汇编06 一次、二次方程（组）及应用2022-2024年中考数学试题汇编 （湖南专版）

2022-2024年中考数学真题知识点汇编06《一次方程(组)及应用》 湖南专版 知识点1 一次、二次方程(组)的解法及一元二次方程根的判别式 一、选择题 1.【2022•怀化】下列一元二次方程有实数解的是 A. B. C. D. 2.(2023•永州)关于x的一元一次方程2x+m=5的解为 x=1,则m的值为( ) A.3 B.﹣3 C.7 D.﹣7 2、 填空题 3.(2022•岳阳)已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根,则实数的取值范围是_. 4. (2022•长沙)关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根,则实数t的值为_. 5.(2023•常德)若关于x的一元二次方程x2﹣2x+a=0有两个不相等的实数根,则实数a的取值范围是 . 6.(2023•张家界)已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣a=0有两个不相等的实数根,则a的取值范围是 . 7. (2022•娄底)已知实数是方程的两根,则_. 8.(2023•岳阳)已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2﹣m+2=0有两个不相等的实数根x1、x2,且x1+x2+x1•x2=2,则实数m= . 9.(2023•株洲)已知实数m、x满足:(mx1﹣2)(mx2﹣2)=4. ①若,则x2= ; ②若m、x1、x2为正整数,则符合条件的有序实数对(x1,x2)有 个. 二、解答题(共11小题) 10.(2022 •张家界)如图,已知抛物线的图象与轴交于,两点,与轴交于点,点为抛物线的顶点. 求抛物线的函数表达式及点的坐标; 若四边形为矩形,点以每秒个单位的速度从点沿向点运动,同时点以每秒个单位的速度从点沿向点运动,一点到达终点,另一点随之停止.当以、、为顶点的三角形与相似时,求运动时间的值; 抛物线的对称轴与轴交于点,点是点关于点的对称点,点是轴下方抛物线图象上的动点.若过点的直线:与抛物线只有一个公共点,且分别与线段、相交于点、,求证:为定值. 11. (2023•常德)解方程组:. 知识点3 一次、二次方程(组)的应用 一、选择题 1.【2022岳阳】我国古代数学著作孙子算经中有这样一道题,原文如下:今有百鹿入城,家取一鹿,不尽,又三家共一鹿,适尽,问:城中家几何?大意为:今有头鹿进城,每家取一头鹿,没有取完,剩下的鹿每家共取一头,恰好取完,问:城中有多少户人家?在这个问题中,城中人家的户数为 A. B. C. D. 2. (2022湘潭)为培养青少年的创新意识、动手实践能力、现场应变能力和团队精神,湘潭市举办了第10届青少年机器人竞赛.组委会为每个比赛场地准备了四条腿的桌子和三条腿的凳子共12个,若桌子腿数与凳子腿数的和为40条,则每个比赛场地有几张桌子和几条凳子?设有张桌子,有条凳子,根据题意所列方程组正确的是( ) A. B. C. D. 3.(2022•湘潭) 中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时,用4个全等的直角三角形拼成正方形(如图),并用它证明了勾股定理,这个图被称为“弦图”.若“弦图”中小正方形面积与每个直角三角形面积均为1,为直角三角形中的一个锐角,则( ) A. 2 B. C. D. 二、填空题 4. (2022永州)我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”,极富创新意识地给出了勾股定理的证明.如图所示,“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形,若大正方形的面积是25,小正方形的面积是1,则_. 5. 【2024长沙】为庆祝中国改革开放46周年,某中学举办了一场精彩纷呈的庆祝活动,现场参与者均为在校中学生,其中有一个活动项目是“选数字猜出生年份”,该活动项目主持人要求参与者从1,2,3,4,5,6,7,8,9这九个数字中任取一个数字,先乘以10,再加上4.6,将此时的运算结果再乘以10,然后加上1978,最后减去参与者的出生年份(注:出生年份是一个四位数,比如2010年对应的四位数是2010),得到最终的运算结果.只要参与者报出最终的运算结果,主持人立马就知道参与者的出生年份.若某位参与者报出的最终的运算结果是915,则这位参与者的出生年份是_. 三、解答题 6.(2022•岳阳)为迎接湖南省第十四届运动会在岳阳举行,某班组织学生参加全民健身线上跳绳活动,需购买,两种跳绳若干.若购买根种跳绳和根种跳绳共需元;若购买根种跳绳和根种跳绳共需元. 求,两种跳绳的单价各是多少元? 若该班准备购买,两种跳绳共根,总费用不超过元,那么至多可以购买种跳绳多少根? 7.(2022•邵阳)2022年2月4日至20日冬季奥运会在北京举行.某商店特购进冬奥会纪念品“冰墩墩”摆件和挂件共180个进行销售.已知“冰墩墩”摆件的进价为80元个,“冰墩墩”挂件的进价为50元个. (1)若购进“冰墩墩”摆件和挂件共花费了11400元,请分别求出购进“冰墩墩”摆件和挂件的数量. (2)该商店计划将“冰墩墩”摆件售价定为100元个,“冰墩墩”挂件售价定为60元个,若购进的180个“冰墩墩”摆件和挂件全部售完,且至少盈利2900元,求购进的“冰墩墩”挂件不能超过多少个? 8.(2022•衡阳)冰墩墩、雪容融分别是2022年北京冬奥会、冬残奥会的吉祥物.冬奥会来临之际,冰墩墩、雪容融玩偶畅销全国.小雅在某网店选中两种玩偶.决定从该网店进货并销售.第一次小雅用1400元购进了冰墩墩玩偶15个和雪容融玩偶5个,已知购进1个冰墩墩玩偶和1个雪容融玩偶共需136元,销售时每个冰墩墩玩偶可获利28元,每个雪容融玩偶可获利20元. (1)求两种玩偶的进货价分别是多少? (2)第二次小雅进货时,网店规定冰墩墩玩偶进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍.小雅计划购进两种玩偶共40个,应如何设计进货方案才能获得最大利润,最大利润是多少元? 9.(2022张家界)中国“最美扶贫高铁”之一的“张吉怀高铁”开通后,张家界到怀化的运行时间由原来的小时缩短至小时,运行里程缩短了千米.已知高铁的平均速度比普通列车的平均速度每小时快千米,求高铁的平均速度. 10. (2022常德)小强的爸爸平常开车从家中到小强奶奶家,匀速行驶需要4小时,某天,他们以平常的速度行驶了的路程时遇到了暴雨,立即将车速减少了20千米/小时,到达奶奶家时共用了5小时,问小强家到他奶奶家的距离是多少千米? 11. (2022娄底)“绿水青山就是金山银山”.科学研究表明:树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物,具有滞尘净化空气的作用.已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少,若一片国槐树叶与一片银杏树叶一年的平均滞尘总量为. (1)请分别求出一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘量; (2)娄底市双峰县九峰山森林公园某处有始于唐代的三棵银杏树,据估计三棵银杏树共有约50000片树叶.问这三棵银杏树一年的平均滞尘总量约多少千克? 12.(2022永州) 受第24届北京冬季奥林匹克运动会的影响,小勇爱上了雪上运动.一天,小勇在滑雪场训练滑雪,第一次他从滑雪道端以平均米/秒的速度滑到端,用了24秒;第二次从滑雪道端以平均米/秒的速度滑到端,用了20秒. (1)求的值; (2)设小勇从滑雪道端滑到端的平均速度为米/秒,所用时间为秒,请用含的代数式表示(不要求写出的取值范围). 13.(2023•郴州)随旅游旺季的到来,某景区游客人数逐月增加,2月份游客人数为1.6万人,4月份游客人数为2.5万人. (1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率; (2)预计5月份该景区游客人数会继续增长,但增长率不会超过前两个月的月平均增长率.已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人,则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人? 14.(2023•张家界)为拓展学生视野,某中学组织八年级师生开展研学活动,原计划租用45座客车若干辆,但有15人没有座位;若租用同样数量的60座客车,则多出三辆车,且其余客车恰好坐满.现有甲、乙两种客车,它们的载客量和租金如下表所示: 甲型客车 乙型客车 载客量(人/辆) 45 60 租金(元/辆) 200 300 (1)参加此次研学活动的师生人数是多少?原计划租用多少辆45座客车? (2)若租用同一种客车,要使每位师生都有座位,应该怎样租用才合算? 15. 【2024长沙】刺绣是我国民间传统手工艺.湘绣作为中国四大刺绣之一,闻名中外,在巴黎奥运会倒计时50天之际,某国际旅游公司计划购买A、B两种奥运主题的湘绣作品作为纪念品.已知购买1件A种湘绣作品与2件B种湘绣作品共需要700元,购买2件A种湘绣作品与3件B种湘绣作品共需要1200元. (1)求A种湘绣作品和B种湘绣作品的单价分别为多少元? (2)该国际旅游公司计划购买A种湘绣作品和B种湘绣作品共200件,总费用不超过50000元,那么最多能购买A种湘绣作品多少件? 16. (2024•长沙)已知四个不同的点,,,都在关于x的函数(a,b,c是常数,)的图象上. (1)当A,B两点的坐标分别为,时,求代数式的值; (2)当A,B两点的坐标满足时,请你判断此函数图象与x轴的公共点的个数,并说明理由; (3)当时,该函数图象与x轴交于E,F两点,且A,B,C,D四点的坐标满足:,.请问是否存在实数,使得,,这三条线段组成一个三角形,且该三角形的三个内角的大小之比为?若存在,求出m的值和此时函数的最小值;若不存在,请说明理由(注:表示一条长度等于的m倍的线段). 2022-2024年中考数学真题知识点汇编06《一次方程(组)及应用》 湖南专版解析 知识点1 一次方程(组)的解法 一、选择题 1.【2022•怀化】下列一元二次方程有实数解的是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】. ,方程没有实数根;. ,方程没有实数根;. , 方程有两个不相等的实数根;. ,方程没有实数根. 2.(2023•永州)关于x的一元一次方程2x+m=5的解为 x=1,则m的值为( ) A.3 B.﹣3 C.7 D.﹣7 【考点】一元一次方程的解.版权所有 【分析】根据方程的解的定义把x=1代入方程即可求出m的值. 【解答】解:∵x=1是关于x的一元一次方程2x+m=5的解, ∴2 1+m=5, ∴m=3, 故选:A. 【点评】本题主要考查了一元一次方程的解的定义,熟知:使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解. 2、 填空题 3.(2022•岳阳)已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根,则实数的取值范围是_. 【解析】解:根据题意得, 解得, 所以实数的取值范围是. 故答案为:. 根据判别式的意义得到,然后解不等式求出的取值即可. 【分析】本题考查了根的判别式:一元二次方程的根与有如下关系:当时,方程有两个不相等的实数根;当时,方程有两个相等的实数根;当时,方程无实数根. 4. (2022•长沙)关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根,则实数t的值为_. 【答案】 【解析】根据关于的一元二次方程有两个不相等的实数根,可得,求解即可. 【详解】关于的一元二次方程有两个不相等的实数根, , , 故答案为:. 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式,即一元二次方程的根与有如下关系:当时,方程有两个不相等的实数根;当时,方程有两个相等的实数根;当时,方程没有实数根,熟练掌握知识点是解题的关键. 5.(2023•常德)若关于x的一元二次方程x2﹣2x+a=0有两个不相等的实数根,则实数a的取值范围是 a<1 . 【考点】根的判别式. 【分析】由关于x的一元二次方程x2﹣2x+a=0有两个不相等的实数根,即可得判别式 >0,继而可求得a的范围. 【解答】解:∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+a=0有两个不相等的实数根, ∴ =b2﹣4ac=(﹣2)2﹣4 a=4﹣4a>0, 解得:a<1, ∴a的取值范围是:a<1. 故答案为:a<1. 【点评】此题考查了一元二次方程判别式,解答的关键是注意掌握一元二次方程有两个不相等的实数根,即可得 >0. 6.(2023•张家界)已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣a=0有两个不相等的实数根,则a的取值范围是 a>﹣1 . 【考点】根的判别式 【分析】根据判别式的意义得到 =(﹣2)2﹣4 1 (﹣a)>0,然后解不等式即可. 【解答】解:根据题意得 =(﹣2)2﹣4 1 (﹣a)>0, 解得a>﹣1. 故答案为:a>﹣1. 【点评】本题考查了根的判别式:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与 =b2﹣4ac有如下关系:当 >0时,方程有两个不相等的实数根;当 =0时,方程有两个相等的实数根;当 <0时,方程无实数根. 7. (2022•娄底)已知实数是方程的两根,则_. 【答案】 【解析】 【分析】由一元二次方程根与系数的关系直接可得答案. 【详解】解: 实数是方程的两根, 故答案为: 【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系,掌握“”是解本题的关键. 8.(2023•岳阳)已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2﹣m+2=0有两个不相等的实数根x1、x2,且x1+x2+x1•x2=2,则实数m= 3 . 【考点】根与系数的关系;根的判别式.版权所有 【分析】根据方程的系数结合根的判别式 >0,可得出关于m的一元一次不等式,解之可得出m的取值范围,由根与系数的关系,可得出x1+x2=﹣2m,x1•x2=m2﹣m+2,结合x1+x2+x1•x2=2,可得出关于m的一元二次方程,解之取其符合题意的值,即可得出结论. 【解答】解:∵原方程有两个不相等的实数根, ∴ =(2m)2﹣4 1 (m2﹣m+2)>0, ∴m>2. ∵x1,x2是关于x的一元二次方程x2+2mx+m2﹣m+2=0的两个实数根, ∴x1+x2=﹣2m,x1•x2=m2﹣m+2, ∵x1+x2+x1•x2=2, ∴﹣2m+m2﹣m+2=2, 解得:m1=0(不符合题意,舍去),m2=3, ∴实数m的值为3. 故答案为:3. 【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系,由根与系数的关系结合x1+x2+x1•x2=2,找出关于m的一元二次方程是解题的关键. 9.(2023•株洲)已知实数m、x满足:(mx1﹣2)(mx2﹣2)=4. ①若,则x2= 18 ; ②若m、x1、x2为正整数,则符合条件的有序实数对(x1,x2)有 7 个. 【考点】一元二次方程的解.版权所有 【分析】①把m,x1=9代入求值即可; ②由题意知:(mx1﹣2),(mx2﹣2)均为整数,mx1≥1,mx2≥1,mx1﹣2≥﹣1,mx2﹣2≥﹣1,则4=1 4=2 2=4 1,再分三种情况讨论即可. 【解答】解:①把m,x1=9时,(9﹣2) (x2﹣2)=4, 解得:x2=18; 故答案为:18. ②当m,x1,x2为正整数时, (mx1﹣2),(mx2﹣2)均为整数,mx1≥1,m2≥1,mx1﹣2≥﹣1,mx2﹣2≥﹣1, 而4=1 4=2 2=4 1, ∴或或, ∴或或, 当时,m=1时,x1=3,x2=6;m=3时,x1=1,x2=2, 故(x1,x2)为(3,6),(1,2),共2个; 当时,m=1时,x1=4,x2=4;m=2时,x1=2,x2=2,m=4时,x1=1,x2=1, 故(x1,x2)为(4,4),(2,2),(1,1),共3个; 当时,m=1时,x1=6,x2=3;m=3时,x1=2,x2=1, 故(x1,x2)为(6,3),(2,1),共2个; 综上所述:共有2+3+2=7个. 三、解答题 10.(2022 张家界)如图,已知抛物线的图象与轴交于,两点,与轴交于点,点为抛物线的顶点. 求抛物线的函数表达式及点的坐标; 若四边形为矩形,点以每秒个单位的速度从点沿向点运动,同时点以每秒个单位的速度从点沿向点运动,一点到达终点,另一点随之停止.当以、、为顶点的三角形与相似时,求运动时间的值; 抛物线的对称轴与轴交于点,点是点关于点的对称点,点是轴下方抛物线图象上的动点.若过点的直线:与抛物线只有一个公共点,且分别与线段、相交于点、,求证:为定值. 解:设二次函数表达式为:, 将、代入得: , 解得,, 抛物线的函数表达式为:, 又,, 顶点为; 依题意,秒后点的运动距离为,则,点的运动距离为. 当∽时, , 解得; 当∽时, , 解得; 综上得,当或时,以、、为顶点的三角形与相似; 点关于点的对称点为点, , 直线:与抛物线图象只有一个公共点, 只有一个实数解, , 即:, 解得:, 利用待定系数法可得直线的解析式为:,直线的解析式为:, 联立,结合已知, 解得:, 同理可得:, 则:,, , 的值为. 【解析】 二次函数表达式可设为:,将、代入,解方程可得和的值,再利用顶点坐标公式可得点的坐标; 根据秒后点的运动距离为,则,点的运动距离为分两种情形,当∽时,得,解得;当∽时,得,解得; 首先利用中点坐标公式可得点的坐标,利用待定系数法求出直线和的解析式,再根据直线:与抛物线图象只有一个公共点,联立两函数解析式,可得,再求出点和的横坐标,从而解决问题. 本题是二次函数综合题,主要考查了待定系数法求函数解析式,相似三角形的判定与性质,函数与方程的关系,一元二次方程根的判别式等知识,联立两函数关系求出点和的横坐标是解题的关键,属于中考压轴题. 11.(2023•常德)解方程组:. 【考点】解二元一次方程组.版权所有 【分析】利用加减消元法求解即可. 【解答】解:① 2+②得:5x=25, 解得:x=5, 将x=5代入①得:5﹣2y=1, 解得:y=2, 所以原方程组的解是. 【点评】此题考查了解二元一次方程组,利用了消元的思想,消元的方法有:代入消元法与加减消元法. 知识点3 一次方程(组)的应用 一、选择题 1.【2022岳阳】我国古代数学著作孙子算经中有这样一道题,原文如下:今有百鹿入城,家取一鹿,不尽,又三家共一鹿,适尽,问:城中家几何?大意为:今有头鹿进城,每家取一头鹿,没有取完,剩下的鹿每家共取一头,恰好取完,问:城中有多少户人家?在这个问题中,城中人家的户数为 A. B. C. D. 【考点】一元一次方程的应用.版权所有 【解答】解:设城中有户人家, 依题意得:, 解得:, 城中有户人家. 故选:. 【点评】设城中有户人家,利用鹿的数量城中人均户数城中人均户数,即可得出关于的一元一次方程,解之即可得出结论.本题考查了一元一次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元一次方程是解题的关键. 2. (2022湘潭)为培养青少年的创新意识、动手实践能力、现场应变能力和团队精神,湘潭市举办了第10届青少年机器人竞赛.组委会为每个比赛场地准备了四条腿的桌子和三条腿的凳子共12个,若桌子腿数与凳子腿数的和为40条,则每个比赛场地有几张桌子和几条凳子?设有张桌子,有条凳子,根据题意所列方程组正确的是( ) A. B. C. D. 【考点】二元一次方程组的实际应用 【答案】B 【解析】 【分析】根据四条腿的桌子和三条腿的凳子共12个可列方程x+y=12,根据桌子腿数与凳子腿数的和为40条可列方程4x+3y=40,组成方程组即可. 【详解】解:根据题意可列方程组, 故选:B. 【点睛】本题考查实际问题抽出二元一次方程组,解题的关键是要注意抓住题目中的一些关键性词语,找出等量关系,列出方程组. 3.(2022•湘潭) 中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时,用4个全等的直角三角形拼成正方形(如图),并用它证明了勾股定理,这个图被称为“弦图”.若“弦图”中小正方形面积与每个直角三角形面积均为1,为直角三角形中的一个锐角,则( ) A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】首先根据两个正方形的面积分别求出两个正方形的边长,然后结合题意进一步设直角三角形短的直角边为a,则较长的直角边为a+1,再接着利用勾股定理得到关于a的方程,据此进一步求出直角三角形各个直角边的边长,最后求出的值即可. 【详解】∵小正方形与每个直角三角形面积均为1, ∴大正方形的面积为5, ∴小正方形的边长为1,大正方形的边长为, 设直角三角形短的直角边为a,则较长的直角边为a+1,其中a>0, ∴a2+(a+1)2=5,其中a>0, 解得:a1=1,a2=-2(不符合题意,舍去), ===2, 故选:A. 【点睛】本题主要考查了勾股定理与一元二次方程及三角函数的综合运用,熟练掌握相关概念是解题关键. 二、填空题 4. (2022永州)我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”,极富创新意识地给出了勾股定理的证明.如图所示,“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形,若大正方形的面积是25,小正方形的面积是1,则_. 【答案】3 【解析】根据题意得出AB=BC=CD=DA=5,EF=FG=GH=HE=1,设AF=DE=CH=BG=x,结合图形得出AE=x-1,利用勾股定理求解即可得出结果. 【详解】解:∵大正方形的面积是25,小正方形的面积是1, ∴AB=BC=CD=DA=5,EF=FG=GH=HE=1, 根据题意,设AF=DE=CH=BG=x, 则AE=x-1, 在Rt∆AED中, , 即, 解得:x=4(负值已经舍去), ∴x-1=3, 故答案为:3. 【点睛】题目主要考查正方形的性质,勾股定理解三角形,一元二次方程的应用等,理解题意,综合运用这些知识点是解题关键. 5. 【2024长沙】为庆祝中国改革开放46周年,某中学举办了一场精彩纷呈的庆祝活动,现场参与者均为在校中学生,其中有一个活动项目是“选数字猜出生年份”,该活动项目主持人要求参与者从1,2,3,4,5,6,7,8,9这九个数字中任取一个数字,先乘以10,再加上4.6,将此时的运算结果再乘以10,然后加上1978,最后减去参与者的出生年份(注:出生年份是一个四位数,比如2010年对应的四位数是2010),得到最终的运算结果.只要参与者报出最终的运算结果,主持人立马就知道参与者的出生年份.若某位参与者报出的最终的运算结果是915,则这位参与者的出生年份是_. 【考点】二元一次方程的解 【答案】2009 【分析】本题考查二元一次方程的解,理解题意是解答的关键.设这位参与者的出生年份是x,从九个数字中任取一个数字为a,根据题意列二元一次方程,整理得,根据a的取值得到x的9种可能,结合实际即可求解. 【解答】解:设这位参与者的出生年份是x,从九个数字中任取一个数字为a, 根据题意,得, 整理,得 ∴, ∵a是从1,2,3,4,5,6,7,8,9这九个数字中任取一个数字, ∴x的值可能为1209,1309,1409,1509,1609,1709,1809,1909,2009, ∵是为庆祝中国改革开放46周年,且参与者均为在校中学生, ∴x只能是2009, 故答案为:2009. 3、 解答题 6.(2022•岳阳)为迎接湖南省第十四届运动会在岳阳举行,某班组织学生参加全民健身线上跳绳活动,需购买,两种跳绳若干.若购买根种跳绳和根种跳绳共需元;若购买根种跳绳和根种跳绳共需元. 求,两种跳绳的单价各是多少元? 若该班准备购买,两种跳绳共根,总费用不超过元,那么至多可以购买种跳绳多少根? 解:设种跳绳的单价为元,种跳绳的单价为元. 根据题意得:, 解得:, 答:种跳绳的单价为元,种跳绳的单价为元. 设购买种跳绳根,则购买种跳绳根, 由题意得:, 解得:, 答:至多可以购买种跳绳根. 【解析】设种跳绳的单价为元,种跳绳的单价为元.由题意:若购买根种跳绳和根种跳绳共需元;若购买根种跳绳和根种跳绳共需元.列出二元一次方程组,解方程组即可; 设购买种跳绳根,则购买种跳绳根,由题意:总费用不超过元,列出一元一次不等式,解不等式即可. 本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用,解题的关键是:找准等量关系,正确列出二元一次方程组;找出数量关系,正确列出一元一次不等式. 7.(2022•邵阳)2022年2月4日至20日冬季奥运会在北京举行.某商店特购进冬奥会纪念品“冰墩墩”摆件和挂件共180个进行销售.已知“冰墩墩”摆件的进价为80元个,“冰墩墩”挂件的进价为50元个. (1)若购进“冰墩墩”摆件和挂件共花费了11400元,请分别求出购进“冰墩墩”摆件和挂件的数量. (2)该商店计划将“冰墩墩”摆件售价定为100元个,“冰墩墩”挂件售价定为60元个,若购进的180个“冰墩墩”摆件和挂件全部售完,且至少盈利2900元,求购进的“冰墩墩”挂件不能超过多少个? 【考点】二元一次方程组的应用;一元一次方程的应用.版权所有 【解答】解:(1)设购进“冰墩墩”摆件个,“冰墩墩”挂件个, 依题意得,解得. 答:购进“冰墩墩”摆件80个,“冰墩墩”挂件100个. (2)设购进“冰墩墩”挂件个,则购进“冰墩墩”摆件个, 依题意得,,解得. 答:购进的“冰墩墩”挂件不能超过70个. 8.(2022•衡阳)冰墩墩、雪容融分别是2022年北京冬奥会、冬残奥会的吉祥物.冬奥会来临之际,冰墩墩、雪容融玩偶畅销全国.小雅在某网店选中两种玩偶.决定从该网店进货并销售.第一次小雅用1400元购进了冰墩墩玩偶15个和雪容融玩偶5个,已知购进1个冰墩墩玩偶和1个雪容融玩偶共需136元,销售时每个冰墩墩玩偶可获利28元,每个雪容融玩偶可获利20元. (1)求两种玩偶的进货价分别是多少? (2)第二次小雅进货时,网店规定冰墩墩玩偶进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍.小雅计划购进两种玩偶共40个,应如何设计进货方案才能获得最大利润,最大利润是多少元? 【考点】二元一次方程组的应用;一次函数的应用.版权所有 【解答】解:(1)设冰墩墩的进价为元个,雪容融的进阶为元个, 由题意可得,,解得. 答:冰墩墩的进价为72元个,雪容融的进阶为64元个. (2)设冰墩墩购进个,则雪容融购进个,利润为元. 由题意可得,. 随的增大而增大. 网店规定冰墩墩玩偶进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍, ,解得. 当时,取得最大值,此时,. 答:冰墩墩购进24个,雪容融购进16个时才能获得最大利润,最大利润是992元. 9.(2022张家界)中国“最美扶贫高铁”之一的“张吉怀高铁”开通后,张家界到怀化的运行时间由原来的小时缩短至小时,运行里程缩短了千米.已知高铁的平均速度比普通列车的平均速度每小时快千米,求高铁的平均速度. 【考点】一元一次方程的应用 【答案】解:设高铁的平均速度为,则普通列车的平均速度为, 由题意得:, 解得:, 答:高铁的平均速度为. 【解析】设高铁的平均速度为,由运行里程缩短了千米得:,可解得高铁的平均速度为. 【点睛】本题考查一元一次方程的应用,解题的关键是读懂题意,找到等量关系列方程. 10. (2022常德)小强的爸爸平常开车从家中到小强奶奶家,匀速行驶需要4小时,某天,他们以平常的速度行驶了的路程时遇到了暴雨,立即将车速减少了20千米/小时,到达奶奶家时共用了5小时,问小强家到他奶奶家的距离是多少千米? 【答案】240千米 【解析】平常速度行驶了的路程用时为2小时,后续减速后用了3小时,用遇到暴雨前行驶路程加上遇到暴雨后行驶路程等于总路程这个等量关系列出方程求解即可. 【详解】解:设小强家到他奶奶家的距离是千米,则平时每小时行驶千米,减速后每小时行驶千米,由题可知:遇到暴雨前用时2小时,遇到暴雨后用时5-2=3小时, 则可得:, 解得:, 答:小强家到他奶奶家的距离是240千米. 【点睛】本题考查了一元一次方程应用中的行程问题,直接设未知数法,找到准确的等量关系,列出方程正确求解是解题的关键. 11. (2022娄底)“绿水青山就是金山银山”.科学研究表明:树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物,具有滞尘净化空气的作用.已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少,若一片国槐树叶与一片银杏树叶一年的平均滞尘总量为. (1)请分别求出一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘量; (2)娄底市双峰县九峰山森林公园某处有始于唐代的三棵银杏树,据估计三棵银杏树共有约50000片树叶.问这三棵银杏树一年的平均滞尘总量约多少千克? 【答案】(1)一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘量分别为22mg,40mg. (2)这三棵银杏树一年的平均滞尘总量约2千克. 【解析】(1)设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为mg,则一片银杏树叶一年的平均滞尘量为mg,由一片国槐树叶与一片银杏树叶一年的平均滞尘总量为列方程,再解方程即可; (2)列式进行计算,再把单位化为kg即可. 【小问1详解】 解:设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为mg,则一片银杏树叶一年的平均滞尘量为mg,则 解得: 答:一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘量分别为22mg,40mg. 【小问2详解】 50000(mg), 而2000000mg=2000g=2kg, 答:这三棵银杏树一年的平均滞尘总量约2千克. 【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用,有理数的乘法运算,设出合适的未知数,确定相等关系是解本题的关键. 12.(2022永州) 受第24届北京冬季奥林匹克运动会的影响,小勇爱上了雪上运动.一天,小勇在滑雪场训练滑雪,第一次他从滑雪道端以平均米/秒的速度滑到端,用了24秒;第二次从滑雪道端以平均米/秒的速度滑到端,用了20秒. (1)求的值; (2)设小勇从滑雪道端滑到端的平均速度为米/秒,所用时间为秒,请用含的代数式表示(不要求写出的取值范围). 【答案】(1) (2) 【解析】(1)根据第一次他从滑雪道端以平均米/秒的速度滑到端,用了24秒;第二次从滑雪道端以平均米/秒的速度滑到端,用了20秒同,列出方程求解即可; (2)称算出路程,再列出用含的代数式表示即可. 【小问1详解】 根据题意,得 解这个方程,得 【小问2详解】 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用及反比例函数的应用,解决本题的关键是根据题中的等量关系列出方程. 13.(2023•郴州)随旅游旺季的到来,某景区游客人数逐月增加,2月份游客人数为1.6万人,4月份游客人数为2.5万人. (1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率; (2)预计5月份该景区游客人数会继续增长,但增长率不会超过前两个月的月平均增长率.已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人,则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人? 【考点】一元二次方程的应用;一元一次不等式的应用.版权所有 【分析】(1)设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x,由2月份游客人数为1.6万人,4月份游客人数为2.5万人,列出方程可求解; (2)设5月份后10天日均接待游客人数是a万人,由增长率不会超过前两个月的月平均增长率,列出不等式,即可求解. 【解答】解:(1)设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x, 由题意可得:1.6(1+x)2=2.5, 解得:x=25%,x(不合题意舍去), 答:这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为25%; (2)设5月份后10天日均接待游客人数是a万人, 由题意可得:2.125+10a≤2.5(1+25%), 解得:a≤0.1, 答:5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人. 【点评】本题考查了一元二次方程的应用,一元一次不等式的应用,找到正确的数量关系是解题的关键. 14.(2023•张家界)为拓展学生视野,某中学组织八年级师生开展研学活动,原计划租用45座客车若干辆,但有15人没有座位;若租用同样数量的60座客车,则多出三辆车,且其余客车恰好坐满.现有甲、乙两种客车,它们的载客量和租金如下表所示: 甲型客车 乙型客车 载客量(人/辆) 45 60 租金(元/辆) 200 300 (1)参加此次研学活动的师生人数是多少?原计划租用多少辆45座客车? (2)若租用同一种客车,要使每位师生都有座位,应该怎样租用才合算? 【考点】二元一次方程组的应用;一元一次方程的应用.版权所有 【分析】(1)本题中的等量关系为:45 45座客车辆数+15=学生总数,60 (45座客车辆数﹣1)=学生总数,据此可列方程组求出第一小题的解; (2)需要分别计算45座客车和60座客车各自的租金,比较后再取舍. 【解答】解:(1)设参加此次研学活动的师生人数是x人,原计划租用y辆45座客车. 根据题意,得, 解得. 答:参加此次研学活动的师生人数是600人,原计划租用13辆45座客车; (2)租45座客车:600 45≈14(辆),所以需租14辆,租金为200 14=2800(元), 租60座客车:600 60=10(辆),所以需租10辆,租金为300 10=3000(元), ∵2800<3000, ∴租用14辆45座客车更合算. 【点评】本题考查二元一次方程的应用,注意租车时最后一辆不管几个人都要用一辆,所以在计算车的辆数时用“收尾法”,而不是“四舍五入”. 15. 【2024长沙】刺绣是我国民间传统手工艺.湘绣作为中国四大刺绣之一,闻名中外,在巴黎奥运会倒计时50天之际,某国际旅游公司计划购买A、B两种奥运主题的湘绣作品作为纪念品.已知购买1件A种湘绣作品与2件B种湘绣作品共需要700元,购买2件A种湘绣作品与3件B种湘绣作品共需要1200元. (1)求A种湘绣作品和B种湘绣作品的单价分别为多少元? (2)该国际旅游公司计划购买A种湘绣作品和B种湘绣作品共200件,总费用不超过50000元,那么最多能购买A种湘绣作品多少件? 【答案】(1)A种湘绣作品的单价为300元,B种湘绣作品的单价为200元 (2)最多能购买100件A种湘绣作品 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用. (1)设A种湘绣作品的单价为x元,B种湘绣作品的单价为y元,根据“购买1件A种湘绣作品与2件B种湘绣作品共需要700元,购买2件A种湘绣作品与3件B种湘绣作品共需要1200元”,即可得出关于x,y的二元一次方程组,解之即可解题; (2)设购买A种湘绣作品a件,则购买B种湘绣作品件,总费用单价数量,结合总费用不超过50000元,即可得出关于a的一元一次不等式,解之即可得出a的值,再取其中的最大整数值即可得出该校最大可以购买湘绣的数量. 【小问1详解】 设A种湘绣作品的单价为x元,B种湘绣作品的单价为y元. 根据题意,得 , 解得 答:A种湘绣作品的单价为300元,B种湘绣作品的单价为200元. 【小问2详解】 设购买A种湘绣作品a件,则购买B种湘绣作品件. 根据题意,得, 解得. 答:最多能购买100件A种湘绣作品. 16. (2024•长沙)已知四个不同的点,,,都在关于x的函数(a,b,c是常数,)的图象上. (1)当A,B两点的坐标分别为,时,求代数式的值; (2)当A,B两点的坐标满足时,请你判断此函数图象与x轴的公共点的个数,并说明理由; (3)当时,该函数图象与x轴交于E,F两点,且A,B,C,D四点的坐标满足:,.请问是否存在实数,使得,,这三条线段组成一个三角形,且该三角形的三个内角的大小之比为?若存在,求出m的值和此时函数的最小值;若不存在,请说明理由(注:表示一条长度等于的m倍的线段). 【答案】(1) (2)此函数图象与x轴的公共点个数为两个,理由见解析 (3)存在两个m的值符合题意;当时,此时该函数的最小值为;当时,此时该函数的最小值为 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的关系、二次函数与x轴交点问题、直角三角形存在性问题等,熟练掌握相关知识和分类讨论是解题关键. (1)将代入得到关于、的关系式,再整体代入求解即可; (2)解方程求解,再根据的正负分类讨论即可; (3)由内角之比可得出这是一个的直角三角形,再将线段表示出来,利用特殊角的边角关系建立方程即可. 【小问1详解】 将,代入得 , ②-①得,即. 所以. 【小问2详解】 此函数图象与x轴的公共点个数为两个. 方法1:由,得. 可得或. 当时,,此抛物线开口向上,而A,B两点之中至少有一个点在x轴的下方,此时该函数图象与x轴有两个公共点; 当时,,此抛物线开口下,而A,B两点之中至少有一个点在x轴的上方,此时该函数图象与x轴也有两个公共点. 综上所述,此函数图象与x轴必有两个公共点. 方法2:由,得. 可得或. 所以抛物线上存在纵坐标为的点,即一元二次方程有解. 所以该方程根的判别式,即. 因为,所以. 所以原函数图象与x轴必有两个公共点. 方法3:由,可得或. 当时,有,即, 所以. 此时该函数图象与x轴有两个公共点. 当时,同理可得,此时该函数图象与x轴也有两个公共点. 综上所述,该函数图象与x轴必有两个公共点. 【小问3详解】 因为,所以该函数图象开口向上. 由,得,可得. 由,得,可得. 所以直线均与x轴平行. 由(2)可知该函数图象与x轴必有两个公共点,设,. 由图象可知,即. 所以的两根为,,可得. 同理的两根为,,可得. 同理的两根为,,可得. 由于,结合图象与计算可得,. 若存在实数,使得,这三条线段组成一个三角形, 且该三角形的三个内角的大小之比为1:2:3,则此三角形必定为两锐角分别为30 ,60 的直角三角形,所以线段不可能是该直角三角形的斜边. ①当以线段为斜边,且两锐角分别为30 ,60 时,因为, 所以必须同时满足:,. 将上述各式代入化简可得,且, 联立解之得,,解得符合要求. 所以,此时该函数的最小值为. ②当以线段为斜边时,必有,同理代入化简可得 ,解得. 因为以线段为斜边,且有一个内角为60 ,而, 所以,即, 化简得符合要求. 所以,此时该函数的最小值为. 综上所述,存在两个m的值符合题意; 当时,此时该函数的最小值为; 当时,此时该函数的最小值为. 1 学科网(北京)股份有限公司 $$