2.2 数轴（知识精讲+易错点拨+七大考点讲练+难度分层真题练）-2024-2025学年苏科版2024新教材七年级数学上册核心考点培优讲练

2024-2025学年苏科新版数学七年级上册同步培优核心考点讲练●新教材【第2章《有理数》】 2.2 数轴 （知识精讲+易错点拨+七大考点讲练+难度分层真题练） 新知精讲梳理 1 高频易错知识点拨 2 考点讲练1：数轴的三要素及其画法 3 考点讲练2：用数轴上的点表示有理数 4 考点讲练3：利用数轴比较有理数的大小 5 考点讲练4：数轴上两点之间的距离 6 考点讲练5：数轴上的动点问题 7 考点讲练6：根据点在数轴上的位置判断式子的正负 9 考点讲练7：实数与数轴 9 中等题真题汇编练 10 培优题真题汇编练 12 新知精讲梳理 知识点01：数轴的定义 数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线。具体来说： 原点：在数轴上，通常选取某一点作为基准点，称为原点，用0表示。 正方向：在数轴上，一般规定从原点向右的方向为正方向。 单位长度：在数轴上，选取适当的长度作为单位长度，并在数轴上标出刻度。 知识点02：数轴的表示方法 有理数的表示：任何一个有理数都可以在数轴上找到唯一的一个点来表示。正数位于原点的右侧，负数位于原点的左侧，0位于原点处。 分数和小数的表示：分数和小数也可以用数轴上的点来表示。例如，分数1/2可以表示为原点右侧0.5个单位长度的点，小数3.5可以表示为原点右侧3.5个单位长度的点。 知识点03：数轴的应用 有理数的大小比较：在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。因此，可以利用数轴来比较有理数的大小。 知识点04：注意事项 数轴的三要素：原点、正方向和单位长度是数轴不可或缺的三要素，缺一不可。 数轴上的点与有理数的一一对应：数轴上的每一个点都对应着一个有理数，反之亦然。 数轴上的距离：数轴上两点间的距离等于它们所表示数的差的绝对值。 高频易错知识点拨 易错知识点01：数轴定义的理解 易错点：学生可能只记住数轴有原点、正方向和单位长度，但对其具体含义和应用理解不深。 解析： 原点：是数轴的基准点，表示0。学生应明确原点在数轴上的位置及其代表的数值。 正方向：通常规定向右为正方向，但学生需理解这只是约定俗成的，关键在于理解正方向是数轴上数值增加的方向。 单位长度：是数轴上用于表示数值大小的标尺。学生需明确单位长度的具体含义，并能根据需要进行缩放。 易错知识点02：数轴上点的表示 易错点：学生可能认为数轴上的点只能表示有理数，或者不能准确地将有理数对应到数轴上的点。 解析： 数轴上的点不仅可以表示有理数，还可以表示无理数。虽然七年级主要学习有理数，但学生应了解数轴与实数集的一一对应关系。 对于任意有理数（包括整数、分数等），学生应能准确地在数轴上找到对应的点，并理解该点与原点的距离即为该数的绝对值。 易错知识点03：有理数的大小比较 易错点：学生可能只通过数轴上的位置关系判断有理数的大小，而忽略了其他比较方法。 解析： 在数轴上，右边的数总比左边的数大。这是判断有理数大小的基本方法，但学生也应掌握利用数的性质（如正数都大于0，负数都小于0）和绝对值进行大小比较的方法。 特别地，对于两个负数的大小比较，学生容易出错。应明确两个负数中绝对值大的数实际上更小。 易错知识点04：其他易错点 相反数的表示：学生可能混淆相反数的概念和表示方法。应明确只有符号不同的两个数互为相反数，且0的相反数还是0。在数轴上，互为相反数的两个点关于原点对称。 绝对值的计算：学生可能忽视绝对值是非负数的性质，或者在计算绝对值时出错。应明确正数的绝对值是其本身，负数的绝对值是其相反数（即去掉负号后的数），0的绝对值是0。 考点讲练1：数轴的三要素及其画法 【精讲题】（23-24七年级上·江苏无锡·期中）下列说法： ①规定了原点、正方向的直线是数轴； ②数轴上两个不同的点不可以表示同一个有理数； ③有理数在数轴上无法表示出来； ④任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点．    其中正确的是(    ) A．①②③④ B．②④ C．③④ D．②③④ 【举一反三练1】（23-24七年级上·山东菏泽·阶段练习）请把下面不完整的数轴画完整，并在数轴上标出下列各数： ，，4，．    【举一反三练2】（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）在数轴上表示下列个数，并用“”号连接．（数轴上表示与“”号连接均写原数） ．    【举一反三练3】（23-24七年级上·江苏扬州·期中）现有下列各数：①，②，③，④，⑤，⑥． (1)把上列各数序号填入相应的大括号里 ： 非负数集合：{ 　                       …}； 分数集合：{ 　                       　…}． (2)请把下面不完整的数轴补充完整，并在数轴上标出上列各数中的所有整数． 考点讲练2：用数轴上的点表示有理数 【精讲题】（2024·吉林长春·一模）如图，数轴上表示数的点所在的线段是（    ） A． B． C． D． 【举一反三练1】（21-22七年级上·河北·期末）如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是，10，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线上且到点B的距离为6，则C点表示的数是（　　） A．1 B． C．1或 D．1或 【举一反三练2】（2024·陕西西安·模拟预测）已知A，B，C是数轴上的三个点，且C在B的左侧．点A，B表示的数分别是1，3，如图所示．若，则点C表示的数是 ． 【举一反三练3】（2024·河北廊坊·一模）六一到了，嘉嘉和同学要表演节目．嘉嘉骑车到同学家拿东西，再到学校，她从自己家出发，向东骑了2km到达淇淇家，继续向东骑了1.5km到达小敏家，然后又向西骑了4.5km到达学校．演出结束后又向东骑回到自己家． (1)以嘉嘉家为原点，向东为正方向，用1个单位长度表示1km，在图中的数轴上，分别用点A表示出淇淇家，用点B表示出小敏家，用点C表示出学校的位置； (2)求淇淇家与学校之间的距离； (3)如果嘉嘉骑车的速度是，那么嘉嘉骑车一共用了多长时间？ 考点讲练3：利用数轴比较有理数的大小 【精讲题】（2024·陕西咸阳·一模）实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【举一反三练1】（22-23六年级下·上海闵行·阶段练习）在数轴上标出下列各数所对应的点，并将这些数按从小到大的顺序用“”连接． ，，， 【举一反三练2】（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）把下列各数：，，，，． (1)分别在数轴上表示出来，并把它们用“”连接起来．    (2)将上述的有理数填入图中对应的圈内． 【举一反三练3】（23-24七年级上·江苏徐州·期中）在数轴上画出表示0，，，的点，并按从小到大的顺序，用“＜”号把这些数连接起来． 考点讲练4：数轴上两点之间的距离 【精讲题】（23-24七年级下·福建福州·期中）如图，直径为1个单位长度的圆从A点沿数轴向右滚动（无滑动）一周到达点B，则点表示的数是（    ） A． B． C． D． 【举一反三练1】（23-24七年级下·山东潍坊·阶段练习）如果在数轴上A点表示，那么在数轴上与点A距离2个长度单位的点所表示的数是（　　） A． B．和 C．或 D． 【举一反三练2】（2024·河北邯郸·一模）如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，b，3，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对应刻度，点C对应刻度． （1）该数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的 ； （2）数轴上点B所对应的数b为 ． 【举一反三练3】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知在纸面上有一个数轴（如图），折叠纸面． (1)若表示的点与表示2的点重合，则表示1的点与表示______的点重合； (2)若表示1的点与表示的点重合，回答下列问题： ①表示3的点与表示______的点重合； ②若数轴上、两点之间的距离为10，（在的左侧），且、两点经折叠后重合，求、两点表示的数多少？ 考点讲练5：数轴上的动点问题 【精讲题】（23-24七年级下·湖北武汉·期中）如图，将半径为1的圆形纸片上的点与数轴上表示的点重合，将纸片沿着数轴向左滚动一周，点到达了点的位置，则线段的中点表示的数是（    ） A． B． C． D． 【举一反三练1】（24-25七年级上·江苏·假期作业）阅读与思考 如图，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，可以看出，终点表示的数是．参照图中所给的信息，完成填空： 已知A，B都是数轴上的点．    （1）若点A表示数．将点A向右移动5个单位长度至点．则点表示的数是 ； （2）若点A表示数2，将点A先向左移动7个单位长度，再向右移动个单位长度至点，则点表示的数是 ； （3）若将点B先向左移动3个单位长度，再向右移动6个单位长度，终点表示的数恰好是0，则点B所表示的数是 ． 【举一反三练2】．（23-24七年级上·贵州毕节·阶段练习）如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动到达点，再向右移动到达点，然后再向右移动到达点，数轴上一个单位长度表示． (1)请你在数轴上标出、、三点的位置，并填空：A表示的数为_______，B表示的数为_______，C表示的数为______． (2)把点到点的距离记为，则_____，______； (3)若点从（1）中的位置沿数轴以每秒匀速向右运动，经过多少秒使？ 【举一反三练3】（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在数轴上点A表示的数是8，若动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t（秒）．    (1)当时，求点Q表示的数； (2)当时，求点Q表示的数； (3)当点Q到原点O的距离为4时，求点P表示的数． 考点讲练6：根据点在数轴上的位置判断式子的正负 【精讲题】（18-19七年级上·全国·单元测试）已知a、b、c三个数的位置如图所示，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【举一反三练1】（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）有理数、在数轴上的位置如图所示，下列结论：；；；，其中正确的个数是（    ）    A．个 B．个 C．个 D．个 【举一反三练2】（23-24七年级上·北京朝阳·阶段练习）实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（    ）    A． B． C． D． 【举一反三练3】（13-14七年级上·浙江温州·期中）实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，则 0．（填“”“”或“”） 考点讲练7：实数与数轴 【精讲题】（23-24七年级上·江苏徐州·阶段练习）下列说法中正确的是(   ) A．如果收入500元记作“元”，那么“元”的意义就是支出元 B．一个数的相反数的相反数是这个数本身，一个数的倒数的倒数也是这个数本身 C．如果一个数的绝对值等于它的相反数，那么这个数一定是一个小于零的数 D．有理数与数轴上的点是一一对应的，但是数轴上的点并不能表示无理数 【举一反三练1】（23-24七年级上·江苏连云港·期中）如图，将直径为1个单位长度的圆形纸片上的点A放在数轴的处，纸片沿着数轴向左滚动一周，点A到达了点的位置，则此时点表示的数是 ．    【举一反三练2】（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，圆的直径为2个单位长度，该圆上的点A与数轴上表示的点重合，将圆沿数轴向左无滑动地滚动一周，点A到达点的位置，则点表示的数是 ．（结果保留π）    【举一反三练3】（23-24七年级上·江苏·周测）如图，半径为1个单位长度的圆从点A沿数轴向右滚动（无滑动）一周到达点B，若点A对应的数是1，则点B对应的数是 ．    中等题真题汇编练 1．（2024·北京顺义·一模）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列数轴画得正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）如图所示，数轴上点的位置被一滴墨水遮挡了，估计数轴上点表示的数可能是（　　） A． B． C． D．2.6 4．（23-24七年级上·四川凉山·阶段练习）下面是四名同学画的数轴，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）数轴上的A点与表示的是的点右边距离它5个单位长度的点，则A点表示的数为 ． 6．（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）数轴上一动点A，向左移动2个单位长度到B，再向右移动3个单位长度到C点，若点 C表示的数为5，则点A表示的数为 ． 7．（23-24七年级上·山东滨州·期末）已知有理数在数轴上的位置如图所示，则从大到小的顺序为 ．    8．（23-24七年级上·江苏常州·期中）小丽在纸上画了一条数轴后，折叠纸面，使数轴上表示1的点与表示的点重合；若数轴上A、B两点之间的距离为10（A在B的左侧），且A、B两点经上述折叠后重合，则A点表示的数为 ． 9．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为为厘米的线段，则线段最多能盖住的整点的个数是 ． 10．（23-24七年级上·江苏宿迁·期中）把下列各数在数轴上表示出来，并用“<”把它们连接起来，，0，， 11．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在数轴上有三个点A、B、C，请回答下列问题． (1)A、B、C三点分别表示______、______、______； (2)将点B向左移动3个单位长度后得到点D，在数轴上标出来，点D所表示的数是______；将点A向右移动4个单位长度后得到点，在数轴上标出来，点E所表示的数是______． (3)将上述出现的5个点所表示的数用“”连接起来． 12．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）（1）如图，两个圈分别表示负数集和分数集，请将30%，0，，－，－5，－3.4中，符合要求的数填入相应的圈中；    （2） 把下列各数，，，在数轴上表示出来，并用“＜”把它们连接起来． 13．（17-18七年级·湖南长沙·阶段练习）同学们知道，表示4与的差的绝对值，实际上也可理解为4与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理也可理解为x与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探索： (1)求 ； (2)若，则 ； (3)请你找出所有符合条件的x，使得（直接写出答案）． 培优题真题汇编练 14．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上字母，先将圆周上的字母对应的点与数轴的数字所对应的点重合，若将圆沿着数轴向右滚动（无滑动），那么数轴上的数2023所对应的点将与圆周上的字母（    ）重合．    A．字母 B．字母 C．字母 D．字母 15．（18-19七年级上·全国·单元测试）点和原点O在数轴上的位置如图所示，点对应的有理数为（对应顺序暂不确定）．如果，，，那么表示数b的点为（    ） A．点M B．点N C．点P D．点O 16．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．整数就是正整数和负整数 B．分数包括正分数、负分数 C．正有理数和负有理数组成全体有理数 D．数轴上的点都表示一个有理数 17．（23-24七年级上·四川德阳·阶段练习）等边在数轴上的位置如图所示，点A、C对应的数分别为0和．若绕顶点沿顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转一次后点B所对应的数为1，则连续翻转2023次后点B所对应的数是（    ）    A．不对应任何数 B．2021 C．2022 D．2023 18．（23-24七年级上·江苏苏州·期末）如图，一条数轴上有点A，B，C，其中点A、B表示的数分别是0，8，现在以点C为折点将数轴向右对折，若点A的对应点落在射线CB上，且，则点C表示的数是 ． 19． （23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）一个半径为1的小圆在数轴上滚动，若小圆从数轴上表示某个数x的点开始，沿着数轴滚动一周以后恰好滚动到表示的点上，则x的值是 ． 20．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）如图①，在一条可以折叠的数轴上有点A，B，C，其中点A，点B表示的数分别为和7，现以点C为折点，将数轴向右对折落在B的右边；如图②，再以点B为折点，点对应的点落在B的左边，若、B之间的距离为3，则点C表示的数为 ．    21．（23-24七年级上·江苏·周测）如图，半径为1的圆放在数轴上，点A表示的数是2，将圆沿数轴向右转动一周，点A转动后表示的数是 ． 22．（21-22七年级上·江苏无锡·期中）已知点O是数轴的原点，点A、B、C在数轴上对应的数分别是﹣12、b、c，且b、c满足（b﹣9）2+|c﹣15|＝0，动点P从点A出发以2单位/秒的速度向右运动，同时点Q从点C出发，以1个单位/秒速度向左运动，O、B两点之间为“变速区”，规则为从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点B运动到点O期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢复原速，运动时间为 秒时，P、Q两点到点B的距离相等． 23．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图所示，长方形，长为3，宽为2，如图所示放置在数轴上，点B与表示的点重合，点P是数轴上的一点，规定：表示三角形的面积． (1)若点P表示的数为，则是多少？ (2)若，则点P表示的数为多少？ (3)若长方形原来位置向左以2个单位速度移动，动点P从表示的点以3个单位速度向右移动，当，则点P表示的数是多少？ 24．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，点A，B均在数轴上，点B在点A的右侧，点A对应的数字是，点B对应的数字是m． (1)若，求m的值； (2)点C是直线上一点且，若，点C对应的数字是n，，求n的值． 25．（23-24七年级上·江苏连云港·期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离，因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离． 回答下列问题： (1)①数轴上表示x和2的两点A和B之间的距离是______； ②在①的情况下，如果，那么x为______． (2)探究问题：代数式的最小值是多少？ 如图，点A、B、P分别表示数、2、x，， ∵的几何意义是线段与的长度之和， ∴当点P在线段上时，，当点P在点A的左侧或点B的右侧时，， ∴的最小值是3， 请你根据上述自学材料，探究解决下列问题： 解决问题： ①直接写出式子的最小值是______； ②工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着5个工作台A、B、C、D、E，一只配件箱应该放在工作 处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程是______米． (3)若点A、B、C在数轴上分别表示数、1、5，点A、B、C同时开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为，点A与点B之间的距离表示为．请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 26．（23-24七年级上·江苏南通·期中）如图：在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，是最小的正整数，且、、满足 (1)__，__，__； (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与表示数____的点重合； (3)点、、开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为则_____，______，______用含的代数式表示 27．（23-24七年级上·山西运城·期中）我国著名的数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔离分家万事非．”可见数形结合对于数学学习是多么重要，数学课上老师让同学们将数轴对折探究其中的数学问题．    (1)如图①，勤学小组的同学将数轴对折，使表示2的点与表示的点重合． ①对折后表示5的点与表示________的点重合； ②对折后表示的点与表示________的点重合．（用含的代数式表示） (2)如图②，善思小组的同学将数轴对折，使表示3的点与表示的点重合． ①对折后表示7的点与表示________的点重合； ②对折后数轴上的点与点重合（点在点的左侧），且点与点之间的距离为8，则点表示的数为________，点表示的数为________． (3)如图③，智慧小组的同学将数轴对折，使表示的点与表示的点重合，经对折后数轴上的点与点重合（点在点的左侧），且点和点之间的距离为10，则点表示的数为________，点表示的数为________．（用含的代数式表示） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年苏科新版数学七年级上册同步培优核心考点讲练●新教材【第2章《有理数》】 2.2 数轴 （知识精讲+易错点拨+七大考点讲练+难度分层真题练） 新知精讲梳理 1 高频易错知识点拨 2 考点讲练1：数轴的三要素及其画法 3 考点讲练2：用数轴上的点表示有理数 5 考点讲练3：利用数轴比较有理数的大小 7 考点讲练4：数轴上两点之间的距离 10 考点讲练5：数轴上的动点问题 12 考点讲练6：根据点在数轴上的位置判断式子的正负 16 考点讲练7：实数与数轴 18 中等题真题汇编练 20 培优题真题汇编练 27 新知精讲梳理 知识点01：数轴的定义 数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线。具体来说： 原点：在数轴上，通常选取某一点作为基准点，称为原点，用0表示。 正方向：在数轴上，一般规定从原点向右的方向为正方向。 单位长度：在数轴上，选取适当的长度作为单位长度，并在数轴上标出刻度。 知识点02：数轴的表示方法 有理数的表示：任何一个有理数都可以在数轴上找到唯一的一个点来表示。正数位于原点的右侧，负数位于原点的左侧，0位于原点处。 分数和小数的表示：分数和小数也可以用数轴上的点来表示。例如，分数1/2可以表示为原点右侧0.5个单位长度的点，小数3.5可以表示为原点右侧3.5个单位长度的点。 知识点03：数轴的应用 有理数的大小比较：在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。因此，可以利用数轴来比较有理数的大小。 知识点04：注意事项 数轴的三要素：原点、正方向和单位长度是数轴不可或缺的三要素，缺一不可。 数轴上的点与有理数的一一对应：数轴上的每一个点都对应着一个有理数，反之亦然。 数轴上的距离：数轴上两点间的距离等于它们所表示数的差的绝对值。 高频易错知识点拨 易错知识点01：数轴定义的理解 易错点：学生可能只记住数轴有原点、正方向和单位长度，但对其具体含义和应用理解不深。 解析： 原点：是数轴的基准点，表示0。学生应明确原点在数轴上的位置及其代表的数值。 正方向：通常规定向右为正方向，但学生需理解这只是约定俗成的，关键在于理解正方向是数轴上数值增加的方向。 单位长度：是数轴上用于表示数值大小的标尺。学生需明确单位长度的具体含义，并能根据需要进行缩放。 易错知识点02：数轴上点的表示 易错点：学生可能认为数轴上的点只能表示有理数，或者不能准确地将有理数对应到数轴上的点。 解析： 数轴上的点不仅可以表示有理数，还可以表示无理数。虽然七年级主要学习有理数，但学生应了解数轴与实数集的一一对应关系。 对于任意有理数（包括整数、分数等），学生应能准确地在数轴上找到对应的点，并理解该点与原点的距离即为该数的绝对值。 易错知识点03：有理数的大小比较 易错点：学生可能只通过数轴上的位置关系判断有理数的大小，而忽略了其他比较方法。 解析： 在数轴上，右边的数总比左边的数大。这是判断有理数大小的基本方法，但学生也应掌握利用数的性质（如正数都大于0，负数都小于0）和绝对值进行大小比较的方法。 特别地，对于两个负数的大小比较，学生容易出错。应明确两个负数中绝对值大的数实际上更小。 易错知识点04：其他易错点 相反数的表示：学生可能混淆相反数的概念和表示方法。应明确只有符号不同的两个数互为相反数，且0的相反数还是0。在数轴上，互为相反数的两个点关于原点对称。 绝对值的计算：学生可能忽视绝对值是非负数的性质，或者在计算绝对值时出错。应明确正数的绝对值是其本身，负数的绝对值是其相反数（即去掉负号后的数），0的绝对值是0。 考点讲练1：数轴的三要素及其画法 【精讲题】（23-24七年级上·江苏无锡·期中）下列说法： ①规定了原点、正方向的直线是数轴； ②数轴上两个不同的点不可以表示同一个有理数； ③有理数在数轴上无法表示出来； ④任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点．    其中正确的是(    ) A．①②③④ B．②④ C．③④ D．②③④ 【答案】B 【思路点拨】本题考查了数轴的定义，数轴上的点和有理数的对应关系，①考查数轴三要素：原点，正方向，单位长度．②④数轴上的点和有理数的对应关系．③π不是有理数． 【规范解答】解：数轴三要素：原点，正方向，单位长度，①错误． 每个有理数都能用数轴上一个点表示，也可以说每个有理数都对应数轴上的一个点，②④正确． 不是有理数，且可以在数轴上表示出来，③错误． 故选：B． 【举一反三练1】（23-24七年级上·山东菏泽·阶段练习）请把下面不完整的数轴画完整，并在数轴上标出下列各数： ，，4，．    【答案】见详解 【思路点拨】此题考查了数轴的基本知识，根据数轴的三要素，原点、正方向、单位长度，在数轴上补充完整，在数轴上标出各数即可． 【规范解答】解：如图，    【举一反三练2】（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）在数轴上表示下列个数，并用“”号连接．（数轴上表示与“”号连接均写原数） ．    【答案】见解析， 【思路点拨】先将各数化简，再在数轴上表示，最后根据用数轴上的点表示的数左边<右边，即可解答． 【规范解答】解：， 在数轴上表示如图所示：    用“”号连接为：． 【考点评析】本题主要考查了用数轴上的点表示数，根据数轴比较有理数的大小，解题的关键是掌握用数轴上的点表示的数左边<右边． 【举一反三练3】（23-24七年级上·江苏扬州·期中）现有下列各数：①，②，③，④，⑤，⑥． (1)把上列各数序号填入相应的大括号里 ： 非负数集合：{ 　                       …}； 分数集合：{ 　                       　…}． (2)请把下面不完整的数轴补充完整，并在数轴上标出上列各数中的所有整数． 【答案】(1)③④⑥；②③⑤ (2)见解析 【思路点拨】本题考查了有理数的分类，画数轴并在数轴上表示有理数； （1）根据有理数的分类方法解答即可； （2）补充数轴，然后标出所有的整数，即可求解． 【规范解答】（1）解：①，②，③，④，⑤，⑥ 非负数集合：{③④⑥…}； 分数集合：{②③⑤…} 故答案为：③④⑥；②③⑤． （2）解：如图所示， 考点讲练2：用数轴上的点表示有理数 【精讲题】（2024·吉林长春·一模）如图，数轴上表示数的点所在的线段是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了有理数与数轴，根据数轴上点的位置，结合即可得到答案． 【规范解答】解：由数轴可知，数轴上表示数的点所在的线段是， 故选：A． 【举一反三练1】（21-22七年级上·河北·期末）如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是，10，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线上且到点B的距离为6，则C点表示的数是（　　） A．1 B． C．1或 D．1或 【答案】C 【思路点拨】本题考查了数轴，分类讨论思想是解题的关键．先根据两点间的距离公式求出点A落在对应点表示的数，在利用中点公式求出C点表示的数． 【规范解答】设是点的对应点，由题意可知点是和的中点 当点在的右侧，，表示的数为， 那么C表示的数为：， 当点在的左侧，，表示的数为， 那么C表示的数为：， 故选：C． 【举一反三练2】（2024·陕西西安·模拟预测）已知A，B，C是数轴上的三个点，且C在B的左侧．点A，B表示的数分别是1，3，如图所示．若，则点C表示的数是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了数轴，解题的关键是熟知数轴的特点．先利用点A、B表示的数计算出，再计算出，然后计算点C到原点的距离即可得到C点表示的数． 【规范解答】解：∵点A，B表示的数分别是1，3， ∴， ∵， ∴， ∵C在B的左侧， ∴点C表示的数是． 故答案为：． 【举一反三练3】（2024·河北廊坊·一模）六一到了，嘉嘉和同学要表演节目．嘉嘉骑车到同学家拿东西，再到学校，她从自己家出发，向东骑了2km到达淇淇家，继续向东骑了1.5km到达小敏家，然后又向西骑了4.5km到达学校．演出结束后又向东骑回到自己家． (1)以嘉嘉家为原点，向东为正方向，用1个单位长度表示1km，在图中的数轴上，分别用点A表示出淇淇家，用点B表示出小敏家，用点C表示出学校的位置； (2)求淇淇家与学校之间的距离； (3)如果嘉嘉骑车的速度是，那么嘉嘉骑车一共用了多长时间？ 【答案】(1)画图见解析 (2)3km (3)30min 【思路点拨】本题考查了正负数的应用以及在数轴上表示有理数，两点间的距离，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据时间乘速度等于路程，以及结合在数轴上表示有理数，即可作答． （2）求两点间的距离，即运用有理数的减法列式进行计算，即可作答． （3）先得出路程，再除以速度，即可作答． 【规范解答】（1）解：根据题意得： ∵以嘉嘉家为原点，向东为正方向，用1个单位长度表示1km，且向东骑了2km到达淇淇家，继续向东骑了1.5km到达小敏家， 则； ∴淇淇家的位置对应的数为2，小敏家的位置对应的数为3.5，学校的位置对应的数为，如图所示： ； （2）解：依题意，． 答：淇淇家与学校之间的距离是3km． （3）解：依题意， 则， ∴． 答：嘉嘉骑车一共用了30min． 考点讲练3：利用数轴比较有理数的大小 【精讲题】（2024·陕西咸阳·一模）实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了数轴与实数，数形结合即可求解． 【规范解答】解：根据数轴可知，，， A. ，故该选项正确，不符合题意；     B. ，故该选项正确，不符合题意；     C. ，故该选项正确，不符合题意；     D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：D． 【举一反三练1】（22-23六年级下·上海闵行·阶段练习）在数轴上标出下列各数所对应的点，并将这些数按从小到大的顺序用“”连接． ，，， 【答案】在数轴上表示见解析，． 【思路点拨】本题考查了在数轴上表示数的方法、有理数大小比较，一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．先根据在数轴上表示数的方法，在数轴上表示出所给的各数；然后根据当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，把这些数由小到大用“”号连接起来即可． 【规范解答】解：如图： 按从小到大的顺序为：． 【举一反三练2】（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）把下列各数：，，，，． (1)分别在数轴上表示出来，并把它们用“”连接起来．    (2)将上述的有理数填入图中对应的圈内． 【答案】(1)数轴上表示如图，； (2)见解析． 【思路点拨】（）根据有理数在数轴上对应的点，然后根据数轴即可比较大小； （）根据正数整数、负数的定义即可； 本题考查了负数、整数和正数的意义及数轴，熟练掌握负数、整数、正数的意义和数轴是解题的关键． 【规范解答】（1）∵，， ∴分别在数轴上表示出来，如图，    ∴； （2）根据有理数的分类可得，    【举一反三练3】（23-24七年级上·江苏徐州·期中）在数轴上画出表示0，，，的点，并按从小到大的顺序，用“＜”号把这些数连接起来． 【答案】数轴见解析， 【思路点拨】此题主要考查了有理数大小比较的方法，首先根据在数轴上表示数的方法，在数轴上表示出所给的各数；然后根据当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，把这些数由小到大用“”号连接起来即可． 【规范解答】解：， ， 按从小到大的顺序排列为:． 考点讲练4：数轴上两点之间的距离 【精讲题】（23-24七年级下·福建福州·期中）如图，直径为1个单位长度的圆从A点沿数轴向右滚动（无滑动）一周到达点B，则点表示的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了实数与数轴，根据实数的运算，点表示的数加一个圆周，可得B点表示的数，理解点表示的数加一个圆周，可得B点表示的数是解题的关键． 【规范解答】解：， ∴点表示的数是， 故选：D． 【举一反三练1】（23-24七年级下·山东潍坊·阶段练习）如果在数轴上A点表示，那么在数轴上与点A距离2个长度单位的点所表示的数是（　　） A． B．和 C．或 D． 【答案】B 【思路点拨】本题综合考查了数轴上两点之间的路线，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的优点． 在数轴上表示出A点，找到与点A距离2个长度单位的点所表示的数即可．此类题注意两种情况：要求的点可以在已知点的左侧或右侧． 【规范解答】如图所示， ∴在数轴上与点A距离2个长度单位的点所表示的数是和． 故选B． 【举一反三练2】（2024·河北邯郸·一模）如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，b，3，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对应刻度，点C对应刻度． （1）该数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的 ； （2）数轴上点B所对应的数b为 ． 【答案】 / 【思路点拨】本题主要考查了实数与数轴： （1）先求出在数轴上点A和点C的距离为，再由刻度尺上点A与点C的距离除以数轴上点A和点C的距离即可得到答案； （2）用刻度尺上点A与点B的距离除以得到数轴上点A和点B的距离即可得到答案． 【规范解答】解：（1）∵数轴上点A和点C表示的数分别为，3， ∴在数轴上点A和点C的距离为， ∵在刻度尺上数字0对齐数轴上的点A，点C对应刻度， ∴该数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的， 故答案为：； （2）∵在刻度尺上点B对应刻度， ∴在数轴上点A和点B的距离为， ∴数轴上点B所对应的数b为， 故答案为：． 【举一反三练3】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知在纸面上有一个数轴（如图），折叠纸面． (1)若表示的点与表示2的点重合，则表示1的点与表示______的点重合； (2)若表示1的点与表示的点重合，回答下列问题： ①表示3的点与表示______的点重合； ②若数轴上、两点之间的距离为10，（在的左侧），且、两点经折叠后重合，求、两点表示的数多少？ 【答案】(1) (2)①；②，4 【思路点拨】此题考查数轴上的点和数之间的对应关系，结合数轴，找到对称中心是解决问题的关键． （1）根据对称的知识，表示的点与表示2的点重合，则对称中心是原点，从而找到1的对称点； （2）由题意可确定对称点是表示的点，则： ①表示3的点与对称点距离为4，与左侧与对称点距离为4的点重合； ②由题意可得，A、B两点距离对称点的距离为5，据此求解 【规范解答】（1）解：根据题意得对折点是， 则1表示的点与数表示的点重合． 故答案为：； （2）解：①根据题意得对折点是， ∴和表示3的点重合的， ② 故点表示的数是， 点表示的数是． 考点讲练5：数轴上的动点问题 【精讲题】（23-24七年级下·湖北武汉·期中）如图，将半径为1的圆形纸片上的点与数轴上表示的点重合，将纸片沿着数轴向左滚动一周，点到达了点的位置，则线段的中点表示的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了数轴上两点之间的距离、数轴上点表示的数等知识，确定点的位置表示的实数是解题关键．首先确定点的位置表示的实数，然后计算线段的中点表示的数即可． 【规范解答】解：圆滚动一周，点到达了点的位置，则即为圆周长， ∴点的位置表示的实数为， ∴中点表示的实数为． 故选：C． 【举一反三练1】（24-25七年级上·江苏·假期作业）阅读与思考 如图，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，可以看出，终点表示的数是．参照图中所给的信息，完成填空： 已知A，B都是数轴上的点．    （1）若点A表示数．将点A向右移动5个单位长度至点．则点表示的数是 ； （2）若点A表示数2，将点A先向左移动7个单位长度，再向右移动个单位长度至点，则点表示的数是 ； （3）若将点B先向左移动3个单位长度，再向右移动6个单位长度，终点表示的数恰好是0，则点B所表示的数是 ． 【答案】 2 / 【思路点拨】本题主要考查了数轴上动点平移问题，解题关键是掌握数轴上点往右移几就加几，往左移几就减几，概括为“右加左减”． （1）根据数轴上的点向右平移加，向左平移减，可得点表示的数； （2）根据数轴上的点向右平移加，向左平移减，可得点表示的数； （3）根据数轴上的点向右平移加，向左平移减，可得B点表示的数． 【规范解答】（1）解：由题意得：， ∴点表示的数是2； （2）解：由题意得：， ∴点表示的数是； （3）解：由题意得：0先向右移动3个单位长度，再向左移动6个单位长度得到点B ∴， ∴点B所表示的数是． 故答案为：2，；． 【举一反三练2】．（23-24七年级上·贵州毕节·阶段练习）如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动到达点，再向右移动到达点，然后再向右移动到达点，数轴上一个单位长度表示． (1)请你在数轴上标出、、三点的位置，并填空：A表示的数为_______，B表示的数为_______，C表示的数为______． (2)把点到点的距离记为，则_____，______； (3)若点从（1）中的位置沿数轴以每秒匀速向右运动，经过多少秒使？ 【答案】(1) (2)5，8 (3)5或11 【思路点拨】本题考查数轴上点的表示，数轴上两点间距离，数轴上动点问题． （1）根据题意利用观察即可得到本题答案； （2）根据题意利用两点间距离即可得到； （3）分情况讨论当点A在点C的左侧时和当点A在点C的右侧时，分别列式即可得到本题答案． 【规范解答】（1）解：由题意得：A点对应的数为，B点对应的数为1，点C对应的数为4， 点A，B，C在数轴上表示如图： A表示的数为，B表示的数为1，C表示的数为4， 故答案为：； （2）解：∵A点对应的数为，B点对应的数为1，点C对应的数为4， ∴，， 故答案为：5，8； （3）解∶①当点A在点C的左侧时，设经过x秒后点A到点C的距离为3cm， 由题意得：， 解得：； ②当点A在点C的右侧时， 设经过x秒后点A到点C的距离为3cm， 由题意得：， 解得：， 综上，经过5或11秒后点A到点C的距离为3cm． 【举一反三练3】（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在数轴上点A表示的数是8，若动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t（秒）．    (1)当时，求点Q表示的数； (2)当时，求点Q表示的数； (3)当点Q到原点O的距离为4时，求点P表示的数． 【答案】(1)6 (2)2 (3)或 【思路点拨】本题考查了数轴上的动点问题，熟练掌握数轴上两点之间距离的表示方法是解题的关键． （1）计算出点Q运动的路程，即可解答； （2）计算出点Q的运动路程，即可解答； （3）分两种情况，点在还没达到原点，点Q到原点O的距离为4；到达原点后距离原点后，点Q到原点O的距离为4，计算时间，即可得到点运动的路程，即可解答。 【规范解答】（1）解：当时， 点Q表示的数为； （2）解：当时， 点Q运动的路程为， 点Q表示的数为 （3）解：①点还没达到原点时， 点运动的路程为， 秒， 点表示的数为； ①点达到原点时， 点运动的路程为， 秒， 点表示的数为， 故点P表示的数为或． 考点讲练6：根据点在数轴上的位置判断式子的正负 【精讲题】（18-19七年级上·全国·单元测试）已知a、b、c三个数的位置如图所示，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了利用数轴上点对应的数确定代数式的符号，解答本题的关键是熟练掌握有理数的加法法则中对于符号的确定方法．同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数相加得0；任何数与0相加仍得原数． 根据a、b、c三个数的位置，结合有理数的加法法则逐项分析即可． 【规范解答】解：∵从数轴可知：，， ∴A．， ∴，正确，故本选项不符合题意； B．∵， ∴，正确，故本选项不符合题意； C．∵，， ∴，错误，故本选项符合题意； D．∵，， ∴，正确，故本选项不符合题意； 故选：C． 【举一反三练1】（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）有理数、在数轴上的位置如图所示，下列结论：；；；，其中正确的个数是（    ）    A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【思路点拨】根据数轴得出再根据有理数的加减、乘除法则进行判断即可． 【规范解答】解：由数轴可知： ，故正确； ， ，故错误； ，故正确； ， ，故正确； 共有3个正确的． 故选：C． 【考点评析】本题考查了有理数的大小比较，有理数的加减、乘除法则，数轴的应用，主要考查学生的理解能力和辨析能力． 【举一反三练2】（23-24七年级上·北京朝阳·阶段练习）实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】根据数轴得到，再逐项判断即可得到答案． 【规范解答】解：由数轴可得：，故A选项错误，B选项正确， ，， ，故C选项错误， ， ，故D选项错误， 故选：B． 【考点评析】本题考查了利用数轴比较大小，根据数轴得出是解题的关键． 【举一反三练3】（13-14七年级上·浙江温州·期中）实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，则 0．（填“”“”或“”） 【答案】 【思路点拨】根据题意得：且，然后根据有理数的加法法则进行计算，即可解答． 【规范解答】解：由题意得：，， ， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了实数的大小比较，实数与数轴，有理数的加法，准确熟练地进行计算是解题的关键． 考点讲练7：实数与数轴 【精讲题】（23-24七年级上·江苏徐州·阶段练习）下列说法中正确的是(   ) A．如果收入500元记作“元”，那么“元”的意义就是支出元 B．一个数的相反数的相反数是这个数本身，一个数的倒数的倒数也是这个数本身 C．如果一个数的绝对值等于它的相反数，那么这个数一定是一个小于零的数 D．有理数与数轴上的点是一一对应的，但是数轴上的点并不能表示无理数 【答案】B 【思路点拨】本题考查了正负数的意义，实数与数轴、相反数和绝对值的相关知识点，根据正负数的意义，相反数和绝对值的概念逐个选项分析判断即可． 【规范解答】A. 如果收入500元记作“元”，那么“元”的意义就是支出元，原说法错误，不合题意； B. 一个数的相反数的相反数是这个数本身，一个数的倒数的倒数也是这个数本身，说法正确，符合题意； C. 如果一个数的绝对值等于它的相反数，那么这个数一定是一个小于零或等于零的数原说法错误，不合题意； D. 实数与数轴上的点一一对应，原说法错误，不合题意； 故选：B． 【举一反三练1】（23-24七年级上·江苏连云港·期中）如图，将直径为1个单位长度的圆形纸片上的点A放在数轴的处，纸片沿着数轴向左滚动一周，点A到达了点的位置，则此时点表示的数是 ．    【答案】/ 【思路点拨】本题主要考查了实数与数轴，根据题意可知，向左滚动的距离为圆的周长，因为只需要用原来点A表示的数减去圆的周长即可得到表示的数． 【规范解答】解：由题意得，点表示的数是， 故答案为：． 【举一反三练2】（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，圆的直径为2个单位长度，该圆上的点A与数轴上表示的点重合，将圆沿数轴向左无滑动地滚动一周，点A到达点的位置，则点表示的数是 ．（结果保留π）    【答案】 【思路点拨】求出圆的周长，再根据实数与数轴上的点的对应关系解答即可． 【规范解答】解：由题意得：圆的周长为， ∴点表示的数是， 故答案为：． 【考点评析】本题主要考查了实数与数轴、圆的周长公式等知识，理解数与数轴上的点的对应关系是解题的关键． 【举一反三练3】（23-24七年级上·江苏·周测）如图，半径为1个单位长度的圆从点A沿数轴向右滚动（无滑动）一周到达点B，若点A对应的数是1，则点B对应的数是 ．    【答案】 【思路点拨】计算出圆的周长即可求解． 【规范解答】解：由题意得： ∴点B对应的数是： 故答案为：． 【考点评析】本题考查了用数轴上的点表示无理数． 中等题真题汇编练 1．（2024·北京顺义·一模）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查的是数轴与实数的大小比较等相关内容，会利用数轴比较实数的大小是解决问题的关键．根据数轴上的点的特征即可判断． 【规范解答】解：A：点在的左边， ，故该选项不符合题意； B：点在的左边， ，故该选项不符合题意； C： ， ，又 ， ，故该选项不符合题意； D： ， ，又 ， ，故该选项符合题意； 故选：D． 2．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列数轴画得正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了数轴的画法，根据数轴是规定了原点，正方向，单位长度的直线，逐项分析判断，即可求解． 【规范解答】A，没有原点，故该选项不正确，不符合题意； B，单位长度不统一，故该选项不正确，不符合题意； C，正确，故该选项符合题意； D，单位标记不正确，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 3．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）如图所示，数轴上点的位置被一滴墨水遮挡了，估计数轴上点表示的数可能是（　　） A． B． C． D．2.6 【答案】A 【思路点拨】本题考查了数轴，由数轴得出点表示的数在和之间，由此即可得出答案，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【规范解答】解：由数轴可得：点表示的数在和之间，故符合题意， 故选：A． 4．（23-24七年级上·四川凉山·阶段练习）下面是四名同学画的数轴，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查数轴，熟知规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴是解题的关键．据此对各选项逐一分析判断即可． 【规范解答】解：A．数轴上的点应该越向右越大，与位置颠倒，故此选项不符合题意； B．没有原点，故此选项不符合题意； C．没有正方向，故此选项不符合题意； D．数轴画法正确，故此选项符合题意． 故选：D． 5．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）数轴上的A点与表示的是的点右边距离它5个单位长度的点，则A点表示的数为 ． 【答案】3 【思路点拨】本题考查了用数轴表示有理数，数轴上两点的距离．根据点A点在表示的是的右边，则该点所表示的数是，求出即可． 【规范解答】解：∵点在表示的是的点右边距离它5个单位长度， ∴点所表示的数是， 故答案为：3． 6．（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）数轴上一动点A，向左移动2个单位长度到B，再向右移动3个单位长度到C点，若点 C表示的数为5，则点A表示的数为 ． 【答案】4 【思路点拨】本题考查了数轴，画出数轴，然后确定出点C的位置，再向左移动3个单位确定出点B，向右移动2个单位确定出A，即可得解，逆向思维确定出各点的位置是解题的关键，作出图形更形象直观． 【规范解答】解：如图所示： 点表示的数为4， 故答案为：． 7．（23-24七年级上·山东滨州·期末）已知有理数在数轴上的位置如图所示，则从大到小的顺序为 ．    【答案】 【思路点拨】本题考查了在数轴上表示有理数，利用数轴比较有理数的大小，先根据数轴，得出的情况，即可作答． 【规范解答】解：依题意，在数轴上的情况如下： ∴， 则从大到小的顺序为， 故答案为：． 8．（23-24七年级上·江苏常州·期中）小丽在纸上画了一条数轴后，折叠纸面，使数轴上表示1的点与表示的点重合；若数轴上A、B两点之间的距离为10（A在B的左侧），且A、B两点经上述折叠后重合，则A点表示的数为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了数轴上两点的距离计算，数轴上两点的中点计算公式，先根据题意求出折叠点为，再由数轴上A、B两点之间的距离为10（A在B的左侧），且A、B两点经上述折叠后重合，得到点A在折叠点的左边，且到折叠点的距离为5，据此利用数轴上两点距离计算公式即可求出答案． 【规范解答】解：∵折叠纸面，使数轴上表示1的点与表示的点重合， ∴折叠点为， ∵数轴上A、B两点之间的距离为10（A在B的左侧），且A、B两点经上述折叠后重合， ∴点A在折叠点的左边，且到折叠点的距离为5， ∴点A表示的数为， 故答案为：． 9．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为为厘米的线段，则线段最多能盖住的整点的个数是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了数轴，解题的关键是找出长度为(为正整数) 的线段盖住或个整点．解决该题型题目时，分端点是否与整点重合两种情况来考虑是关键． 【规范解答】若线段的端点恰好与整点重合，则厘米长的线段最多盖住个整点，若线段的端点不与整点重合，则厘米长的线段盖住个整点． ∴厘米的线段盖住或个整点， ∴最多能盖住的整点的个数是个． 故答案为: ． 10．（23-24七年级上·江苏宿迁·期中）把下列各数在数轴上表示出来，并用“<”把它们连接起来，，0，， 【答案】数轴见解析， 【思路点拨】本题考查了绝对值，相反数，数轴，有理数的大小比较，熟练掌握有理数的大小比较是解题的关键； 本题先化简各数，然后根据正负数把各数表示在数轴上，最后根据数轴上左边的数总比右边的数小得出比较结果即可． 【规范解答】解：，，，， 把各数表示在数轴上如下， ． 11．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在数轴上有三个点A、B、C，请回答下列问题． (1)A、B、C三点分别表示______、______、______； (2)将点B向左移动3个单位长度后得到点D，在数轴上标出来，点D所表示的数是______；将点A向右移动4个单位长度后得到点，在数轴上标出来，点E所表示的数是______． (3)将上述出现的5个点所表示的数用“”连接起来． 【答案】(1)，，3 (2)见解析，，0 (3) 【思路点拨】本题考查了用数轴比较有理数的大小、数轴上动点问题、用数轴上的点表示有理数： （1）根据用数轴上的表示有理数即可求解； （2）根据数轴上的点平移的规律即可求解； （3）根据数轴上点的特征即可求解； 熟练掌握基础知识是解题的关键． 【规范解答】（1）解：由数轴得： A表示的数是， B表示的数是， C表示的数是， 故答案为：，，3． （2）点B向左移动3个单位长度后得到点D所表示的数为：， 点A向右移动4个单位长度后得到点B所表示的数为：， 故答案为：，0． （3）依题意得：． 12．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）（1）如图，两个圈分别表示负数集和分数集，请将30%，0，，－，－5，－3.4中，符合要求的数填入相应的圈中；    （2）把下列各数，，，在数轴上表示出来，并用“＜”把它们连接起来． 【答案】（1）见解析  （2）数轴见解析， 【思路点拨】本题考查了有理数的分类，用数轴上的点表示数和数的比较大小，解题的关键是负数集和分数集的公共部分是负分数． （1）根据负数和分数的定义，判断负数和分数，既是负数又是分数的填在中间的公共部分； （2）画出数轴，把每个数表示在数轴上，然后自左向右依次用“”号连接起来． 【规范解答】（1）填数为：    （2），，，， 在数轴上表示：    由数轴可得：． 13．（17-18七年级·湖南长沙·阶段练习）同学们知道，表示4与的差的绝对值，实际上也可理解为4与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理也可理解为x与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探索： (1)求 ； (2)若，则 ； (3)请你找出所有符合条件的x，使得（直接写出答案）． 【答案】(1)6 (2)7或 (3) 【思路点拨】（1）利用绝对值的意义去绝对值即可求解． （2）利用绝对值是意义去绝对值即可求解． （3）令，得：，令，得：，又，利用数轴上两点之间的距离即可求解． 【规范解答】（1）解：， 故答案为：6． （2）由得： 当时，解得：， 当时，解得：， 故答案为：7或． （3）令，得：， 令，得：， 又， 则，表示的是x到1和之间的距离之和， ． 【考点评析】本题考查了数轴上两点之间的距离，熟练掌握其基础知识是解题的关键． 培优题真题汇编练 14．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上字母，先将圆周上的字母对应的点与数轴的数字所对应的点重合，若将圆沿着数轴向右滚动（无滑动），那么数轴上的数2023所对应的点将与圆周上的字母（    ）重合．    A．字母 B．字母 C．字母 D．字母 【答案】B 【思路点拨】本题考查了数轴，一次求出与数，，，，…对应的点重合的字母，发现规律即可解决问题，能根据题中圆的运动方式，发现字母，，，分别与数轴上表示数字，，，，…，的点重合，是解此题的关键． 【规范解答】解：圆的周长为4个单位长度， 将圆沿着数轴向右滚动（无滑动）时， 字母与数字所对应的点重合， 字母与数字所对应的点重合， 字母与数字所对应的点重合， 字母与数字所对应的点重合， 字母与数字所对应的点重合， …， 依次类推，字母，，，分别与数轴上表示数字，，，，…，的点重合， 余， 数轴上的数2023所对应的点将与圆周上的字母重合， 故选：B． 15．（18-19七年级上·全国·单元测试）点和原点O在数轴上的位置如图所示，点对应的有理数为（对应顺序暂不确定）．如果，，，那么表示数b的点为（    ） A．点M B．点N C．点P D．点O 【答案】A 【思路点拨】本题考查数轴，根据，，，即可判断点对应的有理数的顺序，熟练利用不等式判断的大小是解题的关键． 【规范解答】解：，， 异号，且正数的绝对值比较大， 根据数轴可得，肯定为正数， ， ， 为负数， 故表示数b的点为， 故选：A． 16．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．整数就是正整数和负整数 B．分数包括正分数、负分数 C．正有理数和负有理数组成全体有理数 D．数轴上的点都表示一个有理数 【答案】B 【思路点拨】根据有理数的分类及相关概念、数轴的知识，逐一判断即可得到答案． 【规范解答】解：A．整数包括正整数、负整数和0，故本选项说法错误，不符合题意； B．分数包括正分数、负分数，说法正确，符合题意； C．正有理数、负有理数和0组成全体有理数，故本选项说法错误，不符合题意； D．数轴上的点都表示一个实数，故本选项说法错误，不符合题意． 故选：B． 【考点评析】本题主要考查了有理数和数轴等知识，理解并掌握有理数的分类及相关概念是解题关键． 17．（23-24七年级上·四川德阳·阶段练习）等边在数轴上的位置如图所示，点A、C对应的数分别为0和．若绕顶点沿顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转一次后点B所对应的数为1，则连续翻转2023次后点B所对应的数是（    ）    A．不对应任何数 B．2021 C．2022 D．2023 【答案】D 【思路点拨】根据是等边三角形，找出它的运动规律并进行计算即可． 【规范解答】解：由题意可得， 每3次翻转为一个循环组依次循环 ∵， ∴翻转2023次后点B在数轴上， ∴点B对应的数是． 故选：D． 【考点评析】本题考查了数轴，找到的运动规律是解决此类问题的关键． 18．（23-24七年级上·江苏苏州·期末）如图，一条数轴上有点A，B，C，其中点A、B表示的数分别是0，8，现在以点C为折点将数轴向右对折，若点A的对应点落在射线CB上，且，则点C表示的数是 ． 【答案】或 【思路点拨】本题考查数轴上点表示的数，涉及两点间距离，根据题意，点分两种情况：①在B右侧；②在B左侧，作图求解即可得到答案． 【规范解答】∵点A、B表示的数分别是0，8， ∴， ∵以点C为折点将数轴向右对折，若点A的对应点落在射线CB上， ∴ 分两种情况： ①当点在B右侧，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点C表示的数是， ②当点在B左侧，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点C表示的数是， 故答案为：或． 19．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）一个半径为1的小圆在数轴上滚动，若小圆从数轴上表示某个数x的点开始，沿着数轴滚动一周以后恰好滚动到表示的点上，则x的值是 ． 【答案】或 【思路点拨】求出圆的周长，分向左和向右滚动，两种情况进行讨论求解． 【规范解答】解：直径为1的小圆的周长为， ①当小圆沿着数轴向右滚动时：； ②当小圆沿着数轴向左滚动时：； 故答案为：或． 【考点评析】本题考查数轴上两点间的距离．解题的关键是利用分类讨论的思想进行求解． 20．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）如图①，在一条可以折叠的数轴上有点A，B，C，其中点A，点B表示的数分别为和7，现以点C为折点，将数轴向右对折落在B的右边；如图②，再以点B为折点，点对应的点落在B的左边，若、B之间的距离为3，则点C表示的数为 ．    【答案】 【思路点拨】由折叠性质及、B之间的距离为3，可得表示的数，再由点A，点B表示的数分别为和7，进行求解即可． 【规范解答】解：设点C表示的数为x， 由可得， ∵点B表示的数为7， ∴表示的数为， ∵点A表示的数为， ∴点C表示的数为， 故答案为：． 【考点评析】本题考查数轴，解题关键是掌握数轴上求两点中点表示的数的方法． 21．（23-24七年级上·江苏·周测）如图，半径为1的圆放在数轴上，点A表示的数是2，将圆沿数轴向右转动一周，点A转动后表示的数是 ． 【答案】 【思路点拨】先求出圆的周长为，再利用数轴的性质求解即可得． 【规范解答】解：由题意可知，将圆沿数轴向右转动一周，转动的距离为， ∴点向右移动了个单位长度， ∵点转动前表示的数是2， ∴点转动后表示的数是， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了实数与数轴，熟练掌握数轴的性质是解题关键． 22．（21-22七年级上·江苏无锡·期中）已知点O是数轴的原点，点A、B、C在数轴上对应的数分别是﹣12、b、c，且b、c满足（b﹣9）2+|c﹣15|＝0，动点P从点A出发以2单位/秒的速度向右运动，同时点Q从点C出发，以1个单位/秒速度向左运动，O、B两点之间为“变速区”，规则为从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点B运动到点O期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢复原速，运动时间为 秒时，P、Q两点到点B的距离相等． 【答案】或30 【思路点拨】利用已知条件先求出B、C在数轴表示的数，根据不同时间段，通过讨论P、 Q点的不同位置，找到对应的边长关系，列出关于的方程，进行求解即可． 【规范解答】∵（b﹣9）2+|c﹣15|＝0， ∴b﹣9＝0，c﹣15＝0， ∴b＝9，c＝15， ∴B表示的数是9，C表示的数是15， ①当0≤t≤6时，P在线段OA上，Q在线段BC上，此时不存在P、Q两点到点B的距离相等； ②当6＜t≤9时，P、Q都在线段OB上，P表示的数为t﹣6，Q表示的数是9﹣3（t﹣6）， ∴P、Q两点到点B的距离相等只需t﹣6＝9﹣3（t﹣6），解得t＝， ③当9＜t≤15时，P在线段OB上，Q在线段OA上，此时不存在P、Q两点到点B的距离相等； ④当t＞15时，P在射线BC上，Q在射线OA上，P表示的数为9+2（t﹣15），Q表示的数是﹣（t﹣9）， ∴P、Q两点到点B的距离相等只需9+2（t﹣15）﹣9＝9﹣[﹣（t﹣9）]，解得t＝30， 综上所述，P、Q两点到点B的距离相等，运动时间为秒或30秒， 故答案为：或30． 【考点评析】本题主要是考查了数轴上的动点问题，熟练地通过动点在不同时间段的运动，进行分类讨论，找到等量关系，列出关于时间的方程，并进行求解，这是解决这类问题的主要思路． 23．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图所示，长方形，长为3，宽为2，如图所示放置在数轴上，点B与表示的点重合，点P是数轴上的一点，规定：表示三角形的面积． (1)若点P表示的数为，则是多少？ (2)若，则点P表示的数为多少？ (3)若长方形原来位置向左以2个单位速度移动，动点P从表示的点以3个单位速度向右移动，当，则点P表示的数是多少？ 【答案】(1)5 (2)或 (3)或 【思路点拨】本题考查了数轴上的动点问题、两点之间的距离： （1）根据长方形得，点表示的数为，则，再利用三角形的面积公式即可求解； （2）由得，分类讨论：当点在点左侧时，当点在点右侧时，当点在点和点之间时，根据与之间的数量关系即可求解； （3）设经过秒后，，则点C表示的数为，点P表示的数为，，分类讨论：当点在点左侧时，当点在点右侧时，当点在点和点之间时，根据与之间的数量关系求得的值，进而可求解； 熟练掌握两点之间的距离公式及利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 【规范解答】（1）解：是长方形，长为3，宽为2，点B与表示的点重合， ，，点表示的数为， 点P表示的数为， ， ． （2）是长方形，宽为2， ，， ， ， 即：， 当点在点左侧时，由数轴得：， ， 解得：， 点所表示的数为：； 当点在点右侧时， （不符合题意）， 当点在点和点之间时， 由数轴得：， 即：， ， 解得：， 点所表示的数为：； 综上所述：点所表示的数为或． （3）设经过秒后，， 长方形各个点都向左移动了个单位长度， 则点C表示的数为， 点P向右移动了个单位长度， 则点P表示的数为， ，即：， 当点在点左侧时，由数轴得：， ， 解得：， ， 解得：， 点P表示的数为， 当点在点右侧时， （不符合题意）， 当点在点和点之间时， 由数轴得：， 即：， ， 解得：， ， 解得：， 点P表示的数为，     综上所述：点P表示的数为或． 24．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，点A，B均在数轴上，点B在点A的右侧，点A对应的数字是，点B对应的数字是m． (1)若，求m的值； (2)点C是直线上一点且，若，点C对应的数字是n，，求n的值． 【答案】(1) (2)0或8 【思路点拨】此题考查了数轴中数形结合问题的解决能力； （1）根据可列式，再求解即可； （2）分两种情况：点在线段上与点在线段的延长线上计算即可； 键是能准确根据题意和数轴知识列式、计算． 【规范解答】（1）解：（1）由题意得， ， 解得， 的值是； （2）当点在线段上时，如图； 当点在线段的延长线上时，如图； 故n的值为0或8． 25．（23-24七年级上·江苏连云港·期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离，因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离． 回答下列问题： (1)①数轴上表示x和2的两点A和B之间的距离是______； ②在①的情况下，如果，那么x为______． (2)探究问题：代数式的最小值是多少？ 如图，点A、B、P分别表示数、2、x，， ∵的几何意义是线段与的长度之和， ∴当点P在线段上时，，当点P在点A的左侧或点B的右侧时，， ∴的最小值是3， 请你根据上述自学材料，探究解决下列问题： 解决问题： ①直接写出式子的最小值是______； ②工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着5个工作台A、B、C、D、E，一只配件箱应该放在工作 处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程是______米． (3)若点A、B、C在数轴上分别表示数、1、5，点A、B、C同时开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为，点A与点B之间的距离表示为．请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】(1)；或5 (2)2．C，12 (3)的值是不随着时间t的变化而改变，其值为2 【思路点拨】本题主要考查了数轴，数轴上两点之间的距离： （1）根据两点间距离公式可得结论； （2）①根据两点间的距离公式，点在线段上，可得最小值；②以C点为原点，2米为一个单位长度，A、B、C、D、E依次在数轴上排列，根据绝对值的意义，几何数轴上点的特点可知当时，有最小值12； （3）根据两点间的距离公式分别表示，代入计算可得答案． 【规范解答】（1）①数轴上表示x和2的两点A和B之间的距离是； ②∵， ∴， ∴， ∴或， ∴或5． 故答案为：；或5． （2）①当时，则有： ， ∴的最小值是 2； ②设C点为原点，2米为一个单位长度，A、B、C、D、E依次在数轴上排列，则工作人员取配件所走的路程为， 当时，有最小值12， 即：一只配件箱应该放在工作C处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程是 12米． 故答案为：2．C，12． （3）根据题意得：，， ∴． ∴的值是不随着时间t的变化而改变，其值为2． 26．（23-24七年级上·江苏南通·期中）如图：在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，是最小的正整数，且、、满足 (1)__，__，__； (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与表示数____的点重合； (3)点、、开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为则_____，______，______用含的代数式表示 【答案】(1)，， (2) (3)，， 【思路点拨】本题主要考查了数轴及两点间的距离，解题的关键是利用数轴的特点能求出两点间的距离． （1）根据非负数的性质即可得到结论； （2）先求出对称点，即可得出结果； （3）利用题意结合数轴表示出A、B、C三点表示的数，进而可得、、的长． 【规范解答】（1） ， 解得：， 是最小的正整数 ， 故答案为：，， （2）点A与点C的中点对应的数为： 点B到2的距离为1,所以与点B重合的是： 故答案为：3 （3）点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动。 秒钟过后，点A表示为，点B表示为，点C表示为， ， ， ， 故答案为：，，． 27．（23-24七年级上·山西运城·期中）我国著名的数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔离分家万事非．”可见数形结合对于数学学习是多么重要，数学课上老师让同学们将数轴对折探究其中的数学问题．    (1)如图①，勤学小组的同学将数轴对折，使表示2的点与表示的点重合． ①对折后表示5的点与表示________的点重合； ②对折后表示的点与表示________的点重合．（用含的代数式表示） (2)如图②，善思小组的同学将数轴对折，使表示3的点与表示的点重合． ①对折后表示7的点与表示________的点重合； ②对折后数轴上的点与点重合（点在点的左侧），且点与点之间的距离为8，则点表示的数为________，点表示的数为________． (3)如图③，智慧小组的同学将数轴对折，使表示的点与表示的点重合，经对折后数轴上的点与点重合（点在点的左侧），且点和点之间的距离为10，则点表示的数为________，点表示的数为________．（用含的代数式表示） 【答案】(1)①，② (2)①；②；5 (3)； 【思路点拨】本题考查了数轴、数轴上两点之间的距离、一元一次方程， （1）①先求出对折点所表示的数，再根据数轴的定义即可得； ②根据对折点，利用数轴的定义即可得； （2）①先求出对折点所表示的数，再根据数轴的定义建立方程，解方程即可得； ②根据对折点，利用数轴的定义即可求得两点表示的数； （3）利用表示出对折点，再根据点和点之间的距离为10，利用数轴的定义即可表示出，利用方程思想，熟练掌握数轴上两个的点的中点为两点表示的数相加除以2是解题的关键． 【规范解答】（1）解：由题意得对折点为， ①对折后与表示5的点重合的点表示的数为； ②对折后与表示的点重合的点表示的数位， 故答案为：①，②； （2）解：由题意得对折点为， ①对折后与表示7的点重合的点表示的数为； ②点与点之间的距离为8， 点与点到对折点的距离为， 点在点的左侧， 点表示的数为，点表示的数为， 故答案为：①；②；5； （3）解：使表示的点与表示的点重合， 对折点为， 数轴上的点与点重合（点在点的左侧），且点和点之间的距离为10， 点与点到对折点的距离为， 点表示的数为，点表示的数为， 故答案为：；． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$