《第二十二章 二次函数》 章末检测卷-（题型·技巧培优系列）2024-2025学年九年级数学上册同步精讲精练（人教版）

（人教版）九年级上册数学《第二十二章 二次函数》 章 末 检 测 卷 时间：120分钟 试卷满分：120分 一、选择题（每小题3分，共10个小题，共30分） 1．（2023秋•石景山区校级月考）关于x的函数是二次函数，则m的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．0 2．（2024春•张店区校级月考）下列关于抛物线y＝﹣（x+1）2+4的判断中，错误的是（　　） A．形状与抛物线y＝﹣x2相同 B．对称轴是直线x＝﹣1 C．当x＞﹣2时，y随x的增大而减小 D．当﹣3＜x＜1时，y≥0 3．（2023秋•灵宝市期中）把二次函数yx2﹣x+3用配方法化成y＝a（x﹣h）2+k的形式时，应为（　　） A．y（x﹣2）2+2 B．y（x﹣2）2+4 C．y（x+2）2+4 D．y＝﹣（x）2+3 4．（2024•雁塔区校级模拟）已知二次函数y＝﹣kx2+3kx﹣1﹣k的图象与y轴交于正半轴，且A（1，y1），B（3，y2），C（﹣1，y3）是图象上的三个点，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y1＞y3＞y2 D．y2＞y1＞y3 5．（2024•沈阳模拟）函数y＝ax2+2x+1和y＝ax﹣a（a是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 6．（2023秋•泰安期中）有一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外边用长为20m的篱笆围成．已知墙长为15m，若平行于墙的一边长不小于8m，设这个苗圃园的宽AB为x，面积为S，则S与x之间的函数表达式为（　　） A．S＝x（20﹣x），（8≤x≤15） B．S＝x（20﹣2x），（2.5≤x≤6） C．S＝x（20﹣x），（2.5≤x≤6） D．S＝x（﹣2x+20），（x≥2.5） 7．（2024•固始县二模）在二次函数y＝﹣x2+2x+3中，当0＜x＜3时，y的取值范围是（　　） A．0＜y＜3 B．1＜y＜4 C．0＜y≤4 D．﹣4≤y＜0 8．已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（1，0），B（5，0）两点，x1，x2是关于x的一元二次方程a（x﹣1）2+c＝m2+b﹣bx的两根，则x1+x2的值为（　　） A．6 B．7 C．8 D．10 9．（2024•高新区校级三模）如图，平面直角坐标系中有两条抛物线，它们的顶点P，Q都在x轴上，平行于x轴的直线与两条抛物线相交于A，B，C，D四点，若AB＝10，BC＝5，CD＝6，则PQ的长度为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 10．（2024•永善县二模）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，下列结论：①ab＜0；②b2＞4ac；③a+b+2c＜0；④3a+c＜0．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（每小题3分，共6个小题，共18分） 11．已知关于x的二次函数y＝（a﹣1）2x﹣1的图象开口向下，则a＝　 　． 12．（2024•梁溪区校级二模）已知二次函数y＝（x﹣a）（x+2a﹣1）的对称轴是直线x＝﹣2，则a的值为 　 　． 13．（2022•黔东南州二模）已知：二次函数y＝ax2+bx+c图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示，那么它的图象与x轴的另一个交点坐标是　 　． x … ﹣1 0 1 2 … y … 0 3 4 3 … 14．（2023秋•黄埔区期末）已知一次函数y＝kx+4的图象与y轴的交点为P，若二次函数y＝ax2﹣5ax+4a的图象经过点P，则二次函数的解析式为 　 　． 15．（2023•立山区一模）如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣3，9），B（1，1），则关于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0的解为 　 ． 16．（2023秋•杭州期末）已知y＝2x﹣1，且，令S＝xy，则函数S的取值范围是 　 　． 三、解答题（共8个小题，共72分） 17．（8分）（2023秋•定远县期中）已知函数y＝﹣（m+2）xm2﹣2（m为常数），求当m为何值时： （1）y是x的一次函数？ （2）y是x的二次函数？并求出此时纵坐标为﹣8的点的坐标． 18．（8分）（2023秋•仙居县期末）已知二次函数图象的顶点坐标是（﹣1，﹣4），且经过点（1，0）． （1）求该二次函数的解析式． （2）当﹣3≤x≤0时，求此函数的最大值与最小值． 19．（8分） （2023秋•邗江区校级期末）直线y＝x+2与抛物线y＝ax2（a≠0）相交于点A（2，b）． （1）求a，b的值； （2）求另一个交点B的坐标； （3）求△AOB的面积． 20．（8分）（2024•柘城县校级四模）大自然中有一种神奇的鱼——射水鱼，它能以极快的速度从口中射出水柱击落昆虫来捕食，射出的水柱呈抛物线形．如图，以射水鱼所在的位置为原点O建立平面直角坐标系，设水柱距水面的高度为ydm，与射水鱼的水平距离为xdm，y与x的函数表达式为y＝a（x﹣2）2+k，水柱的最大高度为6dm． （1）求y关于x的函数表达式； （2）一只昆虫位于点处，水柱形成的时间忽略不计，射水鱼从原点O出发，需要水平向右游动多少距离才能击中昆虫？ 21．（9分）（2024•沧州一模）设二次函数y1、y2的图象的顶点坐标分别为（a，b）、（c、d），若a＝2c、b＝2d，且两图象开口方向相同，则称y1是y2的“同倍项二次函数”． （1）写出二次函数y＝x2+x+1的一个“同倍项二次函数”； （2）已知关于x的二次函数y1＝x2+nx和二次函数y2＝x2+3nx+1，若y1+y2是y1的“同倍项二次函数”，求n的值． 22．（9分）（2023秋•晋安区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+b﹣1（b为常数，且b≠0）． （1）求证：抛物线与y轴必有交点； （2）求抛物线顶点所在的函数解析式； （3）直线y＝kx﹣1（k≠0）经过抛物线的顶点，且与抛物线交于另一个点A，当时，求k的值． 23．（10分）（2024春•亭湖区校级月考）某机械厂每月固定生产甲、乙两种零件共80万件，并能全部售出．甲零件每件成本10元，售价16元；乙零件每件成本8元，售价12元．设生产甲零件x万件．所获总利润y万元． （1）写出y与x的函数关系式； （2）如果每月投入的总成本不超过740万元，应该怎样安排甲、乙零件的产量，可使所获的总利润最大？最大总利润是多少万元？ （3）该厂在销售中发现：某月甲零件售价每提高1元，甲零件销量会减少5万件，乙零件售价不变，不管生产多少都能卖出，在（2）获得最大利润的情况下，为了获得更大的利润，该厂决定提高甲零件的售价，并重新调整甲、乙零件的生产数量，求甲零件售价提高多少元时，可获总利润最大？最大总利润是多少万元？ 24．（12分）（2024•市中区三模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（6，0），B（﹣2，0），C（0，4）． （1）求二次函数y＝ax2+bx+c的表达式； （2）点P在第一象限的抛物线上，且能够使△ACP得面积最大，求点P的坐标； （3）在（2）的前提下，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△APQ为直角三角形，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ （人教版）九年级上册数学《第二十二章 二次函数》 章 末 检 测 卷 时间：120分钟 试卷满分：120分 一、选择题（每小题3分，共10个小题，共30分） 1．（2023秋•石景山区校级月考）关于x的函数是二次函数，则m的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．0 【分析】根据二次函数的定义求解即可． 【解答】解：∵函数是二次函数， ∴m2+1＝2且m﹣1≠0， 解得：m＝﹣1． 故选：B． 【点评】本题考查二次函数的定义．一般地，我们把形如y＝ax2+bx+c（其中a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数． 2．（2024春•张店区校级月考）下列关于抛物线y＝﹣（x+1）2+4的判断中，错误的是（　　） A．形状与抛物线y＝﹣x2相同 B．对称轴是直线x＝﹣1 C．当x＞﹣2时，y随x的增大而减小 D．当﹣3＜x＜1时，y≥0 【分析】根据二次函数的性质对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：A、抛物线y＝﹣（x+1）2+4形状与y＝﹣x2相同，此选项不符合题意； B、抛物线y＝﹣（x+1）2+4对称轴x＝﹣1，此选项不符合题意． C、对于抛物线y＝﹣（x+1）2+4，由于a＝﹣1＜0，当x＞﹣1时，函数值y随x值的增大而减小，此选项错误，符合题意； D、抛物线y＝﹣（x+1）2+4＝﹣（x+3）（x﹣1），a＝﹣1＜0，抛物线开口向下，抛物线与x轴的交点为（﹣3，0），（1，0），所以当y＞0时，﹣3＜x＜1，此选项不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数的性质，主要利用了抛物线的对称轴，顶点坐标，以及抛物线的开口方向的确定，是基础题是，熟记性质是解题的关键． 3．（2023秋•灵宝市期中）把二次函数yx2﹣x+3用配方法化成y＝a（x﹣h）2+k的形式时，应为（　　） A．y（x﹣2）2+2 B．y（x﹣2）2+4 C．y（x+2）2+4 D．y＝﹣（x）2+3 【分析】利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式． 【解答】解：yx2﹣x+3（x2+4x+4）+1+3（x+2）2+4． 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数的解析式有三种形式： （1）一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）； （2）顶点式：y＝a（x﹣h）2+k； （3）交点式（与x轴）：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）． 4．（2024•雁塔区校级模拟）已知二次函数y＝﹣kx2+3kx﹣1﹣k的图象与y轴交于正半轴，且A（1，y1），B（3，y2），C（﹣1，y3）是图象上的三个点，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y1＞y3＞y2 D．y2＞y1＞y3 【分析】先根据二次函数y＝﹣kx2+3kx﹣1﹣k的图象与y轴交于正半轴，得出k＜﹣1，则抛物线开口向上，进而得出对称轴为直线，根据离对称轴越远的点的函数值越大，即可求解． 【解答】解：∵二次函数y＝﹣kx2+3kx﹣1﹣k的图象与y轴交于正半轴， ∴﹣1﹣k＞0， 解得：k＜﹣1，则﹣k＞0， ∴抛物线开口向上， 由y＝﹣kx2+3kx﹣1﹣k可得抛物线的对称轴为直线， ∵A（1，y1），B（3，y2），C（﹣1，y3）是图象上的三个点， ∵， ∴y3＞y2＞y1． 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，对于二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0），当a＞0时，抛物线开口向上，此时函数有最小值；当a＜0时，抛物线开口向下，此时函数有最大值． 5．（2024•沈阳模拟）函数y＝ax2+2x+1和y＝ax﹣a（a是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误即可． 【解答】解：A、由一次函数y＝ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y＝ax2+2x+1的图象应该开口向上，对称轴x0，和x轴的正半轴相交，故选项错误； B、由一次函数y＝ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y＝ax2+2x+1的图象应该开口向上，对称轴x0，和x轴的负半轴相交，故选项正确； C、由一次函数y＝ax﹣a的图象可得：a＜0，此时二次函数y＝ax2+2x+1的图象应该开口向下，故选项错误； D、由一次函数y＝ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y＝ax2+3x+1的图象应该开口向上，故选项错误． 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数以及一次函数的图象，解题的关键是熟记一次函数y＝ax﹣a在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等． 6．（2023秋•泰安期中）有一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外边用长为20m的篱笆围成．已知墙长为15m，若平行于墙的一边长不小于8m，设这个苗圃园的宽AB为x，面积为S，则S与x之间的函数表达式为（　　） A．S＝x（20﹣x），（8≤x≤15） B．S＝x（20﹣2x），（2.5≤x≤6） C．S＝x（20﹣x），（2.5≤x≤6） D．S＝x（﹣2x+20），（x≥2.5） 【分析】根据各边之间的关系，可得出BC＝（20﹣2x）m，利用矩形的面积公式，可得出S关于x的函数关系式，再结合“墙长为15m，且平行于墙的一边长不小于8m”，即可求出x的取值范围． 【解答】解：∵篱笆的总长为20m，AB＝x m， ∴BC＝（20﹣2x）m． 根据题意得：S＝x（20﹣2x）． ∵墙长为15m，且平行于墙的一边长不小于8m， ∴， ∴2.5≤x≤6， ∴S与x之间的函数表达式为S＝x（20﹣2x）（2.5≤x≤6）． 故选：B． 【点评】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出y与x的函数关系式是解题的关键． 7．（2024•固始县二模）在二次函数y＝﹣x2+2x+3中，当0＜x＜3时，y的取值范围是（　　） A．0＜y＜3 B．1＜y＜4 C．0＜y≤4 D．﹣4≤y＜0 【分析】由二次函数解析式可求得对称轴及开口方向，再利用二次函数的增减性可分别求得y的最大值和最小值即可求得答案． 【解答】解：y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∵﹣1＜0，对称轴为x＝1， ∴当x＝1时，y有最大值，最大值为4， ∵3﹣1＞1﹣0， ∴当x＝3时，y有最小值0， ∴当0＜x＜3时，y的取值范围是0＜y≤4， 故选：C． 【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握其性质是解决此题的关键． 8．已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（1，0），B（5，0）两点，x1，x2是关于x的一元二次方程a（x﹣1）2+c＝m2+b﹣bx的两根，则x1+x2的值为（　　） A．6 B．7 C．8 D．10 【分析】先把a（x﹣1）2+c＝m2+b﹣bx整理成一元二次方程的一般形式，根据根与系数的关系得x1+x22，再根据对称轴公式求出∴6，代入即可． 【解答】解：∵x1，x2是关于x的一次方程a（x﹣1）2+c＝m2+b﹣bx的两根， ∴ax2+（b﹣2a）x+a+c﹣m2﹣b＝0， ∴x1+x22， ∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（1，0），B（5，0）两点， ∴3， ∴6， ∴x1+x2＝6+2＝8． 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，二次函数的性质，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 9．（2024•高新区校级三模）如图，平面直角坐标系中有两条抛物线，它们的顶点P，Q都在x轴上，平行于x轴的直线与两条抛物线相交于A，B，C，D四点，若AB＝10，BC＝5，CD＝6，则PQ的长度为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【分析】分别作出两条抛物线的对称轴PM，QN，交AD于点M，N，得四边形PMNQ是矩形，利用抛物线的对称性计算即可． 【解答】解：分别作出两条抛物线的对称轴PM，QN，交AD于点M，N， ∴四边形PMNQ是矩形， ∴MN＝PQ， ∵AB＝10，BC＝5，CD＝6， ∴，， ∴MN＝AD﹣AM﹣ND＝（AB+BC+CD）﹣AM﹣ND，， ∴PQ＝8， 故选：B． 【点评】本题考查了抛物线的性质，矩形的性质，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键． 10．（2024•永善县二模）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，下列结论：①ab＜0；②b2＞4ac；③a+b+2c＜0；④3a+c＜0．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据二次函数的图象得a＞0，c＜0；根据抛物线与x轴有两个交点得Δ＝b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac；根据当x＝1时，y＜0得a+b+c＜0，又因为c＜0则a+b+2c＜0；根据抛物线对称轴是直线得b＝﹣2a，根据当x＝﹣1时，y＞0，即可得a﹣b+c＞0，则a+2a+c＞0，可得3a+c＞0；综上，即可得． 【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象开口向上， ∴a＞0， ∵抛物线与y轴的交点在x轴的下方， ∴c＜0， ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴Δ＝b2﹣4ac＞0， 即b2＞4ac； ∵当x＝1时，y＜0， ∴a+b+c＜0， ∵c＜0， ∴a+b+2c＜0； ∵抛物线对称轴是直线， ∴b＝﹣2a＜0， ∴ab＜0， ∵当x＝﹣1时，y＞0， ∴a﹣b+c＞0， 则a+2a+c＞0，3a+c＞0； 综上，①②③正确， 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是理解题意，掌握二次函数的图象与性质． 二、填空题（每小题3分，共6个小题，共18分） 11．已知关于x的二次函数y＝（a﹣1）2x﹣1的图象开口向下，则a＝　 　． 【分析】根据二次函数y＝（a﹣1）2x﹣1的图象开口向下，可知，然后求解即可． 【解答】解：∵二次函数y＝（a﹣1）2x﹣1的图象开口向下， ∴， 解得a＝﹣2， 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象、二次函数的定义，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的定义解答． 12．（2024•梁溪区校级二模）已知二次函数y＝（x﹣a）（x+2a﹣1）的对称轴是直线x＝﹣2，则a的值为 　 　． 【分析】先把二次函数解析式化为一般式，然后利用对称轴方程得到2，于是解方程即可． 【解答】解：y＝（x﹣a）（x+2a﹣1）＝x2+（a﹣1）x﹣2a2+a， ∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣2， ∴2， ∴a＝5． 故答案为：5． 【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 13．（2022•黔东南州二模）已知：二次函数y＝ax2+bx+c图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示，那么它的图象与x轴的另一个交点坐标是　 　． x … ﹣1 0 1 2 … y … 0 3 4 3 … 【分析】由抛物线的对称性及抛物线经过（0，3），（2，3）可得抛物线对称轴，进而求解． 【解答】解：∵抛物线经过（0，3），（2，3）， ∴抛物线对称轴为直线x＝1， ∵抛物线经过（﹣1，0）， ∴抛物线经过（3，0）， 故答案为：D． 【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系． 14．（2023秋•黄埔区期末）已知一次函数y＝kx+4的图象与y轴的交点为P，若二次函数y＝ax2﹣5ax+4a的图象经过点P，则二次函数的解析式为 　 　． 【分析】由一次函数的解析式求得P点的坐标，把P的坐标代入y＝ax2﹣5ax+4a，利用待定系数法即可求解． 【解答】解：∵一次函数y＝kx+4的图象与y轴的交点为P， ∴P（0，4）， ∵二次函数y＝ax2﹣5ax+4a的图象经过点P， ∴4a＝4， 解得a＝1， ∴二次函数为y＝x2﹣5x+4． 故答案为：y＝x2﹣5x+4． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 15．（2023•立山区一模）如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣3，9），B（1，1），则关于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0的解为 　 ． 【分析】利用图象法即可解决问题，方程的解就是两个函数图象的交点的横坐标． 【解答】解：由图象可知，关于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0的解，就是抛物线y＝ax2（a≠0）与直线y＝bx+c（b≠0）的两个交点坐标分别为A（﹣3，9），B（1，1）的横坐标，即x1＝﹣3，x2＝1． 故答案为：x1＝﹣3，x2＝1． 【点评】本题考查抛物线与x轴交点、一次函数的应用、一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用图象法解决实际问题，属于中考常考题型． 16．（2023秋•杭州期末）已知y＝2x﹣1，且，令S＝xy，则函数S的取值范围是 　 　． 【分析】根据题意，可以写出S关于x的函数解析式，再根据x的取值范围和二次函数的性质，即可得到函数S的取值范围． 【解答】解：∵y＝2x﹣1，S＝xy， ∴S＝x（2x﹣1）＝2（x）2， ∴该函数开口向上，当x取得最小值， ∵， ∴当x取得最小值，当x取得最大值0， ∴S的取值范围为S≤0， 故答案为：S≤0． 【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 三、解答题（共8个小题，共72分） 17．（8分）（2023秋•定远县期中）已知函数y＝﹣（m+2）xm2﹣2（m为常数），求当m为何值时： （1）y是x的一次函数？ （2）y是x的二次函数？并求出此时纵坐标为﹣8的点的坐标． 【分析】（1）根据形如y＝kx（k≠0，k是常数）是一次函数，可得一次函数； （2）根据形如y＝ax2（a是常数，且a≠0）是二次函数，可得答案，根据函数值，可得自变量的值，可得符合条件的点． 【解答】解：（1）由y＝﹣（m+2）xm2﹣2（m为常数），y是x的一次函数，得 ， 解得m， 当m时，y是x的一次函数； （2）y＝﹣（m+2）xm2﹣2（m为常数），是二次函数，得 ， 解得m＝2，m＝﹣2（不符合题意的要舍去）， 当m＝2时，y是x的二次函数， 当y＝﹣8时，﹣8＝﹣4x2， 解得x， 故纵坐标为﹣8的点的坐标的坐标是（，﹣8）． 【点评】本题考查了二次函数的定义，利用了二次函数的定义，一次函数的定义，注意二次项的系数不能为零． 18．（8分）（2023秋•仙居县期末）已知二次函数图象的顶点坐标是（﹣1，﹣4），且经过点（1，0）． （1）求该二次函数的解析式． （2）当﹣3≤x≤0时，求此函数的最大值与最小值． 【分析】（1）设顶点式＝a（x+1）2﹣4，然后把（1，0）代入求出a的值即可； （2）先分别计算出自变量为﹣3和0时对应的函数值，再根据二次函数的性质得到x＝﹣1时，y有最小值﹣4，所以当﹣3≤x≤0时有﹣4≤y≤0，从而得到此函数的最大值和最小值． 【解答】解：（1）∵二次函数图象的顶点坐标是（﹣1，﹣4）， ∴二次函数的解析式可设为y＝a（x+1）2﹣4， 把（1，0）代入得a×（1+1）2﹣4＝0， 解得a＝1， ∴二次函数的解析式为y＝（x+1）2﹣4； （2）当x＝﹣3时，y＝（﹣3+1）2﹣4＝0， 当x＝0时，y＝（0+1）2﹣4＝﹣3， 而x＝﹣1时，y有最小值﹣4， ∴当﹣3≤x≤0时，﹣4≤y≤0，则此函数的最大值为0，最小值为﹣4． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质． 19．（8分） （2023秋•邗江区校级期末）直线y＝x+2与抛物线y＝ax2（a≠0）相交于点A（2，b）． （1）求a，b的值； （2）求另一个交点B的坐标； （3）求△AOB的面积． 【分析】（1）把点A（2，b）代入y＝x+2，求出b的值，再把点A（2，4），代入y＝ax2（a≠0）求出a的值，即可； （2）联立两函数解析式，即可求解； （3）设直线y＝x+2与y轴交于点C，则点C（0，2），根据S△AOB＝S△AOC+S△BOC，即可求解． 【解答】解：（1）把点A（2，b）代入y＝x+2，得： b＝2+2＝4， ∴点A（2，4）， 把点A（2，4）代入y＝ax2（a≠0），得： 4＝4a，解得：a＝1； （2）由（1）得：抛物线解析式为y＝x2， 联立得：，解得：或， ∴另一个交点B的坐标为（﹣1，1）； （3）如图，设直线y＝x+2与y轴交于点C，则点C（0，2）， ∴OC＝2， ∴． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象与一次函数图象的交点问题，熟练掌握各知识点是解题的关键． 20．（8分）（2024•柘城县校级四模）大自然中有一种神奇的鱼——射水鱼，它能以极快的速度从口中射出水柱击落昆虫来捕食，射出的水柱呈抛物线形．如图，以射水鱼所在的位置为原点O建立平面直角坐标系，设水柱距水面的高度为ydm，与射水鱼的水平距离为xdm，y与x的函数表达式为y＝a（x﹣2）2+k，水柱的最大高度为6dm． （1）求y关于x的函数表达式； （2）一只昆虫位于点处，水柱形成的时间忽略不计，射水鱼从原点O出发，需要水平向右游动多少距离才能击中昆虫？ 【分析】（1）用待定系数法求函数解析式即可； （2）根据设射水鱼从原点O出发，需要水平向右游动n dm才能击中昆虫，根据平移的性质得出平移后的解析式，再把A（3，）代入解析式求出m即可． 【解答】解：（1）∵水柱的最大高度为6dm，即k＝6， ∴y与x的函数表达式为y＝a（x﹣2）2+6， ∵抛物线经过原点， ∴4a+6＝0， 解得a， ∴y关于x的函数表达式为y（x﹣2）2+6； （2）设射水鱼从原点O出发，需要水平向右游动n dm才能击中昆虫， 则此时y关于x的函数表达式为y（x﹣2﹣m）2+6， 把A（3，）代入解析式得：（3﹣2﹣m）2+6， 解得m1，m2， ∴射水鱼从原点O出发，需要水平向右游动dm或dm才能击中昆虫． 【点评】本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是求出函数解析式． 21．（9分）（2024•沧州一模）设二次函数y1、y2的图象的顶点坐标分别为（a，b）、（c、d），若a＝2c、b＝2d，且两图象开口方向相同，则称y1是y2的“同倍项二次函数”． （1）写出二次函数y＝x2+x+1的一个“同倍项二次函数”； （2）已知关于x的二次函数y1＝x2+nx和二次函数y2＝x2+3nx+1，若y1+y2是y1的“同倍项二次函数”，求n的值． 【分析】（1）先求出y＝x2+x+1的顶点坐标，然后根据同倍项二次函数的定义求出答案； （2）先求出y1和y1+y2的解析式并求出顶点坐标，然后根据条件a＝2c，b＝2d，且开口方向相同求出n的值． 【解答】解：（1）∵y＝x2+x+1， ∴y＝（x）2， ∴二次函数y＝x2+x+1的顶点坐标为（，）， ∴二次函数y＝x2+x+1的一个“同倍项二次函数”的顶点坐标为（﹣1，）， ∴同倍项二次函数的解析式为y＝（x+1）2； （2）y1＝x2+nx＝（x）2， 顶点坐标为（，）， y1+y2＝x2+nx+x2+3nx+1＝2x2+4nx+1＝2（x+n）2+1﹣2n2， 顶点坐标为（﹣n，1﹣2n2）， ∵y1+y2是y1的“同倍项二次函数”， ∴1﹣2n2＝2×（）， 解得：n＝±． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质，解答本题的关键是掌握“同倍项二次函数”的定义，理解题意，按条件的要求求得答案即可． 22．（9分）（2023秋•晋安区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+b﹣1（b为常数，且b≠0）． （1）求证：抛物线与y轴必有交点； （2）求抛物线顶点所在的函数解析式； （3）直线y＝kx﹣1（k≠0）经过抛物线的顶点，且与抛物线交于另一个点A，当时，求k的值． 【分析】（1）计算x＝0时，y＝b﹣1，因为b≠1，得到结论； （2）利用配方法得到抛物线的顶点坐标为（b，b2+b﹣1），设xb，yb2+b﹣1，然后消去b得到y与x的关系式即可； （3）先把抛物线的顶点坐标代入y＝kx﹣1得到b2+b﹣1bk﹣1，则b＝2k+4，所以抛物线解析式为y＝x2+（2k+4）x+2k+3，再解方程kx﹣1＝x2+（2k+4）x+2k+3得A点坐标为（﹣2，﹣2k﹣1），接着利用两点间的距离公式得到22+（﹣2k﹣1）2＝5，然后解方程即可． 【解答】（1）证明：∵令x＝0， 则y＝b﹣1， ∵b为常数，且b≠0， ∴抛物线与y轴必有交点； （2）解：∵y＝x2+bx+b﹣1＝（xb）2b2+b﹣1， ∴抛物线的顶点坐标为（b，b2+b﹣1）， 设xb，yb2+b﹣1， ∵b＝﹣2x， ∴y•（﹣2x）2﹣2x﹣1， 即y＝﹣x2﹣2x﹣1， ∴抛物线顶点所在的函数解析式为y＝﹣x2﹣2x﹣1； （3）∵直线y＝kx﹣1（k≠0）经过抛物线的顶点， ∴b2+b﹣1bk﹣1， ∴b＝2k+4， ∴抛物线的顶点坐标为（﹣k﹣2，﹣k2﹣2k﹣1）， 抛物线解析式为y＝x2+（2k+4）x+2k+3， 解方程kx﹣1＝x2+（2k+4）x+2k+3得x1＝﹣2，x2＝﹣k﹣2， ∴A点坐标为（﹣2，﹣2k﹣1）， ∵OA， ∴22+（﹣2k﹣1）2＝5， 解得k1＝0（舍去），k2＝﹣1， 即k的值为﹣1． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程；Δ＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．也考查了二次函数的性质和待定系数法求函数解析式． 23．（10分）（2024春•亭湖区校级月考）某机械厂每月固定生产甲、乙两种零件共80万件，并能全部售出．甲零件每件成本10元，售价16元；乙零件每件成本8元，售价12元．设生产甲零件x万件．所获总利润y万元． （1）写出y与x的函数关系式； （2）如果每月投入的总成本不超过740万元，应该怎样安排甲、乙零件的产量，可使所获的总利润最大？最大总利润是多少万元？ （3）该厂在销售中发现：某月甲零件售价每提高1元，甲零件销量会减少5万件，乙零件售价不变，不管生产多少都能卖出，在（2）获得最大利润的情况下，为了获得更大的利润，该厂决定提高甲零件的售价，并重新调整甲、乙零件的生产数量，求甲零件售价提高多少元时，可获总利润最大？最大总利润是多少万元？ 【分析】（1）根据题意即可得到结论； （2）设安排甲零件的产量x万件，则安排乙零件的产量（80﹣x）万件，根据题意得到10x+8（80﹣x）≤740，解不等式即可得到结论； （3）甲种零件售价提高m元时，可获总利润w元，根据题意得到合适解析式，根据二次函数的性质即可得到结论． 【解答】解：（1）根据题意得：y＝（16﹣10）x+（12﹣8）（80﹣x）， 即y与x的函数关系式是y＝2x+320； （2）设安排甲零件的产量x万件，则安排乙零件的产量（80﹣x）万件， 根据题意得：10x+8（80﹣x）≤740， 解得：x≤50， 由（1）知y＝2x+320， ∵2＞0，y随x的增大而增大， ∴当x＝50时，y有最大值，y最大＝2×50+320＝420， 此时80﹣50＝30（万件）． 答：安排甲零件的产量50万件，则安排乙零件的产量30万件，可使所获的总利润最大，最大总利润是420万元； （3）甲种零件售价提高m元时，可获总利润w元， 则w＝（16+m﹣10）（50﹣5m）+（12﹣8）[80﹣（50﹣5m）]， ∴w＝﹣5m2+40m+420＝﹣5（m﹣4）2+500， ∵﹣5＜0，开口向下， ∴w有最大值， 当m＝4时，w最大＝500． 答：甲零件售价提高4元时，可获总利润最大，最大总利润是500万元． 【点评】本题考查的是用二次函数解决实际问题，此类题是近年中考中的热点问题．注意利用二次函数求最值时，关键是应用二次函数的性质；即由函数w随m的变化，结合自变量的取值范围确定最值． 24．（12分）（2024•市中区三模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（6，0），B（﹣2，0），C（0，4）． （1）求二次函数y＝ax2+bx+c的表达式； （2）点P在第一象限的抛物线上，且能够使△ACP得面积最大，求点P的坐标； （3）在（2）的前提下，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△APQ为直角三角形，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 【分析】（1）利用待定系数法，把问题转化为方程组解决即可； （2）如图1中，作∥OC交AC于E．设P（m，m2m+4）．构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题； （3）分三种情形分别解决问题即可； 【解答】解：（1）把A（6，0），B（﹣2，0），C（0，4）的坐标代入y＝ax2+bx+c， 得到， 解得， ∴抛物线的解析式为yx2x+4． （2）如图1中，作∥OC交AC于E．设P（m，m2m+4）． ∵直线AC的解析式为yx+4， ∴E（m，m+4）， ∴PEm2+2m， ∴S△PAC（m2+2m）×6＝﹣m2+6m＝﹣（m﹣3）2+9， ∵﹣1＜0， ∴m＝3时，△PAC的面积最大， ∴P（3，5）． （3）如图2中， ∵A（6，0），P（3，5）， ∴直线PA的解析式为yx+10， ①当AQ1⊥PA时，直线AQ′的解析式为yx， ∴Q1（2，） ②当PQ2⊥PA时，直线PQ2的解析式为yx， ∴Q2（2，）． ③当PQ3⊥AQ3时，设Q3（2，m），设PA的中点K（，）， 则KQ3PA， ∴•， 解得m＝1或4， ∴Q3（2，1）或（2，4）， 综上所述，满足条件的点Q坐标为（2，）或（2，）或（2，1）或（2，4）． 【点评】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、两直线垂直的性质的应用等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法全等函数解析式，学会构建一次函数，解决交点坐标问题，学会用分类讨论的射线思考问题，属于中考压轴题． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$