第12课 垂径定理-2024-2025学年九年级数学上册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（浙教版）

第12课 垂径定理 ( 目标导航 ) 学习目标 1.掌握垂径定理及其逆定理. 2.会运用垂径定理及其逆定理解决些简单的几何问题. ( 知识精讲 ) 知识点01 垂径定理 1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧． 2.定理的条件和结论． 条件：①直径；②垂直于弦 结论：①平分弦；②平分弧 知识点02 垂径定理的逆定理 逆定理1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧． 逆定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦． 　 ( 能力拓展 )考点01 垂径定理及其逆定理 【典例1】如图，AB是⊙O的弦，点D是AB的中点，连接OD并反向延长交⊙O于点C．若AB＝CD＝16，求⊙O的半径． 【即学即练1】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接OC，若OE＝3，CD＝8． （1）求CE的长度； （2）求OC的长度． 考点02 垂径定理及其逆定理的实际应用 【典例2】如图，在墙壁中埋着一个未知半径的圆柱形木材，现用锯子去锯这个木材，锯口深CD＝4，锯道AB＝16，则这根圆柱形木材的半径是（　　） A．20 B．12 C．10 D．8 【即学即练2】如图，一个隧道的横截面是以O为圆心的圆的一部分，点D是⊙O中弦AB的中点，CD经过圆心O交⊙O于点C，若路面AB＝6m，此圆的半径OA的长为5m，则净高CD的长为（　　） A．5m B．6m C．m D．9m ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．下面说法正确的是（　　） A．三点确定一个圆 B．外心在三角形的内部 C．平分弦的直径垂直于弦 D．垂直于弦的直径平分弦 2．如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，OC⊥AB于点C，则OC的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图，AB是⊙O的弦，若⊙O的半径OA＝10，圆心O到弦AB的距离OC＝6，则弦AB的长为（　　） A．8 B．12 C．16 D．20 4．如图，已知在⊙O中，半径OC垂直于弦AB，垂足为D．如果CD＝8，AB＝24，那么OA＝（　　） A．12 B． C．13 D．16 5．如图，CD是⊙O的直径，AB⊥CD于E，若AB＝10cm，CE：ED＝1：5，则⊙O的半径是（　　） A．cm B．cm C．cm D．cm 6．如图，在⊙O中，直径AB＝20，弦DE⊥AB，交AB于点C，连接DO．若DE＝16，则AC的长为（　　） A．5 B．4 C．8 D．6 7．如图，AB为⊙O直径，弦CD⊥AB于E，则下面结论中错误的是（　　） A．CE＝DE B．＝ C．∠BAC＝∠BAD D．OE＝BE 8．如图是一个圆柱形输水管横截面的示意图，阴影部分为有水部分，如果水面AB的宽为8cm，水面最深的地方高度为2cm，则该输水管的半径为（　　） A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm 9．如图，圆形拱门最下端AB在地面上，D为AB的中点，C为拱门最高点，线段CD经过拱门所在圆的圆心，若AB＝1m，CD＝2.5m，则拱门所在圆的半径为（　　） A．1.25m B．1.3m C．1.4m D．1.45m 10．如图，AC是⊙O的弦，半径OB经过AC的中点D．若∠ACO＝43°，则∠AOB的大小为 　　． 11．如图，点C是的中点，弦AB＝8米，半径OC＝5米．则CD＝　　米． 12．如图是某学校人行过道中的一个以O为圆心的圆形拱门，路面AB的宽为2m，高CD为5m，圆形拱门所在圆的半径长为 　　m． 13．如图，AB是⊙O的弦，半径OD⊥AB于点C．若AB＝16，CD＝2，求⊙O的半径的长． 14．如图，在⊙O中，AB，BC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB，OE⊥BC，垂足分别为D，E，求证：四边形ODBE是正方形． 15．石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图1），如图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为．桥的跨度（弧所对的弦长）AB＝20m，设AB所在圆的圆心为O，半径OC⊥AB，垂足为D．拱高（弧的中点到弦的距离）CD＝4m．求这座石拱桥主桥拱的半径． 题组B 能力提升练 16．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图，已知EF＝CD＝8cm，则球的半径长是（　　） A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm 17．如图，⊙O的直径AB＝10，E在⊙O内，且OE＝4，则过E点所有弦中，最短弦为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 18．如图，武汉晴川桥可以近似地看作半径为250m的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面AB长度为300m，那么这些钢索中最长的一根为（　　） A．50m B．45m C．40m D．60m 19．如图，AB是⊙O的直径，分别以点O和点B为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线MN与⊙O相交于C，D两点，若AB＝4，则CD的长为（　　） A． B．4 C． D． 20．如图，已知⊙O的半径为10，⊙O的一条弦AB＝16，若⊙O内的一点P恰好在AB上，则线段OP的长度为整数的值有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 21．如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的一个动点，则线段OM的长的最小值为 　　． 22．已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于E点，BE＝1，AE＝5，∠AEC＝30°，则CD的长为 　　． 23．⊙O的半径为13cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝24cm，CD＝10cm．则AB和CD之间的距离 　　． 并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．学会运用分类讨论的思想解决数学问题． 24．如图，在平面直角坐标系中，A、B、C是⊙M上的三个点，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）． （1）直接写出圆心M的坐标：　　； （2）求⊙M的半径． 25．如图，一圆弧形桥拱的圆心为E，拱桥的水面跨度AB＝80米，桥拱到水面的最大高度DF为20米．求： （1）桥拱的半径； （2）现水面上涨后水面跨度为60米，求水面上涨的高度为 　　米． 题组C 培优拔尖练 26．如图，M为弦AB上的一点，连接OM，过点M作MC⊥OM，CM交圆O于点C．若AB＝13，AM＝4，则CM的长为（　　） A．5 B．6 C． D． 27．如图，在平面直角坐标系中，⊙O经过点（0，10），直线y＝kx+2k﹣4与⊙O交于B、C两点，则弦BC的最小值是（　　） A． B． C． D．以上都不对 28．如图，⊙O的半径为5，弦AB＝6，点C在弦AB上，延长CO交⊙O于点D，则CD的取值范围是（　　） A．6≤CD≤8 B．8≤CD≤10 C．9＜CD＜10 D．9≤CD≤10 29．如图，AB是⊙O直径，点C是⊙O上一点，OC＝1且∠BOC＝60°，点D是的中点，点P是直径AB上一动点，则CP+DP的最小值为 　　． 30．如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为F，AO⊥BC，垂足为E，连接AC． （1）求∠B的度数． （2）若CE＝，求⊙O的半径． 31．根据素材解决问题． 设计货船通过圆形拱桥的方案 素材1 图1中有一座圆拱石桥，图2是其圆形桥拱的示意图，测得水面宽AB＝16m，拱顶离水面的距离CD＝4m． 素材2 如图3，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形EFGH，测得EF＝3m，EH＝10m．因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，船身下降的高度y（米）与货船增加的载重量x（吨）满足函数关系式． 问题解决 任务1 确定桥拱半径 求圆形桥拱的半径 任务2 拟定设计方案 根据图3状态，货船能否通过圆形拱桥？若能，最多还能卸载多少吨货物？若不能，至少要增加多少吨货物才能通过？ ( 6 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12课 垂径定理 ( 目标导航 ) 学习目标 1.掌握垂径定理及其逆定理. 2.会运用垂径定理及其逆定理解决些简单的几何问题. ( 知识精讲 ) 知识点01 垂径定理 1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧． 2.定理的条件和结论． 条件：①直径；②垂直于弦 结论：①平分弦；②平分弧 知识点02 垂径定理的逆定理 逆定理1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧． 逆定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦． 　 ( 能力拓展 )考点01 垂径定理及其逆定理 【典例1】如图，AB是⊙O的弦，点D是AB的中点，连接OD并反向延长交⊙O于点C．若AB＝CD＝16，求⊙O的半径． 【思路点拨】连接OA，由垂径定理得OD⊥AB，AC＝AB＝8，设⊙O的半径为r，则OA＝OC＝r，OD＝16﹣r，在Rt△OAD中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【解析】解：连接OA，如图所示： ∵点D是AB的中点，AB＝16， ∴OD⊥AB，AD＝AB＝8， 设⊙O的半径为r，则OA＝OC＝r， ∵CD＝16， ∴OD＝16﹣r， 在Rt△OAD中，由勾股定理得：OA2＝OD2+AD2， 即r2＝（16﹣r）2+82， 解得：r＝10， 即⊙O的半径为10． 【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键． 【即学即练1】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接OC，若OE＝3，CD＝8． （1）求CE的长度； （2）求OC的长度． 【思路点拨】（1）由垂径定理得到CE＝CD＝4； （2）由勾股定理求出OC＝＝5． 【解析】解：（1）∵直径AB⊥CD， ∴CE＝CD＝×8＝4； （2）∵∠OEC＝90°，OE＝3，CE＝4， ∴OC＝＝5． 【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是由垂径定理得到CE＝CD；由勾股定理求出OC长． 考点02 垂径定理及其逆定理的实际应用 【典例2】如图，在墙壁中埋着一个未知半径的圆柱形木材，现用锯子去锯这个木材，锯口深CD＝4，锯道AB＝16，则这根圆柱形木材的半径是（　　） A．20 B．12 C．10 D．8 【思路点拨】连接OA、OD，由垂径定理得AD＝BD＝AB＝8，连接OA，设圆的半径为x，再在Rt△OAD中，由勾股定理列出方程，解方程可得半径． 【解析】解：连接OA、OD，如图： 由题意得：D为AB的中点， 则O、D、C三点共线，OD⊥AB， ∴AD＝BD＝AB＝8， 设圆的半径为x，则OD＝（x﹣4）． 在Rt△OAD中，由勾股定理得：82+（x﹣4）2＝x2， 解得：x＝10． ∴这根圆柱形木材的半径为10． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了垂径定理的应用，勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键． 【即学即练2】如图，一个隧道的横截面是以O为圆心的圆的一部分，点D是⊙O中弦AB的中点，CD经过圆心O交⊙O于点C，若路面AB＝6m，此圆的半径OA的长为5m，则净高CD的长为（　　） A．5m B．6m C．m D．9m 【思路点拨】先根据垂径定理的推论得到OD⊥AB，由于AD＝AB＝3m，则利用勾股定理计算出OD＝4（m），然后计算OC+OD即可． 【解析】解：∵点D是⊙O中弦AB的中点， ∴OD⊥AB，AD＝AB＝3m， 在Rt△OAD中，OD＝＝＝4（m）， ∴CD＝OC+OD＝5+4＝9（m）， 即净高CD的长为9m． 故选：D． 【点睛】本题考查了垂径定理的应用：垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．下面说法正确的是（　　） A．三点确定一个圆 B．外心在三角形的内部 C．平分弦的直径垂直于弦 D．垂直于弦的直径平分弦 【思路点拨】根据圆的有关定义作出判断即可． 【解析】解：A、经过不在同一直线上的三点确定一个圆，故A错误； B、直角三角形和钝角三角形的外心均不在三角形的内部，故B错误； C、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故C错误； D、利用垂径定理可以得到垂直于弦的直径平分弦，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了圆内的有关的定义及基础知识，是圆内的基础题，必须掌握． 2．如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，OC⊥AB于点C，则OC的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【思路点拨】由于OC⊥AB于点C，所以由垂径定理可得，在Rt△AOC中，由勾股定理即可得到答案． 【解析】解：∵OC⊥AB，AB＝8， ∴， 在Rt△AOC中，OA＝5，AC＝4， 由勾股定理可得：． 故选：C． 【点睛】本题考查了垂径定理，熟练运用垂径定理并结合勾股定理是解答本题的关键． 3．如图，AB是⊙O的弦，若⊙O的半径OA＝10，圆心O到弦AB的距离OC＝6，则弦AB的长为（　　） A．8 B．12 C．16 D．20 【思路点拨】由垂径定理得到AB＝2AC，由勾股定理求出AC＝＝8，即可得到AB的长． 【解析】解：∵OC⊥AB， ∴AB＝2AC， ∵OA＝10，OC＝6， ∴AC＝＝8， ∴AB＝2×8＝16． 故选：C． 【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是由垂径定理得到AB＝2AC，由勾股定理求出AC的长． 4．如图，已知在⊙O中，半径OC垂直于弦AB，垂足为D．如果CD＝8，AB＝24，那么OA＝（　　） A．12 B． C．13 D．16 【思路点拨】根据垂径定理可得AD＝AB＝12，∠ADO＝90°，设OA＝x，则OC＝x，DO＝x﹣8，再利用勾股定理列出方程，解出x的值即可． 【解析】解：∵半径OC垂直于弦AB， ∴AD＝AB＝12，∠ADO＝90°， 设OA＝x，则OC＝x，DO＝x﹣8， 在Rt△AOD中，OA2＝AD2+OD2， ∴x2＝122+（x﹣8）2， 解得：x＝13， ∴OA＝13． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了垂径定理和勾股定理，关键是掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 5．如图，CD是⊙O的直径，AB⊥CD于E，若AB＝10cm，CE：ED＝1：5，则⊙O的半径是（　　） A．cm B．cm C．cm D．cm 【思路点拨】先连接OA，由垂径定理求出AE的长，根据CE：ED＝1：5可设CE＝x，则⊙O的半径＝3x，在Rt△OAE中利用勾股定理即可求出x的值，进而得出OA的长． 【解析】解：连接OA， ∵CD是⊙O的直径，AB⊥CD于E，AB＝10cm， ∴AE＝AB＝×10＝5cm， ∵CE：ED＝1：5， ∴设CE＝x，则OA＝3x，OE＝2x， 在Rt△AOE中， ∵AE2+OE2＝OA2，即52+（2x）2＝（3x）2，解得x＝cm， ∴OA＝3x＝3cm． 故选：C． 【点睛】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 6．如图，在⊙O中，直径AB＝20，弦DE⊥AB，交AB于点C，连接DO．若DE＝16，则AC的长为（　　） A．5 B．4 C．8 D．6 【思路点拨】根据垂径定理求出CD＝DE＝8，再根据勾股定理及线段的和差求解即可． 【解析】解：∵AB为⊙O的直径，DE⊥AB，DE＝16， ∴CD＝DE＝8， ∵直径AB＝20， ∴OD＝OA＝AB＝10， ∴OC＝＝＝6， ∴AC＝OA﹣OC＝4， 故选：B． 【点睛】此题考查了垂径定理、勾股定理，熟记垂径定理是解题的关键． 7．如图，AB为⊙O直径，弦CD⊥AB于E，则下面结论中错误的是（　　） A．CE＝DE B．＝ C．∠BAC＝∠BAD D．OE＝BE 【思路点拨】根据垂径定理分析即可． 【解析】解：根据垂径定理和等弧对等弦，得A、B、C正确，只有D错误． 故选：D． 【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径，平分弦，且平分弦所对的弧．以及等弧对等弦的性质 8．如图是一个圆柱形输水管横截面的示意图，阴影部分为有水部分，如果水面AB的宽为8cm，水面最深的地方高度为2cm，则该输水管的半径为（　　） A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm 【思路点拨】作半径OD⊥AB于C，连接OA，设圆的半径是r cm，则CD＝2cm，OC＝（r﹣2）cm，AC＝AB＝×8＝4（cm），由勾股定理列出关于r的方程，求出r的值即可． 【解析】解：作半径OD⊥AB于C，连接OA， 设圆的半径是r cm， ∵CD＝2cm， ∴OC＝（r﹣2）cm， ∵OD⊥AB， ∴AC＝AB＝×8＝4（cm）， ∵OA2＝OC2+AC2， ∴r2＝（r﹣2）2+42， ∴r＝5， ∴该输水管的半径为5cm． 故选：A． 【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是通过作辅助线构造直角三角形，应用勾股定理，垂径定理列出关于半径的方程， 9．如图，圆形拱门最下端AB在地面上，D为AB的中点，C为拱门最高点，线段CD经过拱门所在圆的圆心，若AB＝1m，CD＝2.5m，则拱门所在圆的半径为（　　） A．1.25m B．1.3m C．1.4m D．1.45m 【思路点拨】如图，连接OA，先证明CD⊥AB，AD＝BD＝0.5，再进一步的利用勾股定理计算即可． 【解析】解：如图，连接OA， ∵D为AB的中点，C为拱门最高点，线段CD经过拱门所在圆的圆心，AB＝1m， ∴CD⊥AB，AD＝BD＝0.5， 设拱门所在圆的半径为rm， ∴OA＝OC＝r，而CD＝2.5m， ∴OD＝2.5﹣r， ∴r2＝0.52+（2.5﹣r）2， 解得：r＝1.3， ∴拱门所在圆的半径为1.3m； 故选B． 【点睛】本题考查的是垂径定理的实际应用、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 10．如图，AC是⊙O的弦，半径OB经过AC的中点D．若∠ACO＝43°，则∠AOB的大小为 　47°　． 【思路点拨】根据垂径定理的推理得OB⊥AC，再利用三线合一及直角三角形的性质解答即可． 【解析】解：∵半径OB经过AC的中点D， ∴OB⊥AC， ∵OC＝OA， ∴∠AOB＝∠BOC， ∵∠ACO＝43°，OB⊥AC， ∴∠AOB＝∠BOC＝90°﹣43°＝47°， 故答案为：47°． 【点睛】本题考查了垂径定理、等腰三角形的性质，熟知等腰三角形的性质，垂径定理是解本题的关键． 11．如图，点C是的中点，弦AB＝8米，半径OC＝5米．则CD＝　2　米． 【思路点拨】根据点C是的中点，得到OC⊥AB，AD＝BD，结合OC＝5米，AB＝8米求解即可得到答案． 【解析】解：∵点C是的中点，AB＝8（米）， ∴OC⊥AB，AD＝BD＝4（米）， ∵OC＝5（米）， ∴（5﹣CD）2+42＝52， 解得：CD＝2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是垂径定理的熟练应用． 12．如图是某学校人行过道中的一个以O为圆心的圆形拱门，路面AB的宽为2m，高CD为5m，圆形拱门所在圆的半径长为 　　m． 【思路点拨】连接OA，根据垂径定理及勾股定理求解即可． 【解析】解：如图，连接OA， 由垂径定理得，， 设OC＝OA＝Rm，则OD＝（5﹣R）m． 在Rt△AOD中，由勾股定理得，OA2﹣OD2＝AD2， 即R2﹣（5﹣R）2＝12， 解得． 即圆形拱门所在圆的半径为， 故答案为：． 【点睛】此题考查了垂径定理的应用，熟记垂径定理是解题的关键． 13．如图，AB是⊙O的弦，半径OD⊥AB于点C．若AB＝16，CD＝2，求⊙O的半径的长． 【思路点拨】先根据垂径定理求出AC的长，设⊙O的半径为r，再连接OA，在Rt△OAC中利用勾股定理求出r的值即可． 【解析】解：如图，连接OA， ∵⊙O的弦AB＝8，半径OD⊥AB， ∴AC＝AB＝×16＝8， 设⊙O的半径为r，则OC＝r﹣CD＝r﹣2， 在Rt△OAC中，OA2＝OC2+AC2， 即r2＝（r﹣2）2+82，解得r＝17． 故⊙O的半径的长为17． 【点睛】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键． 14．如图，在⊙O中，AB，BC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB，OE⊥BC，垂足分别为D，E，求证：四边形ODBE是正方形． 【思路点拨】先根据垂径定理，由OD⊥AB，OE⊥AC得到AD＝AB，BE＝BC，且∠BDO＝∠B＝∠OEB＝90°，加上∠DAE＝90°，则可判断四边形ODBE是矩形，由于AB＝AC，所以BD＝BE，于是可判断四边形ADOE是正方形． 【解析】证明：∵OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，AB⊥BC， ∴BD＝AB，BE＝BC，∠BDO＝∠B＝∠OEB＝90°， ∴四边形ODBE是矩形， ∵AB＝BC， ∴BD＝BE， ∴四边形ODBE是正方形． 【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了正方形的判定． 15．石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图1），如图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为．桥的跨度（弧所对的弦长）AB＝20m，设AB所在圆的圆心为O，半径OC⊥AB，垂足为D．拱高（弧的中点到弦的距离）CD＝4m．求这座石拱桥主桥拱的半径． 【思路点拨】设主桥拱半径为R，在Rt△OBD中，根据勾股定理列出R的方程便可求得结果． 【解析】解：连接OB， ∵OC⊥AB， ∴AD＝BD， 设主桥拱半径为R，由题意可知AB＝20，CD＝4， ∴BD＝AB＝10， OD＝OC﹣CD＝R﹣4， ∵∠ODB＝90°， ∴OD2+BD2＝OB2， ∴（R﹣4）2+102＝R2， 解得R＝14.5， 答：这座石拱桥主桥拱的半径为14.5m． 【点睛】此题考查了垂径定理、勾股定理．解题的关键是方程思想的应用．垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握． 题组B 能力提升练 16．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图，已知EF＝CD＝8cm，则球的半径长是（　　） A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm 【思路点拨】设圆心为O，过点O作ON⊥AD于点N，交CB于点M，连接OF，设OF＝x cm，则ON＝（8﹣x）cm，NE＝NF＝4，然后在Rt△NOF中利用勾股定理求得OF的长即可． 【解析】解：设圆心为O，过点O作ON⊥AD于点N，交CB于点M，连接OF， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠C＝∠D＝90°， ∴四边形CDNM是矩形， ∴MN＝CD＝8， 设OF＝x cm，则OM＝OF， ∴ON＝MN﹣OM＝（8﹣x）cm，NF＝EN＝4cm， 在Rt△ONF中，ON2+NF2＝OF2 即：（8﹣x）2+42＝x2 解得：x＝5， 故选：B． 【点睛】本题主考查垂径定理及勾股定理的知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 17．如图，⊙O的直径AB＝10，E在⊙O内，且OE＝4，则过E点所有弦中，最短弦为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【思路点拨】根据勾股定理求出CE，根据垂径定理求出CD＝2CE，即可求出答案． 【解析】解：OC＝AB＝×10＝5， 在Rt△OEC中，CE＝＝＝3， ∵OE⊥CD，OE过O， ∴CD＝2CE＝6， 即最短弦是6， 故选：B． 【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，解此题的关键是求出CE长和得出CD＝2CE． 18．如图，武汉晴川桥可以近似地看作半径为250m的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面AB长度为300m，那么这些钢索中最长的一根为（　　） A．50m B．45m C．40m D．60m 【思路点拨】设圆弧的圆心为O，过O作OC⊥AB于C，交于D，连接OA，先由垂径定理得AC＝BC＝AB＝150m，再由勾股定理求出OC＝200，然后求出CD的长即可． 【解析】解：设圆弧的圆心为O，过O作OC⊥AB于C，交于D，连接OA，如图所示： 则OA＝OD＝250m，AC＝BC＝AB＝150m， ∴OC＝＝＝200（m）， ∴CD＝OD﹣OC＝250﹣200＝50（m）， 即这些钢索中最长的一根为50m， 故选：A． 【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理等知识；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 19．如图，AB是⊙O的直径，分别以点O和点B为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线MN与⊙O相交于C，D两点，若AB＝4，则CD的长为（　　） A． B．4 C． D． 【思路点拨】连接OC，设AB和CD交于点P，根据作图得出CD垂直平分OB，利用勾股定理求出CM，再根据垂径定理得出结果． 【解析】解：连接OC，设AB和CD交于点P， 由作图可知：CD垂直平分OB， ∵AB＝4， ∴OP＝OB＝AB＝1，OC＝AB＝2， ∴CP＝＝＝， ∵CD⊥OB， ∴CD＝2CP＝， 故选：C． 【点睛】本题考查了尺规作图，垂直平分线，垂径定理以及勾股定理，解题的关键是根据作图过程得出垂直平分线，利用垂径定理得出最后结果． 20．如图，已知⊙O的半径为10，⊙O的一条弦AB＝16，若⊙O内的一点P恰好在AB上，则线段OP的长度为整数的值有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【思路点拨】连接OA，过点O作OP′⊥AB于点P′，根据垂径定理求出AP′，根据勾股定理求出OP′，求出OP的范围，计算即可． 【解析】解：如图，连接OA，过点O作OP′⊥AB于点P′， 则AP′＝AB＝8， 由勾股定理得：OP′＝＝＝6， 则6≤OP＜10， ∴线段OP的长度为整数的值有6、7、8、9共4个， 故选：C． 【点睛】本题考查的是垂径定理、勾股定理，熟记垂直于弦的直径平分这条弦是解题的关键． 21．如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的一个动点，则线段OM的长的最小值为 　3　． 【思路点拨】过O作OM′⊥AB，连接OA，由“过直线外一点与直线上的所有连线中垂线段最短”的知识可知，当OM于OM′重合时OM最短，由垂径定理可得出AM′的长，再根据勾股定理可求出OM′的长，即线段OM长的最小值． 【解析】解：如图所示，过O作OM′⊥AB，连接OA， ∵过直线外一点与直线上的所有连线中垂线段最短， ∴当OM于OM′重合时OM最短， ∵AB＝8，OA＝5， ∴AM′＝×8＝4， 在Rt△OAM′中，OM′＝＝＝3， ∴线段OM长的最小值为3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查的是垂径定理，熟知垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键． 22．已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于E点，BE＝1，AE＝5，∠AEC＝30°，则CD的长为 　4　． 【思路点拨】过O作OF⊥DC于F，连接OC，求出OA＝OB＝OC＝3，根据垂直定义得出∠OFE＝∠OFC＝90°，求出OE，根据勾股定理求出OF，再根据勾股定理求出CF，根据垂径定理得出DF＝CF，再求出答案即可． 【解析】解： 过O作OF⊥DC于F，连接OC，则∠OFE＝∠OFC＝90°， ∵BE＝1，AE＝5， ∴AB＝BE+AE＝6， ∴OB＝OA＝OC＝3， ∴OE＝3﹣1＝2， ∵∠AEC＝30°， ∴OF＝OE＝1， ∴CF＝＝＝2， ∵OF⊥CD，OF过圆心O， ∴DF＝CF＝2， ∴CD＝CF+DF＝4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理，能熟记垂径定理是解此题的关键，注意：垂直于弦的直径平分这条弦． 23．⊙O的半径为13cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝24cm，CD＝10cm．则AB和CD之间的距离 　7cm或17cm　． 【思路点拨】作OE⊥AB于E，交CD于F，连接OA、OC，如图，根据平行线的性质得OF⊥CD，再利用垂径定理得到AE＝AB＝12，CF＝CD＝5，接着根据勾股定理，在Rt△OAE中计算出OE＝5，在Rt△OCF中计算出OF＝12，然后分类讨论：当圆心O在AB与CD之间时，EF＝OF+OE；当圆心O不在AB与CD之间时，EF＝OF﹣OE． 【解析】解：作OE⊥AB于E，交CD于F，连接OA、OC，如图， ∵AB∥CD， ∴OF⊥CD， ∴AE＝BE＝AB＝12，CF＝DF＝CD＝5， 在Rt△OAE中，∵OA＝13，AE＝12， ∴OE＝＝5， 在Rt△OCF中，∵OC＝13，CF＝5， ∴OF＝＝12， 当圆心O在AB与CD之间时，EF＝OF+OE＝12+5＝17； 当圆心O不在AB与CD之间时，EF＝OF﹣OE＝12﹣5＝7； 即AB和CD之间的距离为7cm或17cm． 故答案为7cm或17cm． 【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．学会运用分类讨论的思想解决数学问题． 24．如图，在平面直角坐标系中，A、B、C是⊙M上的三个点，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）． （1）直接写出圆心M的坐标：　（2，0）　； （2）求⊙M的半径． 【思路点拨】（1）由垂径定理，作出弦AB，BC的垂直平分线，交点是圆心M； （2）由勾股定理求出MA的长，即可得到圆的半径长． 【解析】解：（1）如图，圆心M是弦AB，BC垂直平分线的交点，坐标是（2，0）， 故答案为：（2，0）． （2）∵A（0，4），M（2，0）， ∴OM＝2，OA＝4， ∴MA＝＝2， ∴⊙M的半径为2． 【点睛】本题考查垂径定理，坐标与图形的性质，关键是掌握垂径定理：弦的垂直平分线经过圆心． 25．如图，一圆弧形桥拱的圆心为E，拱桥的水面跨度AB＝80米，桥拱到水面的最大高度DF为20米．求： （1）桥拱的半径； （2）现水面上涨后水面跨度为60米，求水面上涨的高度为 　10　米． 【思路点拨】（1）根据垂径定理和勾股定理求解； （2）由垂径定理求出MH，由勾股定理求出EH，得出HF即可． 【解析】解：（1）如图，设点E是拱桥所在的圆的圆心，作EF⊥AB于F，延长EF交圆于点D， 则由垂径定理知，点F是AB的中点，AF＝FB＝AB＝40，EF＝ED﹣FD＝AE﹣DF， 由勾股定理知，AE2＝AF2+EF2＝AF2+（AE﹣DF）2， 设圆的半径是r， 则：r2＝402+（r﹣20）2， 解得：r＝50； 即桥拱的半径为50米； （2）设水面上涨后水面跨度MN为60米，MN交ED于H，连接EM，如图2所示 则MH＝NH＝MN＝30， ∴EH＝＝40（米）， ∵EF＝50﹣20＝30（米）， ∴HF＝EH﹣EF＝10（米）； 故答案为：10． 【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理的运用；由垂径定理和勾股定理求出半径是解决问题的关键． 题组C 培优拔尖练 26．如图，M为弦AB上的一点，连接OM，过点M作MC⊥OM，CM交圆O于点C．若AB＝13，AM＝4，则CM的长为（　　） A．5 B．6 C． D． 【思路点拨】先根据垂径定理，得出AH＝BH＝6.5，MH＝6.5﹣4＝2.5，再结合勾股定理，列式MO2＝2.52+x2，BO2＝6.52+x2，代入MC2＝CO2﹣MO2＝BO2﹣MO2，即可作答． 【解析】解：如图：连接CO、BO以及过点O作OH⊥AB， 设OH＝x， ∵AB＝13，AM＝4，OH⊥AB， ∴AH＝BH＝6.5，MH＝6.5﹣4＝2.5， 则MO2＝MH2+OH2＝2.52+x2， BO2＝BH2+OH2＝6.52+x2， ∴MC2＝CO2﹣MO2＝BO2﹣MO2＝6.52+x2﹣2.52﹣x2＝36， ∴MC＝6（负值已舍去）， 故选：B． 【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理，关键是垂径定理的熟练应用． 27．如图，在平面直角坐标系中，⊙O经过点（0，10），直线y＝kx+2k﹣4与⊙O交于B、C两点，则弦BC的最小值是（　　） A． B． C． D．以上都不对 【思路点拨】易知直线y＝kx+2k﹣4过定点D（﹣2，﹣4），运用勾股定理可求出OD，由⊙O经过点（0，10），可求出半径OB＝10，由于过圆内定点D的所有弦中，与OD垂直的弦最短，因此只需运用垂径定理及勾股定理就可解决问题． 【解析】解：对于直线y＝kx+2k﹣4， 当x＝﹣2时，y＝﹣4， 故直线y＝kx+2k﹣4恒经过点（﹣2，﹣4），记为点D． 由于过圆内定点D的所有弦中，与OD垂直的弦最短，即当BD⊥OD时，BC最短， 连接OB，OD，如图所示， ∵D（﹣2，﹣4）， ∴， ∵⊙O经过点（0，10）， ∴OB＝10， ∴， ∵OB⊥OD， ∴， ∴弦BC的最小值是 ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了直线上点的坐标特征、垂径定理、勾股定理等知识，发现直线恒经过点（﹣2，﹣4）以及运用“过圆内定点D的所有弦中，与OD垂直的弦最短”这个经验是解决该题的关键． 28．如图，⊙O的半径为5，弦AB＝6，点C在弦AB上，延长CO交⊙O于点D，则CD的取值范围是（　　） A．6≤CD≤8 B．8≤CD≤10 C．9＜CD＜10 D．9≤CD≤10 【思路点拨】过O作OH⊥AB于H，由垂径定理得到BH＝AB＝3，由勾股定理求出OH＝＝4，当C和H重合时，CD的最小值是4+5＝9，当CD是圆直径时，CD的值最大是5×2＝10，即可得到CD的取值范围． 【解析】解：过O作OH⊥AB于H， ∴BH＝AB＝×6＝3， ∵⊙O的半径为5， ∴OB＝5， ∴OH＝＝4， ∴当C和H重合时，OC的最小值是4，CD的最小值是4+5＝9， 当CD是圆直径时，CD的值最大是5×2＝10， ∴CD的取值范围是9≤CD≤10． 故选：D． 【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是由勾股定理，垂径定理求出OH的长． 29．如图，AB是⊙O直径，点C是⊙O上一点，OC＝1且∠BOC＝60°，点D是的中点，点P是直径AB上一动点，则CP+DP的最小值为 　　． 【思路点拨】过D作DM⊥AB交圆于M，连接MC交AB于P，连接PD，得到D和M关于AB对称，此时PC+PD最小，由垂径定理得到＝，由∠BOC＝60°，D是中点，求出∠MOB＝30°，得到∠MOC＝∠BOC+∠MOB＝90°，由等腰直角三角形的性质求出MC＝OC＝，由线段垂直平分线的性质得到PD＝PM，得到PC+PD＝CM＝，即可得到CP+DP的最小值为． 【解析】解：过D作DM⊥AB交圆于M，连接MC交AB于P，连接PD， ∴直径AB垂直平分DM， ∴D和M关于AB对称，此时PC+PD最小， 由垂径定理得：＝， ∵∠BOC＝60°，D是中点， ∴∠MOB＝×60°＝30°， ∴∠MOC＝∠BOC+∠MOB＝90°， ∵OC＝OM＝1， ∴△OCM是等腰直角三角形， ∴MC＝OC＝， ∵直径AB垂直平分MD， ∴PD＝PM， ∴PC+PD＝PC+PM＝CM＝， ∴CP+DP的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查垂径定理，轴对称﹣最短路线问题，关键是作D关于AB的对称点M，连接MC交AB于P，得到P到C、D的距离和最小． 30．如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为F，AO⊥BC，垂足为E，连接AC． （1）求∠B的度数． （2）若CE＝，求⊙O的半径． 【思路点拨】（1）根据垂径定理得出AF＝BF，BE＝CE，根据线段垂直平分线性质得出AC＝BC，AB＝BC，求出AC＝BC＝AB，根据等边三角形的判定得出△ABC是等边三角形，再根据等边三角形的性质得出即可； （2）根据等边三角形的性质得出∠ACB＝60°，根据等边三角形的性质得出∠DCB＝ACB＝30°，求出OC＝2OE，再根据勾股定理求出OE即可． 【解析】解：（1）∵AE⊥BC，AE过圆心O， ∴CE＝BE， ∴AC＝AB， 同理AF＝BF，AC＝BC， ∴AB＝AC＝BC， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠B＝60°； （2）∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝60°， ∵CD⊥AB，AC＝BC， ∴∠DCB＝＝30°， ∴OC＝2OE， ∵CE＝，OC2＝OE2+CE2， 即（2OE）2＝OE2+（）2， 解得：OE＝1（负数舍去）， ∴OC＝2OE＝2， 即⊙O的半径为2． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，等边三角形的性质和判定等知识点，能熟记垂直于弦的直径平分这条弦是解此题的关键． 31．根据素材解决问题． 设计货船通过圆形拱桥的方案 素材1 图1中有一座圆拱石桥，图2是其圆形桥拱的示意图，测得水面宽AB＝16m，拱顶离水面的距离CD＝4m． 素材2 如图3，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形EFGH，测得EF＝3m，EH＝10m．因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，船身下降的高度y（米）与货船增加的载重量x（吨）满足函数关系式． 问题解决 任务1 确定桥拱半径 求圆形桥拱的半径 任务2 拟定设计方案 根据图3状态，货船能否通过圆形拱桥？若能，最多还能卸载多少吨货物？若不能，至少要增加多少吨货物才能通过？ 【思路点拨】任务1，设 圆心为点O，则点O在CD延长线上，延长CD，则CD经过点O，连结AO，设桥拱的半径为r m，则OD＝（r﹣4）m，由勾股定理，垂径定理，列出关于半径的方程，即可解决问题； 任务2，由勾股定理得到货船不能通过圆形桥拱，通过计算，即可得到需要增加的货物的吨数． 【解析】解：任务1，设 圆心为点O，则点O在CD延长线上，延长CD，则CD经过点O，连结AO，如图， 设桥拱的半径为r m，则OD＝（r﹣4）m， ∵OC⊥AB， ∴m， ∵OD2+AD2＝OA2， ∴（r﹣4）2+82＝r2， ∴r＝10， ∴圆形拱桥的半径为10m． 任务2，根据图3状态，货船不能通过圆形桥拱，至少要增加吨的货物才能通过．理由： 当EH是⊙O的弦时，EH与OC的交点为M，连接OE，OH，如图， ∵四边形EFGH为矩形， ∴EH∥FG， ∵OC⊥AB， ∴OM⊥EH． ∴， ∴m， ∵OD＝6m， ∴， ∴根据图3状态，货船不能通过圆形桥拱， ∴船在水面部分可以下降的高度m． ∵， ∴吨， ∴至少要增加吨的货物才能通过． 【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键． ( 6 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$