第2章《有理数》章节总复习（知识精讲+易错点拨+十六大考点讲练+难度分层真题练）-2024-2025学年苏科版2024新教材七年级数学上册核心考点培优讲练

2024-2025学年苏科新版数学七年级上册同步培优核心考点讲练●新教材 第2章《有理数》章节总复习 （知识精讲+易错点拨+十六考点讲练+难度分层真题练） 新知精讲梳理 2 高频易错知识点拨 3 考点讲练1：正数和负数 4 考点讲练2：有理数 5 考点讲练3：数轴 6 考点讲练4：相反数 7 考点讲练5：绝对值 8 考点讲练6：非负数的性质：绝对值 9 考点讲练7：倒数 9 考点讲练8：有理数的加法 10 考点讲练9：有理数的减法 11 考点讲练10：有理数的加减混合运算 12 考点讲练11：有理数的乘法 13 考点讲练12：有理数的除法 14 考点讲练13：有理数的乘方 15 考点讲练14：非负数的性质：偶次方 16 考点讲练15：有理数的混合运算 16 考点讲练16：科学记数法—表示较大的数 17 中等题真题汇编练 17 培优题真题汇编练 20 新知精讲梳理 知识点01：正数和负数 正数和负数的概念 正数：比0大的数，如+1、+2、3.14等，通常“+”号可以省略不写。 负数：比0小的数，如-1、-2、-3.14等。 0：既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界点。 具有相反意义的量 在生活中，许多量具有相反意义，如收入与支出、上升与下降等。正数可以表示其中一种意义的量，负数则表示与其相反意义的量。 知识点02：数轴 数轴的定义 数轴是一条直线，规定了原点、正方向和单位长度。原点代表0，正方向通常规定为向右或向上，单位长度用于度量数轴上两点之间的距离。 数轴上的点与有理数的关系 数轴上的每一个点都对应一个有理数，反之亦然。正数对应数轴上原点右侧的点，负数对应数轴上原点左侧的点，0对应原点。 数轴的应用 数轴可以用于比较有理数的大小，也可以用于表示有理数的加法、减法运算过程。 知识点03：绝对值与相反数 绝对值：绝对值表示一个数在数轴上对应的点到原点的距离。正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。 绝对值用“| |”表示，如|a|表示数a的绝对值。 相反数：一个数的相反数是与该数和为零的数。正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0。 相反数的性质：互为相反数的两数之和为0；相反数的绝对值相等。 知识点04：有理数的加减法 有理数加法法则 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 互为相反数的两数相加得0。 一个数与0相加仍得这个数。 有理数减法法则 减去一个数等于加上这个数的相反数。 知识点05：有理数的乘除法 有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 任何数与0相乘都得0。 有理数除法法则：除以一个不等于0的数等于乘以这个数的倒数。 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 知识点06：有理数的乘方 有理数的乘方表示n个相同因数相乘的积，记作a^n。其中，a是底数，n是指数。 正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0。 知识点07：有理数的混合运算 有理数的混合运算包括加、减、乘、除、乘方等运算。 在进行混合运算时，应遵循“先乘方，后乘除，最后加减”的运算顺序，并注意使用括号改变运算顺序。 运算过程中，应注意符号的变化和绝对值的处理。 高频易错知识点拨 易错知识点01：正数和负数: 理解误区：学生可能错误地认为带“+”号的数就是正数，带“-”号的数就是负数。实际上，正数前面的“+”号可以省略，而负数前面的“-”号不能省略。 应用错误：在解决实际问题时，学生可能无法准确判断某个量是正数还是负数，导致计算结果错误。 易错知识点02：数轴 数轴三要素：学生可能忽略数轴的原点、正方向和单位长度这三个要素中的任何一个，导致在数轴上表示数时出现错误。 数轴上的点：学生可能错误地认为数轴上的每一个点都表示一个有理数，而实际上数轴上的点可以表示任意实数，包括无理数。 易错知识点03：绝对值与相反数 绝对值的定义：学生可能混淆绝对值的几何意义和代数意义，导致在求解绝对值时出错。 相反数的理解：学生可能错误地认为只有带相反符号的数才是相反数，而实际上只有符号不同的两个数才互为相反数，且0的相反数是0。 易错知识点04：有理数的加法与减法 异号相加：学生可能在异号有理数相加时忘记取绝对值较大的加数的符号，或者用较大的绝对值减去较小的绝对值时出现错误。 减法转加法：学生可能在将有理数减法转化为加法时出错，特别是忘记给减数添加负号。 易错知识点05：有理数的乘法与除法 符号判断：学生可能在有理数乘法或除法中忘记判断符号，或者错误地认为异号相乘为正、同号相乘为负。 零的运算：学生可能忘记任何数与0相乘都得0，或者错误地认为0可以作除数。 易错知识点06：有理数的乘方 易错点： 底数的正负：学生可能在计算有理数的乘方时忽略底数的正负，导致结果出错。特别是负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数这一点容易混淆。 乘方与乘法：学生可能将乘方运算误认为是乘法运算的多次重复，而实际上乘方是求相同因数的积的运算。 易错知识点07：有理数的混合运算 运算顺序：学生可能忘记有理数的混合运算顺序是先乘方、再乘除、最后加减，导致计算结果出错。 括号处理：学生可能在处理带有括号的有理数混合运算时忘记先算括号内的运算，或者错误地改变括号内的运算顺序。 考点讲练1：正数和负数 【精讲题】（2023秋•宿豫区期末）某面粉厂生产一种精制面粉，标准质量为千克．如果某袋面粉质量为9.98千克，那么这袋面粉的质量 　 　标准（填“符合”或“不符合” ． 【举一反三练1】（2016秋•扬中市月考）每袋大米以为标准，其中超过标准的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，则图中第3袋大米的实际重量是 　 ． 【举一反三练2】（2023秋•宜兴市校级月考）科技改变世界．快递分拣机器人从微博火到了朋友圈，据介绍，这些机器人不仅可以自动规划最优路线，将包裹准确放入相应的格口，还会感应避让障碍物、自动归队取包裹，没电的时候还会自己找充电桩充电．某分拣仓库计划平均每天分拣20万件包裹，但实际每天的分拣量与计划相比会有出入，下表是该仓库10月份第三周分拣包裹的情况（超过计划量的部分记为正，未达到计划量的部分记为负） 星期 一 二 三 四 五 六 日 分拣情况（单位：万件） 0 （1）该仓库本周内分拣包裹数量最多的一天是星期 　；最少的一天是星期 　　；最多的一天比最少的一天多分拣 　　万件包裹； （2）该仓库本周实际平均每天分拣多少万件包裹？ 考点讲练2：有理数 【精讲题】（2023•海州区校级开学）选择合适的数填在相应的括号里（每个数只能选用一次）． 15，，1.2，，41.5． 小明是七年级学生，身高160厘米，体重 　 千克．他每天坚持晨练30分钟，即使冬天的早上温度达到 　　，他也不怕，坚持锻炼．他沿着学校400米的跑道跑3圈，共 　　千米，大约用 　　分钟，跑步时间占整个晨练时间的 　　． 【举一反三练1】（2023秋•梁溪区校级月考）把几个数用大括号围起来，中间用逗号断开，如：，2，3，2，7，，我们称之为集合，其中的每个数称为该集合的素．如果一个所有元素均为有理数的集合满足：当有理数是集合的元素时，也必是这个集合的元素，这样的集合我们称为好的集合．例如集合，就是一个好的集合． （1）集合　 　好的集合；集合，　　好的集合（两空均填是”或“不是” ； （2）若一个好的集合中最大的一个元素为4001，则该集合是否存在最小的元素？如果存在，请直接写出答案，否则说明理由； （3）若一个好的集合所有元素和为整数，且，则该集合共有几个元素？说明你的理由． 【举一反三练2】（2022秋•宜兴市月考）把几个不相等的数用大括号括起来，中间用逗号断开，如：，7，0，，以这种形式的表述的，我们称之为集合，其中大括号中的每一个数我们称之为此集合的元素，如集合，7，0，中就有，7，0，2022这4个元素． 如果一个集合满足：当有理数是集合中的元素时，有理数也必是这个集合中的元素，那么这样的集合我们称为“好集合”，例如集合，就是一个“好集合”． （1）判断：集合， 　“好集合”；集合，5，3，1，　　“好集合”（填“是”或“不是” ；． （2）请你写出满足条件的两个“好集合”的例子：　　； 　　； （3）在所有“好集合”中，请你写出元素个数最少的集合为 　　 考点讲练3：数轴 【精讲题】（2023秋•梁溪区期末）如图，若数轴上的两点、表示的数分别为、，则下列结论正确的是　　 A． B． C． D． 【举一反三练1】（2023秋•无锡期末）如图，点为原点，、为数轴上两点，，且，点从点开始以每秒4个单位的速度向右运动，当点开始运动时，点、分别以每秒5个单位和每秒1个单位的速度同时向右运动，设运动时间为秒，若的值在某段时间内不随着的变化而变化，则　 ． 【举一反三练2】（2023秋•工业园区校级月考）已知在纸面上有一数轴（如图所示）． （1）操作一：折叠纸面，使表示数1的点与表示数的点重合，则此时表示数4的点与表示数　　的点重合； （2）操作二：折叠纸面，使表示数6的点与表示数的点重合，回答下列问题： ①表示数9的点与表示数　　的点重合； ②若这样折叠后，数轴上的，两点也重合，且，两点之间的距离为10（点在点的左侧），求，两点所表示的数分别是多少？ ③在②的条件下，在数轴上找到一点，设点表示的数为．当时，直接写出的值． 考点讲练4：相反数 【精讲题】（2023秋•玄武区校级期末）下列说法中，正确的是 A．与互为相反数 B．相反数等于它本身的数有无数个 C．有理数一定比大 D．的相反数就是 【举一反三练1】（2016秋•江都区期中）是　　的相反数． 【举一反三练2】（2017秋•泗阳县校级月考）已知是8的相反数，比的相反数小2，求比大多少？ 考点讲练5：绝对值 【精讲题】（2022秋•南通期末）已知，为有理数，，且．当，取不同的值时，的值等于　　 A． B．0或 C．0或 D．或 【举一反三练1】（2023秋•广陵区期中）有理数、、在数轴上的位置如图： （1）判断正负，用“”或“”填空：　0，　　0，　　0． （2）化简：． 【举一反三练2】（2022秋•宜兴市月考）阅读下列材料：，即当时，．用这个结论可以解决下面问题： （1）已知，是有理数，当时，求的值； （2）已知，，是有理数，当时，求的值； （3）已知，，是有理数，，，求的值． 考点讲练6：非负数的性质：绝对值 【精讲题】（2023秋•相城区校级月考）已知、满足，则的值是 　　． 【举一反三练1】（2023秋•姑苏区校级月考）请根据图示的对话解答下列问题． （1）　　，　　． （2）已知，求的值． 【举一反三练2】（2023秋•滨海县月考）（1）若，求的值． （2）已知与互为相反数．求的值． 考点讲练7：倒数 【精讲题】（2023秋•梁溪区校级月考）当　　时，和互为倒数． 【举一反三练1】（2021秋•谷城县期中）的相反数是　 　，　 　的倒数是． 【举一反三练2】（2022秋•工业园区校级月考）若、互为相反数，、互为倒数，的绝对值为2． （1）直接写出，，的值； （2）求的值． 考点讲练8：有理数的加法 【精讲题】（2023秋•宜兴市校级月考）如图所示，直径为单位1的圆从原点沿着数轴无滑动的逆时针滚动一周到达点，则点表示的数是　　 A． B． C． D． 【举一反三练1】（2022秋•通州区校级期末）下表记录的是今年长江某一周内的水位变化情况，这一周的上周末的水位已达到警戒水位33米（正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降）． 星期 一 二 三 四 五 六 水位 变化（米 （1）本周哪一天长江的水位最高？位于警戒水位之上还是之下？ （2）与上周周末相比，本周周末长江的水位是上升了还是下降了？并通过计算说明理由． 【举一反三练2】（2020秋•江阴市校级月考）阅读第（1）小题的计算方法，再用这种方法计算第（2）小题． （1）计算： （2） 计算：． （3） 考点讲练9：有理数的减法 【精讲题】（2023秋•邗江区期中）有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是　　 A． B． C． D． 【举一反三练1】（2023秋•高邮市校级月考）对于含绝对值的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将绝对值符号去掉，例如： ； ； ； ． 观察上述式子的特征，解答下列问题： （1）把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不用写出计算结果） ①　　； ②　　； （2）当时，　　；当时，　　； （3）计算：． 【举一反三练2】（2022秋•崇川区期末）阅读材料：在一次数学活动课上，小智发现：若一个两位正整数十位上的数字为，个位上的数字为，把十位上的数字与个位上的数字交换位置，原数与所得新数的差等于与的差的9倍． 回答问题： （1）请证明小智的发现； （2）已知一个三位正整数的百位上的数字为，个位上的数字为，把百位上的数字与个位上的数字交换位置，十位上的数字不变，原数与所得新数的差等于495，请直接写出　5　． 考点讲练10：有理数的加减混合运算 【精讲题】（2022秋•高邮市期中）一天早晨的气温是，中午上升了，晚上又下降了，晚上的气温是　　． 【举一反三练1】（2017秋•宝应县月考）在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油，沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从地出发，晚上到达地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米），，，，13，，，． （1）请你帮忙确定地位于地的什么方向，距离地多少千米？ （2）救灾过程中，冲锋舟离出发点最远处有多远？ （3）若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为28升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？ 【举一反三练2】（2022秋•梁溪区校级期中）应我国邀请，俄罗斯特技飞行队在黄山湖风景区进行特技表演．其中一架飞机起飞后的高度变化如下表： 高度变化 上升 下降 上升 下降 下降 记作 （1）此时这架飞机比起飞点高了多少千米？ （2）若飞机平均上升1千米需消耗4升燃油，平均下降1千米需消耗2升燃油，那么这架飞机在这5个特技动作表演过程中，一共消耗多少升燃油？ （3）若某架飞机从地面起飞后先上升，然后再做两个表演动作，这两个动作产生的高度变化分别是和，请你求出这两个表演动作结束后，飞机离地面的高度． 考点讲练11：有理数的乘法 【精讲题】（2023秋•锡山区校级月考）下列说法中正确的个数有　　 ①最大的负整数是； ②相反数是本身的数是正数； ③有理数分为正有理数和负有理数； ④数轴上表示的点一定在原点的左边； ⑤几个有理数相乘，负因数的个数是奇数个时，积为负数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【举一反三练1】（2022秋•邗江区校级月考）三个有理数、、满足，则的值为 　　． 【举一反三练2】（2023秋•射阳县期末）若定义一种新的运算“”，规定有理数，如． （1）求的值； （2）求的值． 考点讲练12：有理数的除法 【精讲题】（2023秋•金湖县期末）我们把记作，记作，那么计算的结果为　　 A．1 B．3 C． D． 【举一反三练1】（2023秋•虎丘区校级月考）我们知道，，显然与的结果互为倒数关系．小明利用这一思想方法计算的过程如下：因为． 故原式． 请你仿照这种方法计算：． 【举一反三练2】（2023秋•鼓楼区校级月考）如图，小天有5张写着不同数的卡片，请你按照要求抽出卡片，解决下列问题． （1）从中抽出2张卡片，使卡片上的数相除的商最小，应如何抽取？最小的商是多少？ （2）从中抽出3张卡片，使卡片上的数相乘的积最大，应如何抽取？最大的积是多少？ 考点讲练13：有理数的乘方 【精讲题】（2023秋•梁溪区校级月考）下列说法正确的是　　 A．平方为16的数是4 B．平方等于本身的数是1 C．立方等于本身的数是0和1 D．有理数的平方是非负数 【举一反三练1】（2022秋•灌云县期中）下列各数：0，，，，，，其中属于负整数的共有 　　个． 【举一反三练2】（2022秋•钟楼区校级期中）小聪是一个聪明而又富有想象力的孩子．学习了“有理数的乘方”后，他就琢磨着使用“乘方”这一数学知识，脑洞大开地定义出“有理数的除方”概念．于是规定：若干个相同有理数（均不能为的除法运算叫做除方，如，等，类比有理数的乘方，小聪把记作，（2）（2）记作． （1）直接写出计算结果，　　，　　； （2）关于“有理数的除方”下列说法正确的是 　　（填序号） ①，，； ②，； ③对于任何正整数，都有； ④对于任何正整数，当时，都有． （3）小明深入思考后发现： “除方”运算能够转化成乘方运算，且结果可以写成幂的形式，请推导出“除方”的运算公式，为正整数，，，要求写出推导过程将结果写成幂的形式．（结果用含，的式子表示） 考点讲练14：非负数的性质：偶次方 【精讲题】（2021秋•江都区期末）若，则　 　． 【举一反三练1】（2019秋•崇川区校级期中）若，则的倒数是　． 【举一反三练2】（2021秋•崇川区月考）与互为相反数，求代数式的值． 考点讲练15：有理数的混合运算 【精讲题】（2023秋•江阴市期末）甲先写一个两位数63，乙在63的右边写下这个两位数的数字之和9，得到639．甲接着在639的右边写下末两位数字之和12，得到63912．乙用同样的方法写出639123．这样继续下去，若得到一个100位数．则这个100位数的各个数字之和等于　　 A．300 B．315 C．356 D．410 【举一反三练1】（2023秋•靖江市期末）计算： （1） ； （2）． 【举一反三练2】（2023秋•仪征市期末）对有理数，定义了一种新的运算，叫“乘加法”，记作“⊕”．并按照此运算写出了一些式子：2⊕，⊕，2⊕，⊕，⊕，2⊕，2⊕，⊕， （1）根据以上式子特点将“乘加法”法则补充完整： 同号得 　　，异号得 　　，并把绝对值 　　；一个数与0相“乘加”等于 　　； （2）根据法则计算：⊕　　；⊕　　； （3）若括号的作用与它在有理数运算中的作用相同，请计算： ①⊕⊕； ②⊕⊕⊕． 考点讲练16：科学记数法—表示较大的数 【精讲题】（2024•徐州模拟）南海是我国固有领海，她的面积超过东海、黄海、渤海面积的总和，约为3 600 000平方千米．把数3 600 000用科学记数法可表示为 　　 ． 【举一反三练1】（2023秋•新吴区校级月考）2023年5月17日10时49分，我国在西昌卫星发射中心成功发射第五十六颗北斗导航卫星，北斗系统作为国家重要基础设施，深刻改变着人们的生产生活方式．目前，某地图软件调用的北斗卫星日定位量超3000亿次．将数据3000亿用科学记数法表示为　　 A． B． C． D． 【举一反三练2】（2023秋•仪征市校级月考）国庆期间，某景点总流量人口约为3200000人，这个数用科学记数法表示为 　　 ． 中等题真题汇编练 一．选择题 1．（2023秋•启东市校级月考）乐乐把有理数，表示在数轴上，对应点的位置如图所示，下列式子中正确的是　　 ①；②；③；④． A．①② B．①④ C．②③ D．③④ 2．（2022秋•太仓市期末）的倒数是　　 A．2 B． C． D． 3．（2023秋•吴中区月考）点，在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是和．对于以下结论： ①，②，③，④．其中正确的个数是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2021秋•海门市期末）的相反数是　　 A．2 B． C． D． 5．（2021秋•江阴市校级月考）有理数，，在数轴上的对应点如图所示，则化简代数式的结果是　　 A． B． C． D． 6．（2023秋•建邺区期中）某种细菌每分钟可由1个分裂成2个，将1个细菌放在培养瓶中经过64分钟就能分裂满一瓶．若将4个这种细菌放入同一个培养瓶中，分裂满一瓶的时间是　　 A．16分钟 B．32分钟 C．52分钟 D．62分钟 二．填空题 7．（2014•丹阳市校级模拟）每天供给地球光和热的太阳与我们的距离非常的遥远，它距地球的距离约为150 000 000千米，将150 000 000千米用科学记数法表示为 　　千米． 8．（2023秋•秦淮区期末）2022年，全国教育事业统计结果发布，数据显示，全国各级各类学校共52.93万所，将数据52.93万用科学记数法表示为 　　． 9．（2022春•盱眙县期中）如图，数轴上的单位长度为1，有三个点、、，若点、表示的数互为相反数，则图中点对应的数是　　． 10．（2023秋•广陵区期末）如图是一个二阶幻圆模型，现将，2，，4，，6，，8分别填入圆圈内，使横、纵向以及内外圆圈上的4个数字之和都相等，则的值是 　　． 11．（2017秋•宜兴市期中）如图所示是计算机某计算程序，若开始输入，则最后输出的结果是　　． 12．（2017秋•盐都区校级月考）数轴上的点到原点的距离是4，则点表示的数为　 　． 三．解答题 13．（2023秋•高港区期末）计算： （1）； （2）用简便方法计算：． 14．（2020秋•灌云县月考）在数学活动课上，李老师设计了一个游戏活动，四名同学分别代表一种运算，四名同学可以任意排列，每次排列代表一种运算顺序，剩余同学中，一名学生负责说一个数，其他同学负责运算，运算结果既对又快者获胜，可以得到一个奖品． 下面我们用四个卡片代表四名同学（如图） （1）列式，并计算： ①经过，，，的顺序运算后，结果是多少？ ②5经过，，，的顺序运算后，结果是多少？ （2） 探究：数经过，，，的顺序运算后，结果是45，是多少？ 15．（2024春•锡山区校级月考）一般地，个相同的因数相乘记作，如，此时，3叫做以2为底的8的“劳格数”．记为（8），则（8）．一般地，若且，则叫做以为底的“劳格数”，记为（b）．如．则4叫做以3为底的81的“劳格数”，记为． （1）下列各“劳格数”的值：（3）　　，　　，　　． （2）观察（1）中的数据易得，你发现此时（3），，满足关系式是 　　． （3）由（2）的结果，请你猜想与且，，之间的关系，并证明你的猜想． （4）根据上述结论解决下列问题：已知，（3），求（9）的值和的值．且． 培优题真题汇编练 一．选择题 1．（2023秋•赣榆区校级月考）把写成省略括号的代数和的形式，正确的是　　 A． B． C． D． 2．（2023秋•新吴区期末）下列说法正确的是　　 A．的底数是 B．表示5个2相加 C．与意义相同 D．的底数是2 3．（2023秋•常熟市校级月考）下列7个数：、1.010010001、、0、、（每两个2之间依次多一个、，其中有理数有　　个． A．3 B．4 C．5 D．6 4．（2023•东海县开学）规定“※”为一种运算，若对任意两数、，有※，则3※　　 A．9 B．10 C．11 D．12 5．（2019秋•南京期末）取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1．这个结论在数学上还没有得到证明．但举例验证都是正确的．例如：取自然数5．经过下面5步运算可得1，即：如图所示．如果自然数恰好经过7步运算可得到1，则所有符合条件的的值有　　 A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 6．（2023秋•锡山区校级月考）如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的4等分点处分别标上0，1，2，3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示2021的点与圆周上表示哪个数字的点重合？　　 A．0 B．1 C．2 D．3 二．填空题 7．（2023秋•射阳县期末）如图所示是计算机某计算程序，若开始输入，则最后输出的结果是 　　． 8．（2014秋•苏州期末）已知，则　　． 9．（2018秋•广陵区校级月考）定义新运算， 若▽，则▽▽▽▽▽　 　． 10．（2022秋•沭阳县校级月考）已知点和点在同一数轴上，点表示数，点和点相距5个单位长度，则点表示的数是 　　． 11．（2023秋•虎丘区校级月考）下列说法正确的序号是 　　． ①已知，，是非零的有理数，且时，则的值为1或； ②已知，，是有理数，且，时，则的值为或3； ③已知时，那么的最大值为7，最小值为； ④若且，则式子的值为； ⑤如果定义，，当，，时，，的值为． 三．解答题 12．（2022秋•如皋市校级月考）已知有理数，，在数轴上对应的点的位置如图，化简． 13．（2020秋•江都区期中）计算： （1） （2） （3） （4）． 14．（2023秋•海陵区校级月考）最近几年时间，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加，小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表），以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程 （1）这7天里路程最多的一天比最少的一天多走 　　； （2）请求出小明家的新能源汽车这七天平均每天行驶了多少千米？ （3）已知汽油车每行驶需用汽油6升，汽油价9元升，而新能源汽车每行驶耗电量为15度，每度电为0.6元，请估计小明家换成新能源汽车后一个月（按30天计算）的行驶费用比原来节省多少钱？ 15．（2023秋•江都区校级月考）已知、在数轴上分别表示、． （1）对照数轴填写下表： 6 2 4 0 、两点的距离 2 　　 　　 　　 0 （2）写出数轴上到7和的距离之和为14的所有整数，并求这些整数的和； （3）若数轴上表示数的点位于与6之间，求的值； （4）若表示一个有理数，且，求有理数的取值范围． 16．（2023秋•沭阳县期中）学习了绝对值的概念后，我们可以认为：一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，即当时，，根据以上阅读完成下面的问题： （1）　　； （2）如果有理数，则　　； （3）请利用你探究的结论计算下面式子： （4）如图，数轴上有、、三点，化简． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年苏科新版数学七年级上册同步培优核心考点讲练●新教材 第2章《有理数》章节总复习 （知识精讲+易错点拨+十六考点讲练+难度分层真题练） 新知精讲梳理 2 高频易错知识点拨 3 考点讲练1：正数和负数 4 考点讲练2：有理数 6 考点讲练3：数轴 7 考点讲练4：相反数 10 考点讲练5：绝对值 11 考点讲练6：非负数的性质：绝对值 12 考点讲练7：倒数 14 考点讲练8：有理数的加法 14 考点讲练9：有理数的减法 16 考点讲练10：有理数的加减混合运算 18 考点讲练11：有理数的乘法 20 考点讲练12：有理数的除法 21 考点讲练13：有理数的乘方 22 考点讲练14：非负数的性质：偶次方 24 考点讲练15：有理数的混合运算 25 考点讲练16：科学记数法—表示较大的数 26 中等题真题汇编练 27 培优题真题汇编练 33 新知精讲梳理 知识点01：正数和负数 正数和负数的概念 正数：比0大的数，如+1、+2、3.14等，通常“+”号可以省略不写。 负数：比0小的数，如-1、-2、-3.14等。 0：既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界点。 具有相反意义的量 在生活中，许多量具有相反意义，如收入与支出、上升与下降等。正数可以表示其中一种意义的量，负数则表示与其相反意义的量。 知识点02：数轴 数轴的定义 数轴是一条直线，规定了原点、正方向和单位长度。原点代表0，正方向通常规定为向右或向上，单位长度用于度量数轴上两点之间的距离。 数轴上的点与有理数的关系 数轴上的每一个点都对应一个有理数，反之亦然。正数对应数轴上原点右侧的点，负数对应数轴上原点左侧的点，0对应原点。 数轴的应用 数轴可以用于比较有理数的大小，也可以用于表示有理数的加法、减法运算过程。 知识点03：绝对值与相反数 绝对值：绝对值表示一个数在数轴上对应的点到原点的距离。正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。 绝对值用“| |”表示，如|a|表示数a的绝对值。 相反数：一个数的相反数是与该数和为零的数。正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0。 相反数的性质：互为相反数的两数之和为0；相反数的绝对值相等。 知识点04：有理数的加减法 有理数加法法则 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 互为相反数的两数相加得0。 一个数与0相加仍得这个数。 有理数减法法则 减去一个数等于加上这个数的相反数。 知识点05：有理数的乘除法 有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 任何数与0相乘都得0。 有理数除法法则：除以一个不等于0的数等于乘以这个数的倒数。 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 知识点06：有理数的乘方 有理数的乘方表示n个相同因数相乘的积，记作a^n。其中，a是底数，n是指数。 正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0。 知识点07：有理数的混合运算 有理数的混合运算包括加、减、乘、除、乘方等运算。 在进行混合运算时，应遵循“先乘方，后乘除，最后加减”的运算顺序，并注意使用括号改变运算顺序。 运算过程中，应注意符号的变化和绝对值的处理。 高频易错知识点拨 易错知识点01：正数和负数: 理解误区：学生可能错误地认为带“+”号的数就是正数，带“-”号的数就是负数。实际上，正数前面的“+”号可以省略，而负数前面的“-”号不能省略。 应用错误：在解决实际问题时，学生可能无法准确判断某个量是正数还是负数，导致计算结果错误。 易错知识点02：数轴 数轴三要素：学生可能忽略数轴的原点、正方向和单位长度这三个要素中的任何一个，导致在数轴上表示数时出现错误。 数轴上的点：学生可能错误地认为数轴上的每一个点都表示一个有理数，而实际上数轴上的点可以表示任意实数，包括无理数。 易错知识点03：绝对值与相反数 绝对值的定义：学生可能混淆绝对值的几何意义和代数意义，导致在求解绝对值时出错。 相反数的理解：学生可能错误地认为只有带相反符号的数才是相反数，而实际上只有符号不同的两个数才互为相反数，且0的相反数是0。 易错知识点04：有理数的加法与减法 异号相加：学生可能在异号有理数相加时忘记取绝对值较大的加数的符号，或者用较大的绝对值减去较小的绝对值时出现错误。 减法转加法：学生可能在将有理数减法转化为加法时出错，特别是忘记给减数添加负号。 易错知识点05：有理数的乘法与除法 符号判断：学生可能在有理数乘法或除法中忘记判断符号，或者错误地认为异号相乘为正、同号相乘为负。 零的运算：学生可能忘记任何数与0相乘都得0，或者错误地认为0可以作除数。 易错知识点06：有理数的乘方 易错点： 底数的正负：学生可能在计算有理数的乘方时忽略底数的正负，导致结果出错。特别是负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数这一点容易混淆。 乘方与乘法：学生可能将乘方运算误认为是乘法运算的多次重复，而实际上乘方是求相同因数的积的运算。 易错知识点07：有理数的混合运算 运算顺序：学生可能忘记有理数的混合运算顺序是先乘方、再乘除、最后加减，导致计算结果出错。 括号处理：学生可能在处理带有括号的有理数混合运算时忘记先算括号内的运算，或者错误地改变括号内的运算顺序。 考点讲练1：正数和负数 【精讲题】（2023秋•宿豫区期末）某面粉厂生产一种精制面粉，标准质量为千克．如果某袋面粉质量为9.98千克，那么这袋面粉的质量 　符合　标准（填“符合”或“不符合” ． 解：由题意得：． 某袋面粉质量为9.98千克． 这袋面粉的质量符合标准． 故答案为：符合． 【举一反三练1】（2016秋•扬中市月考）每袋大米以为标准，其中超过标准的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，则图中第3袋大米的实际重量是 　49.3　． 解：， 故答案为：． 【举一反三练2】（2023秋•宜兴市校级月考）科技改变世界．快递分拣机器人从微博火到了朋友圈，据介绍，这些机器人不仅可以自动规划最优路线，将包裹准确放入相应的格口，还会感应避让障碍物、自动归队取包裹，没电的时候还会自己找充电桩充电．某分拣仓库计划平均每天分拣20万件包裹，但实际每天的分拣量与计划相比会有出入，下表是该仓库10月份第三周分拣包裹的情况（超过计划量的部分记为正，未达到计划量的部分记为负） 星期 一 二 三 四 五 六 日 分拣情况（单位：万件） 0 （1）该仓库本周内分拣包裹数量最多的一天是星期 　六　；最少的一天是星期 　　；最多的一天比最少的一天多分拣 　　万件包裹； （2）该仓库本周实际平均每天分拣多少万件包裹？ 解：（1）由表可知： 本周内分拣包裹数量最多的一天是星期六， 最少的一天是星期日， 最多的一天比最少的一天多分拣：（万件）， 故答案为：六，日，13； （2）（万件）． 答：该仓库本周实际平均每天分拣21万件包裹． 考点讲练2：有理数 【精讲题】（2023•海州区校级开学）选择合适的数填在相应的括号里（每个数只能选用一次）． 15，，1.2，，41.5． 小明是七年级学生，身高160厘米，体重 　41.5　千克．他每天坚持晨练30分钟，即使冬天的早上温度达到 　　，他也不怕，坚持锻炼．他沿着学校400米的跑道跑3圈，共 　　千米，大约用 　　分钟，跑步时间占整个晨练时间的 　　． 解：小明是七年级学生，身高160厘米，体重41.5千克．他每天坚持晨练30分钟，即使冬天的早上温度达到，他也不怕，坚持锻炼．他沿着学校400米的跑道跑3圈，共1.2千米，大约用15分钟，跑步时间占整个晨练时间的， 故答案为：41.5，，1.2，15，． 【举一反三练1】（2023秋•梁溪区校级月考）把几个数用大括号围起来，中间用逗号断开，如：，2，3，2，7，，我们称之为集合，其中的每个数称为该集合的素．如果一个所有元素均为有理数的集合满足：当有理数是集合的元素时，也必是这个集合的元素，这样的集合我们称为好的集合．例如集合，就是一个好的集合． （1）集合　不是　好的集合；集合，　　好的集合（两空均填是”或“不是” ； （2）若一个好的集合中最大的一个元素为4001，则该集合是否存在最小的元素？如果存在，请直接写出答案，否则说明理由； （3）若一个好的集合所有元素和为整数，且，则该集合共有几个元素？说明你的理由． 解；（1）根据题意可得，，而集合中没有元素0，故不是好的集合； ，， 集合，是好的集合． 故答案为：不是，是． （2）一个好的集合中最大的一个元素为4001，则该集合存在最小的元素，该集合最小的元素是． 中的值越大，则的值越小， 一个好的集合中最大的一个元素为4001，则最小的元素为：． （3）该集合共有22个元素． 理由：在好的集合中，如果一个元素为，则另一个元素为， 好的集合中的元素一定是偶数个． 好的集合中的每一对对应元素的和为：，，，， 又一个好的集合所有元素之和为整数，且， 这个好的集合中的元素个数为：个． 【举一反三练2】（2022秋•宜兴市月考）把几个不相等的数用大括号括起来，中间用逗号断开，如：，7，0，，以这种形式的表述的，我们称之为集合，其中大括号中的每一个数我们称之为此集合的元素，如集合，7，0，中就有，7，0，2022这4个元素． 如果一个集合满足：当有理数是集合中的元素时，有理数也必是这个集合中的元素，那么这样的集合我们称为“好集合”，例如集合，就是一个“好集合”． （1）判断：集合，　不是　“好集合”；集合，5，3，1，　　“好集合”（填“是”或“不是” ；． （2）请你写出满足条件的两个“好集合”的例子：　　； 　　； （3）在所有“好集合”中，请你写出元素个数最少的集合为 　　 （1）解：，4不是集合中的元素， 集合，不是“好集合”， ，，，，，而8，5，3，1，都是该集合的元素， 集合，5，3，1，是“好集合”； 故答案为：不是，是； （2）解：例如，，，（合理即可）． 故答案为：，，，； （3）解：元素个数最少的集合就是只有一个元素的集合，设其元素为， 则有，解得， 故元素个数最少的集合． 故答案为：． 考点讲练3：数轴 【精讲题】（2023秋•梁溪区期末）如图，若数轴上的两点、表示的数分别为、，则下列结论正确的是　　 A． B． C． D． 解：根据数轴可得，且 ，，，故，，错误， ，， ，，则， ，故选项正确． 故选：． 【举一反三练1】（2023秋•无锡期末）如图，点为原点，、为数轴上两点，，且，点从点开始以每秒4个单位的速度向右运动，当点开始运动时，点、分别以每秒5个单位和每秒1个单位的速度同时向右运动，设运动时间为秒，若的值在某段时间内不随着的变化而变化，则　或　． 解：，， ，， 点对应的数为，点对应的数是5， 设经过秒，则， ，， 若时， ， 当，即时，的值在某段时间内不随着的变化而变化； 若时， ， 当，即时，的值在某段时间内不随着的变化而变化； 综上所述，当或时的值在某段时间内不随着的变化而变化． 故答案为：或． 【举一反三练2】（2023秋•工业园区校级月考）已知在纸面上有一数轴（如图所示）． （1）操作一：折叠纸面，使表示数1的点与表示数的点重合，则此时表示数4的点与表示数　　的点重合； （2）操作二：折叠纸面，使表示数6的点与表示数的点重合，回答下列问题： ①表示数9的点与表示数　　的点重合； ②若这样折叠后，数轴上的，两点也重合，且，两点之间的距离为10（点在点的左侧），求，两点所表示的数分别是多少？ ③在②的条件下，在数轴上找到一点，设点表示的数为．当时，直接写出的值． 解：（1）折叠纸面，使表示的点1与重合，折叠点对应的数为， 则表示4的点与表示的点重合； 故答案为：； （2）折叠纸面，使表示数6的点与表示数的点重合，折叠点对应的数为， ①设表示9的点与表示的点重合，于是有，解得， 即表示9的点与表示的点重合； 故答案为：； ②点表示的数为， 点表示的数为， 答：点表示的数是，点表示的数是7； ③， ， 当时，，不符合题意； 当时，， 解得； 当时，， 解得， 综上所述，的值为或8． 考点讲练4：相反数 【精讲题】（2023秋•玄武区校级期末）下列说法中，正确的是 A．与互为相反数 B．相反数等于它本身的数有无数个 C．有理数一定比大 D．的相反数就是 解：．，，故错误， ．相反数等于它本身的数只有0，故错误， ．若小于0，则大于，故错误， ．的相反数就是，正确， 故选：． 【举一反三练1】（2016秋•江都区期中）是　　的相反数． 解：的相反数是， 故答案为：． 【举一反三练2】（2017秋•泗阳县校级月考）已知是8的相反数，比的相反数小2，求比大多少？ 解：由题意得：，， ， 答：比大14． 考点讲练5：绝对值 【精讲题】（2022秋•南通期末）已知，为有理数，，且．当，取不同的值时，的值等于　　 A． B．0或 C．0或 D．或 解：由于，为有理数，， 当、时，且． 当、时，且． 当、时，且． 当、时，且． 故选：． 【举一反三练1】（2023秋•广陵区期中）有理数、、在数轴上的位置如图： （1）判断正负，用“”或“”填空：　　0，　　0，　　0． （2）化简：． 解：（1）由图可知，，，且， 所以，，，； 故答案为：，，； （2） ． 【举一反三练2】（2022秋•宜兴市月考）阅读下列材料：，即当时，．用这个结论可以解决下面问题： （1）已知，是有理数，当时，求的值； （2）已知，，是有理数，当时，求的值； （3）已知，，是有理数，，，求的值． 解：（1）， 、同号， 即，或，， 或； （2）， 、、中有3个正数或一正两负， 当、、都是正数时，； 当、、中有一正两负时，； （3）， ，，， ， ，， 、、中一负两正， ； 答：的值为． 考点讲练6：非负数的性质：绝对值 【精讲题】（2023秋•相城区校级月考）已知、满足，则的值是 　　． 解：， ，， 解得，， ， 故答案为：． 【举一反三练1】（2023秋•姑苏区校级月考）请根据图示的对话解答下列问题． （1）　　，　　． （2）已知，求的值． 解：（1）与2互为相反数，而2的相反数是， ， ， 的倒数是， 即， 故答案为：，； （2），而，， ，， ，， 又，， ，， ， 答：的值为． 【举一反三练2】（2023秋•滨海县月考）（1）若，求的值． （2）已知与互为相反数．求的值． 解：（1）由题意得，，， 解得，， 所以； （2）与互为相反数， ， ，， 解得，， 所以． 考点讲练7：倒数 【精讲题】（2023秋•梁溪区校级月考）当　　时，和互为倒数． 解：和互为倒数， ， 故答案为：． 【举一反三练1】（2021秋•谷城县期中）的相反数是　4.5　，　 　的倒数是． 解：，的相反数是4.5，的倒数是． 故答案为：4.5，． 【举一反三练2】（2022秋•工业园区校级月考）若、互为相反数，、互为倒数，的绝对值为2． （1）直接写出，，的值； （2）求的值． 解：（1）、互为相反数，、互为倒数，的绝对值为2， ，，． （2）当时，； 当时，． 考点讲练8：有理数的加法 【精讲题】（2023秋•宜兴市校级月考）如图所示，直径为单位1的圆从原点沿着数轴无滑动的逆时针滚动一周到达点，则点表示的数是　　 A． B． C． D． 解：直径为单位1的圆的周长为，直径为单位1的圆从原点沿着数轴无滑动的逆时针滚动一周到达点， 点表示的数是． 故选：． 【举一反三练1】（2022秋•通州区校级期末）下表记录的是今年长江某一周内的水位变化情况，这一周的上周末的水位已达到警戒水位33米（正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降）． 星期 一 二 三 四 五 六 水位 变化（米 （1）本周哪一天长江的水位最高？位于警戒水位之上还是之下？ （2）与上周周末相比，本周周末长江的水位是上升了还是下降了？并通过计算说明理由． 解：（1）正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降，由此计算出每天的实际水位即可求值． 本周水位最高的为周五， 周一：， 周二：， 周三：， 周四：， 周五：， ， 故本周五水位最高，高于警戒水位． （2）通过表格可得， 故与上周周末相比，本周周末长江的水位是上升了． 【举一反三练2】（2020秋•江阴市校级月考）阅读第（1）小题的计算方法，再用这种方法计算第（2）小题． （1）计算： 解：原式 上面这种解题方法叫做拆项法． （2）计算：． 解：原式 ． 考点讲练9：有理数的减法 【精讲题】（2023秋•邗江区期中）有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是　　 A． B． C． D． 解：由数轴可知，，， 、，故该项不正确，不符合题意； 、，故该项不正确，不符合题意； 、，故该项正确，符合题意； 、，故该项不正确，不符合题意； 故选：． 【举一反三练1】（2023秋•高邮市校级月考）对于含绝对值的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将绝对值符号去掉，例如： ； ； ； ． 观察上述式子的特征，解答下列问题： （1）把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不用写出计算结果） ①　　； ②　　； （2）当时，　　；当时，　　； （3）计算：． 解：（1）①； ②； 故答案为：，； （2）当时，；当时，； 故答案为：，； （3）原式 ． 【举一反三练2】（2022秋•崇川区期末）阅读材料：在一次数学活动课上，小智发现：若一个两位正整数十位上的数字为，个位上的数字为，把十位上的数字与个位上的数字交换位置，原数与所得新数的差等于与的差的9倍． 回答问题： （1）请证明小智的发现； （2）已知一个三位正整数的百位上的数字为，个位上的数字为，把百位上的数字与个位上的数字交换位置，十位上的数字不变，原数与所得新数的差等于495，请直接写出　5　． （1）证明：由题意可得：原数，新数， 故原数与新数之差为：， 即原数与所得新数的差等于与的差的9倍． （2）解：设十位上的数字是， 根据题意可得；原数，新数， 两数之差为：． ， 则． 故答案为：5． 考点讲练10：有理数的加减混合运算 【精讲题】（2022秋•高邮市期中）一天早晨的气温是，中午上升了，晚上又下降了，晚上的气温是　　． 解：． 故答案为：． 【举一反三练1】（2017秋•宝应县月考）在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油，沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从地出发，晚上到达地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米），，，，13，，，． （1）请你帮忙确定地位于地的什么方向，距离地多少千米？ （2）救灾过程中，冲锋舟离出发点最远处有多远？ （3）若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为28升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？ 解：（1）， 地在地的东边20千米； （2）路程记录中各点离出发点的距离分别为： 14千米；千米； 千米； 千米； 千米； 千米； 千米； 千米． 最远处离出发点25千米； （3）这一天走的总路程为：千米， 应耗油（升， 故还需补充的油量为：（升． 【举一反三练2】（2022秋•梁溪区校级期中）应我国邀请，俄罗斯特技飞行队在黄山湖风景区进行特技表演．其中一架飞机起飞后的高度变化如下表： 高度变化 上升 下降 上升 下降 下降 记作 （1）此时这架飞机比起飞点高了多少千米？ （2）若飞机平均上升1千米需消耗4升燃油，平均下降1千米需消耗2升燃油，那么这架飞机在这5个特技动作表演过程中，一共消耗多少升燃油？ （3）若某架飞机从地面起飞后先上升，然后再做两个表演动作，这两个动作产生的高度变化分别是和，请你求出这两个表演动作结束后，飞机离地面的高度． 解：（1）； 答：此时这架飞机比起飞点高了1千米． （2） （升， 答：一共消耗37升燃油． （3）； ； ； ； 答：飞机离地面的高度为或或或． 考点讲练11：有理数的乘法 【精讲题】（2023秋•锡山区校级月考）下列说法中正确的个数有　　 ①最大的负整数是； ②相反数是本身的数是正数； ③有理数分为正有理数和负有理数； ④数轴上表示的点一定在原点的左边； ⑤几个有理数相乘，负因数的个数是奇数个时，积为负数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解：最大的负整数是，说法正确，故①符合题意； 相反数是本身的数是0，原说法错误，故②不符合题意； 有理数分为正有理数和负有理数和0，原说法错误，故③不符合题意； 数轴上表示的点不一定在原点的左边，原说法错误，故④不符合题意； 几个非零有理数相乘，负因数的个数是奇数个时，积为负数，原说法错误，故⑤不符合题意； 故选：． 【举一反三练1】（2022秋•邗江区校级月考）三个有理数、、满足，则的值为 　3或　． 解：三个有理数、、满足， ，，同为正数或两个负数一个正数， 当，，同为正数时， 原式； 当，，为两个负数一个正数时，设，为负数，为正数， 原式， 综上，的值为3或． 故答案为：3或． 【举一反三练2】（2023秋•射阳县期末）若定义一种新的运算“”，规定有理数，如． （1）求的值； （2）求的值． 解：（1）， ， ； （2）， ， ， ， ． 考点讲练12：有理数的除法 【精讲题】（2023秋•金湖县期末）我们把记作，记作，那么计算的结果为　　 A．1 B．3 C． D． 解： ， 故选：． 【举一反三练1】（2023秋•虎丘区校级月考）我们知道，，显然与的结果互为倒数关系．小明利用这一思想方法计算的过程如下：因为． 故原式． 请你仿照这种方法计算：． 解：因为 ； 所以． 【举一反三练2】（2023秋•鼓楼区校级月考）如图，小天有5张写着不同数的卡片，请你按照要求抽出卡片，解决下列问题． （1）从中抽出2张卡片，使卡片上的数相除的商最小，应如何抽取？最小的商是多少？ （2）从中抽出3张卡片，使卡片上的数相乘的积最大，应如何抽取？最大的积是多少？ 解：（1）要使商最小，则可知取和，则． （2）要使积最大，则可知取、、5，则． 考点讲练13：有理数的乘方 【精讲题】（2023秋•梁溪区校级月考）下列说法正确的是　　 A．平方为16的数是4 B．平方等于本身的数是1 C．立方等于本身的数是0和1 D．有理数的平方是非负数 解：平方为16的数是4和，故错误； 平方等于本身的数是0和1，故错误； 立方等于本身的数是，0和1，故错误； 有理数的平方是非负数，故正确． 故选：． 【举一反三练1】（2022秋•灌云县期中）下列各数：0，，，，，，其中属于负整数的共有 　3　个． 解：，，， ，，，，，中的负整数有：，，共3个， 故答案为：3． 【举一反三练2】（2022秋•钟楼区校级期中）小聪是一个聪明而又富有想象力的孩子．学习了“有理数的乘方”后，他就琢磨着使用“乘方”这一数学知识，脑洞大开地定义出“有理数的除方”概念．于是规定：若干个相同有理数（均不能为的除法运算叫做除方，如，等，类比有理数的乘方，小聪把记作，（2）（2）记作． （1）直接写出计算结果，　2　，　　； （2）关于“有理数的除方”下列说法正确的是 　　（填序号） ①，，； ②，； ③对于任何正整数，都有； ④对于任何正整数，当时，都有． （3）小明深入思考后发现： “除方”运算能够转化成乘方运算，且结果可以写成幂的形式，请推导出“除方”的运算公式，为正整数，，，要求写出推导过程将结果写成幂的形式．（结果用含，的式子表示） 解：（1），； 故答案为：2；． （2）①， ，故，，，故①不正确； ②，；故②正确； ③对于任何正整数，都有，当，，，故③不正确； ④对于任何正整数，当时，都有．偶数个相除，结果都大于0，故④正确． 故答案为：②④． （3）（共个（共个， 故公式为：，为正整数，，． 考点讲练14：非负数的性质：偶次方 【精讲题】（2021秋•江都区期末）若，则　9　． 解：根据题意得，，， 解得，， 所以，． 故答案为：9． 【举一反三练1】（2019秋•崇川区校级期中）若，则的倒数是　　． 解：根据题意得：， 解得：， 则，则倒数是：． 故答案为：． 【举一反三练2】（2021秋•崇川区月考）与互为相反数，求代数式的值． 解：与互为相反数， ， 解得，，， ． 考点讲练15：有理数的混合运算 【精讲题】（2023秋•江阴市期末）甲先写一个两位数63，乙在63的右边写下这个两位数的数字之和9，得到639．甲接着在639的右边写下末两位数字之和12，得到63912．乙用同样的方法写出639123．这样继续下去，若得到一个100位数．则这个100位数的各个数字之和等于　　 A．300 B．315 C．356 D．410 解：这个数为：，从第4为数字开始，以1、2、3、5、8、1、3、4、7、1为周期进行循环， ， ， 故选：． 【举一反三练1】（2023秋•靖江市期末）计算： （1）； （2）． 解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【举一反三练2】（2023秋•仪征市期末）对有理数，定义了一种新的运算，叫“乘加法”，记作“⊕”．并按照此运算写出了一些式子：2⊕，⊕，2⊕，⊕，⊕，2⊕，2⊕，⊕， （1）根据以上式子特点将“乘加法”法则补充完整： 同号得 　正　，异号得 　　，并把绝对值 　　；一个数与0相“乘加”等于 　　； （2）根据法则计算：⊕　　；⊕　　； （3）若括号的作用与它在有理数运算中的作用相同，请计算： ①⊕⊕； ②⊕⊕⊕． 解：（1）同号得正，异号得负，并把绝对值相加；一个数与0相“乘加”等于这个数的绝对值， 故答案为：正，负，相加，这个数的绝对值． （2）⊕； ⊕， 故答案为：；． （3）①⊕⊕ ⊕ ； ②⊕⊕⊕ ⊕ ． 考点讲练16：科学记数法—表示较大的数 【精讲题】（2024•徐州模拟）南海是我国固有领海，她的面积超过东海、黄海、渤海面积的总和，约为3 600 000平方千米．把数3 600 000用科学记数法可表示为 　　． 解：3 600 ， 故答案为：． 【举一反三练1】（2023秋•新吴区校级月考）2023年5月17日10时49分，我国在西昌卫星发射中心成功发射第五十六颗北斗导航卫星，北斗系统作为国家重要基础设施，深刻改变着人们的生产生活方式．目前，某地图软件调用的北斗卫星日定位量超3000亿次．将数据3000亿用科学记数法表示为　　 A． B． C． D． 解：3000亿， 故选：． 【举一反三练2】（2023秋•仪征市校级月考）国庆期间，某景点总流量人口约为3200000人，这个数用科学记数法表示为 　　． 解：由题意可得， ， 故答案为：． 中等题真题汇编练 一．选择题 1．（2023秋•启东市校级月考）乐乐把有理数，表示在数轴上，对应点的位置如图所示，下列式子中正确的是　　 ①；②；③；④． A．①② B．①④ C．②③ D．③④ 解：由数轴可知：，且，故①正确；②正确； ，故③错误； ，， ，故④错误． 故选：． 2．（2022秋•太仓市期末）的倒数是　　 A．2 B． C． D． 解：的倒数是2， 故选：． 3．（2023秋•吴中区月考）点，在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是和．对于以下结论： ①，②，③，④．其中正确的个数是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 解：由数轴知，， ，， ①③④3个正确． 故选：． 4．（2021秋•海门市期末）的相反数是　　 A．2 B． C． D． 解：由相反数的意义得，的相反数是2， 故选：． 5．（2021秋•江阴市校级月考）有理数，，在数轴上的对应点如图所示，则化简代数式的结果是　　 A． B． C． D． 解：由数轴可得： 故选：． 6．（2023秋•建邺区期中）某种细菌每分钟可由1个分裂成2个，将1个细菌放在培养瓶中经过64分钟就能分裂满一瓶．若将4个这种细菌放入同一个培养瓶中，分裂满一瓶的时间是　　 A．16分钟 B．32分钟 C．52分钟 D．62分钟 解：将1个细菌放在培养瓶中， 第1分钟，细菌的个数为； 第2分钟，细菌的个数为； 第3分钟，细菌的个数为； 第4分钟，细菌的个数为； 第64分钟，细菌的个数为； 将4个细菌放在培养瓶中， 第1分钟，细菌的个数为； 第2分钟，细菌的个数为； 第3分钟，细菌的个数为； 第4分钟，细菌的个数为； 第62分钟，细菌的个数为； 故选：． 二．填空题 7．（2014•丹阳市校级模拟）每天供给地球光和热的太阳与我们的距离非常的遥远，它距地球的距离约为150 000 000千米，将150 000 000千米用科学记数法表示为 　　千米． 解：150 000 千米． 故150 000 000千米用科学记数法表示为千米． 8．（2023秋•秦淮区期末）2022年，全国教育事业统计结果发布，数据显示，全国各级各类学校共52.93万所，将数据52.93万用科学记数法表示为 　　． 解：52.93万． 故答案为：． 9．（2022春•盱眙县期中）如图，数轴上的单位长度为1，有三个点、、，若点、表示的数互为相反数，则图中点对应的数是　1　． 解：点、表示的数互为相反数， 原点在线段的中点处， 点对应的数是1． 故答案为：1． 10．（2023秋•广陵区期末）如图是一个二阶幻圆模型，现将，2，，4，，6，，8分别填入圆圈内，使横、纵向以及内外圆圈上的4个数字之和都相等，则的值是 　　． 解：横、纵向以及内外圆圈上的4个数字之和都相等， ， ， 故答案为：． 11．（2017秋•宜兴市期中）如图所示是计算机某计算程序，若开始输入，则最后输出的结果是　38　． 解：根据题意可知，， 所以再把10代入计算：， 即38为最后结果． 故本题答案为：38． 12．（2017秋•盐都区校级月考）数轴上的点到原点的距离是4，则点表示的数为　或4　． 解：数轴上的点到原点的距离是4， 点表示的数为或4． 故答案为或4． 三．解答题 13．（2023秋•高港区期末）计算： （1）； （2）用简便方法计算：． 解：（1） ； （2） ． 14．（2020秋•灌云县月考）在数学活动课上，李老师设计了一个游戏活动，四名同学分别代表一种运算，四名同学可以任意排列，每次排列代表一种运算顺序，剩余同学中，一名学生负责说一个数，其他同学负责运算，运算结果既对又快者获胜，可以得到一个奖品． 下面我们用四个卡片代表四名同学（如图） （1）列式，并计算： ①经过，，，的顺序运算后，结果是多少？ ②5经过，，，的顺序运算后，结果是多少？ （2）探究：数经过，，，的顺序运算后，结果是45，是多少？ 解：（1）① ； ② ； （2）由题意知，， ， ， ， ，． 15．（2024春•锡山区校级月考）一般地，个相同的因数相乘记作，如，此时，3叫做以2为底的8的“劳格数”．记为（8），则（8）．一般地，若且，则叫做以为底的“劳格数”，记为（b）．如．则4叫做以3为底的81的“劳格数”，记为． （1）下列各“劳格数”的值：（3）　1　，　　，　　． （2）观察（1）中的数据易得，你发现此时（3），，满足关系式是 　　． （3）由（2）的结果，请你猜想与且，，之间的关系，并证明你的猜想． （4）根据上述结论解决下列问题：已知，（3），求（9）的值和的值．且． 解：（1），， （3），，； 故答案为：1；3；4； （2）由（1）可得（3）； （3）猜想，证明如下： 设， ，，， ，， ； （4）（3）， （9）（3）（3）， （9）（9）． 培优题真题汇编练 一．选择题 1．（2023秋•赣榆区校级月考）把写成省略括号的代数和的形式，正确的是　　 A． B． C． D． 解：根据去括号的原则可知：． 故答案为：． 2．（2023秋•新吴区期末）下列说法正确的是　　 A．的底数是 B．表示5个2相加 C．与意义相同 D．的底数是2 解：．的底数是2，此选项的说法错误，故不符合题意； ．表示5个2相乘，此选项的说法错误，故不符合题意； ．表示3个相乘，表示3个3相乘的相反数，它们表示的意义不同，故不符合题意； ．的底数是2，此选项的说法正确，故此选项符合题意， 故选：． 3．（2023秋•常熟市校级月考）下列7个数：、1.010010001、、0、、（每两个2之间依次多一个、，其中有理数有　　个． A．3 B．4 C．5 D．6 解：，1.010010001、，0，都是有理数，共5个，和（每两个2之间依次多一个是无理数， 故选：． 4．（2023•东海县开学）规定“※”为一种运算，若对任意两数、，有※，则3※　　 A．9 B．10 C．11 D．12 解：※， ※4 ， 故选：． 5．（2019秋•南京期末）取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1．这个结论在数学上还没有得到证明．但举例验证都是正确的．例如：取自然数5．经过下面5步运算可得1，即：如图所示．如果自然数恰好经过7步运算可得到1，则所有符合条件的的值有　　 A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 解：根据分析，可得 则所有符合条件的的值为：128、21、20、3． 故选：． 6．（2023秋•锡山区校级月考）如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的4等分点处分别标上0，1，2，3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示2021的点与圆周上表示哪个数字的点重合？　　 A．0 B．1 C．2 D．3 解：， ， 所以数轴上表示2021的点与圆周上的数字2重合， 故选：． 二．填空题 7．（2023秋•射阳县期末）如图所示是计算机某计算程序，若开始输入，则最后输出的结果是 　　． 解：根据题意可知，， 所以再把代入计算：， 即为最后结果． 故本题答案为：． 8．（2014秋•苏州期末）已知，则　10　． 解：， ，， ，， ， 故答案为：10． 9．（2018秋•广陵区校级月考）定义新运算， 若▽，则▽▽▽▽▽　　． 解： 根据题中的新定义得： 原式▽▽▽▽， 故答案为： 10．（2022秋•沭阳县校级月考）已知点和点在同一数轴上，点表示数，点和点相距5个单位长度，则点表示的数是 　或3　． 解：或， 故答案为：或3． 11．（2023秋•虎丘区校级月考）下列说法正确的序号是 　①③④⑤　． ①已知，，是非零的有理数，且时，则的值为1或； ②已知，，是有理数，且，时，则的值为或3； ③已知时，那么的最大值为7，最小值为； ④若且，则式子的值为； ⑤如果定义，，当，，时，，的值为． 解：①已知，，是非零的有理数， 当时， 则，分两种情况：一是、、皆为负数，此时； 二是、、中只有一个负数，令，、此时，故①正确； ②， ，，， 则， 由于时， 当、、皆为负数，此时与矛盾，故不存在； 、、中只有一个负数， 令，，， 原式，故②错； ③当时，分两种情况： 当时，， 当时，， 故时的最大值为7，最小值为，故③正确； ④由且， 、互为相反数， ， ， 不妨，， 则则式子 ，故④正确； ⑤当时， 、异号， 又， 负数的绝对值大于正数得绝对值， 又， ，， ， 根据，， ，，故④正确． 故正确答案为：①③④⑤． 三．解答题 12．（2022秋•如皋市校级月考）已知有理数，，在数轴上对应的点的位置如图，化简． 解：由图可知： ，，， ． 13．（2020秋•江都区期中）计算： （1） （2） （3） （4）． 解：（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 14．（2023秋•海陵区校级月考）最近几年时间，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加，小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表），以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程 （1）这7天里路程最多的一天比最少的一天多走 　49　； （2）请求出小明家的新能源汽车这七天平均每天行驶了多少千米？ （3）已知汽油车每行驶需用汽油6升，汽油价9元升，而新能源汽车每行驶耗电量为15度，每度电为0.6元，请估计小明家换成新能源汽车后一个月（按30天计算）的行驶费用比原来节省多少钱？ 解：（1）由表格得：，即这7天里路程最多的一天比最少的一天多走， 故答案为：49； （2）， ； 答：小明家的新能源汽车这七天平均每天行驶了． （3）用汽油的费用：（元， 用电的费用：（元， （元， 答：估计小明家换成新能源汽车后1个月的行驶费用比原来节省810元． 15．（2023秋•江都区校级月考）已知、在数轴上分别表示、． （1）对照数轴填写下表： 6 2 4 0 、两点的距离 2 　6　 　　 　　 0 （2）写出数轴上到7和的距离之和为14的所有整数，并求这些整数的和； （3）若数轴上表示数的点位于与6之间，求的值； （4）若表示一个有理数，且，求有理数的取值范围． 解：（1），，， 故答案为：6；2；12； （2）， 到之间的所有整数都满足到7和的距离之和为14， 数轴上到7和的距离之和为14的所有整数有：，，，，，，，0，1，2，3，4，5，6，7， 这些整数的和为：； （3）数轴上表示数的点位于与6之间， ， ； （4）分三种情况讨论： 当时，， ， ， ； 当时， ， 不等式无解； 当时，， ， ， ， 综上所述：的取值范围为：或． 16．（2023秋•沭阳县期中）学习了绝对值的概念后，我们可以认为：一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，即当时，，根据以上阅读完成下面的问题： （1）　　； （2）如果有理数，则　　； （3）请利用你探究的结论计算下面式子： （4）如图，数轴上有、、三点，化简． 解：（1）， 故答案为：； （2）如果有理数，则， 故答案为：； （3） ； （4）由数轴可得， ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$