第10课 圆-2024-2025学年九年级数学上册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（浙教版）

第10课 圆 ( 目标导航 ) 学习目标 1.理解圆的概念，用符号、字母正确表示弦和弧，了解点与圆的位置关系. 2.会在简单条件下判断点与圆的位置关系. 3.了解不在同一条直线上的三个点确定一个圆以及过不在同一条直线上的三个点作圆的方法，了解三角形的外接圆角形的外心等概念. 4.会过不在同一条直线上的三点作圆. ( 知识精讲 ) 知识点01 圆的有关概念 1.圆：在同一平面内，线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点P所经过的封闭曲线叫做圆. 2.弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.经过圆心的弦叫做直径. 3.弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧. 半圆:圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆； 优弧:大于半圆的弧叫做优弧； 劣弧:小于半圆的弧叫做劣弧. 4.同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆. 等圆：圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等 5.等弧：在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧. 知识点02 点和圆的位置关系 设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： ①点P在圆外d＞r ②点P在圆上d＝r ③点P在圆内d＜r． 知识点03 确定圆的条件 1.已知圆心和半径可以确定圆； 2.不在同一直线上的三点可以确定一个圆； 知识点03 三角形的外接圆与外心 1.经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，这个外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形叫做圆的内接三角形． 2.外心是三角形三边的垂直平分线的交点． 3.锐角三角形外心位于三角形内部， 直角三角形外心位于边上（斜边中点）， 钝角三角形外心位于三角形外部． ( 能力拓展 )考点01 圆的有关概念 【典例1】下列说法正确的有（　　） A．经过圆心的线段是直径 B．直径是同一个圆中最长的弦 C．长度相等的两条弧是等弧 D．弧分为优弧和劣弧 【即学即练1】下列说法：①弦是直径；②半圆是弧；③过圆心的线段是直径；④圆心相同半径相同的两个圆是同心圆，其中错误的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点02 点和圆的位置关系 【典例2】已知⊙O的半径为3cm，P到圆心O的距离为4cm，则点P在⊙O（　　） A．内部 B．外部 C．圆上 D．不能确定 【即学即练2】在平面直角坐标系中，⊙O的圆心在点（1，0），半径为2，则下面各点在⊙O上的是（　　） A．（2，0） B．（0，2） C．（0，） D．（，0） 考点03 确定圆的条件 【典例3】下列说法错误的是（　　） A．已知圆心和半径可以作一个圆 B．经过一个已知点A的圆能作无数个 C．经过两个已知点A，B的圆能作两个 D．经过不在同一直线上的三个点A，B，C只能作一个圆 【即学即练3】小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 考点04 三角形的外接圆与外心 【典例4】如图，在正方形方格中，A，B，C，D，E，P均在格点处，则点P是下列哪个三角形的外心（　　） A．△ACE B．△ABD C．△ACD D．△BCE 【即学即练4】如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别是点A（﹣3，0）、点B（﹣1，2）、点C（3，2），则△ABC的外心的坐标为 　 　． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．已知⊙O中最长的弦为8，则⊙O的半径是（　　） A．4 B．8 C．12 D．16 2．下列说法：（1）长度相等的弧是等弧，（2）相等的圆心角所对的弧相等，（3）劣弧一定比优弧短，（4）直径是圆中最长的弦．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．三角形的外心是（　　） A．三边上的高线的交点 B．三边中线的交点 C．三边垂直平分线的交点 D．三个内角平分线的交点 4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝8．以点A为圆心，r为半径作圆，当点C在⊙A内且点B在⊙A外时，r的值可能是（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 5．如果一个三角形的外心在三角形的外部，那么这个三角形一定是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 6．如图，点A，B，C均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 7．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝7，点D在边BC上，且BD＝3，连接AD．以点D为圆心，以r为半径画圆，若点A，B，C中只有1个点在圆内，则r的值可能为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 8．如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A、B、C，其中，B点坐标为（4，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标为（　　） A．（2，1） B．（2，2） C．（2，0） D．（2，﹣1） 9．已知M（1，2），N（3，﹣3），P（x，y）三点可以确定一个圆，则以下P点坐标不满足要求的是（　　） A．（3，5） B．（﹣3，5） C．（1，2） D．（1，﹣2） 10．在△ABC中，已知AB＝AC＝4cm，BC＝6cm，P是BC的中点，以点P为圆心，3cm为半径画⊙P，则点A与⊙P的位置关系是　 　． 11．直角三角形的两条直角边分别为12cm和5cm，则其外接圆的半径为 　 　． 12．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，BC＝10，D是BC的中点，以A为圆心，r为半径作⊙A，若点B，D，C均在⊙A外，求r的取值范围． 题组B 能力提升练 13．如图，OA是⊙O的半径，B为OA上一点（且不与点O、A重合），过点B作OA的垂线交⊙O于点C．以OB、BC为边作矩形OBCD，连接BD．若BD＝10，BC＝8，则AB的长为（　　） A．8 B．6 C．4 D．2 14．如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么点M在这条圆弧所在圆的（　　） A．内部 B．外部 C．圆上 D．不能确定 15．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G在小正方形的顶点上，则△ABC的外心是（　　） A．点D B．点E C．点F D．点G 16．如图，直角坐标系中A（0，4），B（4，4），C（6，2），经过A，B，C三点的圆，圆心为M，若线段DM＝4，则点D与⊙M的位置关系为（　　） A．点D在⊙M上 B．点D在⊙M外 C．点D在⊙M内 D．无法确定 17．一个点到圆的最小距离为3cm，最大距离为6cm，该圆的直径是 　 　． 18．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧所在圆的半径长是 　　． 19．如图，在下列4×4（每个小正方形的边长为1）的网格中，已知△ABC的三个顶点A，B，C在格点上，请分别按不同要求写出点的坐标． （1）经过A，B，C三点有一条抛物线，图中存在点D，点D落在格点上，同时也落在这条抛物线上，则点D的坐标为 　 　． （2）经过A，B，C三点有一个圆，圆心为点E，则点E的坐标为 　 　． 题组C 培优拔尖练 20．如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE＝OB，∠AOC＝87°，则∠E等于（　　） A．42° B．29° C．21° D．20° 21．如图，AB是半⊙O的直径，点C在半⊙O上，AB＝5cm，AC＝4cm．D是上的一个动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE．在点D移动的过程中，BE的最小值为（　　） A．1 B．﹣2 C．2﹣1 D．3 22．如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝10，AD⊥BC于点D，AD＝12，P是半径为4的⊙A上一动点，连接PC，若E是PC的中点，连接DE，则DE长的最大值为（　　） A．8 B．9.5 C．9 D．8.5 23．如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4．作DE⊥AC于点E． （1）求DE的长； （2）若以点A为圆心作圆，B、C、D、E四点中至少有1个点在圆内，且至少有1个点在圆外，求⊙A的半径r的取值范围． ( 6 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10课 圆 ( 目标导航 ) 学习目标 1.理解圆的概念，用符号、字母正确表示弦和弧，了解点与圆的位置关系. 2.会在简单条件下判断点与圆的位置关系. 3.了解不在同一条直线上的三个点确定一个圆以及过不在同一条直线上的三个点作圆的方法，了解三角形的外接圆角形的外心等概念. 4.会过不在同一条直线上的三点作圆. ( 知识精讲 ) 知识点01 圆的有关概念 1.圆：在同一平面内，线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点P所经过的封闭曲线叫做圆. 2.弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.经过圆心的弦叫做直径. 3.弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧. 半圆:圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆； 优弧:大于半圆的弧叫做优弧； 劣弧:小于半圆的弧叫做劣弧. 4.同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆. 等圆：圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等 5.等弧：在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧. 知识点02 点和圆的位置关系 设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： ①点P在圆外d＞r ②点P在圆上d＝r ③点P在圆内d＜r． 知识点03 确定圆的条件 1.已知圆心和半径可以确定圆； 2.不在同一直线上的三点可以确定一个圆； 知识点03 三角形的外接圆与外心 1.经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，这个外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形叫做圆的内接三角形． 2.外心是三角形三边的垂直平分线的交点． 3.锐角三角形外心位于三角形内部， 直角三角形外心位于边上（斜边中点）， 钝角三角形外心位于三角形外部． ( 能力拓展 )考点01 圆的有关概念 【典例1】下列说法正确的有（　　） A．经过圆心的线段是直径 B．直径是同一个圆中最长的弦 C．长度相等的两条弧是等弧 D．弧分为优弧和劣弧 【思路点拨】根据直径的定义对A、B选项进行判断；根据等弧的定义对C选项进行判断；根据弧的分类对D选项进行判断． 【解析】解：A．经过圆心的弦是直径，所以A选项不符合题意； B．直径是同一个圆中最长的弦，所以B选项符合题意； C．能够完全重合的两条弧是等弧，长度相等的两条弧不一定是等弧，所以C选项不符合题意； D．弧分为半圆、优弧和劣弧，所以D选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了圆的认识：熟练掌握与圆有关的概念（ 弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）是解决问题的关键． 【即学即练1】下列说法：①弦是直径；②半圆是弧；③过圆心的线段是直径；④圆心相同半径相同的两个圆是同心圆，其中错误的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路点拨】利用圆的有关定义与性质分别判断后即可确定正确的选项． 【解析】解：①弦是直径，错误，符合题意； ②半圆是弧，正确，不符合题意； ③过圆心的弦是直径，故错误，符合题意； ④圆心相同半径相同的两个圆是同圆，故错误，符合题意， 错误的有3个， 故选：C． 【点睛】主要考查圆的认识，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 考点02 点和圆的位置关系 【典例2】已知⊙O的半径为3cm，P到圆心O的距离为4cm，则点P在⊙O（　　） A．内部 B．外部 C．圆上 D．不能确定 【思路点拨】直接根据点与圆的位置关系即可得出结论． 【解析】解：∵⊙O的半径为3cm，点P到圆心O的距离为4cm，4cm＞3cm， ∴点P在圆外． 故选：B． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． 【即学即练2】在平面直角坐标系中，⊙O的圆心在点（1，0），半径为2，则下面各点在⊙O上的是（　　） A．（2，0） B．（0，2） C．（0，） D．（，0） 【思路点拨】根据点的坐标性质结合勾股定理得出斜边长，进而得出点与⊙O关系． 【解析】解：A、点（2，0）到⊙O的圆心（1，0）的距离为：2﹣1＝1＜2，所以点（2，0）在⊙O内，错误； B、点（0，2）到⊙O的圆心（1，0）的距离为：＞2，所以点（2，0）在⊙O外，错误； C、点（0，）到⊙O的圆心（1，0）的距离为：＝2，所以点（2，0）在⊙O上，正确； D、点（，0）到⊙O的圆心（1，0）的距离为：﹣1＜2，所以点（2，0）在⊙O内，错误； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：①点P在圆外⇔d＞r，②点P在圆上⇔d＝r，③点P在圆内⇔d＜r． 考点03 确定圆的条件 【典例3】下列说法错误的是（　　） A．已知圆心和半径可以作一个圆 B．经过一个已知点A的圆能作无数个 C．经过两个已知点A，B的圆能作两个 D．经过不在同一直线上的三个点A，B，C只能作一个圆 【思路点拨】根据确定圆的条件进行判断． 【解析】解：A、已知圆心和半径可以作一个圆，说法正确，故不符合题意． B、只有确定圆心和半径才能确定一个圆，所以经过一个已知点A的圆能作无数个，说法正确，故不符合题意． C、只有确定圆心和半径才能确定一个圆，到A、B两点的距离相等的点有无数个，这些点在以A、B为端点的线段的垂直平分线上，所以已知点A，B的圆能作无数个，说法错误，故符合题意． D、过不在同一直线上的三个点A、B、C能作出三条线段，这三条线段的垂直平分线相交于一点，这个点到A、B、C三点的距离相等．所以经过不在同一直线上的三个点A，B，C只能作一个圆，说法正确，故不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了确定圆的条件，不在同一直线上的三点确定一个圆． 【即学即练3】小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【思路点拨】利用段完整的弧结合垂径定理确定圆心即可． 【解析】解：第①块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长． 故选：A． 【点睛】本题考查了确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心．要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小． 考点04 三角形的外接圆与外心 【典例4】如图，在正方形方格中，A，B，C，D，E，P均在格点处，则点P是下列哪个三角形的外心（　　） A．△ACE B．△ABD C．△ACD D．△BCE 【思路点拨】由三角形外心的性质：三角形的外心到三角形三顶点的距离相等，即可判断． 【解析】解：由勾股定理得：PC＝PE＝PB＝＝， ∴P到B、C、E的距离相等， ∴P是△BCE的外心． 故选：D． 【点睛】本题考查三角形的外接圆与外心，关键是掌握三角形外心的性质． 【即学即练4】如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别是点A（﹣3，0）、点B（﹣1，2）、点C（3，2），则△ABC的外心的坐标为 　（1，﹣2）　． 【思路点拨】根据网格作AB，BC的垂直平分线，两条线交于点D，可得点D（1，﹣2）是△ABC的外心． 【解析】解：如图，根据网格作AB，BC的垂直平分线，两条线交于点D， ∴点D（1，﹣2）是△ABC的外心， ∴△ABC的外心的坐标为（1，﹣2）， 故答案为：（1，﹣2）． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，坐标与图形性质，解决本题的关键是掌握外心定义． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．已知⊙O中最长的弦为8，则⊙O的半径是（　　） A．4 B．8 C．12 D．16 【思路点拨】⊙O最长的弦就是直径从而不难求得半径的长． 【解析】解：∵⊙O中最长的弦为8，即直径为8， ∴⊙O的半径为4． 故选：A． 【点睛】本题考查弦，直径等知识，记住圆中的最长的弦就是直径是解题的关键． 2．下列说法：（1）长度相等的弧是等弧，（2）相等的圆心角所对的弧相等，（3）劣弧一定比优弧短，（4）直径是圆中最长的弦．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路点拨】利用等弧的定义、圆周角定理、弧的定义及弦的定义分别判断后即可确定正确的选项． 【解析】解：（1）长度相等的弧不一定是等弧，弧的度数必须相同，故错误； （2）同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，故错误； （3）同圆或等圆中劣弧一定比优弧短，故错误； （4）直径是圆中最长的弦，正确， 正确的只有1个， 故选：A． 【点睛】本题考查了圆的有关定义，能够了解圆的有关知识是解答本题的关键，难度不大． 3．三角形的外心是（　　） A．三边上的高线的交点 B．三边中线的交点 C．三边垂直平分线的交点 D．三个内角平分线的交点 【思路点拨】根据三角形外心的性质即可得到结论． 【解析】解：三角形的外心是三边垂直平分线的交点， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，熟练掌握三角形的外心是三边垂直平分线的交点是解题的关键． 4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝8．以点A为圆心，r为半径作圆，当点C在⊙A内且点B在⊙A外时，r的值可能是（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【思路点拨】先根据勾股定理求出AC的长，再由点与圆的位置关系即可得出结论． 【解析】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝8， ∴AC＝＝＝6， ∵当点C在⊙A内且点B在⊙A外， ∴6＜r＜10， ∴r的值可能是8． 故选：B． 【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的位置关系有3种，熟知设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：①点P在圆外⇔d＞r； ②点P在圆上⇔d＝r；③点P在圆内⇔d＜r是解题的关键． 5．如果一个三角形的外心在三角形的外部，那么这个三角形一定是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【思路点拨】根据外心的形成和性质直接判断即可． 【解析】解：三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点，外心的性质是到三角形三个顶点的距离相等， 如果一个三角形的外心在三角形的外部，说明有一个圆周角大于90°， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，掌握外心的形成和性质是本题突破的关键． 6．如图，点A，B，C均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【思路点拨】根据不共线的三点确定一个圆可得答案． 【解析】解：经过点P、A、B；P、A、C；P、B、C可分别画出一个圆，最多可画出圆的个数为3个， 故选：C． 【点睛】本题考查了确定圆的条件，熟练掌握不在同一直线上的三点确定一个圆是解题的关键． 7．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝7，点D在边BC上，且BD＝3，连接AD．以点D为圆心，以r为半径画圆，若点A，B，C中只有1个点在圆内，则r的值可能为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【思路点拨】先根据勾股定理求出AD的长，由点与圆的位置关系即可得出结论． 【解析】解：在Rt△ABD中，∠B＝90，AB＝4，BD＝3， ∴AD＝＝5． ∵BC＝7，BD＝3， ∴CD＝BC﹣BD＝7﹣3＝4． ∵以点D为圆心，以r为半径画圆，若点A，B，C中只有1个点在圆内， ∴r的范围是3＜r≤4， 故选：B． 【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：①点P在圆外⇔d＞r；②点P在圆上⇔d＝r；③点P在圆内⇔d＜r．，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键． 8．如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A、B、C，其中，B点坐标为（4，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标为（　　） A．（2，1） B．（2，2） C．（2，0） D．（2，﹣1） 【思路点拨】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心． 【解析】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心， 可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心． 如图所示，则圆心是（2，0）． 故选：C． 【点睛】本题主要考查确定圆的条件和坐标与图形性质的知识点，能够根据垂径定理的推论得到圆心的位置． 9．已知M（1，2），N（3，﹣3），P（x，y）三点可以确定一个圆，则以下P点坐标不满足要求的是（　　） A．（3，5） B．（﹣3，5） C．（1，2） D．（1，﹣2） 【思路点拨】利用待定系数法求出直线MN的解析式，再把每点代入函数解析式，根据不在同一直线上的三点能确定一个圆，由于（1，2）在直线MN上，可知答案． 【解析】解：设直线MN的解析式为y＝kx+b， ∴， 解得， ∴y＝﹣x+， 当x＝3时，y＝﹣3≠5；当x＝﹣3时，y＝12；当x＝1时，y＝2≠﹣2； ∴点C在直线MN上，该三点不能构成圆． 故选：C． 【点睛】考查了确定圆的条件及坐标与图形性质，解题的关键是了解“不在同一直线上的三点确定一个圆”，难度不大． 10．在△ABC中，已知AB＝AC＝4cm，BC＝6cm，P是BC的中点，以点P为圆心，3cm为半径画⊙P，则点A与⊙P的位置关系是　点A在⊙P内　． 【思路点拨】连接AP，求出AP⊥BC，求出BP，根据勾股定理求出AP，和半径比较即可． 【解析】解：如图，连接AP， ∵AB＝AC＝4cm，BC＝6cm，P是BC的中点， ∴BP＝CP＝3cm，AP⊥BC， ∴∠APB＝90°， ∴在Rt△APB中，由勾股定理得：AP＝＝＝（cm）， ∵＜3， ∴点A在⊙P内． 故答案为：点A在⊙P内． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，点和圆的位置关系的应用，关键是求出AP的长． 11．直角三角形的两条直角边分别为12cm和5cm，则其外接圆的半径为 　6.5cm　． 【思路点拨】先利用勾股定理计算出直角三角形的斜边，然后根据直角三角形的斜边为它的外接圆的直径得到这个三角形的外接圆的半径． 【解析】解：直角三角形的斜边＝＝13（cm）， 因为直角三角形的斜边为它的外接圆的直径， 所以这个三角形的外接圆的半径是6.5cm． 故答案为：6.5cm． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． 12．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，BC＝10，D是BC的中点，以A为圆心，r为半径作⊙A，若点B，D，C均在⊙A外，求r的取值范围． 【思路点拨】利用勾股定理求得AC，然后根据d＞r时，点在圆外可得答案． 【解析】解：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，BC＝10， ∴AC＝＝8， ∵D是BC的中点， ∴AD＝BC＝5， ∵点B，D，C均在⊙A外， ∴0＜r＜5． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内． 题组B 能力提升练 13．如图，OA是⊙O的半径，B为OA上一点（且不与点O、A重合），过点B作OA的垂线交⊙O于点C．以OB、BC为边作矩形OBCD，连接BD．若BD＝10，BC＝8，则AB的长为（　　） A．8 B．6 C．4 D．2 【思路点拨】如图，连接OC，在Rt△OBC中，求出OB即可解决问题． 【解析】解：如图，连接OC． ∵四边形OBCD是矩形， ∴∠OBC＝90°，BD＝OC＝OA＝10， ∴OB＝＝＝6， ∴AB＝OA﹣OB＝4， 故选：C． 【点睛】本题考查圆，勾股定理，矩形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 14．如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么点M在这条圆弧所在圆的（　　） A．内部 B．外部 C．圆上 D．不能确定 【思路点拨】根据图形作线段AB和BC的垂直平分线，两线的交点即为圆心，根据图形得出 即可． 【解析】解：如图线段AB的垂直平分线和线段CD的垂直平分线的交点O 即为圆心， 则OC＝， OM＝， ∴OC＝OM， M在这条圆弧所在圆的圆上． 故选：C． 【点睛】本题考查了垂径定理，线段垂直平分线性质，坐标与图形性质的应用，数形结合是解答此题的关键． 15．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G在小正方形的顶点上，则△ABC的外心是（　　） A．点D B．点E C．点F D．点G 【思路点拨】根据三角形三边的垂直平分线相交于一点，这一点叫做它的外心，据此解答即可． 【解析】解：由图可知，， ∴FA＝FB＝FC， ∴F点在AB，AC，BC三边的垂直平分线上， ∴点F是△ABC外心， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理等知识点，解答本题的关键是明确三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点． 16．如图，直角坐标系中A（0，4），B（4，4），C（6，2），经过A，B，C三点的圆，圆心为M，若线段DM＝4，则点D与⊙M的位置关系为（　　） A．点D在⊙M上 B．点D在⊙M外 C．点D在⊙M内 D．无法确定 【思路点拨】连接BC，作AB和BC的垂直平分线，交点为（2，0），则圆心M的坐标为（2，0），然后求出⊙M的半径，比较即可解答． 【解析】解：如图： 连接BC，作AB和BC的垂直平分线，交点为（2，0）， ∴圆心M的坐标为（2，0）， ∵A（0，4）， ∴AM＝＝2， ∵线段DM＝4， ∴DM＜半径AM， ∴点D在⊙M内， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，坐标与图形的性质，点与圆的位置关系，确定圆心的位置是解题的关键． 17．一个点到圆的最小距离为3cm，最大距离为6cm，该圆的直径是 　9cm或3cm　． 【思路点拨】点应分为位于圆的内部于外部两种情况讨论：①当点在圆内时，直径＝最小距离+最大距离；②当点在圆外时，直径＝最大距离﹣最小距离． 【解析】解：分为两种情况： ①当点在圆内时，如图1， ∵点到圆上的最小距离MB＝3cm，最大距离MA＝6cm， ∴直径AB＝3cm+6cm＝9cm； ②当点在圆外时，如图2， ∵点到圆上的最小距离MB＝3cm，最大距离MA＝6cm， ∴直径AB＝6cm﹣3cm＝3cm； 故答案为：9cm或3cm． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，注意分两种情况进行讨论是解决本题的关键． 18．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧所在圆的半径长是 　　． 【思路点拨】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心，根据勾股定理即可求得半径． 【解析】解：如图所示，作弦AB和BC的垂直平分线交于点O，连接OB，设BC的中点为D， 根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心， ∴点O即为圆心， ∵BD＝1，OD＝2， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查垂径定理，解题的关键是根据垂径定理找到圆心的位置． 19．如图，在下列4×4（每个小正方形的边长为1）的网格中，已知△ABC的三个顶点A，B，C在格点上，请分别按不同要求写出点的坐标． （1）经过A，B，C三点有一条抛物线，图中存在点D，点D落在格点上，同时也落在这条抛物线上，则点D的坐标为 　（3，2）　． （2）经过A，B，C三点有一个圆，圆心为点E，则点E的坐标为 　（1.5，1.5）　． 【思路点拨】（1）根据抛物线是轴对称图形即可解决问题； （2）分别作出线段AC，BC的垂直平分线，两直线的交点E即为所求． 【解析】解：（1）∵抛物线的对称轴为线段BC的垂直平分线， ∴点A的对称点就是点D， ∴点D即为所求D（3，2）； 故答案为：（3，2）； （2）如图， 线段AC，BC的垂直平分线的交点E即为所求， ∴点E的坐标为（1.5，1.5）． 故答案为：（1.5，1.5）． 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，确定圆的条件，线段的垂直平分线等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 题组C 培优拔尖练 20．如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE＝OB，∠AOC＝87°，则∠E等于（　　） A．42° B．29° C．21° D．20° 【思路点拨】利用半径相等得到DO＝DE，则∠E＝∠DOE，根据三角形外角性质得∠1＝∠DOE+∠E，所以∠1＝2∠E，同理得到∠AOC＝∠C+∠E＝3∠E，然后利用∠E＝∠AOC进行计算即可． 【解析】解：连接OD，如图， ∵OB＝DE，OB＝OD， ∴DO＝DE， ∴∠E＝∠DOE， ∵∠1＝∠DOE+∠E， ∴∠1＝2∠E， 而OC＝OD， ∴∠C＝∠1， ∴∠C＝2∠E， ∴∠AOC＝∠C+∠E＝3∠E， ∴∠E＝∠AOC＝×87°＝29°． 故选：B． 【点睛】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（ 弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了等腰三角形的性质． 21．如图，AB是半⊙O的直径，点C在半⊙O上，AB＝5cm，AC＝4cm．D是上的一个动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE．在点D移动的过程中，BE的最小值为（　　） A．1 B．﹣2 C．2﹣1 D．3 【思路点拨】如图，连接BO′、BC．在点D移动的过程中，点E在以AC为直径的圆上运动，当O′、E、B共线时，BE的值最小，最小值为O′B﹣O′E，利用勾股定理求出BO′即可解决问题． 【解析】解：如图，连接BO′、BC． ∵CE⊥AD， ∴∠AEC＝90°， ∴在点D移动的过程中，点E在以AC为直径的圆上运动， ∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， 在Rt△ABC中，∵AC＝4，AB＝5， ∴BC＝＝＝3，O′E＝2， 在Rt△BCO′中，BO′＝＝＝， ∵O′E+BE≥O′B， ∴当O′、E、B共线时，BE的值最小，最小值为O′B﹣O′E＝﹣2， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、点与圆的位置关系等知识，解题的关键是确定点E的运动轨迹是在以AC为直径的圆上运动，属于中考填空题中的压轴题． 22．如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝10，AD⊥BC于点D，AD＝12，P是半径为4的⊙A上一动点，连接PC，若E是PC的中点，连接DE，则DE长的最大值为（　　） A．8 B．9.5 C．9 D．8.5 【思路点拨】连接PB，根据等腰三角形的三线合一得到CD＝DB，根据三角形中位线定理得到DE＝PB，则当PB取最大值时，DE的长最大，求得PB的最大值，即可求得DE长的最大值． 【解析】解：连接PB， ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴CD＝DB＝BC＝5， ∵点E为PC的中点， ∴DE是△PBC的中位线， ∴DE＝PB， ∴当PB取最大值时，DE的长最大， ∵P是半径为4的⊙A上一动点， ∴当PB过圆心A时，PB最大，如图， ∵BD＝5，AD＝12， ∴AB＝＝13， ∵⊙A的半径为4， ∴PB的最大值为13+4＝17， ∴DE长的最大值为8.5， 故选：D． 【点睛】本题考查的是点和圆的位置关系，等腰三角形的性质，勾股定理以及三角形中位线定理，明确当PB取最大值时，DE的长最大是解题的关键． 23．如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4．作DE⊥AC于点E． （1）求DE的长； （2）若以点A为圆心作圆，B、C、D、E四点中至少有1个点在圆内，且至少有1个点在圆外，求⊙A的半径r的取值范围． 【思路点拨】（1）先利用勾股定理计算出AC，再利用面积法计算出DE； （2）利用B、C、D、E到点A的距离可判断⊙A的半径r的取值范围． 【解析】解：（1）∵矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4， ∴AC＝BD＝＝5， ∵AC•DE＝DC•AD， ∴DE＝＝； （2）∵AB＜AE＜AD＜AC， ∴若以点A为圆心作圆，B、C、D、E四点中至少有1个点在圆内，且至少有1个点在圆外，即点B在圆内，点C在圆外， ∴⊙A的半径r的取值范围为3＜r＜5． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． ( 6 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$