1.3 空间向量及其运算的坐标表示（单元教学设计）-【大单元教学】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第一册）

1．3 空间向量及其运算的坐标表示（单元教学设计） 一、【单元目标】 【知识与能力目标】 （1）掌握空间右手直角坐标系的概念，会确定简单几何体（如正方体、长方体）的顶点坐标． （2）掌握空间向量坐标运算的规律． （3）会根据向量的坐标判断两个向量共线或垂直，掌握空间向量的夹角与向量长度的坐标计算公式，掌握空间两点间的距离公式． 【过程与方法目标】 （1）通过与平面向量的坐标运算比较，培养学生观察、分析、类比转化的能力． （2）通过对几何图形的研究，使学生恰当地建立空间直角坐标系，从定性推理到定量计算，提高分析问题和解决问题的能力． 【情感态度价值观目标】 （1）激发学生的求知欲和学习兴趣，通过自主探究与合作交流，体验成功的喜悦． （2）培养学生的类比思想、转化思想、数形结合思想，提高空间想象能力和几何直观能力． 二、【单元知识结构框架】 三、【学情分析】 学生已具备平面向量基础，对坐标运算有一定了解，这为空间向量的学习提供了良好前提．然而，空间向量的三维特性对学生空间想象能力提出了更高要求，部分学生在建立空间直角坐标系、确定向量坐标及运用坐标进行向量运算时可能遇到困难．因此，教学中需注重直观展示，利用多媒体等工具帮助学生理解，并通过类比推理引导学生掌握空间向量运算规律，同时加强练习，以巩固知识并提高应用能力． 四、【教学设计思路/过程】 课时安排：约2课时 教学重点：空间直角坐标系的建立，空间向量及其运算的坐标表示． 教学难点：空间直角坐标系三要素与空间单位正交基的对应关系，选择适当的基底建立空间直角坐标系． 教学方法/过程： 五、【教学问题诊断分析】 环节一、情景引入，温故知新 情景：想象一下，你正在参与一项救援任务．在崎岖的山路上，一块巨大的岩石因山体滑坡而滚落，挡住了救援车辆的去路．为了尽快清理障碍，救援队决定使用绳索和起重机从多个方向同时拉动这块巨石． 问题1：如何描述拉力的方向和大小？ 【破解方法】在这个场景中，每根绳索的拉力都可以看作是一个空间向量，它既有大小（即拉力的强度），又有方向（即绳索的延伸方向）．我们可以使用空间向量来描述这些拉力． 问题2：如何计算合力的坐标？ 【破解方法】假设救援队从三个不同的方向拉动巨石，这三个方向两两垂直，分别对应空间直角坐标系的x轴、y轴和z轴．每个方向的拉力大小已知，那么如何计算这三个拉力的合力在坐标系中的坐标呢？这就涉及到了空间向量的加法运算及其坐标表示． 环节二、抽象概念，内涵辨析 1．空间直角坐标系 问题3：我们是如何建立平面向量的坐标表示的? 【破解方法】教师提问，学生回顾、作答，教师帮助补充完善． 问题4：类比平面直角坐标系与平面向量单位正交基的关系，你能利用空间向量单位正交基底概念构建空间直角坐标系吗? 【破解方法】学生在回顾空间向量单位正交基底概念， 类比平面直角坐标系的 “三要素”与平面向量单位正交基的关系基础上， 尝试建立空间直角坐标系． 【归纳总结】 （1）空间直角坐标系 从空间某一定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系，点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别是平面、yOz平面、zOx平面． （2）右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系． 问题5：在平面直角坐标系中， 每一个点都可以用一对有序实数 （坐标） 表示．空间直角坐标系中的每一个点是否也有类似的表示呢? 【破解方法】学生独立思考后小组讨论， 教师帮助学生总结． 【归纳总结】 （3）空间点的坐标 如图 通过空间单位正交基建立空间直角坐标系为坐标向量．对空间任意一点，对应一个向量，且点的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使． 空间一点A的坐标可以用有序数组（x，y，z）来表示，有序数组（x，y，z）叫做点A的坐标，记作A（x，y，z），其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标． 2．空间向量运算的坐标表示 问题6：想一想，在学习平面向量运算的坐标表示时，我们研究了哪些向量运算，是如何研究的? 【破解方法】过学生思考、讨论，教师引导确认． 【归纳总结】 （1）空间向量运算的坐标表示 若，则 ①； ②； ③； ④ （2）空间向量的模、夹角、距离公式的坐标表示 若，则 ①． ②． ③空间两点的距离公式 若，则 即：一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标． ， 或． 问题7：通过类比， 我们把平面向量运算的坐标表示推广到了空间向量运算的坐标表示， 你能选择其中的运算进行证明吗? 【破解方法】学生结合上节课后问题，自主证明，全班交流呈现． 【归纳总结】 （3）空间向量平行和垂直的条件 若，则 ① ② 环节三：例题练习，巩固理解 题型一：空间向量的坐标表示 【例1】如图，在长方体中，，，，以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系． （1）写出，C，，四点的坐标； （2）写出向量，，，的坐标． 【解析】（1）点在z轴上，且， 所以点的坐标是． 同理，点C的坐标是． 点在x轴、y轴、z轴上的射影分别为A，O，， 它们在坐标轴上的坐标分别为3，0，2，所以点的坐标是． 点在x轴、y轴、z轴上的射影分别为A，C，， 它们在坐标轴上的坐标分别为3，4，2，所以点的坐标是． （2）； ； ； ． 【变式1-1】在长方体中．，，，与相交于点P，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz． （1）写出点C，，P的坐标； （2）写出向量，的坐标． 【解析】（1）因为，，， 所以 （2）因为， ， 题型二：空间向量的直角坐标运算 【例2】已知，，．求： （1）；         （2）． 【解析】（1）因为，， 所以， 因为， 所以， （2）因为，，， 所以 【变式2-1】已知，，求： （1）；     （2）；     （3）；     （4）， 【解析】因为， （1）所以， （2） （3） （4） 题型三：空间向量的共线与共面 【例3】已知向量，，，若共面，则 ． 【答案】2 【解析】由题意设，所以，解得． 故答案为：2． 【变式3-1】已知向量，，若与共线，则 ． 【答案】 【解析】向量，，若与共线， 则有，解得． 故答案为： 【变式3-2】已知空间三点，，共线，则 ． 【答案】 【解析】由已知得：． 因为三点共线，所以． 所以，解得：． 所以． 故答案为：． 题型四：空间向量模长坐标表示 【例4】已知，，求，，线段AB的中点坐标及线段AB的长． 【解析】因为，， 所以， 线段AB的中点坐标为， 线段AB的长为 【变式4-1】已知点B是点在坐标平面Oxy内的射影，求． 【解析】因为点在坐标平面Oxy内的射影是 ， 所以 ． 【变式4-2】如图，正方体的棱长为a、点N，M分别在AC，上，，，求MN的长． 【解析】因为正方体的棱长为a、点N，M分别在AC，上，，， 所以， 所以． 题型五：空间向量平行坐标表示 【例5】已知向量，，若，则 ． 【答案】/ 【解析】，，，． 故答案为：． 【变式5-1】设空间向量，，若，则 ． 【答案】9 【解析】因为空间向量，，且， 所以设，即 可得，解得，， 所以，，则， 所以． 故答案为：． 故答案为： 【变式5-2】已知，空间向量．若，则 ． 【答案】1 【解析】因为，所以，即，得． 故答案为：． 题型六：空间向量垂直坐标表示 【例6】已知，，且，求x的值． 【解析】因为，所以， 所以， 所以． 【变式6-1】如图，在正方体中，，分别是，的中点，求证：． 【解析】设，，，易知，，，两两相互垂直， 则，， 所以， 又因为，即， 所以，所以，即． 题型七：空间向量夹角坐标表示 【例7】如图，在棱长为的正方体中，为的中点，，分别在棱，上，，．    （1）求线段的长． （2）求与所成角的余弦值． 【解析】（1）以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 所以，即线段的长为． （2），，，， 所以，， ，． 所以， 所以． 所以，与所成角的余弦值为． 【变式7-1】如图，在正方体中，M是AB的中点，求与CM所成角的余弦值． 【答案】 【解析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图， 设正方体的棱长为，则，，，， ，， 设直线与直线所成角为，则， 所以直线与直线所成角的余弦值为． 【变式7-2】如图，在正方体中，M，N分别为棱和的中点，求CM和所成角的余弦值． 【解析】 以D为原点，为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，不妨设正方体边长为2，则 所以， 设CM和所成角为，则， 所以CM和所成角的余弦值为． 环节四：小结提升，形成结构 问题8：请你带着下列问题回顾本节课学习的内容： （1）我们是如何利用空间单位正交基底构建空间直角坐标系的? （2）回顾研究过程，我们是如何得出空间向量各种运算的坐标表示的? 【破解方法】学生独立思考，交流呈现，相互补充，师生共同归纳概括． 六、【教学成果自我检测】 环节五：目标检测，检验效果 1．（多选题）已知空间向量，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】因为向量，可得， 对于A中，由，设，即， 可得，此时方程组无解，所以与不平行，所以A错误； 对于B中，由， 所以，所以B正确； 对于C中，由，所以C正确； 对于D中，由，所以D正确． 故选：BCD． 2．已知空间向量，则 ． 【答案】 【解析】因为，，所以． 故答案为： 3．在空间直角坐标系中，，，则 ． 【答案】 【解析】因为，则， 所以． 故答案为： 4．求证：以A（4，1，9），B（10，–1，6），C（2，4，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形． 【解析】A（4，1，9），B（10，–1，6），C（2，4，3）， AB==7， AC==7， BC==7， ∴AB2+AC2=BC2，AB=AC， ∴△ABC为等腰直角三角形． 5．求出A，B两点的距离： （1），； （2），． 【解析】（1） （2） 6．如图，正方体的棱长为a，E，F，G，H，I，J分别是棱，，，AB，BC，的中点，写出正六边形EFGHIJ各顶点的坐标． 【解析】因为正方体的棱长为a，E，F，G，H，I，J分别是棱，，，AB，BC，的中点 所以，，，，， 7．在z轴上求一点M，使点M到点与点的距离相等． 【解析】设点， 因为M到点与点的距离相等， 所以，解得， 所以点M的坐标为 【设计意图】落实与理解教材要求的基本教学内容． 环节六：布置作业，应用迁移 作业：教科书第22页习题1．3第1、3、4、5、6题． 【设计意图】复习巩固空间直角坐标系中点和向量的坐标表示，巩固空间向量线性运算及数量积运算的坐标表示． 七、【教学反思】 在本次教学中，我注重引导学生理解空间向量的坐标表示方法，以及掌握空间向量加、减、数乘等运算的坐标表示。通过实例演示和课堂练习，我发现大部分学生能够较好地掌握这些知识点，但在运算过程中仍存在一些细节问题，如坐标运算的符号处理、坐标顺序等。 为了改进教学，我认为需要在以下几个方面进行加强：一是进一步强调坐标运算的准确性和规范性，提醒学生注意运算过程中的细节问题；二是增加一些变式的练习题，帮助学生巩固知识点并提高运算能力；三是鼓励学生多进行自主探索和合作学习，以培养他们的空间想象能力和解决问题的能力。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$