第10讲 用频率估计概率（2大考点3大题型）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（北师大版）

第10讲 用频率估计概率 课程标准 学习目标 ①知道经历大量重复试验，随机事件发生的频率具有稳定性，能用频率估计概率； ②体会数据的随机性以及概率与统计的 关系； ③能综合运用统计与概率的思维方法解决简单的实际问题． 1、学会用试验的方法估计复杂的随机事件发生的概率； 2、体会一些复杂的随机事件发生的概率． 知识点一：利用频率估计概率 在同样条件下，做大量的重复试验，利用一个随机事件发生的频率逐渐稳定到某个常数，可以估计这个事件发生的概率。 知识点二：模拟实验 在统计学中，常用较为简单的试验方法代替实际操作中复杂的试验来完成概率估计，这样的试验称为模拟实验。 题型01 求某事件的频率 1．近日，甘肃天水这座历史悠久的文化古城，因一碗麻辣烫而迅速走红网络，成为旅游新热点．自天水火爆“出圈”以来，各级团组织迅速行动起来，全面承担起志愿服务工作，同时带领一大批青年志愿者积极响应团组织号召投入志愿服务工作．根据实际需要，志愿者被陆续分配到四合院美味城网红麻辣烫店、机场、火车站等区域开展志愿服务工作．某段时间内经过抽样调查，发现志愿者服务的区域主要有A，B，C，D，E五个．抽样调查的统计结果如下表， 则下列说法不正确的是（    ） 区域 A B C D E 人数 A．去区域服务的人数最少 B．去区域服务的人数的频率是 C．若有名志愿者参与服务，则约有人被分配到C区域服务 D．这次抽样调查的样本容量是 2．已知数据：，，，，，其中无理数出现的频率是 ． 3．暑假将至，东营区教育局向全区师生发出倡议“不去河沟游玩，防落水，不去河沟游泳，防溺水”．在这句宣传语中，“水”字出现的频率为 ． 4．对某篮球运动员进行3分球投篮测试结果如表所示： 投篮次数 10 50 100 150 200 命中次数 4 25 65 90 120 命中率 (1)计算表中投篮50次、100次、150次、200次相应的命中率； (2)这个运动员3分球投篮命中的概率约是多少？ (3)估计这个运动员3分球投篮30次能得多少分． 5．一只不透明的袋子中装有若干个白球和其他颜色的球，这些球除颜色外都相同．每次从袋子中摸出一个球，然后放回摇匀再摸，在摸球实验中得到下列表中的部分数据： 摸球次数 40 80 400 600 800 1000 1200 1500 摸出白球的频数 14 26 128 198 267 399 500 摸出白球的频率 (1)请将表补充完整； (2)画出“摸出白球”的频率折线统计图，得摸出白球的概率估计值是 ；（精确到到0.01） (3)若袋中共有200个球，则袋中可能有 个白球． 摸球次数 40 80 400 600 800 1000 1200 1500 摸出白球的频数 14 26 128 198 267 332 399 500 摸出白球的频率 6．如图，地面上有一个不规则的封闭图形，为求得它的面积，小明设计了如下方法： ①在此封闭图形内画出一个半径为2米的圆． ②在此封闭图形旁边闭上眼睛向封闭图形内掷小石子（可把小石子近似的看成点），记录如表： 掷小石子落在不规则图形内的总次数 300 150 300 500 … 小石子落在圆内（含圆上）的次数m 20 61 123 206 … 小石子落在圆外的阴影部分（含外缘）的次数n 30 89 177 294 … 0.667 0.685 0.695 0.701 (1)通过以上信息，可以发现当投掷的次数很大时，的值越来越接近 ___________（结果精确到0.1）； (2)若以小石子所落的有效区域为总数（即），则随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在 ___________附近（结果精确到0.1）； (3)请你利用（2）中所得频率的值，估计整个封闭图形的面积是多少平方米？（结果保留） 题型02 由频率估计概率 7．为迎接六一儿童节到来，某商场规定凡是购物满元以上都可以获得一次转动转盘的机会．如图①所示，当转盘停止时，指针指向哪个区域顾客就获得对应的奖品．转动转盘若干次，其中指针落入优胜奖区域的频率如图②所示，则转盘中优胜奖区域的圆心角的度数近似为（    ） A． B． C． D． 8．在一次大量重复试验中，统计了某一结果出现的频率．绘制出的统计图如图所示，符合这一试验结果的可能是（    ） A．掷一枚质地均匀的骰子，出现2点朝上 B．从一个装有大小相同的2个蓝球和1个白球的不透明袋子中随机取一球，取到白球 C．抛一枚1元钱的硬币，出现反面朝上 D．从标有数字1到10的十张大小相同的纸牌中随机抽取一张，是奇数 9．如表是小明做“抛掷图钉试验”获得的数据，则可估计“钉尖不着地”的概率为 ． 抛掷次数 100 300 500 800 1000 针尖不着地的频数 64 180 310 488 610 针尖不着地的频率 10．在一个不透明的暗箱中装有红、黄、蓝三种除颜色外完全相同的小球，其中红球5个，黄球7个，蓝球a个，随机摸出一个小球记下颜色后，放回盒子里，摸到红球的频率稳定在左右，则a的值约为 ． 11．某数学兴趣小组做“用频率估计概率”的试验时，记录了试验过程并把结果绘制成如下表格，则符合表格数据的试验可能是 ．①掷一枚质地均匀的硬币，出现反面朝上；②掷一枚质地均匀的骰子，掷得朝上的点数是3的整数倍；③在“石头、剪刀、布”游戏中，小明出的是“石头”；④将一副去掉大、小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张扑克牌的花色是红桃． 试验总次数 100 200 300 500 800 1000 2000 3000 … 频率 … 12．某研发机构新培育了一种玉米种子，在相同条件下该种玉米种子发芽的试验结果如图所示． 根据试验结果回答下列问题． (1)估计这种玉米种子发芽的概率是______（精确到0.1）． (2)如果该种玉米种子发芽后的成秧率为，那么在相同条件下种10000粒该种玉米种子大约可得到多少棵玉米秧苗？ 题型03 用频率估计概率的综合应用 13．不透明的盒子中装有红、黄色的小球共20个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球，记录颜色后放回并摇匀，再随机摸出一个．下图显示了某数学小组开展上述摸球活动的某次实验的结果． 下面有四个推断： ①当摸球次数是300时，记录“摸到红球”的次数是99，所以“摸到红球”的概率是0.33； ②随着试验次数的增加，“摸到红球”的频率总在0.35附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“摸到红球”的概率是0.35； ③可以根据本次实验结果，计算出盒子中约有红球7个； ④若再次开展上述摸球活动，则当摸球次数为500时，“摸到红球”的频率一定是0.40． 所有合理推断的序号是（    ） A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④ 14．二维码在日常生活中被广泛应用，某数学兴趣小组对其开展数学实验活动．如图，在边长为的正方形区域内利用计算机软件进行随机掷点模拟实验．经过大量重复实验，发现点落在黑色部分的频率稳定在0.7左右，据此可以估计这个正方形区域内黑色部分的面积为 ． 本题主要考查利用频率估计概率，可以用频率的集中趋势来估计概率．用正方形的面积乘以点落在区域内黑色部分的频率稳定值即可． 解：根据题意，估计这个区域内黑色部分的总面积约为， 15．某商场进行抽奖活动，抽奖箱中只有“中奖”和“谢谢恵顾”两种卡片（两种卡片形状大小相同、质地均匀），下表是活动进行中的一组数据： 抽奖总次数次 100 150 200 800 1000 抽到“中奖”卡片的次数次 33 48 240 299 中奖的频率 0.33 0.32 0.315 0.30 (1)填空：_________，________． (2)根据“频率的稳定性”估计抽奖一次就抽到“中奖”的概率．（精确到0.1） 16．经过五华奥园十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转．交管部门在汽车行驶高峰时段对车流量作了统计，发现汽车在此十字路口向右转的频率为，向左转和直行的频率均为． (1)假设平均每天通过该路口的汽车为1000辆，求汽车在此左转、右转、直行的车辆各是多少辆； (2)目前在此路口，汽车左转、右转、直行的绿灯亮的时间均为30秒，在绿灯总时间不变的条件下，为了缓解交通拥挤，请你利用概率的知识对此路口三个方向的绿灯亮的时间做出合理的调整． 17．在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共60个，它们除颜色不同外，其余都相同，王颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中搅匀，经过大量重复上述摸球的过程，发现摸到白球的频率稳定于， (1)请估计摸到白球的概率将会接近___________； (2)计算盒子里白球有多少个？ (3)如果要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？ 本题主要考查了概率，熟练掌握用频率估计概率，概率的定义及计算公式，用概率还原事件，是解决问题的关键， （1）用频率稳定于，估计概率就是； （2）用60乘，计算即得； （3）设需要往盒子里再放入x个白球；根据摸到白球的概率为建立方程，解方程检验，即得， ∵大量重复摸球实验，摸到白球的频率稳定于， ∴摸到白球的概率接近； 故答案为：； （个）， 答：盒子里白球有15个； 设需要往盒子里再放入x个白球； 根据题意得：， 解得：， 经检验得：为所列方程的解，且符合题意， ∴， 答：需要往盒子里再放入15个白球． 18．某购物商场为促进顾客消费，特设一可自由转动的转盘．顾客凡购物满200元，即有机会转动转盘一次．转盘分为多个区域，每个区域对应不同的优惠券．下表是活动进行中的一组统计数据（结果精确到0.001）： 转动转盘的次数n 50 100 150 200 500 800 1000 2000 落在“减免20元券”区域的次数m 19 39 55 81 b 318 403 800 落在“减免20元券”区域的频率为 a 0.390 0.367 0.405 0.39 0.398 0.403 0.400 请根据表格完成以下问题： (1)______； (2)上表中，当转动转盘的次数为500时，落在“减免20元券”区域的频率被墨迹遮挡了部分数字，请估计b的值是______（填写一个值）； (3)落在“减免20元券”区域的频率的变化有什么规律？ (4)请估计落在“减免20元券”区域的概率是______． 19．在一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共个，这些球除颜色外都相同，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到黑球的次数 摸到黑球的频率 (1)表中 ； (2)请估计：当很大时，摸到黑球的频率将会接近 （精确到）； (3)估计袋子中有白球 个； (4)若学习小组通过试验结果，想使得这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为，则可在袋子中增加相同的白球 个． 20．某区七年级有名学生参加“安全伴我行知识竞赛”活动．为了了解本次知识竞赛的成绩分布情况，从中抽取了名学生的得分得分取正整数，满分为分进行统计． 请你根据不完整的频率分布表，解答下列问题： (1)补全频数分布直方图； (2)若将得分转化为等级，规定得分低于分评为“”， 分评为“”， 分评为“”， 分评为“”．这次全区七年级参加竞赛的学生约有多少学生参赛成绩被评为“”如果随机抽查一名参赛学生的成绩等级，则这名学生的成绩被评为“”、“”、“”、“”哪一个等级的可能性大？请说明理由． ． 21．阅读下列材料，回答问题： 任务1：估计不规则封闭图形的面积 如图，地面上有一个不规则的封闭图形，为求得它的面积，小明在此封闭图形内画出一个边长为0.5米的正方形后，在附近闭上眼睛向封闭图形内丢掷绿豆（可把绿豆近似看成点），并记录如下数据（有效丢掷绿豆落在该封闭图形内，含边界）： 有效丢掷绿豆总次数 50 150 300 600 … 绿豆落在正方形内 （含正方形的边）的次数 10 35 78 149 … 0.200 0.233 0.257 0.248 … （1）当有效丢掷绿豆总次数时，绿豆落在正方形内（含正方形边上）的次数n最可能是________； A．105        B．249        C．518        D．815 （2）请根据表格中的数据估计，如果你随机丢掷一颗绿豆（落在该封闭图形内，含边界），那么该绿豆恰好落在正方形内（含正方形的边）的概率约为___________（精确到0.01）； （3）请你利用（2）中所得概率，估计该不规则封闭图形的面积； 任务2：估计圆周率的大小 关于圆周率，数学发展史上出现过许多有创意的求法，请借鉴任务1的探究思路，设计一个估算圆周率的实验，写出相应的步骤，以及需要记录的数量（具体数值）或数据（用字母，…，表示），画出示意图，并写出的计算公式． 有效丢掷绿豆总次数 … 绿豆落在圆内 （含圆的边）的次数 … … 22．某实验小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（    ） A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小刚随机出的是“石头” B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽取一张牌的花色是方块 C．布袋中有个红球和个黄球，它们只是颜色上有区别，从中任取一球是黄球 D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的点数是 23．如图1所示，平整的地面上有一个不规则的图案（图中阴影部分），小雅想了解该图案的面积是多少，她采取了以下的办法：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地向长方形区域扔小球，并记录小球在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），她将若干次有效试验的结果绘制成了如图2所示的折线统计图，由此她估计此不规则图案的面积大约为（    ） A． B． C． D． 本题考查了几何概率和用频率估计概率． 根据图②可得，小球落在不规则图案内的概率约为，设不规则图案的面积为，根据几何概率可得：不规则图案的面积长方形的面积小球落在不规则图案内的概率，列出方程即可求解． 24．地理实践课上，活动小组的同学在一张面积为的长方形卡片上绘制了如图1所示的山西省地形图，他们想了解该地形图的面积，经研究采取了以下办法：将长方形卡片水平放置在地面上，在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录落在该地形图上的次数（球扔在地形图最外围的界线上或长方形区域外不计入试验结果）．他们将若干次有效试验结果绘制成了如图2所示的折线统计图，由此估计该地形图的面积大约为 ． 25．一个不透明的箱子里装有蓝、白两种颜色的球共个，它们除颜色外其他都相同．李明将球搅匀后从箱子中随机摸出个球，记下颜色后，再将它放回，不断重复实验．多次实验结果如表 摸球次数 白球频率 (1)当摸球次数足够多时，摸到白球的频率将会稳定于　　　（精确到）左右，从箱子中摸一次估计摸到蓝球的概率是　　　． (2)从该箱子里随机摸出个球，不放回，再摸出个球．用列表法或树状图求摸到个蓝球、个白球率． 26．在一个不透明的盒子里装有只有色不同的黑、白两种球共20个，小颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是“摸到白色球”的频率折线统计图．    (1)请估计：当摸球次数很大时，摸到白球的频率将会接近______； (2)试估算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个？ (3)在（2）条件下，如果要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？ 27．如图是一个可以自由转动的转盘，它被分成了6个面积相等的扇形区域．数学小组的学生做转盘试验：转动转盘，当转盘停止转动时，记录下指针所指区域的颜色，不断重复这个过程，获得数据如下： 转动转盘的次数 200 300 400 1000 1600 2000 转到黄色区域的频数 72 93 130 334 532 667 转到黄色区域的频率                     (1)下列说法错误的是______（填写序号）． ①转动转盘8次，指针都指向绿色区域，所以第9次转动时指针一定指向绿色区域； ②转动15次，指针指向绿色区域的次数不一定大于指向黄色区域的次数； ③转动60次，指针指向蓝色区域的次数一定为10． (2)求表中，的值，并估计随机转动转盘“指针指向黄色区域”的概率（精确到0.1）； (3)修改转盘的颜色分布情况，使指针指向每种颜色的可能性相同，写出一种方案即可． 28．在一个不透明的盒子里装有红、黑两种颜色的球共只，这些球除颜色外其余完全相同．为了估计红球和黑球的个数，七（1）班的数学学习小组做了摸球试验．他们将球搅匀后，从盒子里随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒子中，多次重复上述过程，得到表中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到红球的次数 摸到红球的频率 (1)补全表格中的数据：______，______． (2)请估计：当次数足够大时，摸到红球频率将会接近______．（精确到） (3)小明、小亮做游戏，游戏规则是：从盒子中任意摸出一个球，摸到红球小明胜，摸到黑球小亮胜．你认为这个游戏公平吗？若公平，说明理由：若不公平，怎样调整，使得游戏公平． 29．某工厂接到制作2000件物理实验模型的加工订单，为了尽快完成任务，工厂对原加工计划进行了调整，经测算，如果平均每天比原计划多加工20件，那么能提早5天完成任务． (1)求工厂原计划每天加工物理实验模型的件数； (2)在生产模型的过程中，检验员会在一段时间内先后对多个批次的模型合格情况进行抽查，目的是估计产品的报废率，及时调整生产数量与进度，满足客户需求． 下表是检验员对该物理实验模型产品抽查过程中的数据统计： 抽取模型数累计m（件） 50 100 150 200 250 300 400 报废模型数累计n（件） 0 3 4 5 5 6 8 模型报废的频率（精确到0.001） 0 0.03 0.027 0.025 0.02 0.02 0.02 请估计这批物理实验模型成品的报废率约为_______（精确到）；结合你的估计帮助工厂计算，至少还需生产_______件产品才能完成订单的需求． 30．在一个不透明的口袋里装有n个相同的红球，为了用估计绕中红球的数量，八（1）学生在数学实验分组做摸球试验：将10个与红球大小形状完全相同的白球装入袋中，搅匀后从中随机摸出一个并记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是统计汇总各小组数据后获得的全班数据统计表： 摸球的次数s 150 300 600 900 1260 1500 摸到白球的频数n 60 126 247 369 484 609 摸到白球的频率 0.400 0.42 0.412 a 0.403 0.406 (1)按表格数据格式，表中的______； (2)请估计：当次数s很大时，摸到白球的频率将会接近______（精确到0.1）； (3)请推算：摸到红球的概率是______（精确到0.1）； (4)根据（3）中结果，试估算：这个不透明的口袋中红球的数量n的值． 31．中华民族有种折纸玩具“东南西北”，每每想起都会带给我们美好的童年回忆．此玩具的制作方法：通过折叠把一个正方形的纸片分成八个面积相等的部分，在每个部分分别写上相应的惩罚或奖励，叠合成“东南西北”，通过转动随机挑选出八个区域中的一个作为游戏的结果．如图1是小浩制作的一个“东南西北”玩具，展开后如图2所示： (1)随机挑选出的一面写有“文具”是_______；（填写选项） A．必然事件    B．随机事件    C．不可能事件 (2)转动一次获得奖励“图书”的概率为______ (3)小浩重新设计了一个“东南西北”玩具，在八个面上分别写上“钢笔”“笔记本”“圆规”三种奖品，经过多次实验后得到数据如下： 试验次数 8 24 40 80 160 获得“钢笔”的次数 2 10 16 28 60 根据表格估算，八面中写有奖品“钢笔”的面数为______． 32．数学兴趣小组为探究事件 A 发生的概率，进行试验并将数据汇总填入下表 试验总次数 n 100 200 300 400 500 600 事件A出现的次数m 24 48 b 104 125 150 事件A发生的频率 a 0.24 0.25 0.26 0.25 0.25 (1)上表中 ， ； (2)根据上表，完成图2的折线统计图； (3)请你举出一个事件，使它发生的概率符合事件A发生的概率． 33．某网络约车公司近期推出了“520专享”服务计划，即要求公司员工做到“5星级服务、2分钟响应、0客户投诉”，为进一步提升服务品质，公司监管部门决定了解“单次营运里程”的分布情况，老王收集了本公司的5000个“单次营运里程”数据，这些里程数据均不超过25（公里），他从中随机抽取了200个数据作为一个样本，整理、统计结果如下表． 组别 “单次营运里程x”（公里） 频数 第一组 72 第二组 a 第三组 26 第四组 24 第五组 30 根据统计表提供的信息，解答下面的问题： (1)①表中______：②样本中“单次营运单程”不超过15公里的频率为______； (2)请估计该公司这5000个“单次营运里程”超过20公里的次数； (3)为缓解城市交通压力，维护交通秩序，来自某市区的4名网约车司机（2男2女）成立交通秩序，请用列举法（画树状图或列表）求出至少有1名男司机的概率． 34．在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共20个，这些球除颜色外其余完全相同．为了估计黑球和白球的个数，我们将球搅匀后，从盒子里随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒子中，多次重复上述过程，得到下表中的一组统计数据： 摸球的次数n 50 100 300 500 800 1000 2000 摸到白球的次数m 14 33 95 155 241 298 602 摸到白球的频率                                    (1)请你估计，当n很大时，摸到白球的频率将会接近 （精确到）； (2)若先从袋子中取出个黑球，再从袋子中随机摸出1个球，若“摸出白球”为必然事件，则 ； (3)若先从袋子中取出x个白球，再放入x个一样的黑球并摇匀，随机摸出1个白球的概率为，求x的值． 35．某校开展生物项目式实践研究活动，老师带领同学们通过动手实验和查阅资料相结合的方式认识植物，下表记录了某种植物种子在相同条件下发芽率试验的结果． 种子个数 100 400 900 1500 2500 4000 6000 10000 发芽种子个数 92 352 818 1336 2255 3604 5406 9011 发芽种子频率（结果保留小数点后三位） 0.920 0.880 0.909 0.891 0.902 0.901 0.901 0.901 实践活动结束，该校组织七、八年级学生开展了一次学习成果竞赛，成绩分别为A、B、C、D四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分、9分、8分、7分．学校分别从七、八年级各抽取25名学生的竞赛成绩整理并绘制成如下统计图表． 年级 平均分 中位数 众数 方差 七年级 8.76 a 9 1.06 八年级 8.76 8 b 1.38 七年级竞赛成绩统计图    八年级竞赛成绩统计图 (1)__________，__________． (2)请用数据分析哪个年级学生的成绩比较稳定？ (3)本次竞赛规定9分及以上的成绩为优秀，请估计八年级700名学生中成绩为优秀的学生人数有多少？ (4)根据表中的数据，可估计该植物种子发芽的概率为__________．（结果保留小数点后三位） 36．在一个不透明的箱子里装有若干张无奖卡，现将张有奖卡放入箱子（所有卡片形状、大小、材质均相同）．搅匀后从中随机摸出一张卡，记下是否有奖，再将它放回箱子中，不断重复此过程，获得如下频数表： 摸卡的次数 摸到有奖卡的次数 摸到有奖卡的频率 (1)若从箱子里随机摸一张卡，估计有奖的概率为______（精确到）； (2)请估算出箱子里无奖卡的数量； (3)两位同学各抽得一张有奖卡，两人均获得一张文艺演出的入场券，如图所示，他们各要在编号为的三个座位上选一个坐下，请求出坐到相邻座位的概率．（画树状图或列表分析问题） 试卷第2页，共36页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 用频率估计概率 课程标准 学习目标 ①知道经历大量重复试验，随机事件发生的频率具有稳定性，能用频率估计概率； ②体会数据的随机性以及概率与统计的 关系； ③能综合运用统计与概率的思维方法解决简单的实际问题． 1、学会用试验的方法估计复杂的随机事件发生的概率； 2、体会一些复杂的随机事件发生的概率． 知识点一：利用频率估计概率 在同样条件下，做大量的重复试验，利用一个随机事件发生的频率逐渐稳定到某个常数，可以估计这个事件发生的概率。 知识点二：模拟实验 在统计学中，常用较为简单的试验方法代替实际操作中复杂的试验来完成概率估计，这样的试验称为模拟实验。 题型01 求某事件的频率 1．近日，甘肃天水这座历史悠久的文化古城，因一碗麻辣烫而迅速走红网络，成为旅游新热点．自天水火爆“出圈”以来，各级团组织迅速行动起来，全面承担起志愿服务工作，同时带领一大批青年志愿者积极响应团组织号召投入志愿服务工作．根据实际需要，志愿者被陆续分配到四合院美味城网红麻辣烫店、机场、火车站等区域开展志愿服务工作．某段时间内经过抽样调查，发现志愿者服务的区域主要有A，B，C，D，E五个．抽样调查的统计结果如下表， 则下列说法不正确的是（    ） 区域 A B C D E 人数 A．去区域服务的人数最少 B．去区域服务的人数的频率是 C．若有名志愿者参与服务，则约有人被分配到C区域服务 D．这次抽样调查的样本容量是 【答案】C 【分析】本题考查了样本容量，频率，用样本估计总体．熟练掌握样本容量，频率，用样本估计总体是解题的关键． 由表格可知，去区域服务的人数最少，可判断A的正误；样本容量为，可判断D的正误；去区域服务的人数的频率是，可判断B的正误；若有名志愿者参与服务，则约有人被分配到C区域服务，可判断C的正误． 【详解】解：由表格可知，去区域服务的人数最少，正确，故A不符合要求； 样本容量为，正确，故D不符合要求； 去区域服务的人数的频率是，正确，故B不符合要求； 若有名志愿者参与服务，则约有人被分配到C区域服务，错误，故C符合要求； 故选：C． 2．已知数据：，，，，，其中无理数出现的频率是 ． 【答案】0.4 【分析】此题考查了频率的求法以及无理数的定义，正确把握无理数的定义是解题关键．直接利用无理数的定义结合频率的求法得出答案． 【详解】解：∵数据：，，，，，其中无理数有：，π， ∴无理数出现的频率是：． 故答案为0.4． 3．暑假将至，东营区教育局向全区师生发出倡议“不去河沟游玩，防落水，不去河沟游泳，防溺水”．在这句宣传语中，“水”字出现的频率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了频率的计算，用“水”字出现的次数除以总的字的个数即可求解，掌握频率的计算方法是解题的关键． 【详解】解：“不去河沟游玩，防落水，不去河沟游泳，防溺水”，共有个字，其中“水”字出现的次数为次， ∴“水”字出现的频率为， 故答案为：． 4．对某篮球运动员进行3分球投篮测试结果如表所示： 投篮次数 10 50 100 150 200 命中次数 4 25 65 90 120 命中率 (1)计算表中投篮50次、100次、150次、200次相应的命中率； (2)这个运动员3分球投篮命中的概率约是多少？ (3)估计这个运动员3分球投篮30次能得多少分． 【答案】(1)；；； (2) (3)54分 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率；用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，得到的值越来越精确，还考查了频率的计算公式． （1）用对应的m除以n即可求解； （2）根据（1）的计算结论可估计这个运动员投篮3分球命中率约为； （3）根据（2） 的估计得到投篮30次命中次，然后用18乘以3即可． 【详解】（1）解：投篮50次、100次、150次、200次相应的命中率分别为： ；；；； （2）解：由表格数据知，当投篮次数逐渐增加时，命中率稳定在附近，所以估计这个运动员3分球投篮． （3）解：由（2）的结论可知这个运动员投篮30次，命中的次数约为（次），约能得到（分）． 5．一只不透明的袋子中装有若干个白球和其他颜色的球，这些球除颜色外都相同．每次从袋子中摸出一个球，然后放回摇匀再摸，在摸球实验中得到下列表中的部分数据： 摸球次数 40 80 400 600 800 1000 1200 1500 摸出白球的频数 14 26 128 198 267 399 500 摸出白球的频率 (1)请将表补充完整； (2)画出“摸出白球”的频率折线统计图，得摸出白球的概率估计值是 ；（精确到到0.01） (3)若袋中共有200个球，则袋中可能有 个白球． 【答案】(1)见解析 (2)见解析， (3)66 【分析】本题考查了画折线统计图，频率估计概率，频数、频率与实验总次数的关系，掌握这些知识是关键． （1）由频数、频率与摸球次数的关系可求得摸球40次，摸出白球14的概率；也可求得摸球1000次且频率为时摸出白球的频数，因而可补充完整表格； （2）按折线统计图的画法画图即可；根据统计图即可估计出概率； （3）根据（2）中概率的近似值，即可计算出袋中白球可能的个数． 【详解】（1）解：，； 补充完整表格如下： 摸球次数 40 80 400 600 800 1000 1200 1500 摸出白球的频数 14 26 128 198 267 332 399 500 摸出白球的频率 （2）解：折线统计图如下： 由图知，摸出白球的概率估计值是； 故答案为：． （3）解：由（2）知，摸出白球的概率估计值是， 则袋中200个球，白球可能为：（个） 故答案为：66． 6．如图，地面上有一个不规则的封闭图形，为求得它的面积，小明设计了如下方法： ①在此封闭图形内画出一个半径为2米的圆． ②在此封闭图形旁边闭上眼睛向封闭图形内掷小石子（可把小石子近似的看成点），记录如表： 掷小石子落在不规则图形内的总次数 300 150 300 500 … 小石子落在圆内（含圆上）的次数m 20 61 123 206 … 小石子落在圆外的阴影部分（含外缘）的次数n 30 89 177 294 … 0.667 0.685 0.695 0.701 (1)通过以上信息，可以发现当投掷的次数很大时，的值越来越接近 ___________（结果精确到0.1）； (2)若以小石子所落的有效区域为总数（即），则随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在 ___________附近（结果精确到0.1）； (3)请你利用（2）中所得频率的值，估计整个封闭图形的面积是多少平方米？（结果保留） 【答案】(1)0.7 (2)0.4 (3) 【分析】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）根据表格中的值即可求解； （2）根据表格中的数据计算的值，进而求解即可； （3）利用概率，求出圆的面积比上总面积的值，计算出整个封闭图形面积． 【详解】（1）根据表格可得， 当投掷的次数很大时，则的值越来越接近0.7； 故答案为：0.7； （2）解：观察表格得： ，，， ∴随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在0.4， 故答案为：0.4； （3）解：设封闭图形的面积为a， 根据题意得：， 解得：， 答：封闭图形的面积为平方米． 题型02 由频率估计概率 7．为迎接六一儿童节到来，某商场规定凡是购物满元以上都可以获得一次转动转盘的机会．如图①所示，当转盘停止时，指针指向哪个区域顾客就获得对应的奖品．转动转盘若干次，其中指针落入优胜奖区域的频率如图②所示，则转盘中优胜奖区域的圆心角的度数近似为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了利用频率估计概率，根据图表信息获取其频率信息估计概率，从而根据占比计算其圆心角度数即可． 【详解】解：如图②，随着次数的增加，频率趋向于， 以频率估计概率，即， 优胜奖区域的圆心角， 故选：B． 8．在一次大量重复试验中，统计了某一结果出现的频率．绘制出的统计图如图所示，符合这一试验结果的可能是（    ） A．掷一枚质地均匀的骰子，出现2点朝上 B．从一个装有大小相同的2个蓝球和1个白球的不透明袋子中随机取一球，取到白球 C．抛一枚1元钱的硬币，出现反面朝上 D．从标有数字1到10的十张大小相同的纸牌中随机抽取一张，是奇数 【答案】B 【分析】本题考查利用频率估计概率，利用概率公式求出各选项的概率，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，某一结果的概率约为， 掷一枚质地均匀的骰子，出现2点朝上的概率为，故选项A不符合题意； 从一个装有大小相同的2个蓝球和1个白球的不透明袋子中随机取一球，取到白球的概率为；故选项B符合题意； 抛一枚1元钱的硬币，出现反面朝上的概率为，故选项B不符合题意； 从标有数字1到10的十张大小相同的纸牌中随机抽取一张，是奇数的概率为，故选项D不符合题意； 故选B． 9．如表是小明做“抛掷图钉试验”获得的数据，则可估计“钉尖不着地”的概率为 ． 抛掷次数 100 300 500 800 1000 针尖不着地的频数 64 180 310 488 610 针尖不着地的频率 【答案】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率． 大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【详解】解：观察表格发现：随着实验次数的增多，钉尖不着地的频率逐渐稳定到附近， 所以可估计“钉尖不着地”的概率为， 故答案为：． 10．在一个不透明的暗箱中装有红、黄、蓝三种除颜色外完全相同的小球，其中红球5个，黄球7个，蓝球a个，随机摸出一个小球记下颜色后，放回盒子里，摸到红球的频率稳定在左右，则a的值约为 ． 【答案】8 【分析】此题是利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解． 【详解】解：由题意可得： 解得，， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 则a的值约为8． 故答案为8． 11．某数学兴趣小组做“用频率估计概率”的试验时，记录了试验过程并把结果绘制成如下表格，则符合表格数据的试验可能是 ．①掷一枚质地均匀的硬币，出现反面朝上；②掷一枚质地均匀的骰子，掷得朝上的点数是3的整数倍；③在“石头、剪刀、布”游戏中，小明出的是“石头”；④将一副去掉大、小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张扑克牌的花色是红桃． 试验总次数 100 200 300 500 800 1000 2000 3000 … 频率 … 【答案】②③/③② 【分析】本题考查了概率的知识，熟练应用根据频率估计概率是解题的关键．根据图中信息得出，实验结果在附近波动，即其概率，判断各项中的概率即可． 【详解】解：根据图中信息得出，实验结果在附近波动，利用频率估计概率得到实验的概率为， ①掷一枚质地均匀的硬币，出现反面朝上的概率为，不符合题意； ②掷一枚质地均匀的骰子，掷得朝上的点数是3的整数倍的概率为，符合题意； ③在“石头、剪刀、布”游戏中，小明出的是“石头”的概率为，符合题意； ④将一副去掉大、小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张扑克牌的花色是红桃的概率为，不符合题意． ∴符合表格数据的试验可能是②③． 故答案为：②③． 12．某研发机构新培育了一种玉米种子，在相同条件下该种玉米种子发芽的试验结果如图所示． 根据试验结果回答下列问题． (1)估计这种玉米种子发芽的概率是______（精确到0.1）． (2)如果该种玉米种子发芽后的成秧率为，那么在相同条件下种10000粒该种玉米种子大约可得到多少棵玉米秧苗？ 【答案】(1)0.9 (2)8100棵 【分析】本题考查了由频率估计概率，正确得出这种玉米种子发芽的概率是解此题的关键． （1）由统计图即可得出答案； （2）根据题意列式计算即可得出答案． 【详解】（1）解：由图可得：随实验次数增加，这种玉米种子发芽的频率逐渐稳定在为0.9附近，故估计这种玉米种子发芽的概率是0.9； （2）解：由题意得：（棵）， ∴种10000粒该种玉米种子大约可得到棵玉米秧苗． 题型03 用频率估计概率的综合应用 13．不透明的盒子中装有红、黄色的小球共20个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球，记录颜色后放回并摇匀，再随机摸出一个．下图显示了某数学小组开展上述摸球活动的某次实验的结果． 下面有四个推断： ①当摸球次数是300时，记录“摸到红球”的次数是99，所以“摸到红球”的概率是0.33； ②随着试验次数的增加，“摸到红球”的频率总在0.35附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“摸到红球”的概率是0.35； ③可以根据本次实验结果，计算出盒子中约有红球7个； ④若再次开展上述摸球活动，则当摸球次数为500时，“摸到红球”的频率一定是0.40． 所有合理推断的序号是（    ） A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了利用频率估计概率，一般地，随着试验次数的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率，我们称频率的这个性质为频率的稳定性，据此即可求解． 【详解】解：①当摸球次数是300时，记录“摸到红球”的次数是99，所以“摸到红球”的频率是0.33；故①错误； ②根据频率的稳定性可知②正确； ③可以根据本次实验结果，计算出盒子中约有红球个；故③正确； ④由于每次试验的频率会发生变化，故若再次开展上述摸球活动，则当摸球次数为500时，“摸到红球”的频率不一定是0.40．故④错误； 故选：B 14．二维码在日常生活中被广泛应用，某数学兴趣小组对其开展数学实验活动．如图，在边长为的正方形区域内利用计算机软件进行随机掷点模拟实验．经过大量重复实验，发现点落在黑色部分的频率稳定在0.7左右，据此可以估计这个正方形区域内黑色部分的面积为 ． 【答案】 【分析】 本题主要考查利用频率估计概率，可以用频率的集中趋势来估计概率．用正方形的面积乘以点落在区域内黑色部分的频率稳定值即可． 【详解】 解：根据题意，估计这个区域内黑色部分的总面积约为， 故答案为：． 15．某商场进行抽奖活动，抽奖箱中只有“中奖”和“谢谢恵顾”两种卡片（两种卡片形状大小相同、质地均匀），下表是活动进行中的一组数据： 抽奖总次数次 100 150 200 800 1000 抽到“中奖”卡片的次数次 33 48 240 299 中奖的频率 0.33 0.32 0.315 0.30 (1)填空：_________，________． (2)根据“频率的稳定性”估计抽奖一次就抽到“中奖”的概率．（精确到0.1） 【答案】(1)63； (2)估计抽奖一次就抽到“中奖”的概率是 【分析】本题考查了利用频率估计概率，频率的计算，利用频率估计概率求解即可． （1）根据频率和总数求出a的值即可；根据频数和总数求出频率b即可； （2）根据频率的稳定性，估计抽奖一次就中奖的概率即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：根据“频率的稳定性”估计抽奖一次就抽到“中奖”的概率约是． 16．经过五华奥园十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转．交管部门在汽车行驶高峰时段对车流量作了统计，发现汽车在此十字路口向右转的频率为，向左转和直行的频率均为． (1)假设平均每天通过该路口的汽车为1000辆，求汽车在此左转、右转、直行的车辆各是多少辆； (2)目前在此路口，汽车左转、右转、直行的绿灯亮的时间均为30秒，在绿灯总时间不变的条件下，为了缓解交通拥挤，请你利用概率的知识对此路口三个方向的绿灯亮的时间做出合理的调整． 【答案】(1)汽车在此左转、右转、直行的车辆各是辆、辆、辆 (2)左转、右转、直行的绿灯亮的时间为秒，秒，秒 【分析】本题考查了频率估计概率，熟练掌握频率和概率之间的关系是解题的关键. （1）用汽车总量乘以频率即可得出结果； （2）由频率估计概率，即可得出结果. 【详解】（1）解：汽车在此左转的车辆数为：(辆)， 汽车在此右转的车辆数为：(辆)， 汽车在此直行的车辆数为：(辆) 答：汽车在此左转、右转、直行的车辆各是辆、辆、辆. （2）根据频率估计概率的知识，得 ∵汽车左转、右转、直行的绿灯亮的时间均为秒， ∴可调整绿灯亮的时间如下： 左转绿灯亮的时间为(秒)， 右转绿灯亮的时间为(秒)， 直行绿灯亮的时间为(秒). 17．在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共60个，它们除颜色不同外，其余都相同，王颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中搅匀，经过大量重复上述摸球的过程，发现摸到白球的频率稳定于， (1)请估计摸到白球的概率将会接近___________； (2)计算盒子里白球有多少个？ (3)如果要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？ 【答案】(1) (2)15个 (3)15个 【分析】 本题主要考查了概率，熟练掌握用频率估计概率，概率的定义及计算公式，用概率还原事件，是解决问题的关键， （1）用频率稳定于，估计概率就是； （2）用60乘，计算即得； （3）设需要往盒子里再放入x个白球；根据摸到白球的概率为建立方程，解方程检验，即得， 【详解】（1） ∵大量重复摸球实验，摸到白球的频率稳定于， ∴摸到白球的概率接近； 故答案为：； （2） （个）， 答：盒子里白球有15个； （3） 设需要往盒子里再放入x个白球； 根据题意得：， 解得：， 经检验得：为所列方程的解，且符合题意， ∴， 答：需要往盒子里再放入15个白球． 18．某购物商场为促进顾客消费，特设一可自由转动的转盘．顾客凡购物满200元，即有机会转动转盘一次．转盘分为多个区域，每个区域对应不同的优惠券．下表是活动进行中的一组统计数据（结果精确到0.001）： 转动转盘的次数n 50 100 150 200 500 800 1000 2000 落在“减免20元券”区域的次数m 19 39 55 81 b 318 403 800 落在“减免20元券”区域的频率为 a 0.390 0.367 0.405 0.39 0.398 0.403 0.400 请根据表格完成以下问题： (1)______； (2)上表中，当转动转盘的次数为500时，落在“减免20元券”区域的频率被墨迹遮挡了部分数字，请估计b的值是______（填写一个值）； (3)落在“减免20元券”区域的频率的变化有什么规律？ (4)请估计落在“减免20元券”区域的概率是______． 【答案】(1) (2) (3)频率的变化稳定在附近 (4) 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （1）根据频率频数总数，计算即可得出答案； （2）由频数乘以频率即可得到答案； （3）利用频率估计概率求解即可． （4）由稳定的频率可得概率 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：落在“减免20元券”区域的频率的变化稳定在附近； （4）解：估计落在“减免20元券”区域的概率是 19．在一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共个，这些球除颜色外都相同，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到黑球的次数 摸到黑球的频率 (1)表中 ； (2)请估计：当很大时，摸到黑球的频率将会接近 （精确到）； (3)估计袋子中有白球 个； (4)若学习小组通过试验结果，想使得这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为，则可在袋子中增加相同的白球 个． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （1）摸到黑球的频率为，故为． （2）大量重复实验中事件的频率可以估计概率，当很大时，观察摸到黑球的频率，其数值将会接近． （3）摸到黑球的频率约为，故摸到白球的频率约为，则估计袋子中有白球（个）． （4）当想使得这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为时，即黑球个数等于白球个数，故可在袋子中增加相同的白球数：（个）， 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）当很大时，观察摸到黑球的频率，其数值将会接近， 故答案为：． （3）摸到黑球的频率约为， 故摸到白球的频率约为， 则估计袋子中有白球（个）， 故答案为：． （4）当想使得这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为时， 即黑球个数等于白球个数， 故可在袋子中增加相同的白球数：（个）， 此时黑白球均为个，摸到黑白球的可能性大小均为． 故答案为：． 20．某区七年级有名学生参加“安全伴我行知识竞赛”活动．为了了解本次知识竞赛的成绩分布情况，从中抽取了名学生的得分得分取正整数，满分为分进行统计． 请你根据不完整的频率分布表，解答下列问题： (1)补全频数分布直方图； (2)若将得分转化为等级，规定得分低于分评为“”， 分评为“”， 分评为“”， 分评为“”．这次全区七年级参加竞赛的学生约有多少学生参赛成绩被评为“”如果随机抽查一名参赛学生的成绩等级，则这名学生的成绩被评为“”、“”、“”、“”哪一个等级的可能性大？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)“”的可能性大，见解析 【分析】本题是统计图的基础应用题，难度一般，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能做出正确的判断和解决问题． （１）根据频数、频率成正比例关系，可得：频数中应填入，频率一栏中，顺次填入，；据此可补全频数分布直方图． （２）根据题意：依次求出个等级的概率，比较可得：“”的概率最高，故是“”的可能性大； 通过数学可以估计整体的数据的分布情况，让考生发现数学的“预测”功能． 【详解】（1）根据频数、频率成正比例关系，可得：频数中应填入，频率一栏中，顺次填入，； ． （2）由表知：评为“”的频率是， 由此估计全区七年级参加竞赛的学生约有（人）被评为“”． ，，，，   ， 随机抽查一名参赛学生的成绩等级，“”的可能性大． 21．阅读下列材料，回答问题： 任务1：估计不规则封闭图形的面积 如图，地面上有一个不规则的封闭图形，为求得它的面积，小明在此封闭图形内画出一个边长为0.5米的正方形后，在附近闭上眼睛向封闭图形内丢掷绿豆（可把绿豆近似看成点），并记录如下数据（有效丢掷绿豆落在该封闭图形内，含边界）： 有效丢掷绿豆总次数 50 150 300 600 … 绿豆落在正方形内 （含正方形的边）的次数 10 35 78 149 … 0.200 0.233 0.257 0.248 … （1）当有效丢掷绿豆总次数时，绿豆落在正方形内（含正方形边上）的次数n最可能是________； A．105        B．249        C．518        D．815 （2）请根据表格中的数据估计，如果你随机丢掷一颗绿豆（落在该封闭图形内，含边界），那么该绿豆恰好落在正方形内（含正方形的边）的概率约为___________（精确到0.01）； （3）请你利用（2）中所得概率，估计该不规则封闭图形的面积； 任务2：估计圆周率的大小 关于圆周率，数学发展史上出现过许多有创意的求法，请借鉴任务1的探究思路，设计一个估算圆周率的实验，写出相应的步骤，以及需要记录的数量（具体数值）或数据（用字母，…，表示），画出示意图，并写出的计算公式． 【答案】任务1：（1）B；（2）0.25；（3）1平方米 任务2：设计实验见解析， 【分析】任务1：（1）观察数据，根据大量试验时，频率可估计概率找到稳定值进行估计即可； （2）大量试验时，频率可估计概率； （3）利用概率，用正方形面积封闭图形的面积概率建立方程求解； 任务2：仿造任务1，如图，地面上有一个边长为2米的正方形，在此正方形内画出一个半径为1米的圆．在正方形外闭上眼睛向正方形内掷绿豆（可把绿豆近似看成点），大量重复实验记录数据，根据频率可估计概率即可求解． 【详解】解：任务1：（1）观察表格得：随着投掷次数的增大，绿豆落在正方形内（含正方形边上）的频率值稳定在0.25， ∴如果你掷一次绿豆，那么绿豆落在正方形内（含正方形边上）的概率约为0.25； 当掷绿豆所落的总次数时，绿豆落在正方形内（含正方形边上）的次数最可能为，只有249比较接近， 故答案为：B； （2）由（1）可知如果你掷一次绿豆，那么绿豆落在正方形内（含正方形边上）的概率约为0.25， 故答案为：0.25； （3）设封闭图形的面积为， 根据题意得：， 解得：， 即：估计整个不规则封闭图形的面积约是1平方米． 任务2：如图，地面上有一个边长为2米的正方形，在此正方形内画出一个半径为1米的圆． 在正方形外闭上眼睛向正方形内掷绿豆（可把绿豆近似看成点），大量重复实验记录如下： 有效丢掷绿豆总次数 … 绿豆落在圆内 （含圆的边）的次数 … … 当很大时，绿豆落在圆内（含圆的边上）的频率值稳定在， 所以如果掷一次绿豆，那么绿豆落在圆内（含圆的边上）的概率约为； 则， ∴． 22．某实验小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（    ） A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小刚随机出的是“石头” B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽取一张牌的花色是方块 C．布袋中有个红球和个黄球，它们只是颜色上有区别，从中任取一球是黄球 D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的点数是 【答案】D 【详解】此题考查了利用频率估计概率，根据统计图可知，试验结果在附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为者即为正确答案，正确理解利用频率估计概率是解题的关键． 解：、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小刚随机出的是“石头“的概率为，故选项不符合题意； 、一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率是；故选项不符合题意． 、暗箱中有个红球和个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是红球的概率为，故选项不符合题意； 、掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是的概率为，故选项符合题意； 故选：． 23．如图1所示，平整的地面上有一个不规则的图案（图中阴影部分），小雅想了解该图案的面积是多少，她采取了以下的办法：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地向长方形区域扔小球，并记录小球在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），她将若干次有效试验的结果绘制成了如图2所示的折线统计图，由此她估计此不规则图案的面积大约为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 本题考查了几何概率和用频率估计概率． 根据图②可得，小球落在不规则图案内的概率约为，设不规则图案的面积为，根据几何概率可得：不规则图案的面积长方形的面积小球落在不规则图案内的概率，列出方程即可求解． 【详解】根据题意可得：小球落在不规则图案内的概率约为，长方形的面积为， 设不规则图案的面积为， 则， 解得：， 不规则图案的面积大约为． 故选：C． 24．地理实践课上，活动小组的同学在一张面积为的长方形卡片上绘制了如图1所示的山西省地形图，他们想了解该地形图的面积，经研究采取了以下办法：将长方形卡片水平放置在地面上，在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录落在该地形图上的次数（球扔在地形图最外围的界线上或长方形区域外不计入试验结果）．他们将若干次有效试验结果绘制成了如图2所示的折线统计图，由此估计该地形图的面积大约为 ． 【答案】100 【分析】本题考查了几何概率，由频率估计概率，由题意可得小球落在该地形图上的概率为，设该地形图的面积为，则，求解即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：根据题意可得：小球落在该地形图上的概率为， 设该地形图的面积为，则， 解得：， ∴该地形图的面积大约为， 故答案为：． 25．一个不透明的箱子里装有蓝、白两种颜色的球共个，它们除颜色外其他都相同．李明将球搅匀后从箱子中随机摸出个球，记下颜色后，再将它放回，不断重复实验．多次实验结果如表 摸球次数 白球频率 (1)当摸球次数足够多时，摸到白球的频率将会稳定于　　　（精确到）左右，从箱子中摸一次估计摸到蓝球的概率是　　　． (2)从该箱子里随机摸出个球，不放回，再摸出个球．用列表法或树状图求摸到个蓝球、个白球率． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了频率估计概率，画树状图法求概率，概率公式． （1）根据统计数据，当很大时，摸到白球的频率接近，根据利用频率估计概率，可估计摸到蓝球的概率为； （3）先画树状图法得出所有种等可能的结果数，再找出摸到个蓝球、个白球的结果数，根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：当摸球次数很大时，摸到白球的频率将会接近；则摸到蓝球的概率为； 故答案为：，． （2）解：由（1）得摸到白球的概率率为， 所以可估计口袋中白球有（个），蓝球的个数有个； 将第一个口袋中个白球分别记为，，，蓝球记为，画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中摸到个蓝球、个白球的情况有种． ∴摸到个蓝球、个白球的概率为． 26．在一个不透明的盒子里装有只有色不同的黑、白两种球共20个，小颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是“摸到白色球”的频率折线统计图．    (1)请估计：当摸球次数很大时，摸到白球的频率将会接近______； (2)试估算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个？ (3)在（2）条件下，如果要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？ 【答案】(1) (2)白球有个，黑球有个 (3)个 【分析】本题主要考查的是频率折线统计图，频率与总体的关系及分式方程的实际应用，解题的关键是看懂频率折线统计图，再根据频率与总体的关系作答． （1）看折线图最后趋于直线，即可写出摸到白球的频率； （2）根据第一小题算出的白球的概率，再利用频率与总体的关系即可求出白球、黑球的个数； （3）设加进去的白球个数为，再利用频率与总体的关系列分式方程作答即可． 【详解】（1）解：由折线统计图可知：当摸球次数很大时，摸到白球的频率稳定在左右， 故答案为：； （2）（个）， （个）， 答：白球有10个，黑球有10个； （3）解：设再放x个白球， ， ， ， ， ， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 答：再放入5个白球． 27．如图是一个可以自由转动的转盘，它被分成了6个面积相等的扇形区域．数学小组的学生做转盘试验：转动转盘，当转盘停止转动时，记录下指针所指区域的颜色，不断重复这个过程，获得数据如下： 转动转盘的次数 200 300 400 1000 1600 2000 转到黄色区域的频数 72 93 130 334 532 667 转到黄色区域的频率                     (1)下列说法错误的是______（填写序号）． ①转动转盘8次，指针都指向绿色区域，所以第9次转动时指针一定指向绿色区域； ②转动15次，指针指向绿色区域的次数不一定大于指向黄色区域的次数； ③转动60次，指针指向蓝色区域的次数一定为10． (2)求表中，的值，并估计随机转动转盘“指针指向黄色区域”的概率（精确到0.1）； (3)修改转盘的颜色分布情况，使指针指向每种颜色的可能性相同，写出一种方案即可． 【答案】(1)①③ (2)估计随机转动转盘“指针指向黄色区域”的概率约为 (3)将一个绿色区域改为蓝色区域，能使指针指向每种颜色区域的可能性相同 【分析】本题考查的是可能性的大小．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）根据可能性的大小分别对每一项进行分析，即可得出答案； （2）根据频率可得的值，再利用频率来估计概率即可； （3）当三种颜色面积相等的时候能使指针指向每种颜色区域的可能性相同． 【详解】（1）解：①转动转盘8次，指针都指向绿色区域，所以第9次转动时指针不一定指向绿色区域，故本选项说法错误； ②转动15次，指针指向绿色区域的次数不一定大于指向黄色区域的次数，故本选项说法正确； ③转动60次，指针指向蓝色区域的次数不一定正好是10，故本选项说法错误； 故答案为：①③． （2）解：， 故． （3）解：将一个绿色区域改为蓝色区域，能使指针指向每种颜色区域的可能性相同． 28．在一个不透明的盒子里装有红、黑两种颜色的球共只，这些球除颜色外其余完全相同．为了估计红球和黑球的个数，七（1）班的数学学习小组做了摸球试验．他们将球搅匀后，从盒子里随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒子中，多次重复上述过程，得到表中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到红球的次数 摸到红球的频率 (1)补全表格中的数据：______，______． (2)请估计：当次数足够大时，摸到红球频率将会接近______．（精确到） (3)小明、小亮做游戏，游戏规则是：从盒子中任意摸出一个球，摸到红球小明胜，摸到黑球小亮胜．你认为这个游戏公平吗？若公平，说明理由：若不公平，怎样调整，使得游戏公平． 【答案】(1)， (2) (3)这个游戏不公平，调整见解析 【分析】考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：部分的具体数目总体数目相应频率． （1）根据频率、频数与总数之间的关系即可求解； （2）由表中摸球次数逐渐增大后，摸到红球的概率逐渐靠近于，即可求解； （3）根据摸到摸到红球和黑球的概率相等则游戏公平求解即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； （2）当次数足够大时，摸到红球频率将会接近， 故答案为：； （3）你认为这个游戏不公平， 调整：应该在盒子里分别装上个红球和黑球，这样摸到红球和黑球的概率相等都是，从而使得游戏公平． 29．某工厂接到制作2000件物理实验模型的加工订单，为了尽快完成任务，工厂对原加工计划进行了调整，经测算，如果平均每天比原计划多加工20件，那么能提早5天完成任务． (1)求工厂原计划每天加工物理实验模型的件数； (2)在生产模型的过程中，检验员会在一段时间内先后对多个批次的模型合格情况进行抽查，目的是估计产品的报废率，及时调整生产数量与进度，满足客户需求． 下表是检验员对该物理实验模型产品抽查过程中的数据统计： 抽取模型数累计m（件） 50 100 150 200 250 300 400 报废模型数累计n（件） 0 3 4 5 5 6 8 模型报废的频率（精确到0.001） 0 0.03 0.027 0.025 0.02 0.02 0.02 请估计这批物理实验模型成品的报废率约为_______（精确到）；结合你的估计帮助工厂计算，至少还需生产_______件产品才能完成订单的需求． 【答案】(1)工厂原计划每天加工物理实验模型的件数为80件 (2)；41 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，用频率估计概率，解题的关键是理解题意，根据等量关系列出方程． （1）设工厂原计划每天加工物理实验模型的件数为x件，根据平均每天比原计划多加工20件，那么能提早5天完成任务，列出方程，解方程即可； （2）根据频率估计概率即可，设还需生产y件产品才能完成订单的需求，根据题意列出不等式，求出至少还要生产的件数即可． 【详解】（1）解：设工厂原计划每天加工物理实验模型的件数为x件，根据题意得： ， 解得：，， 经检验是原方程的解， 答：工厂原计划每天加工物理实验模型的件数为80件； （2）解：根据表格中的数据可知：模型报废的频率稳定在， ∴这批物理实验模型成品的报废率约为， 设还需生产y件产品才能完成订单的需求，根据题意得： ， 解得：， ∵y必须取整数， ∴至少还需生产41件产品才能完成订单的需求． 30．在一个不透明的口袋里装有n个相同的红球，为了用估计绕中红球的数量，八（1）学生在数学实验分组做摸球试验：将10个与红球大小形状完全相同的白球装入袋中，搅匀后从中随机摸出一个并记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是统计汇总各小组数据后获得的全班数据统计表： 摸球的次数s 150 300 600 900 1260 1500 摸到白球的频数n 60 126 247 369 484 609 摸到白球的频率 0.400 0.42 0.412 a 0.403 0.406 (1)按表格数据格式，表中的______； (2)请估计：当次数s很大时，摸到白球的频率将会接近______（精确到0.1）； (3)请推算：摸到红球的概率是______（精确到0.1）； (4)根据（3）中结果，试估算：这个不透明的口袋中红球的数量n的值． 【答案】(1)0.41 (2)0.4 (3)0.6 (4)15 【分析】本题考查了利用大量重复性实验得到的频率可以估计事件发生的概率．解题的关键是根据摸到白球的频率得到相应的等量关系． （1）直接根据摸球的次数×摸到白球的频率计算即可； （2）直接根据表中摸到白球的频率这一数据观察，看在何数附近摆动即可； （3）先根据摸到白球的频率估计摸到白球的概率，再计算摸到红球的概率； （4）用白球的个数÷摸到白球的频率求出球的总数，再减去白球的个数就得到红球的个数． 【详解】（1）解：， 故答案为：0.41； （2）通过表中的数据可以看出，随着实验次数的增多，摸到白球的频率越来越接近0.400， 所以当次数s很大时，摸到白球的频率将会接近0.4， 故答案为：0.4； （3）∵当次数s很大时，摸到白球的频率将会接近0.4， ∴根据频率与概率的关系可得，摸到白球的概率为0.4， ∵袋子中只有白球，红球两种不同颜色的球． ∴摸到红球的概率为， 故答案为：0.6； （4）∵白球一共有10个，且摸到白球的频率是0.4． ∴袋中球的总个数为． ∴袋中红球的个数为． 即口袋中有红球15个． 31．中华民族有种折纸玩具“东南西北”，每每想起都会带给我们美好的童年回忆．此玩具的制作方法：通过折叠把一个正方形的纸片分成八个面积相等的部分，在每个部分分别写上相应的惩罚或奖励，叠合成“东南西北”，通过转动随机挑选出八个区域中的一个作为游戏的结果．如图1是小浩制作的一个“东南西北”玩具，展开后如图2所示： (1)随机挑选出的一面写有“文具”是_______；（填写选项） A．必然事件    B．随机事件    C．不可能事件 (2)转动一次获得奖励“图书”的概率为______ (3)小浩重新设计了一个“东南西北”玩具，在八个面上分别写上“钢笔”“笔记本”“圆规”三种奖品，经过多次实验后得到数据如下： 试验次数 8 24 40 80 160 获得“钢笔”的次数 2 10 16 28 60 根据表格估算，八面中写有奖品“钢笔”的面数为______． 【答案】(1)B (2) (3)3 【分析】此题考查了频率估计概率、事件的分类、概率公式等知识，熟练掌握频率估计概率是解题的关键． （1）根据事件的分类进行解答即可； （2）根据概率公式进行解答即可； （3）利用频率估计概率进行解答即可． 【详解】（1）解：随机挑选出的一面写有“文具”是随机事件， 故选：B （2）转动一次共有8中等可能的结果，转动一次获得奖励“图书”的情况数为3种，故转动一次获得奖励“图书”的概率为， 故答案为： （3）根据表格估算，随着试验次数的增加，八面中写有奖品“钢笔”的面数的频率稳定在左右，则八面中写有奖品“钢笔”的面数为3． 故答案为：3 32．数学兴趣小组为探究事件 A 发生的概率，进行试验并将数据汇总填入下表 试验总次数 n 100 200 300 400 500 600 事件A出现的次数m 24 48 b 104 125 150 事件A发生的频率 a 0.24 0.25 0.26 0.25 0.25 (1)上表中 ， ； (2)根据上表，完成图2的折线统计图； (3)请你举出一个事件，使它发生的概率符合事件A发生的概率． 【答案】(1)；75 (2)见解析 (3)有四张扑克牌，分别写有1、2、3、4四个数据，随意拿出一张，正好是1的概率（答案不唯一） 【分析】本题考查了频率估计概率，熟练掌握概率的计算方法是解题的关键． （1）根据题意，得，，解答即可． （2）根据题意，画出图即可； （3）答案不唯一，只要事件的概率为即可． 【详解】（1）解：根据题意，得，， 解得， 故答案为：；75． （2）根据题意，折线图画图如下： （3）有四张扑克牌，分别写有1、2、3、4四个数据，随意拿出一张，正好是1的概率． 33．某网络约车公司近期推出了“520专享”服务计划，即要求公司员工做到“5星级服务、2分钟响应、0客户投诉”，为进一步提升服务品质，公司监管部门决定了解“单次营运里程”的分布情况，老王收集了本公司的5000个“单次营运里程”数据，这些里程数据均不超过25（公里），他从中随机抽取了200个数据作为一个样本，整理、统计结果如下表． 组别 “单次营运里程x”（公里） 频数 第一组 72 第二组 a 第三组 26 第四组 24 第五组 30 根据统计表提供的信息，解答下面的问题： (1)①表中______：②样本中“单次营运单程”不超过15公里的频率为______； (2)请估计该公司这5000个“单次营运里程”超过20公里的次数； (3)为缓解城市交通压力，维护交通秩序，来自某市区的4名网约车司机（2男2女）成立交通秩序，请用列举法（画树状图或列表）求出至少有1名男司机的概率． 【答案】(1)①48；②0.73； (2)超过20公里的次数是750次； (3)图形见解析，（至少有1名男生． 【分析】本题考查了列表法与树状图法∶利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件A或B的结果数目，然后利用概率公式求事件A或B的概率，也考查了统计图和统计表，要熟练从统计图表中得出解题所需数据． (1)①用总数减去其他的频数就能直接得出a的值；②用第一、二、三组的频数和除以总数量可得； (2)用总数量乘以样本中“单次营运里程”超过20公里的次数所占比例即可得； (3)画列表法或树状图展示所有12种等可能的结果数，找出抽到至少有1名男司机的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】（1）解：①； ②， 故答案为①48；②0.73 （2）（次） （3）列表法如下： 男1 男2 女1 女2 男1 男1，男2 男1，女1 男1，女2 男2 男2，男1 男2，女1 男2，女2 女1 女1，男1 女1，男2 女1，女2 女2 女2，男1 女2，男2 女2，女1 总共有12种等可能性结果，其中符合条件的有10种． （至少有1名男生． 34．在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共20个，这些球除颜色外其余完全相同．为了估计黑球和白球的个数，我们将球搅匀后，从盒子里随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒子中，多次重复上述过程，得到下表中的一组统计数据： 摸球的次数n 50 100 300 500 800 1000 2000 摸到白球的次数m 14 33 95 155 241 298 602 摸到白球的频率                                    (1)请你估计，当n很大时，摸到白球的频率将会接近 （精确到）； (2)若先从袋子中取出个黑球，再从袋子中随机摸出1个球，若“摸出白球”为必然事件，则 ； (3)若先从袋子中取出x个白球，再放入x个一样的黑球并摇匀，随机摸出1个白球的概率为，求x的值． 【答案】(1) (2)14 (3)1 【分析】此题考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率，用到的知识点为：部分的具体数目=总体数目×相应频率． （1）由表中摸球次数逐渐增大后，摸到白球的频率逐渐靠近于， （2）根据白球的频率逐渐靠近于，从而得出摸到白球的概率，再用总球的个数乘以白球的概率即可得出盒子里白球的数量；根据盒子里有14个黑球，再根据“摸出白球”为必然事件，从而得出； （3）根据概率公式列出算式，再进行计算即可得出答案． 【详解】（1）解：当n很大时，摸到白球的频率将会接近， 故答案为：； （2）由（1）得白球的概率为， 故盒子里白球的数量为：(个)， ∴盒子里有个黑球， ∵若先从袋子中取出个黑球，再从袋子中随机摸出1个球，盒子里有14个黑球，“摸出白球”为必然事件， ， 故答案为：14； （3）由（2）知白球6个，黑球14个， 根据题意得： 解得：， 则的值为1． 35．某校开展生物项目式实践研究活动，老师带领同学们通过动手实验和查阅资料相结合的方式认识植物，下表记录了某种植物种子在相同条件下发芽率试验的结果． 种子个数 100 400 900 1500 2500 4000 6000 10000 发芽种子个数 92 352 818 1336 2255 3604 5406 9011 发芽种子频率（结果保留小数点后三位） 0.920 0.880 0.909 0.891 0.902 0.901 0.901 0.901 实践活动结束，该校组织七、八年级学生开展了一次学习成果竞赛，成绩分别为A、B、C、D四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分、9分、8分、7分．学校分别从七、八年级各抽取25名学生的竞赛成绩整理并绘制成如下统计图表． 年级 平均分 中位数 众数 方差 七年级 8.76 a 9 1.06 八年级 8.76 8 b 1.38 七年级竞赛成绩统计图    八年级竞赛成绩统计图 (1)__________，__________． (2)请用数据分析哪个年级学生的成绩比较稳定？ (3)本次竞赛规定9分及以上的成绩为优秀，请估计八年级700名学生中成绩为优秀的学生人数有多少？ (4)根据表中的数据，可估计该植物种子发芽的概率为__________．（结果保留小数点后三位） 【答案】(1)， (2)七年级成绩比较稳定 (3)人； (4) 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图、平均数、中位数、众数、方差以及用样本估计总体和利用频率估计概率． （1）根据中位数和众数的定义进行解答即可； （2）根据平均数和方差进行分析即可； （3）用总人数乘以优秀的百分比即可； （4）用发芽种子频率的平均数估计概率即可． 【详解】（1）七年级成绩由高到低排在第位的是等级分， ， 八年级等级人数最多， ， 故答案为：， （2）七、八年级平均分相同，七年级方差小于八年级，说明七年级成绩波动较小，故七年级成绩比较稳定； （3）本次竞赛规定分及以上的成绩为优秀，估计八年级名学生中成绩为优秀的学生约（人）， 答：估计八年级700名学生中成绩为优秀的学生人数有人； （4）根据表中数据，该植物种子发芽的概率为 结果保留小数点后三位， ， 即估计该植物种子发芽的概率为． 故答案为： 36．在一个不透明的箱子里装有若干张无奖卡，现将张有奖卡放入箱子（所有卡片形状、大小、材质均相同）．搅匀后从中随机摸出一张卡，记下是否有奖，再将它放回箱子中，不断重复此过程，获得如下频数表： 摸卡的次数 摸到有奖卡的次数 摸到有奖卡的频率 (1)若从箱子里随机摸一张卡，估计有奖的概率为______（精确到）； (2)请估算出箱子里无奖卡的数量； (3)两位同学各抽得一张有奖卡，两人均获得一张文艺演出的入场券，如图所示，他们各要在编号为的三个座位上选一个坐下，请求出坐到相邻座位的概率．（画树状图或列表分析问题） 【答案】(1)； (2)张； (3)． 【分析】（）用频率估计概率即可求解； （）设箱子里无奖卡的数量为张，由题意可得，解方程即可求解； （）根据题意，列出表格，求出总的结果数和坐到相邻座位的结果数，利用概率公式计算即可求解； 本题考查了用频率估计概率，利用概率求总量，用列表法或树状图法求概率，掌握列表法或树状图法是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可得，随着实验次数的增加，摸到有奖卡的频率稳定在附近， ∴从箱子里随机摸一张卡，估计有奖的概率为， 故答案为：； （2）解：设箱子里无奖卡的数量为张， 由题意可得，， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴箱子里无奖卡的数量为张； （3）解：由题意得，列表如下： 由表可得，共有种结果，其中的结果有种， ∴坐到相邻座位的概率． 试卷第2页，共36页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$