2.1 正数和负数（知识精讲+易错点拨+七大考点讲练+难度分层真题练）-2024-2025学年苏科版2024新教材七年级数学上册核心考点培优讲练

2024-2025学年苏科新版数学七年级上册同步培优核心考点讲练●新教材【第2章《有理数》】 2.1 正数和负数 （知识精讲+易错点拨+七大考点讲练+难度分层真题练） 新知精讲梳理 1 高频易错知识点拨 2 考点讲练1：正负数的意义 3 考点讲练2：相反意义的量—支出与收入 3 考点讲练3：相反意义的量—行程方向相反问题 4 考点讲练4：相反意义的量—温度增减 4 考点讲练5：相反意义的量—货物重量问题 5 考点讲练6：相反意义的量—其他问题 5 考点讲练7：正、负数的实际应用 6 中等题真题汇编练 7 培优题真题汇编练 10 新知精讲梳理 知识点01：正数和负数的概念 正数：比0大的数称为正数。例如，1、+2、3.5等都是正数。正数前面通常可以带有“+”号，但通常省略不写。 负数：比0小的数称为负数。例如，-1、-3、-4.2等都是负数。负数前面带有“-”号。 0的特殊性：0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界点。 知识点02：正数和负数的表示方法 正数的表示：正数可以直接用数字表示，如3、5.6等，前面可以省略“+”号。当需要强调其为正数时，也可以加上“+”号，如+3、+5.6。 负数的表示：负数在数字前面加上“-”号来表示，如-1、-2.7等。 知识点03：正数和负数的应用 表示相反意义的量：正数和负数在生活中常用来表示具有相反意义的量。例如，收入与支出、上升与下降、增加与减少等。 温度表示：在表示温度时，0℃以上用正数表示，0℃以下用负数表示。例如，+5℃表示零上5度，-3℃表示零下3度。 海拔高度：在表示海拔高度时，海平面以上用正数表示，海平面以下用负数表示。例如，某山峰海拔+8848.86米，某盆地海拔-154米。 知识点04：整数和分数的分类 整数：正整数、负整数和0统称为整数。例如，1、-2、0都是整数。 分数：正分数和负分数统称为分数。分数是表示非整数的有理数，如1/2、-3/4等。 知识点05：注意事项 正负号的读法：“+”读作“正”，“-”读作“负”。但在实际书写中，正数前面的“+”号通常省略不写。 0的特殊性：0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界点。在表示某些量时，0具有特定的含义，如表示温度时的0℃、表示海拔时的0米等。 正负数的运算：正负数的加减乘除运算需要遵循特定的规则，如“同号相加取相同的符号，并把绝对值相加；异号相加取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值”等。 高频易错知识点拨 易错知识点01：正数和负数的概念混淆 易错点：误认为所有带“+”号的数都是正数，带“-”号的数都是负数。 忽视0的特殊性，将0误认为是正数或负数。 解析：在数学中，正数确实通常带有“+”号，但这个“+”号有时可以省略。同样，负数前面带有“-”号，且“-”号不能省略。然而，重要的是要理解正数和负数的本质定义，而不是仅仅依据符号来判断。例如，单独的一个数（如5）没有带“+”号，但它仍然是正数。 0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界点。这是一个需要特别记忆和理解的概念。 易错知识点02：相反意义的量理解不透彻 易错点：在实际问题中，难以准确判断哪些量是具有相反意义的。 解析：正数和负数在生活中常用来表示具有相反意义的量。例如，收入与支出、上升与下降、增加与减少等。学生需要理解这些相反意义的量在实际问题中的具体表现，并能够准确判断哪些量是需要用正数或负数来表示的。 易错知识点03：整数和分数的分类不清 易错点：将整数和分数混为一谈，或者忽视整数也是分数的一种特殊情况（整数可以看作分母为1的分数）。 解析：整数和分数都是有理数的子集。整数包括正整数、负整数和0，而分数则包括正分数和负分数。学生需要明确整数和分数的定义及分类，并理解它们之间的关系。 考点讲练1：正负数的意义 【精讲题】（23-24七年级上·江苏常州·期中）我国古代数学名著《九章算术》中已经用正负数来表示相反意义的量．若将钟表的分针顺时针旋转一周记作“”，则分针逆时针旋转一周半可记作（    ） A． B． C． D． 【举一反三练1】（23-24七年级上·江苏宿迁·期中）如果水位升高记为，那么水位下降可记为（    ） A． B． C． D． 【举一反三练2】（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）在下列各数中：，，，，0 其中是负数的有（    ）个． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【举一反三练3】（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）下列各数： ，， ， ， ， ，，，其中是负数的个数是 ． 考点讲练2：相反意义的量—支出与收入 【精讲题】（2024·云南昆明·二模）中国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数，如果盈利元记作元，那么亏本元记作（　　） A．元 B．元 C．元 D．元 【举一反三练1】（2024·辽宁大连·二模）随着商业的发展和技术的进步，手机支付已经成为常见的支付方式，若手机钱包收入元记作元，则元表示（    ） A．支出元 B．收入元 C．支出元 D．收入元 【举一反三练2】（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）如果收入10元记作元，那么支出6元记作 ． 【举一反三练3】．（23-24七年级上·江苏苏州·期末）如果盈利500元记作元，那么亏损400元记作 元． 考点讲练3：相反意义的量—行程方向相反问题 【精讲题】（23-24七年级上·江苏徐州·期末）如果我们规定向南记作为，那么向北走记作为（    ） A．3 B． C．5 D． 【举一反三练1】（23-24七年级上·江苏徐州·期中）一袋面粉的标准质量是，如果把一袋面粉记为，那么另一袋面粉记为（   ） A． B． C． D． 【举一反三练2】（23-24七年级上·江苏南通·期中）如果向东走，记作，那么表示（    ） A．向东走 B．向西走 C．向南走 D．向北走 【举一反三练3】（23-24七年级上·江苏南京·期中）如果向东走3m，记作＋3m，那么向西走4m，记作（    ） A．＋4m B．7m C． D． 考点讲练4：相反意义的量—温度增减 【精讲题】（18-19七年级上·江苏苏州·阶段练习）如果温度上升，记作，那么温度下降记作（     ） A． B． C． D． 【举一反三练1】（23-24七年级上·江苏淮安·期中）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数，若气温为零上记作，则表示气温为（    ） A．零下 B．零下 C．零下 D．零上 【举一反三练2】（17-18七年级上·河北保定·期中）若气温为零上记作，则表示气温为（ ） A．零上 B．零下 C．零上 D．零下 【举一反三练3】（23-24七年级上·福建漳州·期中）已知神舟十四号飞船返回舱内部的温度为，则返回舱内部的最高温度为 ℃. 考点讲练5：相反意义的量—货物重量问题 【精讲题】（23-24七年级上·江苏泰州·期中）如果向东走，记作，那么表示 ． 【举一反三练1】（2023·湖南永州·中考真题）我国古代数学名著《九章算术》中对正负数的概念注有“今两算得失相反，要令正负以名之”、如：粮库把运进30吨粮食记为“”，则“”表示（    ） A．运出30吨粮食 B．亏损30吨粮食 C．卖掉30吨粮食 D．吃掉30吨粮食 【举一反三练2】（18-19七年级上·山西运城·阶段练习）下列各组数中，具有相反意义的量是(　　) A．盈利40元和运出货物20吨 B．向东走4千米和向南走4千米 C．身高180 cm和身高90 cm D．收入500元和支出200元 考点讲练6：相反意义的量—其他问题 【精讲题】（2022·云南昆明·模拟预测）中老铁路是与中国铁路网直接连通的国际铁路，线路北起中国西南地区的昆明市，南向到达老挝首都万象市，是“一带一路”上最成功的样板工程．从长期看将会使老挝每年的总收入提升，若表示提升，则表示（    ） A．提升 B．提升 C．下降 D．下降 【举一反三练1】（22-23七年级上·江苏无锡·阶段练习）若“神舟十号”发射点火前10秒记为－10秒，则发射点火后5秒应记为（    ） A．－5秒 B．＋5秒 C．－15秒 D．＋15秒 【举一反三练2】（21-22七年级上·广东深圳·期中）李白出生于公元701 年，我们记作+701 年，那么秦始皇出生于公元前 259 年，可记作 年． 【举一反三练3】（22-23七年级上·山西太原·期中）世界最大的高海拔宇宙线观测站“拉索”位于我国甘孜稻城，其海拔高度记为“米”，表示高出海平面4410米；全球最大的超深水半潜式钻井平台“蓝鲸2号”是我国自主设计制造的，其最大钻深记为“米”．“米”表示的意义为（　　） A．高于海平面15250米 B．低于海平面15250米 C．比“拉索”高15250米 D．比“拉索”低15250米 考点讲练7：正、负数的实际应用 【精讲题】（21-22七年级上·陕西咸阳·阶段练习）某食品厂从生产的袋装面粉中抽出样品20袋，检测每袋的质量是否符合标准，超过或不足的部分分别用正、负数来表示，记录如表： 与标准质量的差值（单位：g） 0 1 3 6 袋数 1 4 3 4 5 3 (1)这批样品的平均质量比标准质量重还是轻？重或轻多少克？ (2)若标准质量为每袋，则这批样品的总质量是多少？若该厂袋装面粉的合格标准，这批样品的合格率是多少？ 【举一反三练1】（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）有20筐白菜，以每筐25千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如下： 与标准质量的差值（千克） ﹣3 ﹣2 ﹣1.5 0 1 2.5 筐数 1 8 2 3 2 4 (1)20筐白菜中，最重的一筐比最轻的一筐重多少千克？ (2)与标准重量比较，20筐白菜总计超过或不足多少千克？ (3)若白菜每千克售价3元，则出售这20筐白菜可卖多少元？ 【举一反三练2】（22-23七年级上·江苏连云港·期中）某司机某天下午在一条南北向的马路上开出租车．如果规定向南为正，向北为负，该司机连续接送5位乘客的行程（单位：千米）如下：，，，，， (1)该司机下午接送这5位乘客到达目的地，行程一共是多少千米？ (2)若规定出租车的起步价为8元，起步行程为3千米以内（包括3千米），超过的部分每千米2元，请问该司机下午一共收入多少车费？ 【举一反三练3】（22-23七年级上·江苏南京·期中）某校七年级1至4班计划每班购买数量相同的图书布置班级读书角，但是由于种种原因，实际购书量与计划有出入，如表是实际购书情况： 班级 1班 2班 3班 4班 实际购书量（本） a 32 c 22 实际购书量与计划购书量的差值（本） b (1)直接写出___， ___； (2)根据记录的数据可知4个班实际购书共___本； (3)书店给出一种优惠方案：一次购买达到15本，其中2本书免费．若每本书售价为30元，求这4个班团体购书的最低费用． 中等题真题汇编练 1．（20-21七年级上·河北沧州·期末）如图所示的是图纸上一个零件的标注，现有下列直径尺寸的产品（单位：mm），其中不合格的是（　　） A．29.8mm B．30.03mm C．30.02mm D．29.98mm 2．（21-22七年级上·江苏南京·阶段练习）在体育课的立定跳远测试中，以为标准，若小明跳出了，可记作，则小亮跳出了，应记作（    ） A． B． C． D． 3．（2023·河北邯郸·一模）向东走，记为，那么走，表示（    ） A．向南走 B．向东走 C．向西走 D．向北走 4．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数，用正、负数来表示具有相反意义的量．一次数学测试，以80分为基准简记，90分记作分，那么70分应记作（    ） A．分 B．0分 C．分 D．分 5．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）在数学知识抢答赛中，如果用分表示得10分，那么扣20分表示为 ． 6．（22-23七年级上·山东济南·期中）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数，若其意义相反，则分别叫作正数与负数，如果向东走5米记为米，那么向西走3米记为 米； 7．（21-22七年级上·江苏无锡·期末）桌子上放有6枚正面朝上的硬币，每次翻转其中的4枚，至少翻转 次能使所有硬币都反面朝上． 8．（20-21七年级上·吉林长春·期中）一食品的包装袋上标有克，这种食品一袋的最小重量不低于 克． 9．（23-24七年级上·江苏徐州·期中）某中学积极倡导阳光体育运动，提高中学生身体素质，开展跳绳比赛，下表为七年级某班42人参加跳绳比赛的情况，若标准数量为每人每分钟100个． 跳绳个数与标准数量的差值 0 4 5 6 人数 6 12 2 7 10 5 (1)求这个班42人一分钟内平均每人跳绳多少个？ (2)规定跳绳达到标准数量记0分；规定跳绳超过标准数量，每多跳1个加2分；规定跳绳未达到标准数量，每少跳1个，扣1分，求这个班跳绳总共获得多少分？ 10．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）如图1，一只甲虫在的方格（每一格边长为1）上沿着网格线运动．它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫，规定：向上向右为正，向下向左为负．例如：从A到B记为：；从C到D记为：其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向]． (1)填空：（___，____）；（___，____）； (2)若甲虫的行走路线为：，请计算甲虫走过的路程． (3)若这只甲虫去Q处的行走路线依次为：，请依次在图2上标出点M、N、Q的位置． 11．（20-21七年级上·贵州贵阳·阶段练习）一次体育课，老师对七年级女生进行了仰卧起坐的测试，以做36个为标准，超过的次数用正数表示，不足的次数用负数表示，第一小组8人的成绩如下：2，－3，4，0，1，－1，－5，0 （1）这8名同学实际各做了多少次仰卧起坐？ （2）这个小组的达标率是多少？ 12．（20-21七年级上·江苏泰州·期中）网购的盛行，带动了快递行业的快速发展．一天快递员小李骑车从快递公司出发，在一条东西方向的马路上来回送件，规定在快递公司东边记为正，快递公司西边记为负，小李一天所走的路程记录如下：（单位：千米）：+4，－3，+5，－2.5，2.5，－3，－2.8，+1.5，+1.5，－1.2． （1）该快递员最后到达的地方在快递公司的哪个方向？距快递公司多远？ （2）该快递员在这次送件过程中，共走了多少千米？ 13．（19-20七年级上·江苏泰州·期中）为了加强校园周边治安综合治理，警察巡逻车在学校旁边的一条东西方向的公路上执行治安巡逻，如果规定向东为正，向西为负，从出发点开始所走的路程（单位：千米）为： （1）此时，这辆巡逻车司机在出发点什么方向？离出发点多远？ （2）已知每千米耗油a升，如果警务处命令其巡逻车马上返回出发点，这次巡逻共耗油多少升？ 培优题真题汇编练 14．（18-19七年级上·江苏泰州·阶段练习）数+7，﹣9，，﹣4.5，998，，0中是正数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 15．（19-20七年级上·江苏盐城·期中）如果+3 吨表示运入仓库大米的吨数，那么运出大米 7 吨表示为（    ） A．-7 吨 B．+7 吨 C．-3 吨 D．+3 吨 16．（19-20七年级上·江苏无锡·阶段练习）在下列各数中：－（＋5），－12，（）2，－，（－1）2007，－|－3|；负数的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 17．（18-19七年级上·湖南娄底·期中）小文买了一支温度计，回家后发现里面有一个小气泡（即不准确了），先拿它在冰箱里试一下，在标准温度是零下7℃时，显示为℃，在36℃的温水中，显示为32℃，那么用这个温度计量得的室外气温是23℃，则室外的实际气温应是（    ） A．27℃ B．19℃ C．23℃ D．不能确定 18．（18-19七年级上·江苏苏州·期末）如图，正方形ABCD的边长为1，电子蚂蚁P从点A分别以1个单位/秒的速度顺时针沿正方形运动，电子蚂蚁Q从点A以3个单位/秒的速度逆时针沿正方形运动，则第2019次相遇在（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 19．（18-19七年级上·江苏南通·阶段练习）在﹣3、+（﹣3）、﹣|﹣4|、﹣（+2）、-a中，负数的个数有 个. 20．（18-19七年级上·江苏泰州·阶段练习）在一次军事训练中,一架直升机“停”在离海面80m的低空，一艘潜水艇潜在水下50m. 若直升机的高度记作+80m则潜水艇的高度记作 . 21．（18-19七年级上·江苏盐城·阶段练习）孔子出生于公元前551年，如果用一551年表示，那么下列历史文化名人的出生年代应该如何表示? (1)司马迁出生于公元前145年，记作 ； (2)李白出生于公元701年，记作 ； (3)韩非出生于公元前206年，记作 ； 22．（18-19七年级上·江苏苏州·阶段练习）某次数学和测验，以90分为标准，老师公布成绩：小明+10分，小刚0分，小敏﹣2分，则小刚的实际得分是 ，小敏的实际得分是 ． 23．（20-21七年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，一只甲虫在5×5的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动，它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫，规定：向上向右走为正，向下向左走为负．例如从A到B记为：A→B（+1，+4），从D到C记为：D→C（﹣1，+2），其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向． （1）图中A→C（　 　，　 　），D→　 　（﹣4，﹣2）； （2）若这只甲虫从A处去P处的行走路线依次为（+2，+2），（+2，﹣1），（﹣2，+3），（﹣1，﹣2），请在图中标出P的位置； （3）若这只甲虫的行走路线为A→B→C→D，请计算该甲虫走过的路程． 24．（19-20七年级上·江苏南通·阶段练习）某检修小组乘一辆检修车沿铁路检修，规定向东走为正，向西走为负，小组的出发地记为0，某天检修完毕时，行走记录（单位：千米）如下： +10，-2，+3，-1，+9，-3，-2，+11，+3，-4． （1） 问收工时，检修小组距出发地有多远？在东侧还是西侧？ （2） 若检修车油箱中原来有200升油，每千米耗油2.8升，求检修完毕时油箱中还剩油多少升？ 25．（19-20七年级上·江苏泰州·阶段练习）一名足球守门员练习折返跑，从球门线出发，向前记作正数，返回记作负数， 他的记录如下：(单位：米)+6，﹣3，+11，﹣9，﹣7，+12，﹣10． (1)守门员最后是否回到了球门线的位置？ (2)在练习过程中，守门员在第几次运动后离开球门线最远，最远距离是多少米？ (3)守门员全部练习结束后，他共跑了多少米 26．（19-20七年级上·江苏泰州·阶段练习）某检修小组从A地出发，在东西方向的马路上检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中七次行驶纪录如下（单位：千米）: 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 －3 +8 －9 +10 +4 －6 －2 （1）求收工时距A地多远？ （2）在第________次纪录时距A地最远． （3）若每千米耗油0.2升，每升汽油需8元，问检修小组工作一天最后回到A地共需汽油费多少元？ 27．（19-20七年级上·湖北黄石·阶段练习）某出租车一天下午以车站为出发地在东西方向的大街上营运，规定向东为正，向西为负，行车里程（单位：）依先后次序记录如下：，，，，，，，，，+10. （1）将最后一名乘客送到目的地，出租车离车站出发点多远？在车站的什么方向？ （2）出租车在行驶过程中，离车站最远的距离是多少？ （3）出租车按物价部门规定，起步价（不超过千米）为元，超过3千米的部分每千米的价格为元，司机一个下午的营业额是多少？ 28．（17-18七年级上·江苏南通·阶段练习）某检修小组乘汽车检修供电线路．向南记为正，向北记为负．某天自A地出发．所走路程（单位：千米）为：-3，+4，-2，-8，+11，-2，+8，；问： ①最后他们是否回到出发点？若没有，则在A地的什么地方？距离A地多远？； ②若每千米耗油0.06升，则今天共耗油多少升？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年苏科新版数学七年级上册同步培优核心考点讲练●新教材【第2章《有理数》】 2.1 正数和负数 （知识精讲+易错点拨+七大考点讲练+难度分层真题练） 新知精讲梳理 1 高频易错知识点拨 2 考点讲练1：正负数的意义 3 考点讲练2：相反意义的量—支出与收入 4 考点讲练3：相反意义的量—行程方向相反问题 5 考点讲练4：相反意义的量—温度增减 7 考点讲练5：相反意义的量—货物重量问题 8 考点讲练6：相反意义的量—其他问题 9 考点讲练7：正、负数的实际应用 10 中等题真题汇编练 14 培优题真题汇编练 20 新知精讲梳理 知识点01：正数和负数的概念 正数：比0大的数称为正数。例如，1、+2、3.5等都是正数。正数前面通常可以带有“+”号，但通常省略不写。 负数：比0小的数称为负数。例如，-1、-3、-4.2等都是负数。负数前面带有“-”号。 0的特殊性：0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界点。 知识点02：正数和负数的表示方法 正数的表示：正数可以直接用数字表示，如3、5.6等，前面可以省略“+”号。当需要强调其为正数时，也可以加上“+”号，如+3、+5.6。 负数的表示：负数在数字前面加上“-”号来表示，如-1、-2.7等。 知识点03：正数和负数的应用 表示相反意义的量：正数和负数在生活中常用来表示具有相反意义的量。例如，收入与支出、上升与下降、增加与减少等。 温度表示：在表示温度时，0℃以上用正数表示，0℃以下用负数表示。例如，+5℃表示零上5度，-3℃表示零下3度。 海拔高度：在表示海拔高度时，海平面以上用正数表示，海平面以下用负数表示。例如，某山峰海拔+8848.86米，某盆地海拔-154米。 知识点04：整数和分数的分类 整数：正整数、负整数和0统称为整数。例如，1、-2、0都是整数。 分数：正分数和负分数统称为分数。分数是表示非整数的有理数，如1/2、-3/4等。 知识点05：注意事项 正负号的读法：“+”读作“正”，“-”读作“负”。但在实际书写中，正数前面的“+”号通常省略不写。 0的特殊性：0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界点。在表示某些量时，0具有特定的含义，如表示温度时的0℃、表示海拔时的0米等。 正负数的运算：正负数的加减乘除运算需要遵循特定的规则，如“同号相加取相同的符号，并把绝对值相加；异号相加取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值”等。 高频易错知识点拨 易错知识点01：正数和负数的概念混淆 易错点：误认为所有带“+”号的数都是正数，带“-”号的数都是负数。 忽视0的特殊性，将0误认为是正数或负数。 解析：在数学中，正数确实通常带有“+”号，但这个“+”号有时可以省略。同样，负数前面带有“-”号，且“-”号不能省略。然而，重要的是要理解正数和负数的本质定义，而不是仅仅依据符号来判断。例如，单独的一个数（如5）没有带“+”号，但它仍然是正数。 0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界点。这是一个需要特别记忆和理解的概念。 易错知识点02：相反意义的量理解不透彻 易错点：在实际问题中，难以准确判断哪些量是具有相反意义的。 解析：正数和负数在生活中常用来表示具有相反意义的量。例如，收入与支出、上升与下降、增加与减少等。学生需要理解这些相反意义的量在实际问题中的具体表现，并能够准确判断哪些量是需要用正数或负数来表示的。 易错知识点03：整数和分数的分类不清 易错点：将整数和分数混为一谈，或者忽视整数也是分数的一种特殊情况（整数可以看作分母为1的分数）。 解析：整数和分数都是有理数的子集。整数包括正整数、负整数和0，而分数则包括正分数和负分数。学生需要明确整数和分数的定义及分类，并理解它们之间的关系。 考点讲练1：正负数的意义 【精讲题】（23-24七年级上·江苏常州·期中）我国古代数学名著《九章算术》中已经用正负数来表示相反意义的量．若将钟表的分针顺时针旋转一周记作“”，则分针逆时针旋转一周半可记作（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查正负号的应用，正负号表示一对相反意义的量，由此可直接得出答案． 【规范解答】解：若将钟表的分针顺时针旋转一周记作“”，则分针逆时针旋转一周半可记作， 故选：B． 【举一反三练1】（23-24七年级上·江苏宿迁·期中）如果水位升高记为，那么水位下降可记为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了正数和负数的意义； 根据“正”和“负”的相对性，规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负，据此可得答案． 【规范解答】解：如果水位升高记为，那么水位下降可记为， 故选：B． 【举一反三练2】（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）在下列各数中：，，，，0 其中是负数的有（    ）个． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【思路点拨】先化简，后根据负数的意义判断即可． 【规范解答】解：∵，，， ∴负数有，，，共3个， 故选B． 【考点评析】本题考查了有理数的化简，负数的定义即正数前面有负号的数，熟练掌握定义是解题的关键． 【举一反三练3】（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）下列各数： ，， ， ， ， ，，，其中是负数的个数是 ． 【答案】 【思路点拨】先化简多重符号和绝对值，再根据通常情况，正数前面加“-”号是负数，正数前不加符号或加“+”号，0既不是正数也不是负数，据此得解． 【规范解答】解：是正数；既不是正数也不是负数；是正数；是负数； 是正数；是负数；是正数；是负数， 所以负数的个数是3个． 故答案为：3． 【考点评析】本题考查负数、正数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键． 考点讲练2：相反意义的量—支出与收入 【精讲题】（2024·云南昆明·二模）中国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数，如果盈利元记作元，那么亏本元记作（　　） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【思路点拨】本题考查了相反意义的量．熟练掌握相反意义的量是解题的关键． 根据相反意义的量进行判断作答即可． 【规范解答】解：∵盈利元记作元， ∴亏本元记作元， 故选：B． 【举一反三练1】（2024·辽宁大连·二模）随着商业的发展和技术的进步，手机支付已经成为常见的支付方式，若手机钱包收入元记作元，则元表示（    ） A．支出元 B．收入元 C．支出元 D．收入元 【答案】A 【思路点拨】本题考查了运用正数和负数表示两个相反意义的量，正确理解正、负数的意义是解题的关键．收入和支出相反，如果收入为正，那么负为支出，即可解决． 【规范解答】∵收入元记作元， ∴元表示支出元， 故选：A． 【举一反三练2】（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）如果收入10元记作元，那么支出6元记作 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查的相反意义的量，掌握“相反意义的量的表示”是解本题的关键． 根据正负数的含义，可得：收入记住“+”，则支出记作“”，据此求解即可． 【规范解答】解：如果收入10元记作元，那么支出6元记作元． 故答案为：． 【举一反三练3】．（23-24七年级上·江苏苏州·期末）如果盈利500元记作元，那么亏损400元记作 元． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了正数和负数表示相反意义的量，根据正数和负数表示相反意义的量即可解答，确定相反意义的量是解题的关键． 【规范解答】解：盈利500元记作元，那么亏损400元记作元， 故答案为：． 考点讲练3：相反意义的量—行程方向相反问题 【精讲题】（23-24七年级上·江苏徐州·期末）如果我们规定向南记作为，那么向北走记作为（    ） A．3 B． C．5 D． 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查正负数的意义，熟知正负数的意义是解题的关键．根据题意，向南为正，向北为负即可得到答案． 【规范解答】解：规定向南记作为，那么向北走记作为． 故选B． 【举一反三练1】（23-24七年级上·江苏徐州·期中）一袋面粉的标准质量是，如果把一袋面粉记为，那么另一袋面粉记为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了正负数表达相反意义的量．根据正负数的意义，超过的部分用正数表示，不足的部分用负数表示即可． 【规范解答】解：一袋面粉记为，那么另一袋面粉记为． 故选：． 【举一反三练2】（23-24七年级上·江苏南通·期中）如果向东走，记作，那么表示（    ） A．向东走 B．向西走 C．向南走 D．向北走 【答案】B 【思路点拨】本题考查了正数与负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【规范解答】解：如果向东走，记作，那么表示向西走，故B正确． 故选：B． 【举一反三练3】（23-24七年级上·江苏南京·期中）如果向东走3m，记作＋3m，那么向西走4m，记作（    ） A．＋4m B．7m C． D． 【答案】C 【思路点拨】此题考查数的正负性，理解正负数表示一对相反意义的量是解题的关键．本题向东记为“+”，则向西记为“”，从而可得答案. 【规范解答】解：∵向东走3m，记作m， ∴向西走4m，记作， 故选：C． 考点讲练4：相反意义的量—温度增减 【精讲题】（18-19七年级上·江苏苏州·阶段练习）如果温度上升，记作，那么温度下降记作（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】根据相反意义的量解答即可，本题考查了正负数的应用，清楚零上为正，零下为负是解题的关键． 【规范解答】∵温度上升，记作，， 则温度下降记作 故选D． 【举一反三练1】（23-24七年级上·江苏淮安·期中）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数，若气温为零上记作，则表示气温为（    ） A．零下 B．零下 C．零下 D．零上 【答案】B 【思路点拨】本题考查了正负数的意义； 根据正负数表示一对具有相反意义的量，可得答案． 【规范解答】解：若气温为零上记作，则表示气温为零下， 故选：B． 【举一反三练2】（17-18七年级上·河北保定·期中）若气温为零上记作，则表示气温为（ ） A．零上 B．零下 C．零上 D．零下 【答案】B 【思路点拨】此题主要用正负数来表示具有意义相反的两种量：若零上记为正，则零下就记为负，直接得出结论即可． 【规范解答】解：若气温为零上记作，则表示气温为零下． 故选：B． 【举一反三练3】（23-24七年级上·福建漳州·期中）已知神舟十四号飞船返回舱内部的温度为，则返回舱内部的最高温度为 ℃. 【答案】25 【思路点拨】已知神舟九号飞船返回舱的温度为，那么返回舱的最高温度就是； 此题主要考查的是理解正、负数的意义，掌握它们的计算方法是解题的关键． 【规范解答】解： 故答案为：25． 考点讲练5：相反意义的量—货物重量问题 【精讲题】（23-24七年级上·江苏泰州·期中）如果向东走，记作，那么表示 ． 【答案】向西走 【思路点拨】本题主要考查了正负数的实际应用，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【规范解答】解：如果向东走，记作，那么表示向西走． 故答案为：向西走． 【举一反三练1】（2023·湖南永州·中考真题）我国古代数学名著《九章算术》中对正负数的概念注有“今两算得失相反，要令正负以名之”、如：粮库把运进30吨粮食记为“”，则“”表示（    ） A．运出30吨粮食 B．亏损30吨粮食 C．卖掉30吨粮食 D．吃掉30吨粮食 【答案】A 【思路点拨】根据题意明确“正”和“负”所表示的意义，再根据题意即可求解． 【规范解答】解：粮库把运进30吨粮食记为“”，则“”表示运出30吨粮食． 故选：A 【考点评析】本题考查了正负数的意义，理解“正”和“负”分别表示相反意义的量是解题关键． 【举一反三练2】（18-19七年级上·山西运城·阶段练习）下列各组数中，具有相反意义的量是(　　) A．盈利40元和运出货物20吨 B．向东走4千米和向南走4千米 C．身高180 cm和身高90 cm D．收入500元和支出200元 【答案】D 【思路点拨】根据相反意义的量依次进行判断即可． 【规范解答】解：A．盈利40元和运出货物20吨，不是相反意义的量，盈利对应亏损，不符合题意； B．向东走4千米和向南走4千米，不是相反意义的量，向东对应向西，不符合题意； C．身高180 cm和身高90 cm，不是相反意义的量，不符合题意； D．收入500元和支出200元，是相反意义的量，符合题意． 故选：D． 【考点评析】本题主要考查了相反意义的量，注意常用的有盈利和亏损，向东和向西，向南和向北，收入和支出，这类相反词． 考点讲练6：相反意义的量—其他问题 【精讲题】（2022·云南昆明·模拟预测）中老铁路是与中国铁路网直接连通的国际铁路，线路北起中国西南地区的昆明市，南向到达老挝首都万象市，是“一带一路”上最成功的样板工程．从长期看将会使老挝每年的总收入提升，若表示提升，则表示（    ） A．提升 B．提升 C．下降 D．下降 【答案】C 【思路点拨】用正负数表示意义相反的两种量：一种记作正，则和它意义相反的就记作负，根据题意求解即可． 【规范解答】解：若正数表示提升，则负数表示下降，表示提升，则表示下降， 故选：C． 【考点评析】此题主要考查正负数的意义，正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负． 【举一反三练1】（22-23七年级上·江苏无锡·阶段练习）若“神舟十号”发射点火前10秒记为－10秒，则发射点火后5秒应记为（    ） A．－5秒 B．＋5秒 C．－15秒 D．＋15秒 【答案】B 【思路点拨】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义，再根据题意作答． 【规范解答】解：∵“神舟十号”发射点火前10秒记为秒， ∴发射点火后5秒应记为+5秒． 故选B 【考点评析】本题考查了对正数和负数的理解和运用，具有相反意义的量的表示，是一道基础题． 【举一反三练2】（21-22七年级上·广东深圳·期中）李白出生于公元701 年，我们记作+701 年，那么秦始皇出生于公元前 259 年，可记作 年． 【答案】-259 【思路点拨】根据相反意义的量的定义：再现实生活中存在着各种各样的量，其中有一种量，它们的属性相同，但表示的意义相反，这样的量叫做相反意义的量，进行求解即可． 【规范解答】解：∵李白出生于公元701 年，记作+701 年， ∴秦始皇出生于公元前 259 年，可记作-259年， 故答案为：-259． 【考点评析】本题主要考查了相反意义的量，解题的关键在于熟知定义． 【举一反三练3】（22-23七年级上·山西太原·期中）世界最大的高海拔宇宙线观测站“拉索”位于我国甘孜稻城，其海拔高度记为“米”，表示高出海平面4410米；全球最大的超深水半潜式钻井平台“蓝鲸2号”是我国自主设计制造的，其最大钻深记为“米”．“米”表示的意义为（　　） A．高于海平面15250米 B．低于海平面15250米 C．比“拉索”高15250米 D．比“拉索”低15250米 【答案】B 【思路点拨】根据正负数表示具有相反意义的两种量：“”表示高出海平面，则“”即为低于海平面，即可得出答案． 【规范解答】解：“米”，表示高出海平面4410米， 则“米”，表示低于海平面15250米； 故选：B． 【考点评析】本题考查了正负数所表示的意义，以海平面的高度为基准，高于则为正，低于则为负，由此可得出结果． 考点讲练7：正、负数的实际应用 【精讲题】（21-22七年级上·陕西咸阳·阶段练习）某食品厂从生产的袋装面粉中抽出样品20袋，检测每袋的质量是否符合标准，超过或不足的部分分别用正、负数来表示，记录如表： 与标准质量的差值（单位：g） 0 1 3 6 袋数 1 4 3 4 5 3 (1)这批样品的平均质量比标准质量重还是轻？重或轻多少克？ (2)若标准质量为每袋，则这批样品的总质量是多少？若该厂袋装面粉的合格标准，这批样品的合格率是多少？ 【答案】(1)这批样品的平均质量比标准质量重，重克 (2)这批样品的总质量是4024克，这批样品的合格率是80% 【思路点拨】本题主要考查正负数及有理数加法在实际生活中的应用，解答本题的关键是明确正数和负数在题目中的实际意义，熟练掌握运算法则．（1）根据样本的平均质量减去标准的质量，可得答案；（2）根据有理数的加法，可得答案；找到所给数值中，绝对值小于或等于3的食品的袋数占总袋数的多少即可． 【规范解答】（1）解：(克)； (克)． 答:这批样品的平均质量比标准质量重，重克． （2）由题意，得：(克)． 由题意可知，与标准质量相差g的有袋， 所以， 答:这批样品的总质量是4024克，这批样品的合格率是． 【举一反三练1】（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）有20筐白菜，以每筐25千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如下： 与标准质量的差值（千克） ﹣3 ﹣2 ﹣1.5 0 1 2.5 筐数 1 8 2 3 2 4 (1)20筐白菜中，最重的一筐比最轻的一筐重多少千克？ (2)与标准重量比较，20筐白菜总计超过或不足多少千克？ (3)若白菜每千克售价3元，则出售这20筐白菜可卖多少元？ 【答案】(1)5.5千克 (2)不足10千克 (3)1470元 【思路点拨】（1）将最大的正数与最小负数相减即可； （2）将每个正数，负数与对应的数量相乘，并相加可得到总重量与标准总重量的差值； （3）先计算出总重量，再乘以单价即可． 【规范解答】（1）解：最重的一筐比标准重2.5千克，最轻的一筐比标准轻3克， 故最重的一筐比最轻的一筐重：（千克）， 答：最重的一筐比最轻的一筐重5.5千克． （2）解：， 答：20筐白菜总计不足10千克， （3）解：（元）， 答：出售这20筐白菜可卖1470元． 【考点评析】本题考查正负数的应用，能够熟练掌握正负数的实际意义是解决本题的关键． 【举一反三练2】（22-23七年级上·江苏连云港·期中）某司机某天下午在一条南北向的马路上开出租车．如果规定向南为正，向北为负，该司机连续接送5位乘客的行程（单位：千米）如下：，，，，， (1)该司机下午接送这5位乘客到达目的地，行程一共是多少千米？ (2)若规定出租车的起步价为8元，起步行程为3千米以内（包括3千米），超过的部分每千米2元，请问该司机下午一共收入多少车费？ 【答案】(1)行程一共是千米； (2)该司机上午一共收入元车费； 【思路点拨】（1）求路程利用绝对值相加即可得到答案； （2）根据出租车费用方案直接求解即可得到答案； 【规范解答】（1）解：由题意可得， （千米）， 答：行程一共是千米； （2）解：由题意可得， （元）， 答：该司机上午一共收入元车费； 【考点评析】本题主要考查相反意义量，解题的关键是根据题意列出相应关系式． 【举一反三练3】（22-23七年级上·江苏南京·期中）某校七年级1至4班计划每班购买数量相同的图书布置班级读书角，但是由于种种原因，实际购书量与计划有出入，如表是实际购书情况： 班级 1班 2班 3班 4班 实际购书量（本） a 32 c 22 实际购书量与计划购书量的差值（本） b (1)直接写出___， ___； (2)根据记录的数据可知4个班实际购书共___本； (3)书店给出一种优惠方案：一次购买达到15本，其中2本书免费．若每本书售价为30元，求这4个班团体购书的最低费用． 【答案】(1)， (2) (3) 【思路点拨】（1）由于4班实际购入本，且实际购买数量与计划购买数量的差值为，即可得计划购书量为，进而可把表格补充完整； （2）把每班实际数量相加即可； （3）根据已知求出总费用即可． 【规范解答】（1）∵由于4班实际购入本，且实际购买数量与计划购买数量的差值为，即可得计划购书量为本， ∴一班实际购入本，二班实际购入数量与计划购入数量的差值本， 故答案依次为：，． （2）4个班一共购入数量为：本， 故答案为： （3）∵， ∴如果每次购买本，则可以购买次，且最后还剩本书需单独购买， ∴最低总花费为：元． 【考点评析】本题考查了正负数的应用．在生活实际中利用正负数的计算能力，并通过相关运算来比较大小，进而得出最佳方案；正确理解正负数的意义是解题的关键． 中等题真题汇编练 1．（20-21七年级上·河北沧州·期末）如图所示的是图纸上一个零件的标注，现有下列直径尺寸的产品（单位：mm），其中不合格的是（　　） A．29.8mm B．30.03mm C．30.02mm D．29.98mm 【答案】A 【思路点拨】依据正负数的意义求得零件直径的合格范围，然后找出不符要求的选项即可． 【规范解答】解：∵30+0.03=30.03，30-0.02=29.98， ∴零件的直径的合格范围是：29.98mm≤零件的直径≤30.03mm． ∵29.8mm不在该范围之内， ∴不合格的是A． 故选：A． 【考点评析】本题主要考查的是正数和负数的意义，根据正负数的意义求得零件直径的合格范围是解题的关键． 2．（21-22七年级上·江苏南京·阶段练习）在体育课的立定跳远测试中，以为标准，若小明跳出了，可记作，则小亮跳出了，应记作（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了正负数的意义，理解题意是解题的关键． 根据正负数的意义，即可求解． 【规范解答】解：以为标准，小亮跳出了，应记作：， 故选：B． 3．（2023·河北邯郸·一模）向东走，记为，那么走，表示（    ） A．向南走 B．向东走 C．向西走 D．向北走 【答案】C 【思路点拨】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义，再根据题意作答即可． 【规范解答】解：由题意知：向东走为“+”，则向西走为“”，所以表示向西走， 故选：C． 【考点评析】本题考查了具有相反意义的量，解题的关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 4．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数，用正、负数来表示具有相反意义的量．一次数学测试，以80分为基准简记，90分记作分，那么70分应记作（    ） A．分 B．0分 C．分 D．分 【答案】C 【思路点拨】根据正数和负数表示相反意义的量即可得到答案． 【规范解答】解：以80分为基准简记，90分记作分， 70分应记作分， 故选：C． 【考点评析】本题考查了正数和负数表示相反意义的量，确定相反意义的量是解此题的关键． 5．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）在数学知识抢答赛中，如果用分表示得10分，那么扣20分表示为 ． 【答案】-20分 【思路点拨】根据有理数“正和“负”的相对性解答即可． 【规范解答】解：用+10表示得10分，那么扣20分就要用负数表示，所以扣20分表示为-20分． 故答案为：-20分． 【考点评析】本题考查正负数在实际生活中的应用，掌握有理数“正”和“负”的相对性是解答本题的关键． 6．（22-23七年级上·山东济南·期中）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数，若其意义相反，则分别叫作正数与负数，如果向东走5米记为米，那么向西走3米记为 米； 【答案】 【思路点拨】根据向东走记为“+”，得到向西走则记为“－”． 【规范解答】∵向东走5米记为米， ∴向西走3米可记为米， 故答案为：． 【考点评析】本题主要考查了正数和负数，解答本题的关键是熟练掌握用正数和负数表示相反意义的量． 7．（21-22七年级上·江苏无锡·期末）桌子上放有6枚正面朝上的硬币，每次翻转其中的4枚，至少翻转 次能使所有硬币都反面朝上． 【答案】3 【思路点拨】用“”表示正面朝上，用“”表示正面朝下，找出最少翻转次数能使硬币正面全部朝下的情况即可． 【规范解答】解：用“”表示正面朝上，用“”表示正面朝下， 开始时， 第一次， 第二次， 第三次， 至少翻转3次能使所有硬币都反面朝上， 故答案为：3． 【考点评析】本题考查了正负数的应用，根据朝上和朝下的两种状态对应正负号，尝试满足题意的最次数是解题的关键． 8．（20-21七年级上·吉林长春·期中）一食品的包装袋上标有克，这种食品一袋的最小重量不低于 克． 【答案】145 【思路点拨】一食品的包装袋上标有“净含量克”，表示这袋食品标准的质量是150克，实际每袋最小重量不低于150-5克． 【规范解答】解：150-5=145（克）． 所以，这袋食品最小重量不低于145克． 故答案为：145． 【考点评析】此题首先要知道以谁为标准，规定超出标准的为正，低于标准的为负，由此用正负数解答问题． 9．（23-24七年级上·江苏徐州·期中）某中学积极倡导阳光体育运动，提高中学生身体素质，开展跳绳比赛，下表为七年级某班42人参加跳绳比赛的情况，若标准数量为每人每分钟100个． 跳绳个数与标准数量的差值 0 4 5 6 人数 6 12 2 7 10 5 (1)求这个班42人一分钟内平均每人跳绳多少个？ (2)规定跳绳达到标准数量记0分；规定跳绳超过标准数量，每多跳1个加2分；规定跳绳未达到标准数量，每少跳1个，扣1分，求这个班跳绳总共获得多少分？ 【答案】(1)102个 (2)192分 【思路点拨】本题主要考查有理数混合运算的应用，熟练掌握有理数的混合运算是解题的关键； （1）根据表格可直接进行求解； （2）先求出该班的总积分，然后问题可求解； 【规范解答】（1）由题意得：因为， 所以平均每人跳绳个， 答：这个班42人一分钟内平均每人跳绳102个． （2）（分） 答：这个班跳绳总共获得192分． 10．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）如图1，一只甲虫在的方格（每一格边长为1）上沿着网格线运动．它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫，规定：向上向右为正，向下向左为负．例如：从A到B记为：；从C到D记为：其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向]． (1)填空：（___，____）；（___，____）； (2)若甲虫的行走路线为：，请计算甲虫走过的路程． (3)若这只甲虫去Q处的行走路线依次为：，请依次在图2上标出点M、N、Q的位置． 【答案】(1) (2)16 (3)见解析 【思路点拨】（1）根据规定结合图形写出即可； （2）根据甲虫的运动路线列式计算即可得解； （3）根据运动路线标注解答即可； 【规范解答】（1）根据题意得出：； 故答案为：． （2）∵甲虫的行走路线为：， ∴甲虫走过的路程为：； （3）如图2所示： 【考点评析】本题考查了正数和负数，读懂题目信息，理解正负数的意义以及写法的规定是解题的关键． 11．（20-21七年级上·贵州贵阳·阶段练习）一次体育课，老师对七年级女生进行了仰卧起坐的测试，以做36个为标准，超过的次数用正数表示，不足的次数用负数表示，第一小组8人的成绩如下：2，－3，4，0，1，－1，－5，0 （1）这8名同学实际各做了多少次仰卧起坐？ （2）这个小组的达标率是多少？ 【答案】（1）这8名同学实际做仰卧起坐的次数分别为：38，33，40，36，37，35，31，36；（2）62.5% 【思路点拨】（1）用36加上每人记录的成绩即得每人实际成绩； （2）用记录成绩中的非负数个数除以小组总人数再化成百分数即可得到解答． 【规范解答】解：（1）这8名同学实际做仰卧起坐的次数分别为：38，33，40，36，37，35，31，36． （2）因为有5人达标，所以达标率为：5÷8=0.625=62.5%． 【考点评析】本题考查正负数在生活中的应用，熟练掌握正负数的意义是解题关键 ． 12．（20-21七年级上·江苏泰州·期中）网购的盛行，带动了快递行业的快速发展．一天快递员小李骑车从快递公司出发，在一条东西方向的马路上来回送件，规定在快递公司东边记为正，快递公司西边记为负，小李一天所走的路程记录如下：（单位：千米）：+4，－3，+5，－2.5，2.5，－3，－2.8，+1.5，+1.5，－1.2． （1）该快递员最后到达的地方在快递公司的哪个方向？距快递公司多远？ （2）该快递员在这次送件过程中，共走了多少千米？ 【答案】（1）东边，2千米；（2）27千米 【思路点拨】（1）根据题目中的数据，可以解答本题； （2）将题目中的数据的绝对值相加，即可解答本题． 【规范解答】解：（1）4+（-3）+5+（-2.5）+2.5+（-3）+（-2.8）+1.5+1.5+（-1.2）=2（千米）， 答：该快递员最后到达的地方在快递公司的东边，距快递公司2千米； （2）4+|-3|+5+|-2.5|+2.5+|-3|+|-2.8|+1.5+1.5+|-1.2|=27（千米）， 答：该快递员在这次送件过程中，共走了27千米． 【考点评析】本题考查了正数和负数，解答本题的关键是明确正负数在题目中的实际意义． 13．（19-20七年级上·江苏泰州·期中）为了加强校园周边治安综合治理，警察巡逻车在学校旁边的一条东西方向的公路上执行治安巡逻，如果规定向东为正，向西为负，从出发点开始所走的路程（单位：千米）为： （1）此时，这辆巡逻车司机在出发点什么方向？离出发点多远？ （2）已知每千米耗油a升，如果警务处命令其巡逻车马上返回出发点，这次巡逻共耗油多少升？ 【答案】（1）这辆巡逻车司机在出发点西边，离出发点4千米；（2）这次巡逻共耗油30a升 【思路点拨】（1）所有有理数求和，即可解答； （2）对每个有理数求绝对值，然后再求和，再求耗油即可. 【规范解答】解：（1）=-4，所以这辆巡逻车司机在出发点西边，离出发点4千米； （2） =（2+3+4+1+5+3+6+2+4）a =30a 【考点评析】本题考查了有理数的实际应用，解答的关键在理解离出发点的距离和所走路程的区别. 培优题真题汇编练 14．（18-19七年级上·江苏泰州·阶段练习）数+7，﹣9，，﹣4.5，998，，0中是正数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路点拨】根据负数和正数的定义即可求解． 【规范解答】+7是正数，﹣9是负数，是正数，﹣4.5是负数，998是正数，是负数，0既不是正数也不是负数． 正数有3个． 故选C． 【考点评析】本题考查了正数与负数，关键是判断一个数是正数还是负数，要把它化简成最后形式再判断． 15．（19-20七年级上·江苏盐城·期中）如果+3 吨表示运入仓库大米的吨数，那么运出大米 7 吨表示为（    ） A．-7 吨 B．+7 吨 C．-3 吨 D．+3 吨 【答案】A 【思路点拨】根据正负数表示的意义作答即可. 【规范解答】解：∵+3 吨表示运入仓库大米的吨数， ∴运出大米 7 吨表示为：-7吨 故选A 【考点评析】本题考查正负数的意义，正确理解题目中正负数表示意义是解题的关键. 16．（19-20七年级上·江苏无锡·阶段练习）在下列各数中：－（＋5），－12，（）2，－，（－1）2007，－|－3|；负数的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【思路点拨】根据正数和负数的定义进行求解． 【规范解答】-（+5）=-5<0，-12=-1<0，（）2=>0，－=-<0，（－1）2007=-1<0，－|－3|=-3<0， ∴分数有：-（+5），-12，－，（－1）2007，－|－3|，共5个， 故选D. 【考点评析】此题主要考查正数和负数的概念，比0大的数是正数，比0小的数是负数，0即不是正数，也不是负数. 17．（18-19七年级上·湖南娄底·期中）小文买了一支温度计，回家后发现里面有一个小气泡（即不准确了），先拿它在冰箱里试一下，在标准温度是零下7℃时，显示为℃，在36℃的温水中，显示为32℃，那么用这个温度计量得的室外气温是23℃，则室外的实际气温应是（    ） A．27℃ B．19℃ C．23℃ D．不能确定 【答案】A 【思路点拨】根据题意温度计在零下7°为-11°，36°时为32°，则真正的温度比温度计低4度． 【规范解答】解：根据题意可知真正的温度比温度计低4度． 则室外的实际气温应是：23+4=27℃． 故选A． 【考点评析】本题考查了“正”数和“负”数的相对意义，找对是实际温度高，还是温度计的温度高是关键. 18．（18-19七年级上·江苏苏州·期末）如图，正方形ABCD的边长为1，电子蚂蚁P从点A分别以1个单位/秒的速度顺时针沿正方形运动，电子蚂蚁Q从点A以3个单位/秒的速度逆时针沿正方形运动，则第2019次相遇在（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】B 【思路点拨】根据题意可以得到前几次相遇的地点，从而可以发现其中的规律，进而求得第2019次相遇的地点，本题得以解决． 【规范解答】解：由题意可得， 第一次相遇在点D，第二次相遇在点C，第三次相遇在点B，第四次相遇在点A，第五次相在点D，……，每四次一个循环． ∵2019÷4＝504…3， ∴第2019次相遇在点B， 故选B． 【考点评析】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，找出题目中的变化规律． 19．（18-19七年级上·江苏南通·阶段练习）在﹣3、+（﹣3）、﹣|﹣4|、﹣（+2）、-a中，负数的个数有 个. 【答案】4或5 【思路点拨】根据小于0的数是负数，可得负数的个数． 【规范解答】−3<0,+(−3)<0,−(−4)<0,−(+2)<0；        -a的判定：当a>0时，-a为负数；                   当a<0时，a为正数. 所以负数个数为4或5. 【考点评析】本题考查的是正数和负数的判断，熟练掌握两者的性质是解题的关键. 20．（18-19七年级上·江苏泰州·阶段练习）在一次军事训练中,一架直升机“停”在离海面80m的低空，一艘潜水艇潜在水下50m. 若直升机的高度记作+80m则潜水艇的高度记作 . 【答案】-50m 【思路点拨】根据海平面的高度为0米，判断潜水艇的高度是正是负即可. 【规范解答】设海平面的高度为0米，又因为该直升机的高度记作+80m，所以潜水艇的高度记作-50m. 故答案为-50m. 【考点评析】本题考查了正负数的知识点，解题的关键是根据海平面来判断潜水艇的高度是正是负. 21．（18-19七年级上·江苏盐城·阶段练习）孔子出生于公元前551年，如果用一551年表示，那么下列历史文化名人的出生年代应该如何表示? (1)司马迁出生于公元前145年，记作 ； (2)李白出生于公元701年，记作 ； (3)韩非出生于公元前206年，记作 ； 【答案】 -145年 701年 -206年 【思路点拨】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答． 【规范解答】∵公元前551年，如果用-551年来表示， ∴司马迁出生于公元前145年，表示为-145年， 李白出生于公元701年，表示为+701年， 韩非出生于公元前206年，记做-206年. 故答案为-145年；+701；-206年. 【考点评析】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 22．（18-19七年级上·江苏苏州·阶段练习）某次数学和测验，以90分为标准，老师公布成绩：小明+10分，小刚0分，小敏﹣2分，则小刚的实际得分是 ，小敏的实际得分是 ． 【答案】 90 88 【思路点拨】根据正负数的意义作答. 【规范解答】以90分为标准，等于90记为0，大于90记为正数，小于90记为负数；90+0=90，所以小刚的实际得分为90；90-2=88，所以小敏的实际得分为88. 【考点评析】本题要求学生能够分析题意并且对正负数概念灵活掌握. 23．（20-21七年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，一只甲虫在5×5的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动，它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫，规定：向上向右走为正，向下向左走为负．例如从A到B记为：A→B（+1，+4），从D到C记为：D→C（﹣1，+2），其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向． （1）图中A→C（　 　，　 　），D→　 　（﹣4，﹣2）； （2）若这只甲虫从A处去P处的行走路线依次为（+2，+2），（+2，﹣1），（﹣2，+3），（﹣1，﹣2），请在图中标出P的位置； （3）若这只甲虫的行走路线为A→B→C→D，请计算该甲虫走过的路程． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）10 【思路点拨】（1）根据规定及实例可知A→C记为（3，4），D→A记为（-4，-2）； （2）按题目所示平移规律分别向右向上平移2个格点，再向右平移2个格点，向下平移1个格点；向左平移2个格点，向上平移3个格点；向左平移1个向下平移两个格点即可得到点P的坐标，在图中标出即可； （3）根据点的运动路径，表示出运动的距离，相加即可得到行走的总路径长． 【规范解答】解：（1）规定：向上向右走为正，向下向左走为负∴A→C记为（3，4）B→C记为（2，0）D→A记为（-4，-2）； （2）P点位置如图所示； （3）据已知条件可知：A→B表示为：（1，4），B→C记为（2，0）C→D记为（1，-2）； 该甲虫走过的路线长为1+4+2+1+2=10． 【考点评析】本题考查了正数与负数，利用坐标确定点的位置的方法．解题的关键是正确的理解从一个点到另一个点移动时，如何用坐标表示． 24．（19-20七年级上·江苏南通·阶段练习）某检修小组乘一辆检修车沿铁路检修，规定向东走为正，向西走为负，小组的出发地记为0，某天检修完毕时，行走记录（单位：千米）如下： +10，-2，+3，-1，+9，-3，-2，+11，+3，-4． （1）问收工时，检修小组距出发地有多远？在东侧还是西侧？ （2）若检修车油箱中原来有200升油，每千米耗油2.8升，求检修完毕时油箱中还剩油多少升？ 【答案】（1）24千米，东侧；（2）65.6升 【思路点拨】（1）求得记录的数的和，根据结果即可确定所处的位置； （2）求得记录的数的绝对值的和，乘以2.8即可求解． 【规范解答】（1）10-2+3-1+9-3-2+11+3-4=+24， 则距出发地东侧24米． （2）耗油:（10+2+3+1+9+3+2+11+3+4）×2.8=134.4（升）． 剩油200-134.4=65.6(L)． 【考点评析】考查了正负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 25．（19-20七年级上·江苏泰州·阶段练习）一名足球守门员练习折返跑，从球门线出发，向前记作正数，返回记作负数， 他的记录如下：(单位：米)+6，﹣3，+11，﹣9，﹣7，+12，﹣10． (1)守门员最后是否回到了球门线的位置？ (2)在练习过程中，守门员在第几次运动后离开球门线最远，最远距离是多少米？ (3)守门员全部练习结束后，他共跑了多少米 【答案】(1)回到；(2)第3次最远，最远14米；(3)58米. 【思路点拨】（1）由于守门员从球门线出发练习折返跑，问最后是否回到了球门线的位置，只需将所有数加起来，看其和是否为0即可； （2）计算每一次跑后的数据，绝对值最大的即为所求； （3）求出所有数的绝对值的和即可． 【规范解答】(1)(+6)+(−3)+(+11)+(−9)+(−7)+(+12)+(−10)=(6+11+12)−(3+9+7+10)=29−29=0， 答：守门员最后回到了球门线的位置． (2)由观察可知：6−3+11=14 答：在练习过程中，守门员离开球门线最远距离是14米. (3)|+6|+|−3|+|+11|+|−9|+|−7|+|+12|+|−10|=6+3+11+9+7+12+10=58米. 答：守门员全部练习结束后，他共跑了58米. 【考点评析】此题考查正数和负数，解题关键在于结合实际运用正数与负数的运算. 26．（19-20七年级上·江苏泰州·阶段练习）某检修小组从A地出发，在东西方向的马路上检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中七次行驶纪录如下（单位：千米）: 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 －3 +8 －9 +10 +4 －6 －2 （1）求收工时距A地多远？ （2）在第________次纪录时距A地最远． （3）若每千米耗油0.2升，每升汽油需8元，问检修小组工作一天最后回到A地共需汽油费多少元？ 【答案】（1）2千米；（2）五；（3）70.4元. 【思路点拨】收工时距离A的位置只需要把记录的数都加起来就可以了，离A最远则需要算出每次记录点离A的距离，再比较，求油费需要算出行驶的总路程，再乘以每千米的油耗和汽油的单价. 【规范解答】（1）    根据题意列式：－3+8－9+10+4－6－2=2千米， （2）    由题意得，第一次距A地|－3|=3（千米）； 第二次距A地－3+8=5（千米）； 第三次距A地|－3+8－9|=4（千米）； 第四次距A地|－3+8－9+10|=6（千米）； 第五次距A地|－3+8－9+10+4|=10（千米）； 而第六次、第七次是向相反的方向又行驶了共8千米， 所以在第五次纪录时距A地最远． （3）    考虑到最后还要回到A地，所以总路程|－3|+|+8|+|－9|+|+10|+|+4|+|－6|+|－2|=42（千米），42+2=44（千米），44×0.2×8=70.4 （元） 【考点评析】本题特别要注意第三小问中，总路程一定要加上最后回到A地的那一段. 27．（19-20七年级上·湖北黄石·阶段练习）某出租车一天下午以车站为出发地在东西方向的大街上营运，规定向东为正，向西为负，行车里程（单位：）依先后次序记录如下：，，，，，，，，，+10. （1）将最后一名乘客送到目的地，出租车离车站出发点多远？在车站的什么方向？ （2）出租车在行驶过程中，离车站最远的距离是多少？ （3）出租车按物价部门规定，起步价（不超过千米）为元，超过3千米的部分每千米的价格为元，司机一个下午的营业额是多少？ 【答案】（1）出租车离车站出发点，出租车在车站；（2）10km；（3）122元. 【思路点拨】（1）直接把各数相加即可得出结论； （2）分步求出记录的数字的结果，比较绝对值的大小即可求解； （3）把各数的绝对值相加即可得出出租车行驶的距离，进而可得出结论． 【规范解答】（1） 故出租车离车站出发点，出租车在车站； （2），，，，，，，，. 故离车站最远的距离是； （3）（元）. 故司机一个下午的营业额是122元. 【考点评析】本题考查的是正数和负数，熟知用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量． 28．（17-18七年级上·江苏南通·阶段练习）某检修小组乘汽车检修供电线路．向南记为正，向北记为负．某天自A地出发．所走路程（单位：千米）为：-3，+4，-2，-8，+11，-2，+8，；问： ①最后他们是否回到出发点？若没有，则在A地的什么地方？距离A地多远？； ②若每千米耗油0.06升，则今天共耗油多少升？ 【答案】（1）最后他们没有回到出发点,在A地的南边,距离A地8千米. （2）2.28升 【规范解答】试题分析：①首先求得所走路程的和，再根据有理数加减混合运算的法则计算，若计算结果是正数，则是离开A地向南；若是负数，则是离开A地向北；等于0，则是回到A地； ②求出这一组数据的绝对值的和，再乘每千米耗油量即可． 试题解析：①最后他们没回到出发点． ∵-3+4-2-8+11-2+8=8（千米）； ∴最后他们没回到出发点，在A地的南方，距离A地8千米； （2）0.06×（3+4+2+8+11+2+8）=0.06×38=2.28（升）． 答：今天共耗油2.28升． 点睛：本题主要考查有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键，需要注意第二问中的总路程是所有路程的绝对值的和． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$