暑期成果验收卷（ 测试范围：特殊平行四边形、一元二次方程）- 2024年新九年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（北师大版）

2024年初中数学暑期成果验收卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 测试范围：特殊的平行四边形、一元二次方程、概率的进一步认识、图形的相似 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一．选择题：（本大题共10题，每题3分，满分30分） 1．观察如图每组图形，是相似图形的是　　 A． B． C． D． 2．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到白色球的频率稳定在，则口袋中白色球的个数可能是　　 A．24 B．18 C．16 D．6 3．若两个相似三角形的周长之比是，那么这两个三角形的面积之比是　　 A． B． C． D． 4．若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 5．如图，和是位似图形，位似中心是，若，，那么　　 A．6 B．9 C．12 D．18 6．电动自行车已成为人们日常出行的首选工具，据某品牌电动自车行经销商3至5月份的统计，该品牌电动自行车3月份销售150辆，5月份销售216辆，求该品牌电动自行车销售量的月平均增长率．设该品牌电动自行车销售量的月平均增长率为，则所列方程正确的是　　 A． B． C． D． 7．如图，在矩形中，对角线，相交于点，，，则的长为　　 A．4 B． C．2 D． 8．如图，四边形为平行四边形，四边形为菱形，与交于点，，，则　　 A． B． C． D． 9．如图，在矩形中，，分别是边，的中点，，分别是线段，的中点．当时，四边形是　　 A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 10．如图，把4个形状大小均相同的矩形摆放成正方形，连接并延长交于点，连接．若，则的值是　　 A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二．填空题：（本大题共8题，每题2分，满分16分） 11．2024河南文旅博览会于4月在郑州召开，共分七大展区．甲、乙两人分别从“文创产品”“智慧文旅”“乡村振兴”三个展区中随机选择一个参会，最终选择相同展区的概率是 　　． 12．若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为 　　． 13．若关于的方程有实数根，则的取值范围是 　　． 14．是方程的一个根，则代数式的值是 　　． 15．如图，四边形是平行四边形，请你添加一个条件 　　，使为矩形（任意添加一个符合题意的条件即可）． 16．如图，菱形的对角线，相交于点，、分别是，边上的中点，连接．若，，则菱形的面积为 　　． 17．中，，是边上的高，若，则的最小值为 　　． 18．如图，已知等腰三角形中，，，点从点出发沿以的速度向点运动；同时点从点出发沿以的速度向点运动，在运动过程中，当　　时，与相似． 三． 解答题：（本大题共8题，19-23题每题6分，24-26题每题8分，满分54分） 19．解方程： （1）（配方法）； （2）（自选方法）． 20．如图，在中，点、分别在边、上，连接，若，，，求的长． 21．1月10日上午，2024创投大会在西安高新区隆重开幕，本届大会以“向实、向新、向强”为主题，呈现了一场思想盛宴，高新区迎来了新的发展机遇．在一个不透明的口袋里，装有分别标着汉字“高”、“新”、“新”、“机”、“遇”的五个小球，将其搅匀，这些小球除汉字不同外其它都相同． （1）若从袋中任取一个小球，则取到的小球上的汉字恰好是“新”的概率为 　　； （2）从袋中任取一个小球，不放回，搅匀后再从剩下的四个小球中任取一个，请用画树状图或列表法，求取到的两个小球上的汉字恰能组成“高新”或“机遇”的概率（汉字不分先后顺序）． 22．阅读材料：我们知道：若几个非负数相加得零，则这些数都必同时为零． 例如：①，我们可以得：，， 所以，． ②若，求、的值． 解：因为， 所以（我们将13拆成4和9，等式左边就出现了两个完全平方式） 所以， 所以，， 所以，． 根据你的观察，探究下面的问题： （1），则　2　，　　． （2）已知，求的值． （3）已知，是长方形的长和宽，且满足，求长方形的周长． 23．已知是坐标原点，、的坐标分别为，． （1）画出绕点顺时针旋转后得到的△，并写出的坐标为 　　； （2）在轴的左侧以为位似中心作的位似图形△，使新图与原图相似比为； （3）若点在线段上，直接写出变化（2）后点的对应点的坐标为 　　． 24．如图所示，点是正方形的边上任意一点，点是边的延长线上一点，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 25．聚焦“绿色发展，美丽宜居”县城建设，围绕“老旧改造人人参与，和谐家园家家受益”的思路，某市从2021年起连续投入资金用于“建设美丽城市，改造老旧小区”，让小区“旧貌”换“新颜”．已知每年投入资金的增长率相同，其中2021年投入资金1000万元，2023年投入资金1440万元． （1）求该市改造小区投入资金的年平均增长率； （2）2023年小区改造的平均费用为每个80万元，2024年为提高小区品质，每个小区改造费用计划增加．如果投入资金年增长率保持不变，求该市2024年最多可以改造多少个小区？ 26．如图，在中，，，，点从点出发沿边向点以的速度移动，点从点出发沿边向点以的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动． （1）如果点，同时出发，经过几秒钟时的面积为？ （2）如果点，同时出发，经过几秒钟时以、、为顶点的三角形与相似？ ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年初中数学暑期成果验收卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 测试范围：特殊的平行四边形、一元二次方程、概率的进一步认识、图形的相似 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一．选择题：（本大题共10题，每题3分，满分30分） 1．观察如图每组图形，是相似图形的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据相似图形的定义，形状相同，可得出答案． 【解答】解：．两图形形状不同，故不是相似图形，不符合题意； ．两图形形状相同，故是相似图形，符合题意； ．两图形形状不同，故不是相似图形，不符合题意； ．两图形形状不同，故不是相似图形，不符合题意； 故选：． 【点评】本题主要考查相似图形的定义，掌握相似图形形状相同是解题的关键． 2．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到白色球的频率稳定在，则口袋中白色球的个数可能是　　 A．24 B．18 C．16 D．6 【分析】根据题意可知摸到白色球的概率为，据此可得出结论． 【解答】解：在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，通过多次摸球试验后发现其中摸到白色球的频率稳定在， 摸到白色球的概率为， 口袋中白色球的个数可能是（个． 故选：． 【点评】本题考查的是利用频率估计概率，熟知大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解题的关键． 3．若两个相似三角形的周长之比是，那么这两个三角形的面积之比是　　 A． B． C． D． 【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方可得答案． 【解答】解：相似三角形的周长之比是， 对应边之比为， 这两个三角形的面积之比是：， 故选：． 【点评】此题主要考查了相似三角形的性质，关键是掌握相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 4．若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 【分析】根据题意可得△，列出不等式求解即可． 【解答】解：关于的方程有实数根， △， ， 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的两个实数根；当△时，方程有两个相等的两个实数根；当△时，方程无实数根是解题的关键． 5．如图，和是位似图形，位似中心是，若，，那么　　 A．6 B．9 C．12 D．18 【分析】直接利用位似图形的性质得出位似比，进而得出面积比，即可得出答案． 【解答】解：与是位似图形，位似中心为，， ， ， 的面积为：12． 故选：． 【点评】此题主要考查了位似变换，正确得出三角形面积比是解题关键． 6．电动自行车已成为人们日常出行的首选工具，据某品牌电动自车行经销商3至5月份的统计，该品牌电动自行车3月份销售150辆，5月份销售216辆，求该品牌电动自行车销售量的月平均增长率．设该品牌电动自行车销售量的月平均增长率为，则所列方程正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】利用该品牌电动自行车5月份的销售量该品牌电动自行车3月份的销售量该品牌电动自行车销售量的月平均增长率），即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意得：． 故选：． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 7．如图，在矩形中，对角线，相交于点，，，则的长为　　 A．4 B． C．2 D． 【分析】根据矩形的性质以及，可以得到是等边三角形、，再根据等边三角形的性质即可解答． 【解答】解：矩形中，， ， ，， 是等边三角形， ． 故选：． 【点评】本题主要考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练矩形的性质是解题的关键． 8．如图，四边形为平行四边形，四边形为菱形，与交于点，，，则　　 A． B． C． D． 【分析】根据平行四边形的性质得出，进而利用菱形的性质解答即可． 【解答】解：四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ， ， ， 故选：． 【点评】此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的对角线平分对角解答． 9．如图，在矩形中，，分别是边，的中点，，分别是线段，的中点．当时，四边形是　　 A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【分析】由矩形的性质，得，，，根据，得，，从而得，又证明四边形是平行四边形，根据，，可得四边形是正方形． 【解答】解：四边形是矩形， ，，， ，分别是边，的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， 、、分别是、、的中点， ，，， 四边形是平行四边形， ，， 四边形是正方形， 故选：． 【点评】本题考查了矩形的性质、正方形的判定、三角形中位线定理等知识，熟练应用正方形的判定方法是解题关键． 10．如图，把4个形状大小均相同的矩形摆放成正方形，连接并延长交于点，连接．若，则的值是　　 A． B． C． D． 【分析】设，，由题意得到，，由，推出，由，推出，得到，求出，由勾股定理求出，，即可得到． 【解答】解：设，， 由题意得：， ， ， 四边形是矩形， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，，，， ，， ， 故选：． 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形、正方形的性质，关键是由，得到，由，推出，得到，求出，由勾股定理求出，，即可得到答案． 第Ⅱ卷 二．填空题：（本大题共8题，每题2分，满分16分） 11．2024河南文旅博览会于4月在郑州召开，共分七大展区．甲、乙两人分别从“文创产品”“智慧文旅”“乡村振兴”三个展区中随机选择一个参会，最终选择相同展区的概率是 　　． 【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及最终选择相同展区的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：将“文创产品”“智慧文旅”“乡村振兴”三个展区分别记为，，， 列表如下： 共有9种等可能的结果，其中最终选择相同展区的结果有3种， 最终选择相同展区的概率为． 故答案为：． 【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 12．若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为 　　． 【分析】先设出菱形两条对角线的长，利用根与系数的关系及对角线与菱形面积的关系得等式，再根据菱形的边长与对角线的关系求出菱形的边长． 【解答】解：设菱形的两条对角线长分别为、， 菱形的面积两条对角线积的一半， 即． 由题意，得． 菱形的边长 ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了根与系数的关系及菱形的性质，掌握菱形对角线与菱形的面积、边长间的关系，根与系数的关系及等式的变形是解决本题的关键． 13．若关于的方程有实数根，则的取值范围是 　　． 【分析】由方程有实数根结合根的判别式，即可得出△，解不等式即可得出结论． 【解答】解：关于的方程有实数根， △， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式，解题的关键是由方程有实数根得出关于的一元一次不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据方程解的个数结合根的判别式得出不等式（或方程）是关键． 14．是方程的一个根，则代数式的值是 　2022　． 【分析】先根据一元二次方程的定义得到，再把，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：是方程的一个根， ， ， ． 故答案为：2022． 【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 15．如图，四边形是平行四边形，请你添加一个条件 　（答案不唯一）　，使为矩形（任意添加一个符合题意的条件即可）． 【分析】根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，添加条件，即可求解． 【解答】解：四边形是平行四边形，添加条件， 平行四边形为矩形 故答案为：（答案不唯一）． 【点评】本题考查了矩形的判定定理，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键． 16．如图，菱形的对角线，相交于点，、分别是，边上的中点，连接．若，，则菱形的面积为 　　． 【分析】证明是的中位线，得，再由菱形的性质得，，，进而由勾股定理得，则，然后由菱形面积公式列式计算即可． 【解答】解：、分别是，边上的中点， 是的中位线， ， 四边形是菱形， ，，， ， ， ， 菱形的面积， 故答案为：． 【点评】本题考查了菱形的性质、三角形中位线定理以及勾股定理等知识，掌握菱形的性质和三角形中位线定理是解题的关键． 17．中，，是边上的高，若，则的最小值为 　　． 【分析】构造以、为直角边的和相似，得到的长度，作的中点，连接，，易得和的值，进而求得的值，根据当点、、在同一条直线上时，最短可得的最小值． 【解答】解：过点作于点，过点作于点，两条垂线交于点． ． ，． ． 是的高， ． ． ． ． ，， ． 作的中点，连接，， ． ． 当点、、在同一条直线上时，最短． ． 故答案为：． 【点评】本题考查相似三角形的性质及应用．根据所给比值构造以、为直角边的和相似是解决本题的关键．和的值固定，那么点、、在同一条直线上可求得的最大值或最小值． 18．如图，已知等腰三角形中，，，点从点出发沿以的速度向点运动；同时点从点出发沿以的速度向点运动，在运动过程中，当　或20　时，与相似． 【分析】分两种情况进行讨论．由等腰三角形的性质得出和对应相等，那么就要分成和为对应边以及和为对应边两种情况． 【解答】解：设运动时间为 ， 当时，有， 即， 解得：， ， 当时，有， 即， 解得：或（舍去）， ， 综上所述，当或时，与相似， 故答案为：或20． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 三． 解答题：（本大题共8题，19-23题每题6分，24-26题每题8分，满分54分） 19．解方程： （1）（配方法）； （2）（自选方法）． 【分析】（1）利用配方法对所给方程进行求解即可． （2）利用因式分解法对所给方程进行求解即可． 【解答】解：（1）， ， ， ， ， 则， 所以． （2）， ， ， ， ， 则或， 所以，． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程因式分解法及解一元二次方程配方法，熟知因式分解法及配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 20．如图，在中，点、分别在边、上，连接，若，，，求的长． 【分析】由平行线分线段成比例得，即可求解． 【解答】解：， ， 又， ， ． 【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，掌握平行线分线段成比例定理是解决问题的关键． 21．1月10日上午，2024创投大会在西安高新区隆重开幕，本届大会以“向实、向新、向强”为主题，呈现了一场思想盛宴，高新区迎来了新的发展机遇．在一个不透明的口袋里，装有分别标着汉字“高”、“新”、“新”、“机”、“遇”的五个小球，将其搅匀，这些小球除汉字不同外其它都相同． （1）若从袋中任取一个小球，则取到的小球上的汉字恰好是“新”的概率为 　　； （2）从袋中任取一个小球，不放回，搅匀后再从剩下的四个小球中任取一个，请用画树状图或列表法，求取到的两个小球上的汉字恰能组成“高新”或“机遇”的概率（汉字不分先后顺序）． 【分析】（1）直接利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及取到的两个小球上的汉字恰能组成“高新”或“机遇”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：（1）由题意得，从袋中任取一个小球，取到的小球上的汉字恰好是“新”的概率为． 故答案为：． （2）列表如下： 高 新 新 机 遇 高 （高，新） （高，新） （高，机） （高，遇） 新 （新，高） （新，新） （新，机） （新，遇） 新 （新，高） （新，新） （新，机） （新，遇） 机 （机，高） （机，新） （机，新） （机，遇） 遇 （遇，高） （遇，新） （遇，新） （遇，机） 共有20种等可能的结果，其中取到的两个小球上的汉字恰能组成“高新”或“机遇”的结果有：（高，新），（高，新），（新，高），（新，高），（机，遇），（遇，机），共6种， 取到的两个小球上的汉字恰能组成“高新”或“机遇”的概率为． 【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 22．阅读材料：我们知道：若几个非负数相加得零，则这些数都必同时为零． 例如：①，我们可以得：，， 所以，． ②若，求、的值． 解：因为， 所以（我们将13拆成4和9，等式左边就出现了两个完全平方式） 所以， 所以，， 所以，． 根据你的观察，探究下面的问题： （1），则　2　，　　． （2）已知，求的值． （3）已知，是长方形的长和宽，且满足，求长方形的周长． 【分析】（1）利用完全平方公式变形把等式化成几个非负数相加得零的形式即可； （2）利用完全平方公式变形把等式化成几个非负数相加得零的形式即可求出、的值，然后代入求值． （3）同（2）根据完全平方公式求出，的值，然后根据长方形的周长公式计算即可． 【解答】解：（1）， ， ，， ，． 故答案是：2；0； （2）， ． ． ，． ，． ； （3）， ， ， ， ，， ，， 长方形的周长为：． 【点评】此题考查完全平方公式的应用，以及偶次方的非负性质的应用，正确记忆修改知识点是解题关键． 23．已知是坐标原点，、的坐标分别为，． （1）画出绕点顺时针旋转后得到的△，并写出的坐标为 　　； （2）在轴的左侧以为位似中心作的位似图形△，使新图与原图相似比为； （3）若点在线段上，直接写出变化（2）后点的对应点的坐标为 　　． 【分析】（1）直接利用旋转变换的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案； （3）根据位似图形的性质，即可求解； 【解答】解：（1）如图所示：△即为所求；的坐标为； （2）如图所示：△即为所求； （3）作的位似图形△，新图与原图相似比为，且， 点的对应点的坐标为； 故答案为：． 【点评】本题主要考查了位似变换以及旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键． 24．如图所示，点是正方形的边上任意一点，点是边的延长线上一点，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【分析】（1）根据正方形的性质可得，，从而利用平角定义可得，进而可得，然后利用证明，从而利用全 等三角形的性质即可解答； （2）根据正方形的性质可得，再利用（1）的结论可得，即可解答． 【解答】（1）证明：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ； ， ； （2）解：，， ，在正方形中，， ． 【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质，以及全等三角形的判定与性质是解题的关键． 25．聚焦“绿色发展，美丽宜居”县城建设，围绕“老旧改造人人参与，和谐家园家家受益”的思路，某市从2021年起连续投入资金用于“建设美丽城市，改造老旧小区”，让小区“旧貌”换“新颜”．已知每年投入资金的增长率相同，其中2021年投入资金1000万元，2023年投入资金1440万元． （1）求该市改造小区投入资金的年平均增长率； （2）2023年小区改造的平均费用为每个80万元，2024年为提高小区品质，每个小区改造费用计划增加．如果投入资金年增长率保持不变，求该市2024年最多可以改造多少个小区？ 【分析】（1）设该市改造小区投入资金的年平均增长率为，根据2023年投入资金金额年投入资金金额年平均增长率），列出一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设该市在2024年可以改造个小区，根据2024年改造小区所需资金不多于2024年投入资金金额，列出一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可得出结论． 【解答】解：（1）设该市改造小区投入资金的年平均增长率为， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：该市改造小区投入资金的年平均增长率为； （2）设该市在2024年可以改造个小区， 依题意得：， 解得：， 又为整数， 的最大值为18． 答：该市在2024年最多可以改造18个小区． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． 26．如图，在中，，，，点从点出发沿边向点以的速度移动，点从点出发沿边向点以的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动． （1）如果点，同时出发，经过几秒钟时的面积为？ （2）如果点，同时出发，经过几秒钟时以、、为顶点的三角形与相似？ 【分析】（1）设、同时出发，秒钟后，，，，依据的面积为8，由此等量关系列出方程求出符合题意的值． （2）分两种情况讨论，依据相似三角形对应边成比例列方程求解即可． 【解答】解：（1）设后，可使的面积为． 由题意得，，，， 则， 整理得， 解得，． 所以、同时出发，或后可使的面积为． （2）设秒后以、、为顶点的三角形与相似，则，． 当时，，即， 解得：． 当时，，即， 解得：． 综上所述，经过秒或秒时，以、、为顶点的三角形与相似． 【点评】本题主要考查的是相似三角形的性质，三角形的面积公式，依据题意列出方程是解题的关键 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$