2.4 有理数的加法和减法（知识精讲+易错点拨+九大考点讲练+难度分层真题练）-2024-2025学年苏科版2024新教材七年级数学上册核心考点培优讲练

2024-2025学年苏科新版数学七年级上册同步培优核心考点讲练●新教材【第2章《有理数》】 2.4 有理数的加法与减法 （知识精讲+易错点拨+九考点讲练+难度分层真题练） 新知精讲梳理 1 高频易错知识点拨 2 考点讲练1：有理数的加法运算 4 考点讲练2：有理数加法中的符号问题 4 考点讲练3：有理数加法在生活中的应用 5 考点讲练4：有理数的加法运算律 7 考点讲练5：有理数的减法运算 8 考点讲练6：有理数减法的实际应用 9 考点讲练7：有理数的加减混合运算 10 考点讲练8：有理数加减法运算中的简便运算 11 考点讲练9：有理数加减混合运算的实际应用 13 中等题真题汇编练 15 培优题真题汇编练 17 新知精讲梳理 知识点01：有理数的加法 1. 定义:有理数的加法是指把两个有理数合成一个有理数的运算。 2. 法则 有理数的加法法则主要包括以下几点： 同号两数相加：取相同的符号，并把绝对值相加。例如，(+3) + (+4) = +7，(-2) + (-5) = -7。 异号两数相加：取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。例如，(+3) + (-2) = +1，(-5) + (+3) = -2。特别地，互为相反数的两个数相加得0。 一个数同0相加：仍得这个数。例如，(+5) + 0 = +5，(-3) + 0 = -3。 3. 运算律 有理数的加法满足交换律和结合律： 交换律：a + b = b + a 结合律：(a + b) + c = a + (b + c) 知识点02：有理数的减法 1. 定义：有理数的减法是指已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算。减法是加法的逆运算。 2. 法则：有理数的减法法则可以转化为加法来运算，即“减去一个数等于加上这个数的相反数”。例如，a - b = a + (-b)。 知识点03：有理数的加减混合运算 有理数的加减混合运算可以统一为加法运算，即把减法转化为加法，然后按照有理数的加法法则进行计算。在运算过程中，可以运用加法的交换律和结合律来简化计算。 知识点04：应用实例 有理数的加法与减法在实际生活中有广泛的应用，如温度的变化、海拔高度的计算、财务的收支等。以下是一些应用实例： 温度变化：如果某地早晨的气温是-5°C，中午上升了3°C，那么中午的气温就是-5°C + 3°C = -2°C。 海拔高度：某山峰的海拔是2000米，从山顶下降到山脚下降了1500米，那么山脚的海拔就是2000米 - 1500米 = 500米（也可以表示为2000米 + (-1500米) = 500米）。 财务收支：某人在一周内收入了500元，支出了300元和200元，那么他的净收入就是500元 - 300元 - 200元 = 0元（也可以表示为500元 + (-300元) + (-200元) = 0元）。 知识点05：注意事项 在进行有理数的加减运算时，要注意符号的处理，特别是异号两数相加和有理数减法的转化。 运算过程中要遵循运算顺序和运算律，以简化计算过程和提高计算准确性。 实际应用中要根据具体问题的背景和要求选择合适的计算方法和单位。 高频易错知识点拨 有理数加法的易错点 易错知识点01：同号数相加时符号判断错误 易错情况：学生可能忘记在同号数相加时取相同的符号。 解决方法：强调“同号相加，符号不变”的法则，并通过实例练习加深记忆。 易错知识点02：异号数相加时绝对值处理不当 易错情况：学生在处理异号数相加时，可能不清楚如何用较大的绝对值减去较小的绝对值，或者忘记取绝对值较大的数的符号。 解决方法：明确“异号相加，取绝对值较大数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值”的法则，并通过大量练习掌握这一技巧。 易错知识点03：忽视0在加法中的作用 易错情况：学生可能忘记任何数与0相加都等于它本身这一简单规则。 解决方法：通过实例强调0在加法中的特殊作用，确保学生熟练掌握。 易错知识点04：运算顺序错误 易错情况：在多个有理数相加时，学生可能不遵循从左到右的顺序，或者错误地应用加法交换律和结合律。 解决方法：明确加法运算的顺序规则，并强调在复杂运算中合理使用加法交换律和结合律来简化计算。 有理数减法的易错点 易错知识点01：减法转化为加法时符号处理不当： 易错情况：学生在将减法转化为加法时，可能忘记改变减数的符号，或者将原式中的符号处理错误。 解决方法：强调“减去一个数等于加上这个数的相反数”的转化规则，并通过实例练习让学生掌握这一技巧。 易错知识点02：忽视减法的运算顺序： 易错情况：在有理数的加减混合运算中，学生可能不遵循先乘除后加减的运算顺序，或者错误地将减法与乘法、除法等运算混淆。 解决方法：明确有理数混合运算的运算顺序规则，并通过实例练习让学生掌握这一技巧。 易错知识点03：忽视数轴和绝对值在减法中的应用： 易错情况：学生可能不善于利用数轴和绝对值来比较有理数的大小和进行有理数的减法运算。 解决方法：强调数轴和绝对值在有理数减法中的应用，并通过实例练习让学生掌握这一技巧。例如，可以利用数轴上的点来表示有理数，并通过点的移动来模拟减法运算；同时，可以利用绝对值的性质来判断两个有理数的大小和进行减法运算。 考点讲练1：有理数的加法运算 【精讲题】（2023·云南昭通·模拟预测）计算：正确的结果是（    ） A．2 B． C．8 D． 【举一反三练1】（22-23七年级上·江苏泰州·阶段练习）已知，，那么a，b，，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【举一反三练2】（23-24六年级下·上海·期中）数轴上点A表示的数是，若数轴上点P，在点A右侧，到点A的距离等于，则点P所表示的数是 ． 【举一反三练3】（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）直接写出结果. (1)______； (2)______； (3)______； (4)______； (5)________； (6)______. 考点讲练2：有理数加法中的符号问题 【精讲题】（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）如果，，，则下列各式中大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【举一反三练1】（23-24七年级上·江苏南通·期末）如图，数轴上点表示的数分别是，且满足，则下列各式的值一定是正数的是（    ） A．a B． C． D． 【举一反三练2】（23-24七年级上·江苏扬州·期中）有理数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【举一反三练3】（23-24七年级上·江苏盐城·期中）有理数a、b、c在数轴上的位置如图，    (1)比较a，b，，的大小，用“<”连接为_____； (2)判断正负，用“>”或“<”填空：______0；______0；______0． (3)化简：． 考点讲练3：有理数加法在生活中的应用 【精讲题】（2024·云南昆明·二模）九年级（1）班期末考试数学的平均成绩是80分，小亮得了90分，记作分，如果小明的成绩记作分，那么他得了（    ） A．95分 B．90分 C．85分 D．75分 【举一反三练1】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）邮递员骑车从邮局出发，先向西骑行到达A村，继续向西骑行到达B村，然后向东骑行若干千米到达C村，最后回到邮局，已知C村与B村关于邮局对称． (1)以邮局为原点，以向东方向为正方向，一个网格的长度表示1km建立数轴，请在图中的数轴上标出A、B、C三个村庄的位置，并求出C村离A村有多远？ (2)邮递员一共骑行了多少千米？ 【举一反三练2】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）我国某次军事演习中，一艘核潜艇的初始位置在海平面下，规定核潜艇上升记为“＋”，下降记为“－”，下面是这艘核潜艇在某段时间内的运动情况：．（单位：） (1)最后这艘核潜艇停留的位置在海平面下多少米？ (2)如果这艘核潜艇每上升或下降，核动力装置所提供的能量相当于汽油燃烧所产生的能量，那么在这艘核潜艇运动的这段时间内，核潜艇动力装置提供的能量相当于多少升汽油燃烧所产生的能量？ 【举一反三练3】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某天下午，出租车司机小王的营运全是在东西走向的国庆大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天下午载客行车里程（单位：公里）如下：，，，，，，，，，，． (1)最后一次营运结束时，小王距离下午出车时的出发地多远？ (2)若汽车的耗油量为0.2L/km，则这天下午小王的车共耗油多少升？ (3)该市出租车按里程计费标准为：不超过3公里，收费9元，超过3公里的部分，按每公里2元收费，则这天下午小王前三次营运收入共多少元？ 考点讲练4：有理数的加法运算律 【精讲题】（23-24七年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）计算： (1) ； (2)； (2) ； (4)； (5) ． 【举一反三练1】（23-24六年级上·山东淄博·期中），上面的计算所运用的运算律是（    ） A．交换律 B．结合律 C．先用结合律，再用交换律 D．先用交换律，再用结合律 【举一反三练2】（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）下列变形，运用加法运算律错误的是（   ） A． B． C． D． 【举一反三练3】（23-24七年级上·江苏·周测）计算：（1） 4 24 19 28 （2） 考点讲练5：有理数的减法运算 【精讲题】（23-24七年级下·广西南宁·期中）下列运算错误的是（　　） A． B． C． D． 【举一反三练1】（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）点M，N在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是m和n．对于以下结论： ①，②，③，④．其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【举一反三练2】（2024·河北邯郸·二模）如图1，点，，是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，，3，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字对齐数轴上的点，发现点对应刻度，点对应刻度． （1）该数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的 ； （2）数轴上点所对应的数为，则 ． 【举一反三练3】（2024·陕西西安·二模）如图，在数轴上点表示的数是，点被墨水遮住了，已知，则点表示的数为 ．    考点讲练6：有理数减法的实际应用 【精讲题】．（2024·河北·二模）某日我市的最高气温为零上，记作或），最低气温为零下，则可用于计算这天温差的算式是（    ） A． B． C． D． 【举一反三练1】（23-24七年级上·江苏无锡·期中）江阴市某天的最高气温为，最低气温为，那么这天的最高气温比最低气温高（   ） A． B． C． D． 【举一反三练2】（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）某粮店出售的三种品牌的面粉袋上分别标有质量为，，的字样，从中任意拿出两袋，则这两袋的质量最多相差与最少相差分别为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【举一反三练3】（22-23七年级上·江苏泰州·阶段练习）省泰州附中开展“读经典书，作儒雅人”活动，活动中某班流动图书角平均每天借出图书30本，如果某天借出33本，就记作+3；如果某天借出26本，就记作．国庆假前一周图书馆借出图书记录如下： 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 +4 +8 +16 (1)该班级星期五借出多少本图书； (2)该班级星期二比星期五少借出多少本图书？ 考点讲练7：有理数的加减混合运算 【精讲题】（23-24七年级下·黑龙江绥化·阶段练习）阅读下面的解题过程，并解决问题． 计算：． 解：原式 ． (1)第①步经历了哪些转变：_____，体现了数学中的转化思想，为了计算简便，第②步应用了哪些运算律：_______． (2)根据以上解题技巧进行计算：． 【举一反三练1】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）阅读材料，回答问题：因为一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，所以，当时，如，；当时，，如，．根据以上信息完成下列问题： (1)__________；__________； (2)计算：． 【举一反三练2】（22-23七年级上·江苏盐城·期末）计算： (1) ； (2)． 【举一反三练3】（23-24七年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）计算． (1) ； (2)． (2) ； (4)． 考点讲练8：有理数加减法运算中的简便运算 【精讲题】（23-24七年级上·江苏镇江·期中）在有些情况下，不需要计算出也能把绝对值符号去掉，例如：，，，． (1)根据上面的规律，写出下列各式去掉绝对值符号后的形式（不要计算出结果）： ①______；②______． (2)计算：． 【举一反三练1】（23-24七年级上·福建漳州·期中）计算，最适当的方法是（    ） A． B． C． D． 【举一反三练2】（23-24七年级上·山东菏泽·期中）对于可以进行如下计算： 原式 ． 上面这种方法叫拆项法，你看懂了吗？仿照上面的方法，你会计算下面的式子吗？ ． 【举一反三练3】（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）阅读下面文字： 对于可以按如下方法计算： 原式 ． 上面这种方法叫拆项法，你看懂了吗？ 依照上面的方法，请你计算：． 考点讲练9：有理数加减混合运算的实际应用 【精讲题】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）服装城赵老板在广州发现一种应季衬衫，预料能畅销市场，就用80000元购进该店全部的2000件衬衫．由于非常畅销，这些衬衫在7天全部卖完．这7天每件衬衫利润变化以及这七天的销售量如下表所示（正数表示比前一天多的利润，负数表示比前一天少的利润）． 销售天数（单位：天） 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 利润变化（单位：元） 每天销售的件数（单位：件） 300 350 250 350 400 150 200 (1)第七天时，每件衬衫的售价为多少元？ (2)赵老板觉得这个商机非常好，于是经人介绍又在杭州花了176000元购进这种衬衫，只是单价比广州的贵4元．求在杭州购进衬衫多少件． (3)在（2）的条件下，若按照（1）中第七天的售价销售，衬衫销售很快，为了回馈广大新老顾客，最后剩150件，按八折销售很快售完，求赵老板两次销售衬衫共盈利多少元． 【举一反三练1】（23-24七年级上·江苏徐州·阶段练习）邮递员骑车从邮局出发，先向西骑行3km到达A村，继续向西骑行3km到达B村，然后向东骑行10km到达C村，最后回到邮局． (1)以邮局为原点，以向东方向为正方向，以1个单位表示1km，在该数轴上表示A，B，C三个村庄的位置； (2)C村离A村有多远？ (3)邮递员一共骑行了多少千米？ 【举一反三练2】（2024·北京海淀·一模）2019年11月，联合国教科文组织将每年的3月14日定为“国际数学日”，也被许多人称为“节”．某校今年“节”策划了五个活动，规则见下图： 小云参与了所有活动． （1）若小云只挑战成功一个，则挑战成功的活动名称为 ； （2）若小云共挑战成功两个，且她参与的第四个活动成功，则小云最终剩下的“币”数量的所有可能取值为 ． 【举一反三练3】．（22-23七年级上·浙江宁波·期中）某自行车厂一周计划生产1400辆自行车，平均每天生产200辆，由于各种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入，下表是某周的生产情况（超产为正、减产为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)哪一天的产量最多?产量最多的一天比最少的一天多生产多少辆? (2)该厂一周实际生产自行车多少辆? (3)该厂实行每周计件工资制，每生产一辆车可得50元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖20元，少生产一辆扣15元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元? 中等题真题汇编练 1．（2024·云南玉溪·二模）据史料证明：中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家，早在两千多年前，我国就有了正负数的概念，掌握了正负数的运算法则，并应用到生产和生活中．若某同学某一天零花钱的明细如下：元，元，其中元表示收入10元，则下列说法正确的是（    ） A．元表示支出15元 B．元表示支出元 C．元表示收入15元 D．收支总和为25元 2．（2024·河南开封·二模）下列各数中，与相加等于0的数是（   ） A．2 B． C． D． 3．（23-24七年级上·新疆阿克苏·期末）规定符号表示两个数中较小的一个，规定符号表示两个数中较大的一个，例如：，，则的值为（　　） A． B． C． D． 4．（2024·山东临沂·一模）小青双休日想帮妈妈做下面的事情：用洗衣机洗衣服要用15分钟；扫地要用5分钟；擦家具要用11分钟；晾衣服要用3分钟．她经过合理安排，做完这些事至少要花（   ）分钟． A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·黑龙江绥化·阶段练习）在《九章算术注》中用不同颜色的算筹(小棍形状的记数工具)分别表示正数和负数(白色为正，黑色为负)，如图1表示的是的计算过程，则下图2表示的算式是 ． 6．（21-22七年级上·江苏盐城·期末）如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点A与数轴上表示的点重合，将圆沿数轴向右无滑动地滚动一周，点A到达点的位置，则点表示的数是 ． 7．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）几个（至少两个）连续整数的和为7，则这几个连续整数中最大数与最小数的差的绝对值为 ． 8．（23-24七年级上·江苏盐城·期末）我县元月份某一天的天气预报中，最低温度为，最高温度为，这一天的最高温度比最低温度高 ． 9．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）世界最高峰珠穆朗玛峰的海拔高度是8844.43米，死海湖面的海拔高度是米，我国吐鲁番盆地的海拔高度比死海湖面高262米，珠穆朗玛峰的海拔高度比吐鲁番盆地的海拔高度高多少米？ 10．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）计算： (1)； (2)； 11．（22-23七年级上·山东青岛·期末）小虫从某点O出发在一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，爬过的各段路程依次为（单位厘米）：，，，，分别到达了A、B、C、D四个点． (1)请在数轴上将A、B、C、D四个点表示出来． (2)小虫离开出发点O最远时是多少厘米？ (3)在爬行过程中，如果爬1厘米奖励两粒芝麻，则小虫一共得到多少粒芝麻？ 12．（23-24七年级上·江苏徐州·期中）邮递员骑车从邮局出发，先向东骑行到达村，继续向东骑行到达村，然后向西骑行，到达村，最后回到邮局．    (1)如图，以邮局为原点，以向东方向为正方向，一个单位长度表示，在数轴上表示出三个村庄的位置； (2)点表示的数是______，点表示的数是______，点表示的数是______； (3)村距离村有多远？ 培优题真题汇编练 13．（22-23七年级上·江苏盐城·期末）实数a、b在数轴上的对应点位置如图所示，下列结论中不正确的是（　） A． B． C． D． 14．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）同学们都熟悉“幻方”游戏，现将“幻方”游戏稍作改进变成“幻圆”游戏，将，4，，8，，12，，16分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两个正方形顶点处圈内4个数字之和都相等，则的值为（　） A．或 B．或 C．2或 D．2或 15．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）有理数、在数轴上的对应点的位置如图所示，下列代数式的值最小的是（   ） A． B． C． D． 16．（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，数轴上有一个动点从原点出发，沿数轴跳动，每次向正方向或负方向跳1个单位，经过5次跳动，该动点落在表示数3的点上（允许重复过此点），则质点的不同运动方案共有（　　） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 17．（21-22七年级上·浙江宁波·期末）“转化”是一种解决问题的常用策略，有时画图可以帮助我们找到转化的方法．例如借助图①，可以把算式1＋3＋5＋7＋9＋11转化为62＝36，请你观察图②，可以把算式转化为 ． 18．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）计算： ． 19．（21-22七年级上·江苏南京·阶段练习）如图，半径为1个单位长度的圆片上有一点Q与数轴上的原点重合（提示：计算结果保留π） （1）把圆片沿数轴向左滚动1周，点Q到达数轴上点A的位置，点A表示的数是 　 　 （2）圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动情况记录如下：＋3，﹣1， 　 　，＋4，﹣3， 　 　 ①第3次滚动 　 　周后，Q点回到原点．第6次滚动 　 　周后，Q点距离原点4π； ②当圆片结束运动时，Q点运动的路程共有多少？ 20．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值．例：如图所示，点A、B在数轴上分别对应的数为a、b，则A、B两点间的距离表示为．请结合以上知识和数轴解决下列问题：    （1）若数轴上两点C、D表示的数为x、， ①C、D之间的距离可用含x的式子表示为 ； ②若C、D两点之间的距离为2，那么x值为 ； （2）的最小值为 ；此时若x是整数，则x的值是 ； （3）当 时，的值最小，最小值是 ． 21．（23-24七年级上·江苏徐州·期中）邮递员骑车从邮局出发，先向西骑行3到达A村，继续向西骑行2到达B村，然后向东骑行8到达C村，最后回到邮局． (1)以邮局为原点，以向东方向为正方向，以1个单位表示1，在该数轴上表示A，B，C三个村庄的位置； (2)C村离A村有多远？ (3)邮递员一共骑行了多少千米？ 22．（22-23七年级上·江苏常州·期末）在一条不完整的数轴上从左到右有点A、B、C，其中，，如图所示： (1)若以B为原点，写出点A、C所对应的数A：_____；C：______； (2)若点O是数轴上的原点，且点A是线段的中点，直接写出A、B、C所对应的数； (3)若点O是数轴上的原点，且，求A、B、C所对应的数． 23．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3) ； (4)； (5)； (6)． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年苏科新版数学七年级上册同步培优核心考点讲练●新教材【第2章《有理数》】 2.4 有理数的加法与减法 （知识精讲+易错点拨+九考点讲练+难度分层真题练） 新知精讲梳理 1 高频易错知识点拨 2 考点讲练1：有理数的加法运算 4 考点讲练2：有理数加法中的符号问题 6 考点讲练3：有理数加法在生活中的应用 9 考点讲练4：有理数的加法运算律 12 考点讲练5：有理数的减法运算 14 考点讲练6：有理数减法的实际应用 16 考点讲练7：有理数的加减混合运算 18 考点讲练8：有理数加减法运算中的简便运算 22 考点讲练9：有理数加减混合运算的实际应用 24 中等题真题汇编练 29 培优题真题汇编练 34 新知精讲梳理 知识点01：有理数的加法 1. 定义:有理数的加法是指把两个有理数合成一个有理数的运算。 2. 法则 有理数的加法法则主要包括以下几点： 同号两数相加：取相同的符号，并把绝对值相加。例如，(+3) + (+4) = +7，(-2) + (-5) = -7。 异号两数相加：取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。例如，(+3) + (-2) = +1，(-5) + (+3) = -2。特别地，互为相反数的两个数相加得0。 一个数同0相加：仍得这个数。例如，(+5) + 0 = +5，(-3) + 0 = -3。 3. 运算律 有理数的加法满足交换律和结合律： 交换律：a + b = b + a 结合律：(a + b) + c = a + (b + c) 知识点02：有理数的减法 1. 定义：有理数的减法是指已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算。减法是加法的逆运算。 2. 法则：有理数的减法法则可以转化为加法来运算，即“减去一个数等于加上这个数的相反数”。例如，a - b = a + (-b)。 知识点03：有理数的加减混合运算 有理数的加减混合运算可以统一为加法运算，即把减法转化为加法，然后按照有理数的加法法则进行计算。在运算过程中，可以运用加法的交换律和结合律来简化计算。 知识点04：应用实例 有理数的加法与减法在实际生活中有广泛的应用，如温度的变化、海拔高度的计算、财务的收支等。以下是一些应用实例： 温度变化：如果某地早晨的气温是-5°C，中午上升了3°C，那么中午的气温就是-5°C + 3°C = -2°C。 海拔高度：某山峰的海拔是2000米，从山顶下降到山脚下降了1500米，那么山脚的海拔就是2000米 - 1500米 = 500米（也可以表示为2000米 + (-1500米) = 500米）。 财务收支：某人在一周内收入了500元，支出了300元和200元，那么他的净收入就是500元 - 300元 - 200元 = 0元（也可以表示为500元 + (-300元) + (-200元) = 0元）。 知识点05：注意事项 在进行有理数的加减运算时，要注意符号的处理，特别是异号两数相加和有理数减法的转化。 运算过程中要遵循运算顺序和运算律，以简化计算过程和提高计算准确性。 实际应用中要根据具体问题的背景和要求选择合适的计算方法和单位。 高频易错知识点拨 有理数加法的易错点 易错知识点01：同号数相加时符号判断错误 易错情况：学生可能忘记在同号数相加时取相同的符号。 解决方法：强调“同号相加，符号不变”的法则，并通过实例练习加深记忆。 易错知识点02：异号数相加时绝对值处理不当 易错情况：学生在处理异号数相加时，可能不清楚如何用较大的绝对值减去较小的绝对值，或者忘记取绝对值较大的数的符号。 解决方法：明确“异号相加，取绝对值较大数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值”的法则，并通过大量练习掌握这一技巧。 易错知识点03：忽视0在加法中的作用 易错情况：学生可能忘记任何数与0相加都等于它本身这一简单规则。 解决方法：通过实例强调0在加法中的特殊作用，确保学生熟练掌握。 易错知识点04：运算顺序错误 易错情况：在多个有理数相加时，学生可能不遵循从左到右的顺序，或者错误地应用加法交换律和结合律。 解决方法：明确加法运算的顺序规则，并强调在复杂运算中合理使用加法交换律和结合律来简化计算。 有理数减法的易错点 易错知识点01：减法转化为加法时符号处理不当： 易错情况：学生在将减法转化为加法时，可能忘记改变减数的符号，或者将原式中的符号处理错误。 解决方法：强调“减去一个数等于加上这个数的相反数”的转化规则，并通过实例练习让学生掌握这一技巧。 易错知识点02：忽视减法的运算顺序： 易错情况：在有理数的加减混合运算中，学生可能不遵循先乘除后加减的运算顺序，或者错误地将减法与乘法、除法等运算混淆。 解决方法：明确有理数混合运算的运算顺序规则，并通过实例练习让学生掌握这一技巧。 易错知识点03：忽视数轴和绝对值在减法中的应用： 易错情况：学生可能不善于利用数轴和绝对值来比较有理数的大小和进行有理数的减法运算。 解决方法：强调数轴和绝对值在有理数减法中的应用，并通过实例练习让学生掌握这一技巧。例如，可以利用数轴上的点来表示有理数，并通过点的移动来模拟减法运算；同时，可以利用绝对值的性质来判断两个有理数的大小和进行减法运算。 考点讲练1：有理数的加法运算 【精讲题】（2023·云南昭通·模拟预测）计算：正确的结果是（    ） A．2 B． C．8 D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查有理数的加法，属于基础题，解题的关键是掌握加法法则． 【规范解答】解：， 故选：A． 【举一反三练1】（22-23七年级上·江苏泰州·阶段练习）已知，，那么a，b，，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了有理数的大小比较：正数大于0，负数小于0；负数的绝对值越大，这个数反而越小． 由于，，则a必为正数，为正数，并且，则，，易得a，b，，的大小关系． 【规范解答】解：，， ，， ， ∴a，b，，的大小关系为． 故选：D． 【举一反三练2】（23-24六年级下·上海·期中）数轴上点A表示的数是，若数轴上点P，在点A右侧，到点A的距离等于，则点P所表示的数是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查有理数的计算，数轴上两点间的距离，熟练掌握基本知识点是解题的关键． 根据数轴上两点间的距离的意义即可求解． 【规范解答】解：， 故答案为：． 【举一反三练3】（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）直接写出结果. (1)______； (2)______； (3)______； (4)______； (5)________； (6)______. 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6)38 【思路点拨】本题考查有理数的加法，减法运算，绝对值，熟练掌握有理数的加减法运算法则是解题的关键． （1）根据有理数加法的运算法则计算即可； （2）根据有理数加法的运算法则计算即可； （3）根据有理数减法的运算法则计算即可； （4）先去绝对值，根据有理数加法的运算法则计算即可； （5）根据有理数减法的运算法则计算即可； （6）根据有理数减法的运算法则计算即可． 【规范解答】（1）解：原式 ， 故答案为：； （2）解：原式 ， 故答案为：； （3）解：原式 ， 故答案为：； （4）解：原式 ， 故答案为：； （5）解：原式 ， 故答案为：； （6）解：原式 ， 故答案为：38． 考点讲练2：有理数加法中的符号问题 【精讲题】（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）如果，，，则下列各式中大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查有理数与数轴，有理数的大小比较，先根据a，b的正负，结合判断出b比a的绝对值大，进而在数轴上表示出各数，利用数轴比较大小即可． 【规范解答】解：，， a为正数，b为负数， ， b比a的绝对值大， a，b，，在数轴上的位置如图所示： 由数轴可知，， 故选D． 【举一反三练1】（23-24七年级上·江苏南通·期末）如图，数轴上点表示的数分别是，且满足，则下列各式的值一定是正数的是（    ） A．a B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了数轴，正负数，根据数轴可得，再结合可得出一定是正数，解题的关键是能根据和确定的符号． 【规范解答】解：由数轴可得：， ， 一定是正数， 故选：B． 【举一反三练2】（23-24七年级上·江苏扬州·期中）有理数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了根据数轴上点的位置判断式子符号，根据点在数轴上的位置，判断数的大小关系，进而判断出式子的符号即可． 【规范解答】解：由题意得，， ∴， ∴四个选项中只有C选项正确，符合题意； 故选C． 【举一反三练3】（23-24七年级上·江苏盐城·期中）有理数a、b、c在数轴上的位置如图，    (1)比较a，b，，的大小，用“<”连接为_____； (2)判断正负，用“>”或“<”填空：______0；______0；______0． (3)化简：． 【答案】(1)； (2)>；<；< (3)． 【思路点拨】本题考查了相反数的概念，数轴上点的大小关系，有理数的加减运算，绝对值的化简； （1）根据，与原点的距离判断其相反数在数轴上的位置即可； （2）根据数轴上右边的数比左边的数大；同号两数相加，取相同的符号，异号两数相加，取绝对值较大的数的符号， 计算求值即可； （3）根据正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，结合（2）结论化简即可； 【规范解答】（1）解：∵离原点的距离要大于离原点的距离， ∴，， ∴； （2）解：∵， ∴； ∵，，， ∴的符号为负， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴； 综上可得：，，； （3）解：∵，，， ∴，，， ∴ ； 考点讲练3：有理数加法在生活中的应用 【精讲题】（2024·云南昆明·二模）九年级（1）班期末考试数学的平均成绩是80分，小亮得了90分，记作分，如果小明的成绩记作分，那么他得了（    ） A．95分 B．90分 C．85分 D．75分 【答案】D 【思路点拨】本题考查了有理数的加法，整数和负数的定义，解题的关键是掌握正数和负数表示具有相反意义的量，以及有理数的加法法则．根据题意列出算式进行计算即可． 【规范解答】解：（分）， 故选：D． 【举一反三练1】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）邮递员骑车从邮局出发，先向西骑行到达A村，继续向西骑行到达B村，然后向东骑行若干千米到达C村，最后回到邮局，已知C村与B村关于邮局对称． (1)以邮局为原点，以向东方向为正方向，一个网格的长度表示1km建立数轴，请在图中的数轴上标出A、B、C三个村庄的位置，并求出C村离A村有多远？ (2)邮递员一共骑行了多少千米？ 【答案】(1)作图见解析，C村离A村有 (2)邮递员一共骑行了20千米； 【思路点拨】本题考查了正负数的实际应用，有理数的加法，数轴，解题的关键是熟练掌握数轴的实际应用； （1）根据已知条件在数轴表示出三点，再根据两点间的距离公式即可解答； （2）列出加法算式计算即可； 【规范解答】（1）解：如下图： 答：C村离A村有； （2）解：， 答：邮递员一共骑行了20千米； 【举一反三练2】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）我国某次军事演习中，一艘核潜艇的初始位置在海平面下，规定核潜艇上升记为“＋”，下降记为“－”，下面是这艘核潜艇在某段时间内的运动情况：．（单位：） (1)最后这艘核潜艇停留的位置在海平面下多少米？ (2)如果这艘核潜艇每上升或下降，核动力装置所提供的能量相当于汽油燃烧所产生的能量，那么在这艘核潜艇运动的这段时间内，核潜艇动力装置提供的能量相当于多少升汽油燃烧所产生的能量？ 【答案】(1)615 (2)5325 【思路点拨】本题考查正负数的意义和有理数加法的实际应用．熟练掌握正负数的意义和有理数加法法则，是解题的关键． （1）将所有数据相加，根据最终结果确定核潜艇处在什么位置； （2）将所有数据的绝对值相加，再即可得解． 【规范解答】（1）解： ； 答：核潜艇处在海平面下米位置； （2）解： (升)； 答：在这一时段内核动力装置所提供的能量相当于升汽油燃烧所产生的能量． 【举一反三练3】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某天下午，出租车司机小王的营运全是在东西走向的国庆大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天下午载客行车里程（单位：公里）如下：，，，，，，，，，，． (1)最后一次营运结束时，小王距离下午出车时的出发地多远？ (2)若汽车的耗油量为0.2L/km，则这天下午小王的车共耗油多少升？ (3)该市出租车按里程计费标准为：不超过3公里，收费9元，超过3公里的部分，按每公里2元收费，则这天下午小王前三次营运收入共多少元？ 【答案】(1) (2)17升 (3)45元 【思路点拨】此题考查了正数和负数，以及有理数加减法的应用，弄清题意是解本题的关键． （1）把所有行车里程相加，再根据正负数的意义解答； （2）用0.2乘行车里程的绝对值的和，计算即可得解； （3）分别计算前三次的每一次收入，再相加即可． 【规范解答】（1）解：， 答：最后一次营运结束时，小王距离下午出车时的出发地； （2）解：（升） （3）解：第一次3公里，不超过3公里，收费为9元； 第二次10公里，超过3公里，收费为元； 第三次5公里，超过3公里，收费为元， ∴ 总共收入为：元， 答：这天下午小王前三次营运收入45元． 考点讲练4：有理数的加法运算律 【精讲题】（23-24七年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【思路点拨】（）根据有理数的加法运算法则计算即可； （）根据有理数的加减运算法则计算即可； （）利用有理数的加法交换律和结合律计算即可； （）利用有理数的加法交换律和结合律计算即可； （）利用有理数的加法交换律和结合律计算即可； 本题考查了有理数的运算，掌握有理数的运算法则和运算律是解题的关键． 【规范解答】（1）解：原式； （2）解：原式 ， ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ， ； （5）解：原式 ， ． 【举一反三练1】（23-24六年级上·山东淄博·期中），上面的计算所运用的运算律是（    ） A．交换律 B．结合律 C．先用结合律，再用交换律 D．先用交换律，再用结合律 【答案】D 【思路点拨】本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据加法交换律和结合律进行计算，即可解答． 【规范解答】解：， 上面的计算所运用的运算律是先用交换律，再用结合律， 故选：D． 【举一反三练2】（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）下列变形，运用加法运算律错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了有理数加法的运算律，熟练掌握交换律，结合律是解题的关键． 【规范解答】A. ，符合交换律，不符合题意；     B. ，符合交换律，不符合题意； C. ，不符合结合律，符合题意；     D. ，符合结合律，不符合题意； 故选C． 【举一反三练3】（23-24七年级上·江苏·周测）计算：（1） 4 24 19 28 （2） 【答案】（1）19；（2）2 【思路点拨】根据有理数的加法运算法则计算即可． 【规范解答】（1） 4 24 19 28 = 28 19 28 =19 （2） ． 【考点评析】本题主要考查了有理数的加法运算，掌握相应的运算法则，是解答本题的关键． 考点讲练5：有理数的减法运算 【精讲题】（23-24七年级下·广西南宁·期中）下列运算错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了有理数的加减法，掌握相关的运算性质是解题的关键． 根据有理数的加减法则对各选项依次计算判断即可． 【规范解答】A．，原式计算错误，故此选项符合题意； B．，原式计算正确，故此选项不符合题意； C．，原式计算正确，故此选项的计算正确； D．，故此选项不符合题意； 故选：A． 【举一反三练1】（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）点M，N在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是m和n．对于以下结论： ①，②，③，④．其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【思路点拨】此题主要考查了绝对值的含义和求法，以及数轴的特征和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是判断出m和n的取值范围．根据点M，N在数轴上的位置得：进而逐个判断即可． 【规范解答】解：∵点M，N在数轴上的位置如上图所示，其对应的数分别是m和n， ∴， ∴则①正确； ∴则②错误； ∴则③正确； ∴则④正确； 综上所述，其中正确的有：①③④， 故答案为：C． 【举一反三练2】（2024·河北邯郸·二模）如图1，点，，是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，，3，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字对齐数轴上的点，发现点对应刻度，点对应刻度． （1）该数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的 ； （2）数轴上点所对应的数为，则 ． 【答案】 / 【思路点拨】本题主要考查了有理数与数轴，有理数的减法运算： （1）先求出在数轴上点A和点C的距离为，再由刻度尺上点A与点C的距离除以数轴上点A和点C的距离即可得到答案； （2）用刻度尺上点A与点B的距离除以得到数轴上点A和点B的距离即可得到答案． 【规范解答】解：（1）∵数轴上点A和点C表示的数分别为，3， ∴在数轴上点A和点C的距离为， ∵在刻度尺上数字0对齐数轴上的点A，点C对应刻度， ∴该数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的， 故答案为：； （2）∵在刻度尺上点B对应刻度， ∴在数轴上点A和点B的距离为， ∴数轴上点B所对应的数b为， 则 故答案为：． 【举一反三练3】（2024·陕西西安·二模）如图，在数轴上点表示的数是，点被墨水遮住了，已知，则点表示的数为 ．    【答案】 【思路点拨】本题考查的是数轴上两点距离，在数轴上表示有理数，有理数的减法；由数轴可知，点在点的左侧，根据题意并结合两点间的距离公式计算即可． 【规范解答】解：由数轴可知，点在点的左侧， 点表示的数是，， 点表示的数为：， 故答案为：． 考点讲练6：有理数减法的实际应用 【精讲题】．（2024·河北·二模）某日我市的最高气温为零上，记作或），最低气温为零下，则可用于计算这天温差的算式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了有理数减法的应用，解题的关键是理解题意，这天温差为最高气温减最低气温． 【规范解答】这天温差为， 故选B． 【举一反三练1】（23-24七年级上·江苏无锡·期中）江阴市某天的最高气温为，最低气温为，那么这天的最高气温比最低气温高（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了有理数的减法，是基础题，熟记减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键． 用最高温度减去最低温度，然后根据减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可得解． 【规范解答】∵江阴市某天的最高气温为，最低气温为， ∴． ∴这天的最高气温比最低气温高． 故选：D． 【举一反三练2】（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）某粮店出售的三种品牌的面粉袋上分别标有质量为，，的字样，从中任意拿出两袋，则这两袋的质量最多相差与最少相差分别为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【思路点拨】本题考查了有理数减法的应用，根据质量范围找出最重的和最轻的，作差即可，准确计算是解题的关键． 【规范解答】， ∴这两袋的质量最多相差0.8千克，最少相差0千克， 故选：C． 【举一反三练3】（22-23七年级上·江苏泰州·阶段练习）省泰州附中开展“读经典书，作儒雅人”活动，活动中某班流动图书角平均每天借出图书30本，如果某天借出33本，就记作+3；如果某天借出26本，就记作．国庆假前一周图书馆借出图书记录如下： 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 +4 +8 +16 (1)该班级星期五借出多少本图书； (2)该班级星期二比星期五少借出多少本图书？ 【答案】(1)该班级星期五借出46本图书 (2)该班级星期二比星期五少借出22本图书 【思路点拨】本题考查的是正负数的含义，有理数的加减运算的应用，理解题意，列出正确的运算式是解本题的关键； （1）根据题意可得：该班级星期五借出的图书，然后进行计算即可解答； （2）根据题意可得：该班级星期二比星期五少借出的图书，然后进行计算即可解答． 【规范解答】（1）解：由题意得：（本）， ∴该班级星期五借出46本图书； （2）由题意得：（本）， ∴该班级星期二比星期五少借出22本图书． 考点讲练7：有理数的加减混合运算 【精讲题】（23-24七年级下·黑龙江绥化·阶段练习）阅读下面的解题过程，并解决问题． 计算：． 解：原式 ． (1)第①步经历了哪些转变：_____，体现了数学中的转化思想，为了计算简便，第②步应用了哪些运算律：_______． (2)根据以上解题技巧进行计算：． 【答案】(1)去括号，省略加号；加法交换律、结合律 (2) 【思路点拨】本题考查有理数的知识，解题的关键是掌握有理数的加减运算，运用有理数的加减运算进行计算，即可． （1）根据有理数的加减运算步骤，进行计算，即可； （2）根据（1）中的运算法则，进行计算，即可． 【规范解答】（1）由解题过程可知，第①步去括号，省略加号；第②步运用加法交换律、结合律计算， 故答案为：去括号，省略加号；加法交换律、结合律． （2） ． 【举一反三练1】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）阅读材料，回答问题：因为一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，所以，当时，如，；当时，，如，．根据以上信息完成下列问题： (1)__________；__________； (2)计算：． 【答案】(1)2； (2) 【思路点拨】本题主要考查了求一个数的绝对值，有理数的加减混合计算： （1）根据绝对值的意义求解即可； （2）先根据绝对值的意义去绝对值，然后根据有理数的加减计算法则求解即可． 【规范解答】（1）解：，， 故答案为：2；； （2）解： ． 【举一反三练2】（22-23七年级上·江苏盐城·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了有理数的加减混合运算．熟练掌握有理数的加减混合运算是解题的关键． （1）先去括号，然后进行加减运算即可； （2）先去括号，然后进行加减运算即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 【举一反三练3】（23-24七年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）计算． (1)； (2)． (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路点拨】本题考查了有理数的加减混合运算； （1）根据有理数的加减混合运算进行计算，即可求解； （2）根据有理数的加减混合运算进行计算，即可求解； （3）根据有理数的加减混合运算进行计算，即可求解； （4）根据有理数的加减混合运算进行计算，即可求解． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 考点讲练8：有理数加减法运算中的简便运算 【精讲题】（23-24七年级上·江苏镇江·期中）在有些情况下，不需要计算出也能把绝对值符号去掉，例如：，，，． (1)根据上面的规律，写出下列各式去掉绝对值符号后的形式（不要计算出结果）： ①______；②______． (2)计算：． 【答案】(1)①；② (2) 【思路点拨】本题考查了绝对值、有理数加减法的结合律，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）①根据去掉绝对值符号即可得； ②根据去掉绝对值符号即可得； （2）先去掉绝对值符号，再利用有理数加减法的结合律进行计算即可得． 【规范解答】（1）解：①， 故答案为：； ②， 故答案为：． （2）解： ． 【举一反三练1】（23-24七年级上·福建漳州·期中）计算，最适当的方法是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了有理数加法的交换律和结合律，解题的关键是熟练掌握有理数的加法运算律． 【规范解答】解：． 故选：D． 【举一反三练2】（23-24七年级上·山东菏泽·期中）对于可以进行如下计算： 原式 ． 上面这种方法叫拆项法，你看懂了吗？仿照上面的方法，你会计算下面的式子吗？ ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了有理数的简便计算，把有理数分成整数与分数的和，再归类计算即可． 【规范解答】 ． 【举一反三练3】（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）阅读下面文字： 对于可以按如下方法计算： 原式 ． 上面这种方法叫拆项法，你看懂了吗？ 依照上面的方法，请你计算：． 【答案】 【思路点拨】先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算． 【规范解答】解： ． 【考点评析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，在计算中巧妙运用加法运算律往往使计算更简便． 考点讲练9：有理数加减混合运算的实际应用 【精讲题】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）服装城赵老板在广州发现一种应季衬衫，预料能畅销市场，就用80000元购进该店全部的2000件衬衫．由于非常畅销，这些衬衫在7天全部卖完．这7天每件衬衫利润变化以及这七天的销售量如下表所示（正数表示比前一天多的利润，负数表示比前一天少的利润）． 销售天数（单位：天） 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 利润变化（单位：元） 每天销售的件数（单位：件） 300 350 250 350 400 150 200 (1)第七天时，每件衬衫的售价为多少元？ (2)赵老板觉得这个商机非常好，于是经人介绍又在杭州花了176000元购进这种衬衫，只是单价比广州的贵4元．求在杭州购进衬衫多少件． (3)在（2）的条件下，若按照（1）中第七天的售价销售，衬衫销售很快，为了回馈广大新老顾客，最后剩150件，按八折销售很快售完，求赵老板两次销售衬衫共盈利多少元． 【答案】(1)每件衬衫的售价为54元 (2)在杭州购进衬衫4000件 (3)两次销售衬衫共盈利62280元 【思路点拨】本题考查了有理数的加减运算，以及销售中利润的问题，正确理解题意，读懂表格是解题的关键． （1）先计算进价，利用每天的利润变化进行加减即可； （2）利用总价单价=数量计算即可； （3）根据表格确定第一天到第七天的每件利润为10，13，18，14，7，9，14，然后计算出第一次销售衬衫利润，第二次销售先计算出前的利润，剩余150件按照第七天的八折销售，再计算利润，最后相加即可． 【规范解答】（1）解：（元）， （元）， 答：第7天时，每件衬衫的售价为54元； （2）解：（件） 答：在杭州购进衬衫4000件； （3）解：（元），（元） 答：两次销售衬衫共盈利62280元． 【举一反三练1】（23-24七年级上·江苏徐州·阶段练习）邮递员骑车从邮局出发，先向西骑行3km到达A村，继续向西骑行3km到达B村，然后向东骑行10km到达C村，最后回到邮局． (1)以邮局为原点，以向东方向为正方向，以1个单位表示1km，在该数轴上表示A，B，C三个村庄的位置； (2)C村离A村有多远？ (3)邮递员一共骑行了多少千米？ 【答案】(1)见解析 (2)7km (3)16千米 【思路点拨】本题考查了在数轴上表示有理数，数轴两点之间的距离，有理数的加减： （1）根据实际意义在数轴上表示即可； （2）从数轴上可直接得出距离； （3）相加可求出一共骑行了多少千米； 熟练掌握数轴的意义是解题的关键． 【规范解答】（1）解：向西骑行3km到达A村，是向左移动3个单位，即处， 继续向西骑行3km到达B村，是从A村再向左移动3个单位，即处， 从B村向东骑行10km到达C村，即处， 如图所示： ； （2）解：根据（1）中的数轴可知，C村离A村为； （3）解：根据题意可得， 邮递员一共骑行了(千米)． 【举一反三练2】（2024·北京海淀·一模）2019年11月，联合国教科文组织将每年的3月14日定为“国际数学日”，也被许多人称为“节”．某校今年“节”策划了五个活动，规则见下图： 小云参与了所有活动． （1）若小云只挑战成功一个，则挑战成功的活动名称为 ； （2）若小云共挑战成功两个，且她参与的第四个活动成功，则小云最终剩下的“币”数量的所有可能取值为 ． 【答案】 鲁班锁； 1，2，3 【思路点拨】本题主要考查了逻辑推理： （1）根据小云参与了所有活动．可得小云第一个挑战必定成功，再由只挑战成功一个，可得小云第一个挑战成功需要得到4个“币”，即可； （2）根据题意可得小云第一个挑战必定成功，且挑战成功的活动可能为华容道或魔方或鲁班锁，第二，三、五次挑战失败，然后分三种情况讨论，即可． 【规范解答】解：∵小云参与了所有活动． ∴小云第一个挑战必定成功， ∵小云只挑战成功一个， ∴小云第一个挑战成功需要得到4个“币”， ∴挑战成功的活动名称为鲁班锁； 故答案为：鲁班锁； （2）∵小云共挑战成功两个，且她参与的第四个活动成功， ∴小云第一个挑战必定成功，且挑战成功的活动可能为华容道或魔方或鲁班锁，第二，三、五次挑战失败， 若第一次挑战华容道， 当第四次挑战24点或数独时，最终剩下的“币”数量的取值为； 当第四次挑战魔方时，最终剩下的“币”数量的取值为； 当第四次挑战鲁班锁时，最终剩下的“币”数量的取值为； 若第一次挑战魔方， 当第四次挑战24点或数独时，最终剩下的“币”数量的取值为； 当第四次挑战华容道时，最终剩下的“币”数量的取值为； 当第四次挑战鲁班锁时，最终剩下的“币”数量的取值为； 若第一次挑战鲁班锁， 当第四次挑战24点或数独时，最终剩下的“币”数量的取值为； 当第四次挑战华容道或魔方时，最终剩下的“币”数量的取值为； 综上所述，最终剩下的“币”数量的所有可能取值为1，2，3． 故答案为：1，2，3 【举一反三练3】．（22-23七年级上·浙江宁波·期中）某自行车厂一周计划生产1400辆自行车，平均每天生产200辆，由于各种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入，下表是某周的生产情况（超产为正、减产为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)哪一天的产量最多?产量最多的一天比最少的一天多生产多少辆? (2)该厂一周实际生产自行车多少辆? (3)该厂实行每周计件工资制，每生产一辆车可得50元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖20元，少生产一辆扣15元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元? 【答案】(1)星期六的产量最多，产量最多的一天比产量最少的一天多生产26辆 (2)一周实际生产自行车1409辆 (3)该厂工人这一周的工资总额是70630元 【思路点拨】（1）由表格可知：产量最多是星期六，产量最少是星期五，相减即可得解； （2）根据正负数的意义，求出七天超产或减产的和，再加上本周计划生产量，即可得出结果； （3）根据题意列式计算即可得到结果． 【规范解答】（1）解：由表格可知，产量最多是星期六，产量最少是星期五， （辆）， 答：星期六的产量最多，产量最多的一天比产量最少的一天多生产26辆． （2）解：（辆）， 答：一周实际生产自行车1409辆． （3）解：（元）， 答：该厂工人这一周的工资总额是70630元． 【考点评析】本题主要考查正负数的意义，有理数的加减的应用，解题的关键是熟练运用正负数的意义． 中等题真题汇编练 1．（2024·云南玉溪·二模）据史料证明：中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家，早在两千多年前，我国就有了正负数的概念，掌握了正负数的运算法则，并应用到生产和生活中．若某同学某一天零花钱的明细如下：元，元，其中元表示收入10元，则下列说法正确的是（    ） A．元表示支出15元 B．元表示支出元 C．元表示收入15元 D．收支总和为25元 【答案】A 【思路点拨】本题考查了正数和负数的意义，有理数的加法运算的实际应用，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 根据正数和负数的意义和有理数的加法运算求解即可． 【规范解答】∵元表示收入10元， ∴元表示支出15元，故A选项正确，B，C选项错误； ∵ ∴收支总和为元，故D选项错误． 故选：A． 2．（2024·河南开封·二模）下列各数中，与相加等于0的数是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】此题考查了绝对值，有理数的加法，正确掌握绝对值的性质是解题关键．直接利用绝对值的性质化简，再利用有理数的加法得出答案． 【规范解答】解：∵， ∴与相加等于0的数是． 故选：B． 3．（23-24七年级上·新疆阿克苏·期末）规定符号表示两个数中较小的一个，规定符号表示两个数中较大的一个，例如：，，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了新定义，有理数的加减； 根据新规定求出，然后计算即可． 【规范解答】解：由题意得：， ∴， 故选：A． 4．（2024·山东临沂·一模）小青双休日想帮妈妈做下面的事情：用洗衣机洗衣服要用15分钟；扫地要用5分钟；擦家具要用11分钟；晾衣服要用3分钟．她经过合理安排，做完这些事至少要花（   ）分钟． A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了有理数加减混合计算的实际应用，由于洗衣服和晾衣服是必须要花费时间的，因此要使时间最少，则在洗衣服期间可以扫地和搬家具，据此可得答案． 【规范解答】解：分钟， ∴她经过合理安排，做完这些事至少要花19分钟， 故选；C． 5．（23-24七年级下·黑龙江绥化·阶段练习）在《九章算术注》中用不同颜色的算筹(小棍形状的记数工具)分别表示正数和负数(白色为正，黑色为负)，如图1表示的是的计算过程，则下图2表示的算式是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了有理数的加减运算．由白色算筹表示正数，黑色算筹表示负数，即可列式计算． 【规范解答】解：由题意得白色算筹表示正数，黑色算筹表示负数， 图中表示的计算过程为． 故答案为：． 6．（21-22七年级上·江苏盐城·期末）如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点A与数轴上表示的点重合，将圆沿数轴向右无滑动地滚动一周，点A到达点的位置，则点表示的数是 ． 【答案】/ 【思路点拨】本题考查了实数与数轴、圆的周长．求出圆的周长，再根据实数与数轴上的点的对应关系即可得到答案． 【规范解答】解：由题意得，圆的周长为， 表示的数是， 故答案为：． 7．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）几个（至少两个）连续整数的和为7，则这几个连续整数中最大数与最小数的差的绝对值为 ． 【答案】1或6或13 【思路点拨】本题考查有理数的加减法运算，整数和为7，数字较小，依次列出符合题意的整数，进而根据题意求得最大数与最小数的差的绝对值． 【规范解答】解：由连续几个(至少两个)整数的和为7，得 ，则； ，则； ，则， 故答案为：． 8．（23-24七年级上·江苏盐城·期末）我县元月份某一天的天气预报中，最低温度为，最高温度为，这一天的最高温度比最低温度高 ． 【答案】8 【思路点拨】本题主要考查了有理数减法的应用，解题的关键是根据题意列出算式，然后进行计算即可． 【规范解答】解：， 故答案为：8． 9．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）世界最高峰珠穆朗玛峰的海拔高度是8844.43米，死海湖面的海拔高度是米，我国吐鲁番盆地的海拔高度比死海湖面高262米，珠穆朗玛峰的海拔高度比吐鲁番盆地的海拔高度高多少米？ 【答案】8998.43米 【思路点拨】本题考查有理数的减法和加法运算，熟练掌握有理数的加法和减法的运算法则是解决本题的关键．根据正数和负数表示两个相反意义的量和有理数的加减法运算法则，即可求解． 【规范解答】解：吐鲁番盆地的海拔高度是：， 珠穆朗玛峰的海拔高度比吐鲁番盆地的海拔高度高：（米）， 答：珠穆朗玛峰的海拔高度比吐鲁番盆地的海拔高度高8998.43米． 10．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）计算： (1)； (2)； 【答案】(1)1 (2) 【思路点拨】本题考查有理数的加法及加减混合运算，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）利用有理数的加法法则计算即可； （2）先将去除括号，再将同分母的分数加减，所得结果再加减即可． 【规范解答】（1）解：原式； （2）解：原式 ． 11．（22-23七年级上·山东青岛·期末）小虫从某点O出发在一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，爬过的各段路程依次为（单位厘米）：，，，，分别到达了A、B、C、D四个点． (1)请在数轴上将A、B、C、D四个点表示出来． (2)小虫离开出发点O最远时是多少厘米？ (3)在爬行过程中，如果爬1厘米奖励两粒芝麻，则小虫一共得到多少粒芝麻？ 【答案】(1)图见详解； (2)4； (3)小虫一共得到粒芝麻． 【思路点拨】（1）本题考查数轴上的点，根据数轴上点与实数一一对应画图即可得到答案； （2）本题考查正负数意义，算出各次运动后的数值比较大小即可得到答案； （3）本题考查绝对值的意义，利用各次绝对值之和求出路程，乘以2即可得到答案； 【规范解答】（1）解：由题意可得，A、B、C、D四个点在数轴上如图所示， （2）解：由题意可得， 第一次距离：2（厘米）， 第二次距离：（厘米）， 第三次距离：（厘米）， 第四次距离：（厘米）， ∵， ∴小虫离开出发点O最远时是4厘米； （3）解：由题意可得， 小虫爬行路程为：（厘米）， ∵爬1厘米奖励两粒芝麻， ∴小虫一共得：（粒）， ∴小虫一共得到粒芝麻． 12．（23-24七年级上·江苏徐州·期中）邮递员骑车从邮局出发，先向东骑行到达村，继续向东骑行到达村，然后向西骑行，到达村，最后回到邮局．    (1)如图，以邮局为原点，以向东方向为正方向，一个单位长度表示，在数轴上表示出三个村庄的位置； (2)点表示的数是______，点表示的数是______，点表示的数是______； (3)村距离村有多远？ 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【思路点拨】本题考查数轴及有理数在数轴上的表示，有理数的减法， （1）根据题意，画出A、B、C三个村庄的位置； （2）根据（1）表示的位置求解即可； （3）根据A、C两个村在数轴上代表的数值的差，即为两村的距离． 会用数轴解决实际问题，掌握数轴的三要素并来作图是解题的关键． 【规范解答】（1）如图所示，    （2）由（1）可得， 点表示的数是4，点表示的数是6，点表示的数是 故答案为：4，6，； （3） ∴村距离村． 培优题真题汇编练 13．（22-23七年级上·江苏盐城·期末）实数a、b在数轴上的对应点位置如图所示，下列结论中不正确的是（　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查数轴与绝对值，掌握数轴上点的意义以及绝对值的含义是解题的关键． 先根据数轴估计出a、b的大致范围，然后根据有理数的加减运算法则逐项判断即可． 【规范解答】解：A、由数轴可知数表示的点b在左侧，即，故A选项正确，不符合题意； B、由数轴可知，故B选项正确，不符合题意； C、由数轴可知，则，故C选项正确，不符合题意； D、由数轴可知，则，故D选项错误，符合题意； 故选：D． 14．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）同学们都熟悉“幻方”游戏，现将“幻方”游戏稍作改进变成“幻圆”游戏，将，4，，8，，12，，16分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两个正方形顶点处圈内4个数字之和都相等，则的值为（　） A．或 B．或 C．2或 D．2或 【答案】A 【思路点拨】本题考查有理数的加法， 根据所给数的特征，可知横、竖、外圈、内圈的4个数之和为4，再由已经填写的数，确定或，分类求解即可． 【规范解答】解：， 横、竖、外圈、内圈的4个数之和为4， ， ， ，， ，， 或， 当时，，此时， 当时，，此时， 故选∶A． 15．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）有理数、在数轴上的对应点的位置如图所示，下列代数式的值最小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，有理数的加减法，正确判断有理数a，b的正负情况及其绝对值的大小是解答本题的关键，先判断有理数a，b的正负情况，然后利用有理数的加减法法则以及绝对值的概念判断各式的正负情况，即可得到答案． 【规范解答】由图可知，，且， ，，，， 故选：D． 16．（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，数轴上有一个动点从原点出发，沿数轴跳动，每次向正方向或负方向跳1个单位，经过5次跳动，该动点落在表示数3的点上（允许重复过此点），则质点的不同运动方案共有（　　） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【答案】D 【思路点拨】规定向右为正，向左为负，构造数的和为3的方式就是不同运动方案 【规范解答】规定向右为正，向左为负， ∵；； ； ； ； ∴质点的不同运动方案共有5种， 故选D． 【考点评析】本题考查了相反意义的量，有理数加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 17．（21-22七年级上·浙江宁波·期末）“转化”是一种解决问题的常用策略，有时画图可以帮助我们找到转化的方法．例如借助图①，可以把算式1＋3＋5＋7＋9＋11转化为62＝36，请你观察图②，可以把算式转化为 ． 【答案】 【思路点拨】根据图形观察发现，把正方形看作单位“1”，即算式可以转化成，再求出答案即可． 【规范解答】解：把正方形看作单位“1”，由图可得， ， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了有理数的混合运算和数据分析能力，同时还考查了数据的推理能力． 18．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）计算： ． 【答案】 【思路点拨】此题考查了有理数的加减混合运算，绝对值的化简等知识，原式利用绝对值的意义进行化简化简，再进行加减计算即可得到结果． 【规范解答】解： ． 故答案为： 19．（21-22七年级上·江苏南京·阶段练习）如图，半径为1个单位长度的圆片上有一点Q与数轴上的原点重合（提示：计算结果保留π） （1）把圆片沿数轴向左滚动1周，点Q到达数轴上点A的位置，点A表示的数是 　 　 （2）圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动情况记录如下：＋3，﹣1， 　 　，＋4，﹣3， 　 　 ①第3次滚动 　 　周后，Q点回到原点．第6次滚动 　 　周后，Q点距离原点4π； ②当圆片结束运动时，Q点运动的路程共有多少？ 【答案】（1）﹣2π；（2）①﹣2，1或﹣3；②28π或32π 【思路点拨】（1）圆的周长为2π，滚动的距离=周数×2π，根据距离在原点的位置，确定位置上表示的数的属性； （2）①Q点回到原点即前3次滚动周数的和为0；Q点距离原点4π，由于半径为1，即6次滚动周数的和为2或-2； ②先计算出滚动周数的绝对值的和，乘以2π即可． 【规范解答】解：（1）∵圆的半径为1， ∴圆的周长为2π， ∴把圆片沿数轴向左滚动1周，点Q到达数轴上点A的位置需要滚动的距离为2π， ∵点A在原点的左边，表示一个负数， ∴点A表示的数是﹣2π； 故答案为：﹣2π； （2）①∵第3次滚动a周后，Q点回到原点， ∴+3﹣1+a=0， ∴a=-2， ∴第3次滚动﹣2周后，Q点回到原点； ∵Q点距离原点4π， ∴第6次滚动b周后的周数的绝对值为4π÷2π=2， ∴+3-1-2+4-3+b=2或+3-1-2+4-3+b=-2， ∴b=1或b=-3， ∴第6次滚动1或﹣3周后，Q点距离原点4π 故答案为﹣2，1或﹣3； ②根据题意，得： 周数的绝对值的和为：3+1+2+4+3+1＝14， ∴滚动距离为：14×2π＝28π， 周数的绝对值的和为： 3+1+2+4+3+3＝16， ∴滚动距离为：16×2π＝32π． 当圆片结束运动时，Q点运动的路程共有28π或32π． 【考点评析】本题考查了有理数的加减混合运算，绝对值，数轴，熟练掌握有理数的混合运算是解题的关键． 20．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值．例：如图所示，点A、B在数轴上分别对应的数为a、b，则A、B两点间的距离表示为．请结合以上知识和数轴解决下列问题：    （1）若数轴上两点C、D表示的数为x、， ①C、D之间的距离可用含x的式子表示为 ； ②若C、D两点之间的距离为2，那么x值为 ； （2）的最小值为 ；此时若x是整数，则x的值是 ； （3）当 时，的值最小，最小值是 ． 【答案】（1）①；或；（2）3；，0，1，2；（3）1，9 【思路点拨】（1）①根据题目已知中的A、B两点间的距离表示为，代入即可解答；②使①中的式子等于2，解出即可； （2）由线段的性质，两点之间，线段最短，可知当时，有最小值，再根据绝对值的性质即可求出最小值及x的取值； （3）根据数轴上两点间的距离的定义，当时，则的值最小，最小值是9． 【规范解答】解：（1）①C、D之间的距离可用含x的式子表示为； ②依题意有， 或， 解得或， 故x值为或1； 故答案为：①；②或1； （2）根据数轴上两点间的距离的定义可知：表示x与的距离与x与2的距离的和， 所以当x的取值为时，的值最小，最小值为3； 此时整数x的值是，2，1，2； 故答案为：3；，0，1，2； （3）设x表示的数为A，B表示的数为，D表示的数为6， 根据数轴上两点间的距离的定义可知，当点A在点C时，的值最小， 当时， 原式 ， 故答案为：1，9． 【考点评析】本题主要考查数轴与绝对值的知识，解题的关键是熟练掌握两点间的距离表示方法． 21．（23-24七年级上·江苏徐州·期中）邮递员骑车从邮局出发，先向西骑行3到达A村，继续向西骑行2到达B村，然后向东骑行8到达C村，最后回到邮局． (1)以邮局为原点，以向东方向为正方向，以1个单位表示1，在该数轴上表示A，B，C三个村庄的位置； (2)C村离A村有多远？ (3)邮递员一共骑行了多少千米？ 【答案】(1)见解析 (2)6 (3) 【思路点拨】本题考查了数轴上的应用，正负数的应用，数轴上两点间的距离，有理数加减法的应用． （1）根据正负数的应用，数轴的应用，画图解答即可． （2）C村离A村的距离为． （3）计算即可． 【规范解答】（1） （2）根据题意，得C村表示的数为3，A村表示的数为， C村离A村的距离为． 答：两村距离为6千米． （3）根据题意，得． 答：一共骑行了13千米． 22．（22-23七年级上·江苏常州·期末）在一条不完整的数轴上从左到右有点A、B、C，其中，，如图所示： (1)若以B为原点，写出点A、C所对应的数A：_____；C：______； (2)若点O是数轴上的原点，且点A是线段的中点，直接写出A、B、C所对应的数； (3)若点O是数轴上的原点，且，求A、B、C所对应的数． 【答案】(1)，1 (2)3，5，6 (3)A对应的数是2021，B对应的数是2023，C点对应的数是2024或A对应的数是，B对应的数是，C点对应的数是 【思路点拨】（1）由B是原点，根据两点间距离公式得出A、C所对应的数； （2）可求，根据两点间距离公式可求出C点对应的数，进而可得A、B两点对应的数； （3）分O在B的左侧和右侧两种情况讨论即可． 【规范解答】（1）解∶ ∵B为原点，，，点A在B点左边，点C在B点右边， ∴A点对应的数是，C点对应的数是1， 故答案为：，1； （2）解：∵，， ∴， ∵点A是线段的中点， ∴，， ∴， ∵原点O是数轴上的原点， ∴A对应的数是3，B对应的数是5，C点对应的数是6； （3）解：当O在B的左侧时， ∵，，， ∴，， ∴A对应的数是2021，B对应的数是2023，C点对应的数是2024； 当O在B的右侧时， ∵，，， ∴，， ∴A对应的数是，B对应的数是，C点对应的数是； 综上，A对应的数是2021，B对应的数是2023，C点对应的数是2024或A对应的数是，B对应的数是，C点对应的数是． 【考点评析】本题考查了两点间的距离及数轴的运用，有理数的加减运算，熟练掌握数轴上两点间的距离是解题关键． 23．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【思路点拨】（1）根据有理数加减混合运算法则计算即可； （2）先将带分数拆成整数和分数两部分，然后利用加法的交换律和结合律，整数和整数相结合，同分母分数相结合，进行计算即可． （3）将带分数转化为假分数再进行有理数加减乘除运算即可； （4）乘方后，计算小括号部分，再运算乘除即可； （5）将带分数转化为假分数再进行有理数乘除运算即可； （6）先计算前两项，再与后一项运算即可． 本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握分数与小数的转化是关键． 【规范解答】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$