并不单调递增，故B错误； 对于D，因为， 所以，， 显然，， 所以上并不单调递减，故D错误； 对于C，因为， 当时，，由复合函数单调性易知在上单调递增； 当时，，则， 令，则， 令，得；令，得； 所以在上单调递增，在上单调递减， 故，则在上恒成立， 所以在上单调递减； 综上：的单调性满足题意，又排除了ABD，故C正确. 故选：C. 11. 如下图所示，在正方体中，，分别是，的中点，则异面直线与所成的角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件建立空间直角坐标系，利用空间向量求异面直线所成角. 【详解】 以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 设正方体棱长为2，则，，， ，，， 设异面直线与所成的角为,， 则,所以. 故选：C 12. 已知函数，其中，，若对任意，恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先按a的不同取值区间分类讨论在上的最大值，得到a与b 的关系，结合a的范围，求得的最小值，再取不同情况下最小值中的最小者. 【详解】， ①当时，，对称轴为， 在上单调递增， 所以，则， 所以. ②当时，，对称轴为， 在上递增，在上递减， 所以，则， 所以. ③当时， 若，，； 若，， . 当时，， ，； 当时，， ，. 综上所述：的最小值为. 故选：C. 二、多选题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，每小题列出的四个备选项中有多个符合题目要求的，全部选对得4分，部分选对且没有错选得2分，不选、错选得0分） 13. 如图，四边形ABCD为直角梯形，∠D＝90°，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】直接由向量的加减法法则、平面向量基本定理即可解决问题. 【详解】由，知A正确； 由，得知B正确； 由知C正确； 由N为线段DC的中点知，知D错误； 故选：ABC. 14. 从某城市抽取100户居民进行月用电量调查，发现他们的用电量都在50到350度之间，将数据按照，，…，分成6组，画出的频率分布直方图如下图所示，则（ ） A. 直方图中的的值为0.0040 B. 这100户居民月用电的平均数约为186度 C. 这100户居民月用电的中位数约为200度 D. 这100户居民月用电的众数约为175度 【答案】BD 【解析】 【分析】根据频率分布直方图中小矩形面积和为1即可求出，则可判断A，再利用平均数、中位数和众数计算公式即可判断BCD. 【详解】对A，由图得，解得 ，故A错误， 对B，平均数为，故B正确； 对C，，，， 因为， 则中位数位于区间范围，则设中位数为， 有，解得，故C错误； 对D，根据表格可知月平均用电量的众数为，故D正确. 故选：BD. 15. 在锐角中，有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据正弦定理可判断AB；根据的范围和两角和的正弦展开式可判断C；取特殊值可判断D. 【详解】对于A，根据正弦定理，因为可得，故A正确； 对于B，因为可得，再由正弦定理可得，故B正确； 对于C，因为中，所以，所以，故C正确； 对于D，当，故D错误 故选：ABC. 16. 已知正方体的棱长为2，点O为的中点，若以O为球心，为半径的球面与正方体的棱有四个交点E，F，G，H，则下列结论正确的是（ ） A. 平面 B. 与EH所成的角的大小为45° C. 平面 D. 平面与平面OEF所成角夹角的余弦值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】首先根据球的性质、勾股定理说明E，F，G，H分别是正方体棱的中点，再根据线面平行的判定定理、异面直线所成角的求法、线面垂直的性质以及二面角的定义、等腰三角形进行判断. 【详解】在正方体中，平面，又平面，所以，在中，，又正方体的棱长为2，点O为的中点，所以，又，设，所以，即H是正方体棱的中点，同理可证，E，F，G分别是棱，，的中点. 对于选项A，因为G，H分别是棱、的中点，所以，又平面，平面，所以平面，故A正确； 对于选项B，因为，所以与EH所成的角即为，因为E，H分别是棱、的中点，大小为45°，故B正确； 对于选项C，因为E，H分别是棱、的中点，所以，因为G，H分别是棱、的中点，所以面，所以，又，所以平面，又，所以不垂直于平面，故C错误； 对于选项D，取EF、GH的中点I、Q，连接OI 、QI、QO，因为OF=OE，所以，同理可证，所以即为平面与平面OEF所成角的平面角，根据勾股定理有：，，，所以在等腰中有：. 所以平面与平面OEF所成角夹角的余弦值为，故D正确. 故选：ABD. 三．填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分） 17. 若：；：，则是成立的_______________________条件. 【答案】必要不充分 【解析】 【分析】举出反例可得充分性不成立，但必有，必要性成立. 【详解】由不能推出，例如，充分性不成立， 但必有，必要性成立， 所以：是：的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分 18. 已知向量满足，且向量在向量上的投影向量为，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的计算公式可得向量夹角的余弦值，根据向量模的计算公式即可求解. 【详解】解：设向量的夹角为， 因为向量在向量上的投影向量为，所以， 又，解得：， 因为， 所以. 故答案为：. 19. 沈括的《梦溪笔谈》是中国科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以为圆心为半径的圆弧，C是的中点，D在上，且．记的弧长的近似值为，“会圆术”给出了的一种计算公式：．若，，则根据该公式计算_________． 【答案】## 【解析】 【分析】连接，分别求出，再根据题中公式即可得出答案. 【详解】如图，连接， 因为是的中点， 所以， 又，所以三点共线， 即， 又， 所以， 则，故， 所以. 故答案为： 20. 已知函数，那么___________若存在实数，使得，则的个数是___________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】求出的值，再计算的值；设，则，可求得或，再解方程或，可求得的值即可求解. 【详解】因为，所以， 所以， 设，则， 当时，，可得， 当时，，可得， 所以或， 当时，由或可得或； 当时，或， 可得或（舍）或或， 综上所述：，，，，，有个符合题意， 故答案为：；. 四、解答题（本大题共3小题，共33分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 21. 全世界越来越关注环境保护问题，某监测站点于2019年8月某日起连续n天监测空气质量指数（AQI），数据统计如下表： 空气质量指数（） [0，50] (50，100] (100.150] (150.200] (200.250] 空气质量等级 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 天数 20 40 m 10 5 （1）根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出n，m的值，并完成频率分布直方图； （2）由频率分布直方图，求该组数据的平均数与中位数. 【答案】（1），，频率分布直方图如下 （2）平均数为95，中位数为87.5 【解析】 【分析】（1）可得空气质量指数在的频数和频率，即可求出，进而求得，则可得出频率分布直方图； （2）根据频率分布直方图直接计算即可 【小问1详解】 由图可得空气质量指数在的有20天，频率为，所以， 所以， 则可得频率分布直方图如下： 【小问2详解】 由频率分布直方图可得平均数为， 因为的频率，的频率， 所以中位数在内，设为， 则，解得. 22. 已知函数，． （1）求的最小正周期； （2）将函数的图象向右平移个单位长度后，得到的图象，求的单调递增区间． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用两角和差的正弦公式展开结合三角恒等式化简,进一步利用即可求解. （2）先根据平移法则求出，进而根据三角函数单调区间的求法解不等式即可得解. 【小问1详解】 由题意有， ， 结合二倍角公式， 有， 又且， 因此； 【小问2详解】 由题意， 又余弦函数的单调增区间为， 依题意有， 解得， 因此的单调递增区间为. 23. 已知函数，其中. （1）当时，求的单调区间； （2）若对任意的，且，都有成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为，. （2） 【解析】 【分析】（1）将函数写成分段函数，结合二次函数的性质得到函数的单调区间； （2）不妨令，则，令，依题意可得在上单调递增，又，对分类讨论，分确定在上单调性，即可得解. 【小问1详解】 当时, 当时，所以在上单调递减，在上单调递增， 当时，则在上单调递增， 综上可得的单调递减区间为，单调递增区间为，. 【小问2详解】 因为对任意的，且，都有成立， 不妨令，则，即， 令，则当时， 即在上单调递增， 又， 当时，对称轴为， 若，即时在上单调递增， 若，即时，此时在上单调递增， 若时，则，此时在上单调递减，在上单调递增，不符合题意， 若时，，此时在上单调递减，在上单调递增，不符合题意， 令，解得，当时，当时， 若时，，此时在上单调递减，在上单调递增，不符合题意， 当时，此时在上单调递增，在上单调递增，且函数连续， 所以在上单调递增，符合题意； 当时，此时在上单调递增，在上单调递增，且函数连续， 所以在上单调递增，符合题意； 当时，此时在上单调递增，符合题意； 综上可得或，即实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$