专题14 图形的变换-【好题汇编】5年（2020-2024）中考1年模拟数学分类汇编（河南专用）

专题14 图形的变换（解析版） 1. （2024·河南·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点A的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为，则点E的坐标为___________． 【答案】 【详解】解∶设正方形的边长为a，与y轴相交于G， 则四边形是矩形， ∴，，， ∵折叠， ∴，， ∵点A的坐标为，点F的坐标为， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴，， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴点E的坐标为， 故答案：． 2．（2023·河南·统考中考真题）李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是李老师在“图形的变化”主题下设计的问题，请你解答． （1）观察发现：如图1，在平面直角坐标系中，过点的直线轴，作关于轴对称的图形，再分别作关于轴和直线对称的图形和，则可以看作是绕点顺时针旋转得到的，旋转角的度数为______；可以看作是向右平移得到的，平移距离为______个单位长度． （2）探究迁移：如图，中，，为直线下方一点，作点关于直线的对称点，再分别作点关于直线和直线的对称点和，连接，，请仅就图的情形解决以下问题： ①若，请判断与的数量关系，并说明理由； ②若，求，两点间的距离． （3）拓展应用：在（2）的条件下，若，，，连接．当与的边平行时，请直接写出的长． 【答案】（1），． （2）①，理由见解析；② （3）或 【小问1详解】 （1）∵关于轴对称的图形，与关于轴对称， ∴与关于点中心对称， 则可以看作是绕点顺时针旋转得到的，旋转角的度数为 ∵， ∴， ∵,关于直线对称， ∴， 即， 可以看作是向右平移得到的，平移距离为个单位长度． 故答案为：，． 【小问2详解】 ①，理由如下， 连接， 由对称性可得，， ∴， ②连接分别交于两点，过点作，交于点， 由对称性可知：且， ∵四边形为平行四边形， ∴ ∴三点共线， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， ∵， ∴, ∴ 【小问3详解】 解：设，则， 依题意，， 当时，如图所示，过点作于点， ∴ ∵，， ∴， ∴，则， 在中，， ∴，则， ∴ 在中，，则，， 在中，， ， ∴ 由（2）②可得， ∵ ∴ ∴， 解得：； 如图所示，若，则， ∵，则， 则， ∵，， ∵， ∴， 解得：， 综上所述，的长为或． 3.（2022·河南·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合，轴，交y轴于点P．将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【详解】解：正六边形ABCDEF边长为2，中心与原点O重合，轴， ∴AP＝1， AO＝2，∠OPA＝90°， ∴OP＝＝， ∴A（1，）， 第1次旋转结束时，点A的坐标为（，-1）； 第2次旋转结束时，点A的坐标为（-1，）； 第3次旋转结束时，点A的坐标为（，1）； 第4次旋转结束时，点A的坐标为（1，）； ∵将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°， ∴4次一个循环， ∵2022÷4＝505……2， ∴经过第2022次旋转后，点A的坐标为（-1，）， 故选：B 4.（2022·河南·统考中考真题）综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． 　　 　　 （1）操作判断 操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平； 操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM． 根据以上操作，当点M在EF上时，写出图1中一个30°的角：______． （2）迁移探究 小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ． ①如图2，当点M在EF上时，∠MBQ＝______°，∠CBQ＝______°； ②改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由． （3）拓展应用 在（2）的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为8cm，当FQ＝1cm时，直接写出AP的长． 【答案】（1）或或或 （2）①15，15；②，理由见解析 （3）cm或 【小问1详解】 解： ，sin∠BME= 【小问2详解】 ∵四边形ABCD是正方形 ∴AB=BC，∠A=∠ABC=∠C=90° 由折叠性质得：AB=BM，∠PMB=∠BMQ=∠A=90° ∴BM=BC ① ∴ ② 小问3详解】 当点Q在点F的下方时，如图， ，DQ=DF+FQ=4+1=5(cm) 由（2）可知， 设 ， 即 解得： ∴； 当点Q在点F的上方时，如图， cm，DQ =3cm， 由（2）可知， 设 ， 即 解得： ∴． 5.（2021·河南·统考中考真题）如图，▱OABC的顶点，，点C在x轴的正半轴上，延长BA交y轴于点将绕点O顺时针旋转得到，当点D的对应点落在OA上时，的延长线恰好经过点C，则点C的坐标为 A. B. C. D. 【答案】B 【详解】解：延长交y轴于点E，延长，由题意的延长线经过点C，如图， ， ，， ． 由题意：≌， ，，，，． 则，OA平分， 为等腰三角形． ，． ，， ∽． ． ． ． ． 故选：B． 6.（2021·河南·统考中考真题）小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在中，，，第一步，在AB边上找一点D，将纸片沿CD折叠，点A落在处，如图2；第二步，将纸片沿折叠，点D落在处，如图当点恰好落在直角三角形纸片的边上时，线段的长为______ ． 【答案】或 【解析】解：点恰好落在直角三角形纸片的AB边上时，设交AB边于点E，如图， 由题意：≌≌，垂直平分线段． 则，． ，，， ． ， ． ． 在中， ， ， ． 点恰好落在直角三角形纸片的BC边上时，如图， 由题意：≌≌，； 则，． ，， ， ． 综上，线段的长为：或． 故答案为：或． 7.（2020·河南·统考中考真题）如图，在中，．边在轴上，顶点的坐标分别为和．将正方形沿轴向右平移当点落在边上时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【详解】解：由题意知： 四边形为正方形， 如图，当落在上时， 由 故选 一、单选题 1．（2024·河南·三模）把边长为5的正方形绕点A顺时针旋转得到正方形，边与交于点O，则四边形的周长是（    ）    A． B．10 C． D． 【答案】A 【详解】解：连接，   四边形是正方形， ， 旋转角，， ， 在对角线上， ， 在中，， ， 在等腰中，， 在中，， ， 四边形的周长是：， 故选：A． 2．（2024·河南周口·一模）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的等边三角形在第二象限，与x轴重合，将绕点O顺时针旋转60°，得到，再作关于原点O的中心对称图形，得到，再将绕点O顺时针旋转60°，得到，再作关于原点O的中心对称图形，得到，以此类推……，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：边长为2的等边三角形在第二象限， ∴． 将绕点顺时针旋转，得到， 与点关于轴对称， ． 再作关于原点的中心对称图形，得到， 与点关于原点对称， ． 再将绕点顺时针旋转，得到 此时点落在轴的负半轴上， ． 再作关于原点的中心对称图形，得到， 此时点落在轴的正半轴上， ． 以此类推，则，， 与点重合， 对应的点大于1的整数）的坐标以，，，，，为规律循环， 与的坐标相同， ∴则点的坐标是． 故选：B． 3．（2024·河南安阳·二模）我们知道：四边形具有不稳定性，如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形的边与x轴平行，对角线交点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点处，则点C的对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图：∵， ∴， ∵轴且点在第一象限， ∴点的坐标为． 故选A． 4．（2024·河南安阳·一模）如图，把放置在平面直角坐标系中，，已知点是轴上的定点，点的坐标为．将绕点逆时针旋转，旋转后点恰好与点重合，则旋转前点的坐标是（     ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】过点作轴于，    ∵点的坐标为， ∴， 将绕点逆时针旋转，旋转后点恰好与点重合， ∴，，，，， ∴和是等边三角形， ∴，， ∴， 在中，，，， ∴， ∴，， ∴， ∴点的坐标是， 故选：． 5．（2024·河南濮阳·二模）如图，在一个单位为1的方格纸上，，……，是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6的等腰直角三角形．若的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的横坐标为（　 　）    A． B．1 C．2 D．0 【答案】C 【详解】解：由题意知，，，， ∴当时，的横坐标为2， ∵， ∴的横坐标为2， 故选：C． 6．（2024·河南商丘·三模）如图，在平面直角坐标系中，点，，，，，，，，……都是平行四边形的顶点，点，，，……在轴的正半轴上，，平行四边形按此规律依次排列，则第个平行四边形对称中心的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图所示，连接轴于点，    ∵ ∴ 又∵ ∴重合， ∴ 则的中点即为所第个平行四边形的对称中心，其坐标为； 同理可得，，则的中点坐标即第个平行四边形的对称中心坐标为 同理可得第个平行四边形的对称中心坐标为 …… 同理可得第个平行四边形的对称中心坐标为 ∴第个平行四边形的对称中心的坐标是即 故选：A． 7．（2024·河南新乡·三模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点，点，将正方形绕点A逆时针旋转，每次旋转，若最后点C的坐标为，则旋转次数可以是（     ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】C 【详解】解：如图， 由题可知，将正方形绕点A逆时针旋转，每次旋转， ∴每旋转4次则回到原位置， ∵点C的坐标为， ∴旋转后点C在第二象限内， ∴图形旋转次点C的坐标为， ∵，，，， ∴最后点C的坐标为，则旋转次数可以是2025． 故选：C 8．（2024·河南商丘·二模）如图，的顶点B，C都在坐标轴上，已知，，，且轴，将绕点C顺时针旋转，每次旋转，第2025次旋转后，点A的对应点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：，， ，． 在中， ． ，且轴， 点的坐标为． ， 每旋转四次，点对应点的坐标循环出现． 余1， 点的坐标与点的坐标相同． 将绕点顺时针旋转，如图所示， 分别过点和点作轴的垂线，垂足分别为和， 由旋转可知， ，， ， ． 在和中， ， ， ，． ，， ，， ， 点的坐标为， 即点的坐标为． 故选：A 9．（2024·河南周口·二模）如图，菱形中，．将菱形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第65次旋转结束时，点A的坐标为（     ） A．（，） B． C．（，） D． 【答案】B 【详解】解：过点A作轴于点D， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∵将菱形绕点O顺时针旋转，每次旋转， ∴第一次旋转后，点A的坐标为， 第二次旋转后，点A的坐标为， 第三次旋转后，点A的坐标为 第四次旋转后，点A的坐标为， 第五次旋转后，点A的坐标为 第六次旋转后，点A的坐标为， 第七次旋转后，点A的坐标为 八次旋转后，点A的坐标为， ， 可以发现，每8次为一个循环， ∵， ∴第65次旋转结束时，点A的坐标为， 故选B 10．（2024·河南驻马店·一模）如图，菱形的顶点都在坐标轴上，是边的中点，，若把绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转结束时，点的对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵菱形的顶点都在坐标轴上，，， ∴，， ∴点，点，， ∴， ∴， ∵P是边的中点， ∴，， ∴， ∵把绕点O顺时针旋转，每次旋转， ∴，，，，， ••• ∴每旋转12次循环一次， ∴， ∴第2024次旋转后的P点坐标与第8次旋转后的P的坐标相同， ∴第2024次旋转结束时，点P的对应点的坐标为， 故选：B． 11．（2024·河南信阳·三模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边，分别在x轴和y轴上，并且，．若把矩形绕着点O逆时针旋转，使点A恰好落在边上的处，则点C的对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：过点作轴于点N，过点作轴于点M， 由题意可得：， ∴轴， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴设，则， 则， 解得：（负数舍去）， 则， 故点C的对应点的坐标为：． 故选：A． 12．（2024·河南平顶山·二模）如图，将沿对角线翻折，点落在点处，交于点，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由折叠的性质可知，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 二、填空题 13．（2024·河南鹤壁·一模）如图，正方形中，为边的中点，连接为边AD上一动点，将沿所在直线翻折，若点A的对应点恰好落在的边上，则线段的长为 ． 【答案】1或 【详解】解：如图：以点B为圆心，为直径画圆，与分别相交于两点，且为，然后过点B分别作的垂直平分线交于 当A的的对称点落在上时，即点；此时P为上的连接 ∵四边形是正方形 ∴ 则 即 ∴ ∵为边的中点， ∴ 故 ∴ 如图： 当A的的对称点落在上时，即点；此时P为上的连接交于一点， ∵沿所在直线翻折 ∴ 即直线是的平分线，过点G作， ∴ ∵四边形是正方形 ∴ ∴ 则 设， 则 ∵ ∴ 则中，得 即 解得 ∵ ∴ 则 解得 综上：线段的长为1或 故答案为：1或 14．（2024·河南许昌·二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝6，点M，N分别在AD，BC上，且AM＝AD，BN＝BC，E为直线BC上一动点，连接DE，将△DCE沿DE所在直线翻折得到△DC′E，当点C′恰好落在直线MN上时，CE的长为 ． 【答案】或10． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴DC＝AB＝5，∠A＝90°，AD＝BC＝6， ∵AM＝AD＝2，BN＝BC＝2， ∴AM＝BN， ∵AM∥BN， ∴四边形ABNM的矩形， ∴∠NMA＝∠NMD＝90°，MN＝AB＝5， ∵将△DCE沿DE所在直线翻折得到△DC′E， ∴DC′＝DC＝5，C′E＝CE， ∵AM＝2， ∴DM＝AD﹣AM＝6﹣2＝4， 如图1， 在Rt△C′MD中，C′M＝， ∴C′N＝MN﹣C′M＝5﹣3＝2， ∵∠CDM＝∠DCN＝∠NMD＝90°， ∴四边形CDMN是矩形， ∴CN＝DM＝4，∠CNM＝90°， NE＝CN﹣CE＝4﹣CE， 在Rt△C′NE中，∵NE2+C′N2＝C′E2， ∴（4﹣CE）2+22＝CE2， 解得：CE＝． 如图2， 在Rt△C′MD中，C′M＝， ∴C′N＝MN+C′M＝5+3＝8， ∵∠CDM＝∠DCN＝∠NMD＝90°， ∴四边形CDMN是矩形， ∴CN＝DM＝4，∠CNM＝∠MNE＝90°， NE＝CE﹣CN＝CE﹣4， 在Rt△C′NE中，∵NE2+C′N2＝C′E2， ∴（CE﹣4）2+82＝CE2， 解答：CE＝10， 故答案为或10． 15．（2024·河南安阳·一模）如图，把矩形放在平面直角坐标系中，，，，点P在边上，且不与点O，C重合；点Q在边上，且不与点O，A重合，，连接．当点Q的坐标为 时，． 【答案】 【详解】解：，，， 若, ， 又, , , 即, , , 故答案为： 16．（2024·河南驻马店·三模）如图所示，在矩形中，．连接对角线，将矩形折叠，使点B落在射线上，点B的对应点记为，折痕与边分别交于点E，F，当时，的长度为 ． 【答案】 【详解】解：如图，设与相交于点O， 四边形为矩形，，，， ， ①    当点在线段上，， ，将矩形折叠，使点B落在射线上， ，， ， ， ，即， ， ， ， ，即， ， ； ②当点在线段延长线上，如图， 将矩形折叠，使点B落在射线上，， ，， ， ， ，即， ， ， ， ，即， ， ； 综上所述：的长度为． 故答案为：． 17．（2024·河南鹤壁·一模）如图所示，在矩形中，，．连接对角线，将矩形折叠，使点B落在射线上，点B的对应点记为，折痕与边，分别交于点E，F，当时，的长度为 ． 【答案】或 【详解】连接交于点O， 四边形为矩形， ， ， ，， ， 为等边三角形， ，， ①当点在线段上，设交于点G， ， 在矩形中，根据折叠性质得 ，，， ， ， ， ， ②当点在线段延长线上，延长、交于点H， ，， ， ， ， ， 在中 ， ， 综上所述：的长度为或． 18．（2024·河南周口·二模）如图，为等腰直角三角形，，，点为边上一点，且，点为边上一动点（点不与点、重合），连接，将沿翻折得到，当的一边过点时，的长为 【答案】或1 【详解】解：当过点时， 过点作于，于， 由折叠知，， ， 过点作于， ， ， ， 设，则， ，， ， ， ， 根据勾股定理得，， ， 或， 当时，，不符合题意，舍去， 当时，； ∴ 当过点时，由折叠知，， ， ∴三点共线 ， ∴ 故答案为：或1． 19．（2024·河南新乡·二模）把一副直角三角尺如图摆放，，，，，斜边BC，EF在同一直线上，且直角顶点连线．将左右平移，当恰为直角三角形时，AD的长为 ． 【答案】或/或 【详解】解：∵，，，， ∴，，， ∵ ∴， ①当时，如图，过A作于H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴ ∴； ②当时，如图， ∵ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴ ∴； 综上，的长为或． 故答案为：或． 20．（2024·河南濮阳·二模）如图，在矩形中，，．折叠矩形使得点A恰好落在边上，折痕与边相交于点E，与矩形另一边相交于点F．若，则的长为 ． 【答案】或1 【详解】设折叠后，点A的对应点为M点，折痕为，设， 当点F在边时，如图，过E点作于点N， 根据折叠有：，， ∵，，，， ∴，， ∵在矩形中，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴在中，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴，即； 当点F在边时，如图，过M点作于点H，点B的对应点为G点， 根据折叠有：，，，， ∵，，，， ∴，，， ∵在矩形中，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴在中，， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴，即； 故答案为：或1． 21．（2024·河南三门峡·一模）如图1，已知矩形纸片，，，现将纸片进行如下操作： 第1步，将图1中的纸片对折，使与重合，折痕为，展开后如图2； 第2步，将图2中的纸片对折，使与重合，折痕为，展开后如图3； 第3步，将图3中的纸片沿过点F的直线折叠，点C的对应点记为点P，折痕为，如图4； 当点P落在上时，折痕的长度为 ． 【答案】或 【详解】解：如图，设与交于点O， 由操作可得是矩形，且，， ∴， ∴， 设，则， ∵，即， 解得：， ∴； 如图，由（1）得，， 过点P作交，于点M，N，设交于点K， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得：，， ∴， 又∵， ∴，即， 解得：，即， ∴， ∴， 故答案为：或． 22．（2024·河南开封·二模）如图，在矩形ABCD中，是BC的中点，连接是边上一个动点，沿过点的直线将矩形折叠，使点落在上的点处，当是直角三角形时，的值为 ． 【答案】或 【详解】解：∵在矩形中，是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在上的点处， ∴， 设，则：， 当是直角三角形时， ①时，则， ∴， ∴， ∴，即：， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴； ②当时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴； 综上所述，当是直角三角形时，或． 故答案为：或． 23．（2024·河南南阳·一模）如图，在中，为斜边的中点，是边上的一个动点，将沿翻折得到，当直线与垂直时，的长为 ． 【答案】或 【详解】解：在下方时，如图所示： 延长交于点， 则 ∵为斜边的中点， ∴ ∴ ∴ 解得： ∴ ∴ 解得： 在上方时，如图所示： 同理可得： ∴ ∴ 解得： 综上所述：或 三、解答题 24．（2023·河南周口·一模）综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． (1)操作判断 操作：如图1，点E是边长为12的正方形纸片的边所在的射线上一动点，将正方形沿着折叠，点D落在点F处，把纸片展平，射线DF交射线于点P． 判断：根据以上操作，图1中与的数量关系：______． (2)迁移探究 在（1）条件下，若点E是的中点，如图2，延长交于点Q，点Q的位置是否确定？如果确定，求出线段的长度，如果不确定，说明理由； (3)拓展应用 在（1）条件下，如图3，，交于点G，取的中点H，连接，求的最小值． 【答案】(1) (2)点的位置确定，，理由见解析 (3)的最小值为 【详解】（1）解：如图，设，交于点，    由轴对称性质可得：，， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）点的位置确定，，理由如下：    连接，由折叠可知：，，， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则， 在中，，，， ∴， ∴， ∴； （3）取的中点，再取的中点，连接，，，    ∵， ∴， ∵点是的中点，则是的中位线， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴当、、共线时，的最小值为． 25．（2024·河南安阳·二模）综合与实践课上，老师带领同学们以“矩形和平行四边形的折叠”为主题开展数学活动． (1)操作判断： 如图1，在矩形中，点E为边的中点，沿折叠，使点A落在点F处，把纸片展平，延长与交于点G．请写出线段与线段的数量关系，并说明理由； (2)迁移思考： 如图1，若，按照（1）中的操作进行折叠和作图，当时，求的值； (3)拓展探索： 如图2，四边形为平行四边形，其中与是对角，点E为边的中点，沿折叠，使点A落在点F处，把纸片展平，延长与射线交于点G．若，，请直接写出线段的值． 【答案】(1)，见解析 (2) (3)或 【详解】（1）解：，理由如下： 连接，如图： ∵四边形为矩形， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∵折叠， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴； （2）∵四边形为矩形， ∴，， ∴， 设，则：， 由（1）知：， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）当点在线段的延长线上时，连接，如图： ∵平行四边形， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵折叠， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点在线段上时：如图： 同法可得：， ∴； 综上：或． 26．（2024·河南濮阳·三模）如图1，，在和中，， ，，，，将绕点A在平面内顺时针旋转，连接，交于点M，交于点N． (1)求证：； (2)请判断线段和的位置关系，并说明理由； (3)当点B、D、E在同一条直线上时，求线段的长 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 (3)或； 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， ∵，，，， ∴， ∴； （2）解：，理由如下， 由（1）得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：由题意得， 当E点在右侧时，如图所示，过A作交于H， ∵，，， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴ ， ∵，， ∴， ∴ ， ∴，， ∴ ， ∴ ； 当E点在左侧时，如图所示， ∵，，， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，，， ∴，， 由勾股定理得到，， 即， ∴， ∴， 解得或（不合题意，舍去） ∴此时， 综上可知，的长为或； 27．（2024·河南漯河·二模）背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按背景图位置摆放（点E，A，D在同一条直线上），发现BE=DG且BE⊥DG．小组讨论后，提出了三个问题，请你帮助解答： （1）将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转，（如图1）还能得到BE=DG吗？如果能，请给出证明．如若不能，请说明理由： （2）把背景中的正方形分别改为菱形AEFG和菱形ABCD，将菱形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，（如图2）试问当∠EAG与∠BAD的大小满足怎样的关系时，背景中的结论BE=DG仍成立？请说明理由； （3）把背景中的正方形改成矩形AEFG和矩形ABCD，且，AE=4，AB=8，将矩形AEFG绕点A按顺时针方向旋转（如图3），连接DE，BG．小组发现：在旋转过程中， BG2+DE2是定值，请求出这个定值． 【答案】（1）见解析；（2）当∠EAG=∠BAD时，BE=DG成立；理由见解析；（3）． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形 ∴AB=AD， ∵四边形AEFG为正方形 ∴AE=AG， ∴ 在△EAB和△GAD中有： ∴△EAB≌△GAD ∴BE=DG； (2)当∠EAG=∠BAD时，BE=DG成立。 证明：∵四边形ABCD菱形 ∴AB=AD ∵四边形AEFG为正方形 ∴AE=AG ∵∠EAG=∠BAD ∴ ∴ 在△EAB和△GAD中有： ∴△EAB≌△GAD ∴BE=DG； (3)连接EB，BD,设BE和GD相交于点H ∵四边形AEFG和ABCD为矩形 ∴ ∴ ∵ ∴△EAB∽△GAD ∴ ∴ ∴ ∴ ， ∴． 28．（2024·河南周口·二模）王老师擅长巧妙地整合教学材料，引导同学们以整体、相关和逐步发展的视角思考问题，培养科学的思维方式．下面是王老师结合旋转与其他知识内容所设计的问题，请你解答． (1)如图1，在平面直角坐标系中，点，轴上有一点P，现将点绕点P按顺时针方向旋转至点，则点P的坐标是______，______． (2)如图2，在中，，点，分别在，上，将线段绕点按逆时针方向旋转至，点恰好落在边上，求证：． (3)如图3，是底角为的等腰三角形，，为的中点，为射线上一个动点．连接，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，，．当是直角三角形时，请直接写出的长． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)的长为或6 【详解】（1）解：设点P的坐标是， 由题意得： ∴， 解得： ∴点P的坐标是 ∵， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴ 故答案为：； （2）证明：， ， ． 在和中，， ， ，， ． （3）解：是底角为的等腰三角形，，为的中点， ，． ①当时，如图1． ，， ． 又， 同理， ， ，， ，． 又， ， ； ②当时时，如图2． ，， 四点共线， ， ， 又， 是等边三角形， 综上所述，的长为或6． 29．（2024·河南新乡·二模）如图1，在矩形中，，．把沿线段向右平移，点B，D的对应点分别是E，F，与相交于点N（如图2）． (1)观察：图2中与的数量关系是______，与的位置关系是______； (2)迁移：如图3，在平移过程中，连接，沿着将进行翻折，得对应． ①若四边形为正方形，则的长度为______； ②设，求G，C两点之间的距离； (3)拓展：如图4，当点E与点C重合时，得到，再把绕点C旋转，得到，连接，请直接写出的长度． 【答案】(1)， (2)①；② (3)或 【详解】（1）解：；； 根据平移的性质可知：，， 又， ∴， 即． 故答案为：；； （2）解：①连接交于H，如图， ∵四边形为正方形， ∴， ∴； ， ， ∵， ∴； 故答案为：； ②如图，连接交于M， ∵翻折得到， ∴和关于直线对称， 垂直平分， 在中，，， ∴， ∴； （3）解：由旋转的性质得：； 当绕点C逆时针旋转90°时，如图1， 此时， 根据勾股定理，得； 当绕点C顺时针旋转90°时，如图2， 此时， 根据勾股定理，得．    综上，的长为或． 30．（2024·河南商丘·三模）如图1，矩形中，P是边上一点将沿着直线折叠得到． (1)如图2，当点E落在边上时，任意写出一个图中45°的角：_______； (2)①如图3，当点E恰好落在线段上时，_______°，与的数量关系是 _______； ②如图4，改变点P的位置，使射线PE交AD于F，当时，与有何数量关系？说明理由； (3)当点P是的中点时，此时点E落在矩形内部，延长交于点Q，若点是的三等分点，，请直接写出的长． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)①90；；②，理由见解析 (3)或 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ， ∵将沿着直线折叠得到，当点落在边上时， ， 故答案为：（答案不唯一）； （2）解：①由题意得：， 又，，三点在一条直线上， ， 在和中， ， ， ． 故答案为：90；； ②； 理由：在矩形中，， ， 又，， ， ． （3）解：如图，连接， 四边形是矩形， ， 设， 分两种情况：①当时， 由折叠知， ，，， ， 点是的中点， ， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ， ， 解得， ； ②当时， 同理得， 解得， ， 或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题14 图形的变换（原卷版） 1. （2024·河南·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点A的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为，则点E的坐标为___________． 2．（2023·河南·统考中考真题）李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是李老师在“图形的变化”主题下设计的问题，请你解答． （1）观察发现：如图1，在平面直角坐标系中，过点的直线轴，作关于轴对称的图形，再分别作关于轴和直线对称的图形和，则可以看作是绕点顺时针旋转得到的，旋转角的度数为______；可以看作是向右平移得到的，平移距离为______个单位长度． （2）探究迁移：如图，中，，为直线下方一点，作点关于直线的对称点，再分别作点关于直线和直线的对称点和，连接，，请仅就图的情形解决以下问题： ①若，请判断与的数量关系，并说明理由； ②若，求，两点间的距离． （3）拓展应用：在（2）的条件下，若，，，连接．当与的边平行时，请直接写出的长． 3.（2022·河南·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合，轴，交y轴于点P．将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 4.（2022·河南·统考中考真题）综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． 　　 　　 （1）操作判断 操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平； 操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM． 根据以上操作，当点M在EF上时，写出图1中一个30°的角：______． （2）迁移探究 小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ． ①如图2，当点M在EF上时，∠MBQ＝______°，∠CBQ＝______°； ②改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由． （3）拓展应用 在（2）的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为8cm，当FQ＝1cm时，直接写出AP的长． 5.（2021·河南·统考中考真题）如图，▱OABC的顶点，，点C在x轴的正半轴上，延长BA交y轴于点将绕点O顺时针旋转得到，当点D的对应点落在OA上时，的延长线恰好经过点C，则点C的坐标为 A. B. C. D. 6.（2021·河南·统考中考真题）小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在中，，，第一步，在AB边上找一点D，将纸片沿CD折叠，点A落在处，如图2；第二步，将纸片沿折叠，点D落在处，如图当点恰好落在直角三角形纸片的边上时，线段的长为______ ． 7.（2020·河南·统考中考真题）如图，在中，．边在轴上，顶点的坐标分别为和．将正方形沿轴向右平移当点落在边上时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 一、单选题 1．（2024·河南·三模）把边长为5的正方形绕点A顺时针旋转得到正方形，边与交于点O，则四边形的周长是（    ）    A． B．10 C． D． 2．（2024·河南周口·一模）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的等边三角形在第二象限，与x轴重合，将绕点O顺时针旋转60°，得到，再作关于原点O的中心对称图形，得到，再将绕点O顺时针旋转60°，得到，再作关于原点O的中心对称图形，得到，以此类推……，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 3．（2024·河南安阳·二模）我们知道：四边形具有不稳定性，如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形的边与x轴平行，对角线交点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点处，则点C的对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 4．（2024·河南安阳·一模）如图，把放置在平面直角坐标系中，，已知点是轴上的定点，点的坐标为．将绕点逆时针旋转，旋转后点恰好与点重合，则旋转前点的坐标是（     ）    A． B． C． D． 5．（2024·河南濮阳·二模）如图，在一个单位为1的方格纸上，，……，是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6的等腰直角三角形．若的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的横坐标为（　 　）    A． B．1 C．2 D．0 6．（2024·河南商丘·三模）如图，在平面直角坐标系中，点，，，，，，，，……都是平行四边形的顶点，点，，，……在轴的正半轴上，，平行四边形按此规律依次排列，则第个平行四边形对称中心的坐标是（    ） A． B． C． D． 7．（2024·河南新乡·三模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点，点，将正方形绕点A逆时针旋转，每次旋转，若最后点C的坐标为，则旋转次数可以是（     ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 8．（2024·河南商丘·二模）如图，的顶点B，C都在坐标轴上，已知，，，且轴，将绕点C顺时针旋转，每次旋转，第2025次旋转后，点A的对应点的坐标是（     ） A． B． C． D． 9．（2024·河南周口·二模）如图，菱形中，．将菱形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第65次旋转结束时，点A的坐标为（     ） A．（，） B． C．（，） D． 10．（2024·河南驻马店·一模）如图，菱形的顶点都在坐标轴上，是边的中点，，若把绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转结束时，点的对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 11．（2024·河南信阳·三模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边，分别在x轴和y轴上，并且，．若把矩形绕着点O逆时针旋转，使点A恰好落在边上的处，则点C的对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 12．（2024·河南平顶山·二模）如图，将沿对角线翻折，点落在点处，交于点，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 13．（2024·河南鹤壁·一模）如图，正方形中，为边的中点，连接为边AD上一动点，将沿所在直线翻折，若点A的对应点恰好落在的边上，则线段的长为 ． 14．（2024·河南许昌·二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝6，点M，N分别在AD，BC上，且AM＝AD，BN＝BC，E为直线BC上一动点，连接DE，将△DCE沿DE所在直线翻折得到△DC′E，当点C′恰好落在直线MN上时，CE的长为 ． 15．（2024·河南安阳·一模）如图，把矩形放在平面直角坐标系中，，，，点P在边上，且不与点O，C重合；点Q在边上，且不与点O，A重合，，连接．当点Q的坐标为 时，． 16．（2024·河南驻马店·三模）如图所示，在矩形中，．连接对角线，将矩形折叠，使点B落在射线上，点B的对应点记为，折痕与边分别交于点E，F，当时，的长度为 ． 17．（2024·河南鹤壁·一模）如图所示，在矩形中，，．连接对角线，将矩形折叠，使点B落在射线上，点B的对应点记为，折痕与边，分别交于点E，F，当时，的长度为 ． 18．（2024·河南周口·二模）如图，为等腰直角三角形，，，点为边上一点，且，点为边上一动点（点不与点、重合），连接，将沿翻折得到，当的一边过点时，的长为 19．（2024·河南新乡·二模）把一副直角三角尺如图摆放，，，，，斜边BC，EF在同一直线上，且直角顶点连线．将左右平移，当恰为直角三角形时，AD的长为 ． 20．（2024·河南濮阳·二模）如图，在矩形中，，．折叠矩形使得点A恰好落在边上，折痕与边相交于点E，与矩形另一边相交于点F．若，则的长为 ． 21．（2024·河南三门峡·一模）如图1，已知矩形纸片，，，现将纸片进行如下操作： 第1步，将图1中的纸片对折，使与重合，折痕为，展开后如图2； 第2步，将图2中的纸片对折，使与重合，折痕为，展开后如图3； 第3步，将图3中的纸片沿过点F的直线折叠，点C的对应点记为点P，折痕为，如图4； 当点P落在上时，折痕的长度为 ． 22．（2024·河南开封·二模）如图，在矩形ABCD中，是BC的中点，连接是边上一个动点，沿过点的直线将矩形折叠，使点落在上的点处，当是直角三角形时，的值为 ． 23．（2024·河南南阳·一模）如图，在中，为斜边的中点，是边上的一个动点，将沿翻折得到，当直线与垂直时，的长为 ． 三、解答题 24．（2023·河南周口·一模）综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． (1)操作判断 操作：如图1，点E是边长为12的正方形纸片的边所在的射线上一动点，将正方形沿着折叠，点D落在点F处，把纸片展平，射线DF交射线于点P． 判断：根据以上操作，图1中与的数量关系：______． (2)迁移探究 在（1）条件下，若点E是的中点，如图2，延长交于点Q，点Q的位置是否确定？如果确定，求出线段的长度，如果不确定，说明理由； (3)拓展应用 在（1）条件下，如图3，，交于点G，取的中点H，连接，求的最小值． 25．（2024·河南安阳·二模）综合与实践课上，老师带领同学们以“矩形和平行四边形的折叠”为主题开展数学活动． (1)操作判断： 如图1，在矩形中，点E为边的中点，沿折叠，使点A落在点F处，把纸片展平，延长与交于点G．请写出线段与线段的数量关系，并说明理由； (2)迁移思考： 如图1，若，按照（1）中的操作进行折叠和作图，当时，求的值； (3)拓展探索： 如图2，四边形为平行四边形，其中与是对角，点E为边的中点，沿折叠，使点A落在点F处，把纸片展平，延长与射线交于点G．若，，请直接写出线段的值． 26．（2024·河南濮阳·三模）如图1，，在和中，， ，，，，将绕点A在平面内顺时针旋转，连接，交于点M，交于点N． (1)求证：； (2)请判断线段和的位置关系，并说明理由； (3)当点B、D、E在同一条直线上时，求线段的长 27．（2024·河南漯河·二模）背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按背景图位置摆放（点E，A，D在同一条直线上），发现BE=DG且BE⊥DG．小组讨论后，提出了三个问题，请你帮助解答： （1）将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转，（如图1）还能得到BE=DG吗？如果能，请给出证明．如若不能，请说明理由： （2）把背景中的正方形分别改为菱形AEFG和菱形ABCD，将菱形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，（如图2）试问当∠EAG与∠BAD的大小满足怎样的关系时，背景中的结论BE=DG仍成立？请说明理由； （3）把背景中的正方形改成矩形AEFG和矩形ABCD，且，AE=4，AB=8，将矩形AEFG绕点A按顺时针方向旋转（如图3），连接DE，BG．小组发现：在旋转过程中， BG2+DE2是定值，请求出这个定值． 28．（2024·河南周口·二模）王老师擅长巧妙地整合教学材料，引导同学们以整体、相关和逐步发展的视角思考问题，培养科学的思维方式．下面是王老师结合旋转与其他知识内容所设计的问题，请你解答． (1)如图1，在平面直角坐标系中，点，轴上有一点P，现将点绕点P按顺时针方向旋转至点，则点P的坐标是______，______． (2)如图2，在中，，点，分别在，上，将线段绕点按逆时针方向旋转至，点恰好落在边上，求证：． (3)如图3，是底角为的等腰三角形，，为的中点，为射线上一个动点．连接，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，，．当是直角三角形时，请直接写出的长． 29．（2024·河南新乡·二模）如图1，在矩形中，，．把沿线段向右平移，点B，D的对应点分别是E，F，与相交于点N（如图2）． (1)观察：图2中与的数量关系是______，与的位置关系是______； (2)迁移：如图3，在平移过程中，连接，沿着将进行翻折，得对应． ①若四边形为正方形，则的长度为______； ②设，求G，C两点之间的距离； (3)拓展：如图4，当点E与点C重合时，得到，再把绕点C旋转，得到，连接，请直接写出的长度． 30．（2024·河南商丘·三模）如图1，矩形中，P是边上一点将沿着直线折叠得到． (1)如图2，当点E落在边上时，任意写出一个图中45°的角：_______； (2)①如图3，当点E恰好落在线段上时，_______°，与的数量关系是 _______； ②如图4，改变点P的位置，使射线PE交AD于F，当时，与有何数量关系？说明理由； (3)当点P是的中点时，此时点E落在矩形内部，延长交于点Q，若点是的三等分点，，请直接写出的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$