第05讲 用空间向量研究距离和夹角（七大考点）-2024-2025学年高二数学上学期考点剖析及分层精练（人教A版）

2024-2025学年高二数学上学期考点剖析及分层精练（人教A版） 第05讲 用空间向量研究距离和夹角 学习目标： 1．能用向量方法解决点到直线、点到平面、互相平行的直线、互相平行的平面的距离问题. 2．理解两异面直线所成角与它们的方向向量之间的关系,会用向量方法求两异面直线所成角. 3．理解直线与平面所成角与直线方向向量和平面法向量夹角之间的关系,会用向量方法求直线与平面所成角. 4．理解二面角大小与两个面法向量夹角之间的关系,会用向量方法求二面角的大小 重点难点： 重点：理解运用向量方法求空间距离、空间角的原理 难点：掌握运用空间向量求空间距离、空间角的方法 知识点一、空间距离及向量求法 1.点到直线的距离 设为直线l的单位方向向量，是直线外一点， 设，向量在直线l上的投影向量为， 则 2.点到平面的距离 设已知平面的法向量为，是直线外一点， 向量是向量在平面上的投影向量，则 知识点二、空间角及向量求法 1.用向量运算求两条直线所成的角 设两异面直线所成的角为θ，两直线的方向向量分别为，则 注意：①范围为；②两异面直线所成的角与其方向向量的夹角是相等或互补的关系． 2. 用向量运算求直线与平面所成的角 设直线l与平面所成的角为θ，l的方向向量为，平面α的法向量为，则 注意：①范围为；②直线与平面所成的角等于其方向向量与平面法向量所成锐角的余角． 3. 用向量运算求平面与平面所成的角 平面与平面相交，形成四个二面角，把不大于的二面角称为这两个平面的夹角．设平面α与平面β的夹角为θ，两平面的法向量分别为，则 注意：①范围为；②两平面的夹角是两法向量的夹角或其补角． 考点01点到直线的距离 1．在空间直角坐标系中，，三角形重心为，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 2．已知点，记点M到x轴的距离为a，到y轴的距离为b，到z轴的距离为c，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 3．在长方体中，为的中点，点为线段的中点，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 4．在四面体中，，，，若点为的重心，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在四棱锥中，平面平面，底面是矩形，，，，点是的中点，则线段上的动点到直线的距离的最小值为（    ） A． B．2 C． D．3 6．已知，，三点，则到直线的距离为 . 考点02 点到平面的距离 7．在棱长为2的正方体中，E，F，G分别是棱，，的中点，过作平面，使得，则点到平面的距离是（    ） A． B． C． D． 8．在棱长为2的正方体中，E，F分别为正方形和正方形的中心，则点到平面的距离为 . 9．已知正方体的棱长为，为棱（包含端点）上的动点，则点到平面距离的取值范围是 ． 10．如图，在平行六面体中，， (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离. 11．在三棱锥P—ABC中，，，E为AC的中点，．    (1)求证：平面平面ABC； (2)求点C到平面PAB的距离． 12．如图所示，已知四棱锥的底面是边长为1的正方形，，，，E，F分别是AB，BC的中点．    (1)求点D到平面PEF的距离； (2)求直线AC到平面PEF的距离． 考点03 异面直线的距离 13．已知正方体的棱长为2，点P为线段上的动点，则点P到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 14．已知正方体的棱长为1，是异面直线AC与的公垂线段，点在AC上且点在上，则 . 15．已知正方体的棱长为2，M为棱的中点，P，Q分别为线段，上的动点，则的最小值为 . 16．四棱锥中，的中点分别为，底面正方形的边长为，求与间的距离． 17．如图，在四棱锥中，，，，，，平面平面，.    (1)证明：平面； (2)若点Q是线段的中点，M是直线上的一点，N是直线上的一点，是否存在点M，N使得?请说明理由. 考点04 异面直线所成的角 18．已知M，N 分别是正四面体中棱AD，BC的中点，若点 P 满足则DP与AB夹角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 19．直三棱柱中，底面是以A为直角的腰长为2的等腰直角三角形，侧棱长为，为上的点，若直线与直线所成角的余弦值为，则长为（    ） A．1 B． C． D． 20．（多选）已知正三棱柱的底面边长为，高为，记异面直线与所成角为，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 21．在空间直角坐标系 中，向量 分别为异面直线 的方向向量，若所成角的余弦值为 则 22．如图，在三棱锥中，为等边三角形，为等腰直角三角形，，平面平面ABC，D为AB的中点，则异面直线AC与PD所成角的余弦值为 ． 23．正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素，加上它们的多种变体，一直是科学、艺术、哲学灵感的源泉之一．如图，该几何体是一个高为4的正八面体，G为的中点，则异面直线与所成角的正弦值为 ．    考点05 直线与平面所成的角 24．已知如图所示的几何体中，底面是边长为4的正三角形，侧面是长方形，，平面平面为棱上一点，，且，则与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 25．在长方体中，已知异面直线与AD，与AB所成角的大小分别为60°和45°，则直线和平面所成的角的余弦值为 ． 26．如图，在正方体中，与交于点，为的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 27．如图，在中，，，，可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角是直二面角.动点在线段上. (1)当为的中点时，求异面直线与所成角的余弦值； (2)求与平面所成角的正弦值的最大值. 28．如图，在五棱锥中，平面ABCDE，，，，，，． (1)求证：平面平面； (2)已知直线与平面所成的角为，求线段的长． 29．如图，在四棱锥中，，，平面平面ABCD，，M，N分别是AD，CQ的中点． (1)证明：； (2)若，直线MN与平面QBC所成角的正弦值为，求QM的长度． 考点06 平面与平面所成的角（二面角） 30．如图，点，，分别在空间直角坐标系的三条坐标轴上，已知，，垂足，为两个不同的点，且，设直线与所成的角为，二面角的大小为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 31．如图，四边形是直角梯形，，，，，平面，为的中点.    (1)求证：直线平面； (2)若，求二面角的余弦值. 32．如图，在三棱柱中，平面平面，，分别为棱的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 33．如图在三棱柱中， (1)证明:； (2)求二面角的平面角的正弦值. 34．在长方体中，､分别是棱上的动点，且. (1)求证：； (2)当三棱锥的体积取最大值时，求平面与平面的夹角余弦值. 35．如图所示，是的直径，点是上异于的动点，平面，分别为的中点. (1)求证：平面； (2)若，二面角的正弦值为，求. 36．如图，三棱台，平面平面，与相交于点，且平面． (1)求三棱锥的体积； (2)平面与平面所成角为与平面所成角为，求的值． 考点07 探索性动点问题 37．如图，已知平面，，是等腰直角三角形，其中，且. (1)在线段上是否存在一点，使平面? (2)在线段上是否存在点M，使得点B到平面的距离等于1？如果存在，试判断点M的个数；如果不存在，请说明理由. 38．如图，在三棱柱中，平面，． (1)求证：； (2)若，在棱上确定一点P，使二面角的平面角的余弦值为． 39．已知四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是正三角形，平面，分别是的中点．    (1)求证：⊥平面； (2)已知点是线段上的动点，并且到平面的距离是，求线段的长． 40．如图，已知垂直于梯形所在的平面，矩形的对角线交于点，为的中点，，． (1)求平面与平面夹角的余弦值； (2)在线段上是否存在一点，使得与平面所成角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，说明理由． 41．如图1，在中，，，为的中点，为上一点，且.现将沿翻折到，如图2. (1)证明：. (2)已知二面角为，在棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，确定的位置；若不存在，请说明理由. 42．如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，，，底面ABCD，点E为棱PC的中点，． (1)证明：平面PAD； (2)在棱PC上是否存在点F，使得二面角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 43．如图，点是以为直径的圆上异于的点，平面平面.，分别是的中点，记平面与平面的交线为直线. (1)求证：直线平面； (2)求证：直线直线； (3)直线上是否存在点，使直线分别与平面、直线所成的两角互余？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 基础试炼 一、单选题 1．（2022-23高一下·重庆·阶段练习）已知正方体的棱长为，则点到面的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（2023-24高二下·福建龙岩·期末）如图，在四棱锥中，侧面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中，，，则直线与平面所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 3．（2023-24高二上·河北石家庄·期中）如图，正四棱柱中，，点E和F分别是线段与上的动点，则间最小距离为（    ） A． B．1 C． D． 4．（2022-23高二上·湖南益阳·期末）如图所示空间直角坐标系中，是正三棱柱的底面内一动点，，直线和底面所成角为，则P点坐标满足（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（2023-24高二上·宁夏吴忠·期末）如图，在长方体中，，，若为的中点，则以下说法中正确的是（   ）　 A．线段的长度为 B．异面直线和夹角的余弦值为 C．点到直线的距离为 D．三棱锥的体积为 6．（2023-24高二上·江西吉安·期末）在棱长为1的正方体中，，，则下列说法正确的是（    ） A．平面 B．直线与底面所成的角的正弦值为 C．平面与底面夹角的余弦值为 D．点到平面的距离为 三、填空题 7．（202022-23高二·全国·课后作业）在三棱锥中，，，.记的中点为，的中点为，则异面直线与的距离为 . 8．（2023-24高二上·新疆伊犁·期中）如图，四棱锥的底面是梯形，平面，，，，，为线段上一个动点，且，若与平面所成的角为，则 ． 四、解答题 9．（2023-24高二下·陕西延安·期末）如图，在正三棱柱中，分别为棱的中点，． (1)证明：平面． (2)求平面与平面的夹角． 10．（2023·安徽马鞍山·模拟预测）如图，在平行四边形中，，，为边上的点，，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且三棱柱的体积为. (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 11．（2023-24高一下·山东青岛·期末）如图1，直角梯形中，，，，，以为轴将梯形旋转后得到几何体W，如图2，其中，分别为上下底面直径，点P，Q分别在圆弧，上，直线平面. (1)证明：平面平面； (2)若直线与平面所成角的正切值等于，求P到平面的距离； (3)若平面与平面夹角的余弦值，求． 12．（2023-24高二下·甘肃兰州·期末）如图所示，正方形与矩形所在平面互相垂直，，点为的中点. (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在点，使二面角的平面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由. 高阶突破 1．（多选）如图，在正方体中，M是线段上的一点，则下列说法正确的是（    ） A． B．平面 C．异面直线与所成的角的取值范围是 D．二面角的正弦值为 2．已知正方体，点在上运动（不含端点），点在上运动（不含端点），直线与直线所成的角为，直线与平面所成的角为，则下列关于的取值可能正确的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在正方体中，点为线段的中点．设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在直三棱柱中，是以BC为斜边的等腰直角三角形，，D、E分别为BC、上的点，且． (1)若，求证：∥平面； (2)若平面与平面ACD的夹角为，求实数t的值． 5．如图，在矩形中，，，点分别在 上，且 ，沿 将四边形折成四边形．    (1)求证：平面； (2)若点在平面上的射影在直线上，求直线与平面所成角的正弦值； (3)在（2）的条件下，设点在线段上，平面与平面所成锐二面角的平面角为．若，求． 6．如图，四边形与四边形是全等的矩形，，，P为上的动点． (1)若P为的中点，求证：平面； (2)若直线与平面所成角的正切值为，求平面与平面夹角的余弦值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高二数学上学期考点剖析及分层精练（人教A版） 第05讲 用空间向量研究距离和夹角 学习目标： 1．能用向量方法解决点到直线、点到平面、互相平行的直线、互相平行的平面的距离问题. 2．理解两异面直线所成角与它们的方向向量之间的关系,会用向量方法求两异面直线所成角. 3．理解直线与平面所成角与直线方向向量和平面法向量夹角之间的关系,会用向量方法求直线与平面所成角. 4．理解二面角大小与两个面法向量夹角之间的关系,会用向量方法求二面角的大小 重点难点： 重点：理解运用向量方法求空间距离、空间角的原理 难点：掌握运用空间向量求空间距离、空间角的方法 知识点一、空间距离及向量求法 1.点到直线的距离 设为直线l的单位方向向量，是直线外一点， 设，向量在直线l上的投影向量为， 则 2.点到平面的距离 设已知平面的法向量为，是直线外一点， 向量是向量在平面上的投影向量，则 知识点二、空间角及向量求法 1.用向量运算求两条直线所成的角 设两异面直线所成的角为θ，两直线的方向向量分别为，则 注意：①范围为；②两异面直线所成的角与其方向向量的夹角是相等或互补的关系． 2. 用向量运算求直线与平面所成的角 设直线l与平面所成的角为θ，l的方向向量为，平面α的法向量为，则 注意：①范围为；②直线与平面所成的角等于其方向向量与平面法向量所成锐角的余角． 3. 用向量运算求平面与平面所成的角 平面与平面相交，形成四个二面角，把不大于的二面角称为这两个平面的夹角．设平面α与平面β的夹角为θ，两平面的法向量分别为，则 注意：①范围为；②两平面的夹角是两法向量的夹角或其补角． 考点01点到直线的距离 1．在空间直角坐标系中，，三角形重心为，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在空间直角坐标系中，， 三角形重心为，所以，，， 所以在上的投影为：， 所以点到直线的距离为：. 故选：B 2．已知点，记点M到x轴的距离为a，到y轴的距离为b，到z轴的距离为c，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设点M在x轴上的投影点，则，而x轴的方向向量， 由得：，解得，则， 设点M在y轴上的投影点，则， 而y轴的方向向量， 由得：，解得，则， 设点M在z轴上的投影点，则，而z轴的方向向量， 由得：，解得，则， 所以. 故选：C 3．在长方体中，为的中点，点为线段的中点，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图建立空间直角坐标系，则， 所以， 设点到直线的距离为， 则， 故选：D. 4．在四面体中，，，，若点为的重心，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意知，在四面体中，，，两两互相垂直， 如图，以为原点，以射线，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系.    ∵，，，， ∴，，，，， ∴，， ， ， ∴点到直线的距离. 故选：D 5．如图，在四棱锥中，平面平面，底面是矩形，，，，点是的中点，则线段上的动点到直线的距离的最小值为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【详解】取的中点为，连接，，，因为，为的中点， 所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以⊥平面， 因为平面， 所以， 又底面是矩形，所以， 以点为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系如图所示， 由，，，得， 所以，，， 则，设， 则，， ， ， 因此点到直线的距离 ， 故当时，取最小值， 即线段上的动点到直线的距离的最小值为． 故选：C． 6．已知，，三点，则到直线的距离为 . 【答案】/ 【详解】因为，，所以， 得到， 所以到直线的距离为， 故答案为：. 考点02 点到平面的距离 7．在棱长为2的正方体中，E，F，G分别是棱，，的中点，过作平面，使得，则点到平面的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ，设平面的法向量， 由，，得，则，令，得， 所以点到平面的距离. 故选：D 【点睛】方法点睛：求点到平面的距离可以利用几何法，作出点到平面的垂线段求解；也可以用向量法，求出平面的法向量，再求出这一点与平面内任意一点确定的向量在法向量的投影即可. 8．在棱长为2的正方体中，E，F分别为正方形和正方形的中心，则点到平面的距离为 . 【答案】/ 【详解】 如图，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系. 则, 于是，，, 设平面的法向量为，则， 故可取，则点到平面的距离为. 故答案为： 9．已知正方体的棱长为，为棱（包含端点）上的动点，则点到平面距离的取值范围是 ． 【答案】 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 设，其中， 则，， 设平面的法向量为， 则， 令，故， 而， 故到平面的距离， 故答案为：. 10．如图，在平行六面体中，， (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【详解】（1）(法一) 以为坐标原点，方向为轴非负方向，方向为轴非负方向建立如图所示空间直角坐标系， 则， 设，，， 由，得， 由，得， 由，得，即， 再由得， 则，则，故， 又，，平面， 则平面； (法二) ， 则， 又，，平面， 则平面； （2）设平面的法向量，由（1）得， 则，不妨取，则，即， 又，设点到到平面的距离为， 则，故到面的距离为. 11．在三棱锥P—ABC中，，，E为AC的中点，．    (1)求证：平面平面ABC； (2)求点C到平面PAB的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【详解】（1），E为AC的中点， 又，且平面 ，故平面． 又平面ABC，所以平面平面ABC （2）在三角形ABC中：，    由（1）知平面．因平面． 又E为AC的中点，则垂直平分AC，， ，又 ，即，又平面，故得，平面. 故可以E为坐标原点，分别以、、所在方向为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图.    则，，，， ，，， 设平面PAB的一个法向量为，则 令，得． 设点C到平面PAB的距离，则． 12．如图所示，已知四棱锥的底面是边长为1的正方形，，，，E，F分别是AB，BC的中点．    (1)求点D到平面PEF的距离； (2)求直线AC到平面PEF的距离． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）   ，，． 又，，平面， 面ABCD， 故建立如图所示的空间直角坐标系． 则，，，，，， ，，， 设为面PEF的法向量，， 令，则，，，， 设点D到平面PEF的距离为d，则． （2）因为，平面，平面， 所以平面，所以直线AC到平面PEF的距离等于点A到平面PEF的距离， 设点A到平面PEF的距离为，，则． 考点03 异面直线的距离 13．已知正方体的棱长为2，点P为线段上的动点，则点P到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】以A为坐标原点，以为轴建立空间直角坐标系，    则， 故， 设， 则； 设为与都垂直的向量， 则，令，则， 因为由题意点P到直线的距离的最小值可认为是异面直线和的之间的长度， 故点P到直线的距离的最小值为， 故选：A 14．已知正方体的棱长为1，是异面直线AC与的公垂线段，点在AC上且点在上，则 . 【答案】 【详解】以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 因为点M在上，点N在上，所以设，， 所以,， 因为MN是异面直线AC与的公垂线段， 所以，即，解得， 所以，， 所以点M是线段上靠近点的一个三等分点， 点N是线段上靠近点的一个三等分点， 且异面直线与间的距离为.    故答案为：. 15．已知正方体的棱长为2，M为棱的中点，P，Q分别为线段，上的动点，则的最小值为 . 【答案】/ 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，, 则， 设， 故， 由于直线，为异面直线，要使的最小，则是，的公垂线， 故解得， 所以 故， 故答案为：    16．四棱锥中，的中点分别为，底面正方形的边长为，求与间的距离． 【答案】 【详解】以正方形的中心为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 由题意， ，， 故，． 设为与和的公垂线在同一个方向上的向量， 则，， 得， ∴异面直线与间的距离：． 17．如图，在四棱锥中，，，，，，平面平面，.    (1)证明：平面； (2)若点Q是线段的中点，M是直线上的一点，N是直线上的一点，是否存在点M，N使得?请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)不存在，理由见解析 【详解】（1）如图，取的中点O，因为，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又平面， 所以，又，平面，平面，， 所以平面.    （2）因为，O为的中点，，所以， 过点O作交于点E，则由平面,平面,可得， 则以O为原点，，，分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 设与，都重直的向量为， 则得 令，则， 设直线与直线的距离为d， 则， 则不存在点M和N使得. 考点04 异面直线所成的角 18．已知M，N 分别是正四面体中棱AD，BC的中点，若点 P 满足则DP与AB夹角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设， 因为，所以 ， 设正四面体的棱长为1， 故 ， 又 ， 所以， 故， DP与AB夹角的余弦值为. 故选：A 19．直三棱柱中，底面是以A为直角的腰长为2的等腰直角三角形，侧棱长为，为上的点，若直线与直线所成角的余弦值为，则长为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【详解】以A为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则． 设，则， 所以，解得(负值舍去). 故选：A． 20．（多选）已知正三棱柱的底面边长为，高为，记异面直线与所成角为，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【详解】在正三棱柱中，设的中点为，连接, 则平面，, 以O为坐标原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 对于A，当时，， 则， 则， 由于异面直线与所成角为，范围为大于小于等于， 故，A正确； 对于B，， 则，由于， 则， 解得或，B错误； 对于C，当时，， 则， 则，故，则，C正确； 对于D，若，则， 则， 则， 则， 解得或（舍），D正确； 故选：ACD 21．在空间直角坐标系 中，向量 分别为异面直线 的方向向量，若所成角的余弦值为 则 【答案】 【详解】设，所成角为， 则， 解得. 故答案为：. 22．如图，在三棱锥中，为等边三角形，为等腰直角三角形，，平面平面ABC，D为AB的中点，则异面直线AC与PD所成角的余弦值为 ． 【答案】 【详解】取的中点，连接，，因为，所以． 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面．又，所以， 可得，，两两垂直，所以以为坐标原点， ，，的方向分别为，，轴的正方向， 建立空间直角坐标系，不妨设，则，，，，所以， ， 所以， 又异面直线所成角的取值范围为， 所以异面直线与所成角的余弦值为． 故答案为：. 23．正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素，加上它们的多种变体，一直是科学、艺术、哲学灵感的源泉之一．如图，该几何体是一个高为4的正八面体，G为的中点，则异面直线与所成角的正弦值为 ．    【答案】 【详解】    连接交于点，连接， 因为该几何体是一个高为4的正八面体， 所以，，， 设棱长为，则，， 所以在中，，即，解得， 以所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则， 所以， 设异面直线与夹角为， 则， 因为， 所以异面直线与所成角的正弦值， 故答案为：. 考点05 直线与平面所成的角 24．已知如图所示的几何体中，底面是边长为4的正三角形，侧面是长方形，，平面平面为棱上一点，，且，则与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】分别取的中点，连接，则，， 因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面， 以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，， 所以是平面的一个法向量， ，，所以， 设与平面所成的角为， 则. 故选：D. 25．在长方体中，已知异面直线与AD，与AB所成角的大小分别为60°和45°，则直线和平面所成的角的余弦值为 ． 【答案】/ 【详解】设，，，则， 由于，所以异面直线与AD所成角为，而，从而， 由于，所以异面直线与AB所成角为，从而， 所以，． 如图，以D为原点，分别以DA、DC、所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，    则，，，，， ，，． 设平面的法向量为， 则，取， 所以直线和平面所成的角的正弦值为， 从而直线和平面所成的角的余弦值为． 故答案为： 26．如图，在正方体中，与交于点，为的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为点分别为的中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面； （2）以点为原点， 所在的直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设正方体的棱长为2， 则， ， 设为平面的一个法向量， 则，即，令得， 所以， 设求直线与平面所成角为， 所以    27．如图，在中，，，，可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角是直二面角.动点在线段上. (1)当为的中点时，求异面直线与所成角的余弦值； (2)求与平面所成角的正弦值的最大值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可得：，平面平面， 平面平面，平面，所以平面， 如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系， 则， 若为的中点，则，可得， 设异面直线与所成角，， 则. 故异面直线与所成角的余弦值为. （2）若动点在线段上，设， 则，可得，解得， 即，则， 由题意可知：平面的法向量为，    设与平面所成角为，， 则， 对于函数，开口向上，对称轴为， 可得当时，取到最小值， 所以的最大值为，因为， 故与平面所成角的正弦最大值为. 28．如图，在五棱锥中，平面ABCDE，，，，，，． (1)求证：平面平面； (2)已知直线与平面所成的角为，求线段的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1），，． 由余弦定理得 ， 所以，故， 因为，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面； （2）做交于点，所以四边形是长方形， 因为，，所以， 因为，所以， 由（1）知，互相垂直，以为原点， 所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 设，则， ， 设为平面的一个法向量， 则，即，令，则， 所以， 所以， 解得，所以， 所以线段的长为． 29．如图，在四棱锥中，，，平面平面ABCD，，M，N分别是AD，CQ的中点． (1)证明：； (2)若，直线MN与平面QBC所成角的正弦值为，求QM的长度． 【答案】(1)证明见解析； (2)或 【详解】（1）∵M是AD中点，，∴， ∵平面平面ABCD，平面平面，平面QAD， ∴平面ABCD，又平面ABCD，∴． （2）取BC中点F，连接MF， ∵M，F分别为AD，BC中点，， ∴，又，∴； 以F为坐标原点，，正方向为x，y轴正方向，过F作z轴，可建立如图所示空间直角坐标系 设， ∵，， ∴，，，，， ∴，，； 设平面QBC的法向量，则， 令，解得，，∴； ∴， 解得或，故QM的长为或 考点06 平面与平面所成的角（二面角） 30．如图，点，，分别在空间直角坐标系的三条坐标轴上，已知，，垂足，为两个不同的点，且，设直线与所成的角为，二面角的大小为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】由题意可知，， . 且由图可知二面角为锐角，. 故选：A 31．如图，四边形是直角梯形，，，，，平面，为的中点.    (1)求证：直线平面； (2)若，求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【详解】（1）取的中点，连接， 又是的中点，，. ，，且， 四边形是平行四边形，， 平面，平面， 平面． （2）以为坐标原点，为轴，为轴，过点与平面垂直为建立空间直角坐标系，如图所示：    则， 设平面的一个法向量为， 则即，解得，则， 设平面的一个法向量为， 则即，解得，则， ， 由图可知，二面角的平面角为锐角， 所以二面角的平面角的余弦值为. 32．如图，在三棱柱中，平面平面，，分别为棱的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）如图，连接，设，连接， 因为分别是棱的中点，所以且， 所以四边形为平行四边形，则为的中点， 又为的中点，所以， 又平面，平面，所以平面. （2）因为， 所以， 因为平面平面，平面，平面平面， 所以平面，得到， 以为坐标原点，向量的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则，由，得到， 所以， 易知平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 由，得到 ，令，得， 所以平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 33．如图在三棱柱中， (1)证明:； (2)求二面角的平面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1）如图，取的中点，连接， 由，得都是正三角形， 则，因此，又平面平面， 且，于是平面，又平面， 所以. （2）由（1）知，平面平面，而平面平面，作于， 而平面，则平面，设，则有， ，，， 在平面内过点作，则平面，直线两两垂直， 以点为坐标原点，直线分别为建立空间直角坐标系，如图， 则，由， 得，，， 设平面的法向量，则，令，得 设平面的法向量，则，令，得， 设二面角的平面角为，则， 所以二面角的平面角的正弦值. 34．在长方体中，､分别是棱上的动点，且. (1)求证：； (2)当三棱锥的体积取最大值时，求平面与平面的夹角余弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1）以为坐标原点以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴如图建立空间直角坐标系 设，则. 则 所以， （2）由题可得：， 当最大时，三棱锥的体积最大， 当时最大，此时与重合， ，，，， 设面的法向量.，则， 即，令，则 因为平面的法向量. 设平面与平面的夹角为 所以 所以平面与平面的夹角余弦值为 35．如图所示，是的直径，点是上异于的动点，平面，分别为的中点. (1)求证：平面； (2)若，二面角的正弦值为，求. 【答案】(1)证明见解析 (2)2 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 因为是的直径，所以， 因为，平面，所以平面， 因为分别是的中点，所以， 所以平面； （2）如图，以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， 则，，设，且， 所以，，易知平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量，则，所以， 即，取，得，所以， 因为二面角的正弦值为，则其余弦值的绝对值为， 所以，化简得，， 又因为，所以，解得，即， 所以，故. 36．如图，三棱台，平面平面，与相交于点，且平面． (1)求三棱锥的体积； (2)平面与平面所成角为与平面所成角为，求的值． 【答案】(1)2 (2) 【详解】（1）由题意，平面平面， 且平面平面平面， 平面， 平面，， 又平面， 平面． 连接，平面平面，平面平面，， ，，． 三棱锥底面三角形的面积为 ，高， 其体积为：． （2）由题意及（1）得， 以为坐标原点，分别以为轴的正方向建立空间直角坐标系， 如图，， 则． 设平面的法向量为， 由，取，则， 平面的一个法向量为， 所以． 又因为，所以． ． 又，所以． 考点07 探索性动点问题 37．如图，已知平面，，是等腰直角三角形，其中，且. (1)在线段上是否存在一点，使平面? (2)在线段上是否存在点M，使得点B到平面的距离等于1？如果存在，试判断点M的个数；如果不存在，请说明理由. 【答案】(1)存在 (2)在线段上只存在唯一一点. 【详解】（1）当为的中点时，平面. 证明如下：取的中点，的中点，连结、、 则有，， 因为，，所以且， 所以四边形是平行四边形，则， 又平面，平面， 所以平面. （2）存在.设，在中，. 因为面，所以. 因为面，面，面 所以,， 则均为直角三角形. 在中， 同理，. 取的中点，因为，所以， 而. 故. 因为点到面的距离等于1， 所以. 而，所以，解得. 所以在线段上只存在唯一一点，当且仅当时，点到面的距离等于1. 38．如图，在三棱柱中，平面，． (1)求证：； (2)若，在棱上确定一点P，使二面角的平面角的余弦值为． 【答案】(1)证明见解析 (2)P为棱的中点 【详解】（1）在三棱柱中，因为平面，平面， 所以平面平面，      因为平面平面，，平面， 所以平面， 因为平面，所以． （2）如图，以A为原点建立空间直角坐标系， 则，，，，      ， 设，，则．      设平面的一个法向量为，因为，， ，即，所以， 令得，      而平面的一个法向量可以是， 则，解得， 即P为棱的中点，其坐标为. 39．已知四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是正三角形，平面，分别是的中点．    (1)求证：⊥平面； (2)已知点是线段上的动点，并且到平面的距离是，求线段的长． 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【详解】（1）因为是正三角形，为的中点， 所以⊥， 因为平面，平面，所以， 因为，平面， 所以⊥平面； （2）连接，因为⊥平面，平面， 所以⊥，⊥， 因为底面是边长为4的正方形，则两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 设，平面的法向量为， 则， 解得，令，则，故， 则到平面的距离为，    解得，故，故. 40．如图，已知垂直于梯形所在的平面，矩形的对角线交于点，为的中点，，． (1)求平面与平面夹角的余弦值； (2)在线段上是否存在一点，使得与平面所成角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【详解】（1）解：因为平面，平面，所以． 又，所以. 以点为坐标原点，以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系． 则，.，． 设平面的一个法向量为． 则，即，令，得． 所以平面的一个法向量为． 易知平面的一个法向量为， 所以, 所以平面与平面夹角的余弦值为． （2）解：假设存在点，设，其中， 则． 由（2）知，平面的一个法向量为. 则， 即，所以．故存在满足题意的点，此时点与点重合， 此时． 41．如图1，在中，，，为的中点，为上一点，且.现将沿翻折到，如图2. (1)证明：. (2)已知二面角为，在棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，确定的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【详解】（1）证明：翻折前，在中，，翻折后，有，， 又，、平面，所以平面， 因为平面，所以. （2）解：因为二面角为，，， 所以，二面角的平面角为， 以点为坐标原点，、所在直线为、轴，过点且垂直于平面的直线为轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 不妨设，则、、、、. ，，，. 设，，其中， 设平面的法向量为， 由得， 取，可得， ，解得，合乎题意， 故当时，直线与平面所成角的正弦值为. 42．如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，，，底面ABCD，点E为棱PC的中点，． (1)证明：平面PAD； (2)在棱PC上是否存在点F，使得二面角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【详解】（1）在PD上找中点G，连接AG，EG，如图： ∵G和E分别为PD和PC的中点， ∴，且， 又∵底面ABCD是直角梯形，，， ∴且．即四边形ABEG为平行四边形， ∴， ∵平面PAD，平面PAD， ∴平面PAD； （2）因为平面，平面， 所以，又， 以A为原点，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 可得，，，，， 由F为棱PC上一点，设， ， 设平面FAD的法向量为， 由可得，解得：， 令，则，则， 取平面ADC的法向量为， 则二面角的平面角满足：, 解得：，解得：或（舍去）， 故存在满足条件的点F，此时． 43．如图，点是以为直径的圆上异于的点，平面平面.，分别是的中点，记平面与平面的交线为直线. (1)求证：直线平面； (2)求证：直线直线； (3)直线上是否存在点，使直线分别与平面、直线所成的两角互余？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)当时，直线分别与平面、直线所成的两角互余，理由见解析. 【详解】（1）因为点是以为直径的圆上异于的点，所以 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面； （2），分别是，的中点， 所以，又平面，不包含于面， 所以平面，又面，平面平面， 所以， （3）以为坐标原点，为轴，为轴，过垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，，，，，， ∴，， 设,,，平面的法向量为，则， 取，则， 所以为平面的一个法向量， 且， ，， 设直线与平面所成的角为、直线与直线所成的角为， 则，， 因为直线分别与平面、直线所成的两角互余，所以， 所以， 所以，所以． 所以当时，直线分别与平面、直线所成的角互余． 基础试炼 一、单选题 1．（2022-23高一下·重庆·阶段练习）已知正方体的棱长为，则点到面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，    所以， ， 设面的法向量为， ， 所以， 令，则， 所以， ， 所以到平面的距离， 故选：C. 2．（2023-24高二下·福建龙岩·期末）如图，在四棱锥中，侧面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中，，，则直线与平面所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】取中点为，连接，，， 又侧面底面，侧面底面，面， 底面， ，，，连接，则. 如图，以为原点，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系. ，设平面的法向量为，则，可取， ， 设直线与平面所成角为，， ， 直线与平面所成角的正切值为. 故选：. 3．（2023-24高二上·河北石家庄·期中）如图，正四棱柱中，，点E和F分别是线段与上的动点，则间最小距离为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【详解】 因为点E和F分别是线段与上的动点，则间最小距离即为 异面直线与间的距离， 建立如图所示空间直角坐标系，则， 则，， 设与异面直线与都垂直的向量， 则，解得，取，则， 所以，则异面直线间的距离为. 即间最小距离为. 故选：C 4．（2022-23高二上·湖南益阳·期末）如图所示空间直角坐标系中，是正三棱柱的底面内一动点，，直线和底面所成角为，则P点坐标满足（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由正三棱柱，且，根据坐标系可得： ，又是正三棱柱的底面内一动点，则，所以， 又平面，所以是平面的一个法向量， 因为直线和底面所成角为， 所以， 整理得，又，所以. 故选：A. 二、多选题 5．（2023-24高二上·宁夏吴忠·期末）如图，在长方体中，，，若为的中点，则以下说法中正确的是（   ）　 A．线段的长度为 B．异面直线和夹角的余弦值为 C．点到直线的距离为 D．三棱锥的体积为 【答案】BC 【详解】A选项，以，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系如图所示： 根据题意得，，，，，， 则，所以线段的长度为，选项A错误； B选项，又，所以异面直线和夹角余弦值为： ，选项B正确； C选项，设直线上存在点满足，且， 则，所以， 则，又，所以， 解得，则， 所以点到直线的距离为：，选项C正确； D选项，因为，选项D错误． 故选：BC． 6．（2023-24高二上·江西吉安·期末）在棱长为1的正方体中，，，则下列说法正确的是（    ） A．平面 B．直线与底面所成的角的正弦值为 C．平面与底面夹角的余弦值为 D．点到平面的距离为 【答案】AB 【详解】如图所示，以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， ，， ∴， ∵平面，平面， ∴平面，故A正确． B选项，平面的法向量， 设直线与底面所成的角为， 则，故B正确． C选项，，，设平面的法向量， 则令，得，则． 设平面与底面的夹角为， 则， ∴平面与底面夹角的余弦值为，故C错误． D选项，∵，平面，平面， 又，平面的法向量， ∴点到平面的距离即为直线与平面的距离，故D错误． 故选：AB 三、填空题 7．（202022-23高二·全国·课后作业）在三棱锥中，，，.记的中点为，的中点为，则异面直线与的距离为 . 【答案】 【详解】解：三棱锥的三组对棱分别相等，因此三棱锥的外接平行六面体为长方体，将三棱锥放在长方体中，设长方体的长、宽、高分别为，，，且即解得 因此以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示： 则，，，，，. ，. 设垂直于和，所以 令，则，，所以. 又，所以异面直线与的距离. 故答案为： 8．（2023-24高二上·新疆伊犁·期中）如图，四棱锥的底面是梯形，平面，，，，，为线段上一个动点，且，若与平面所成的角为，则 ． 【答案】 【详解】连接，因为：，，，在中，由余弦定理得： ， 即有：，所以：， 以点为原点，以所在直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，， 所以：，，，， 因为：，且，， 设平面的一个法向量为：， 则：，令：，得：， 所以得：，解得：. 故答案为：. 四、解答题 9．（2023-24高二下·陕西延安·期末）如图，在正三棱柱中，分别为棱的中点，． (1)证明：平面． (2)求平面与平面的夹角． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）取的中点，连接． 因为为棱的中点，所以，且． 又为棱的中点，所以． 因为且，所以，且， 所以四边形为平行四边形， 所以． 又平面平面， 所以平面． （2）取为的中点，为的中点，连接． 因为为正三棱柱， 所以两两垂直． 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则． 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 又是平面的一个法向量， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 10．（2023·安徽马鞍山·模拟预测）如图，在平行四边形中，，，为边上的点，，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且三棱柱的体积为. (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：由，，为正三角形. 设的中点为，连接，则， 则.易知，， 所以. 所以，，， 故平面，平面，所以. 又易知中，，， 又平面， 所以平面. 又平面，所以平面平面. （2）由（1）知, 取的中点，连接,则；又平面， 以的中点为坐标原点，分别以，，为，，轴正方向，建立空间直角坐标系， 如图所示，则，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则， 即， 令，则，，故. 设平面的法向量为， 则，即，令，则，， 故，所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 11．（2023-24高一下·山东青岛·期末）如图1，直角梯形中，，，，，以为轴将梯形旋转后得到几何体W，如图2，其中，分别为上下底面直径，点P，Q分别在圆弧，上，直线平面. (1)证明：平面平面； (2)若直线与平面所成角的正切值等于，求P到平面的距离； (3)若平面与平面夹角的余弦值，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）设平面交上底面于，在圆弧上， 因为上下底面平行，故， 又因为平面，平面，平面平面， 所以，所以， 由题意可知，又，平面， 所以平面，所以平面， 又平面，平面平面. （2）由（1）知平面，连接，所以是直线与平面所成角， 所以由题意， 又由题意，， 所以，所以，即在圆弧的中点上， 所以由知点P在圆弧中点上，故, 所以， 因为平面，所以点P到平面的距离即为F到平面的距离， 又圆柱结构性质可知,平面，平面， 所以平面，所以F到平面的距离即为C到平面的距离，设该距离为， 因为， ， 又，所以，即点P到平面的距离为. （3）过作垂直于底面，则由上知， 所以可建立如图所示的分别以为轴的空间直角坐标系， 则，设，且， 所以， 设平面的法向量为，则， 所以即，取可求得， 设平面的法向量为，则， 所以即，取可求得， 设平面与平面的夹角为，则，且， 整理得， 所以即， 即，所以， 所以，所以. 【点睛】思路点睛：过作垂直于底面，建立分别以为轴的空间直角坐标系，设未知点，求出平面和平面的法向量，从而根据二面角的空间向量法结合已知条件建立关于的等量关系，从而求出即可求出. 12．（2023-24高二下·甘肃兰州·期末）如图所示，正方形与矩形所在平面互相垂直，，点为的中点. (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在点，使二面角的平面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【详解】（1）平面平面， 平面平面， 平面平面， 则以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则 . ， 设平面的法向量为，则， 令，解得：， 又，即， 又平面平面； （2）假设在线段上存在点，使二面角的大小为. 设，则. 设平面的一个法向量为， 则， 令，解得：， 又平面的一个法向量为， ， 即，解得：或（舍去）， 此时， 在线段上存在点，使二面角的平面角的大小为， 此时. 高阶突破 1．（多选）如图，在正方体中，M是线段上的一点，则下列说法正确的是（    ） A． B．平面 C．异面直线与所成的角的取值范围是 D．二面角的正弦值为 【答案】ABD 【详解】如图，以为原点，为轴，为轴， 为轴，建立空间直角坐标系，且设正方体边长为2， 故,,，，， 所以，， 对于A，，，故， ，因为，共线， 所以，故， 故，而， 所以，故A正确， 对于B，而，化简得， 故，， 而，， 设面的法向量为，可得， 所以，令，解得， 故，则， 可得平面，故B正确， 对于C，，， 设异面直线与所成的角为，， 所以， 当时，， 而时，令， 因为，可得， 故，得到，故C错误， 对于D，已知面的法向量为， 设面的法向量，所以， 故，令，解得， 故，设二面角为， ，故，而， 而，解得，故D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何，解题关键是建立空间直角坐标系，然后表示出关键点的坐标，由线线角的向量求法表示出线线角，结合导数得到所要求的范围即可． 2．已知正方体，点在上运动（不含端点），点在上运动（不含端点），直线与直线所成的角为，直线与平面所成的角为，则下列关于的取值可能正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，以为原点，所以在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为1，则， 所以， 设平面的法向量为，则 ，令，则， 对于AB，设直线与平面所成的角为，则 ， 因为，所以， 由最小角定理得， 当时，，所以A错误， 当时，，所以B错误， 对于CD，设平面的法向量为， 则，令，则， 设平面与平面所成的角为，则 ， 由最大角定理得， 当时，，所以C正确， 当时，，所以D错误， 故选：C． 3．如图，在正方体中，点为线段的中点．设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 设正方体的棱长2，，，0，，，2，，，1，，，2，， 则，1，，，， 则，0，，，2，， 设平面的法向量，，， 则，即，令， 可得，1，， ，，， ， 设直线与平面所成的角为，，， 所以， 所以 ， 设， 则， 设，，， 当时，即， 则，时，函数单调递减，，时，函数单调递增， 而时，；当时，； 当时，， 所以，时，，，所以，， 进而可得， 所以，． 故选：D． 4．如图，在直三棱柱中，是以BC为斜边的等腰直角三角形，，D、E分别为BC、上的点，且． (1)若，求证：∥平面； (2)若平面与平面ACD的夹角为，求实数t的值． 【答案】(1)证明见解析 (2). 【详解】（1）证明：当时，， 即点D、E分别为BC、的中点. 在直三棱柱中，，， 所以四边形为平行四边形， 如图，连接DE. 则，，所以，， 所以四边形是平行四边形，所以. 又因为平面，平面， 所以∥平面. （2）解：平面ABC，又， 以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系. 则点，，，，， 所以，，，， 所以. 设平面的法向量为， 则，令，则. 又平面ADC的法向量为， 因为平面与平面ACD的夹角为， 所以 即，得， 解得或. 又因为，所以. 5．如图，在矩形中，，，点分别在 上，且 ，沿 将四边形折成四边形．    (1)求证：平面； (2)若点在平面上的射影在直线上，求直线与平面所成角的正弦值； (3)在（2）的条件下，设点在线段上，平面与平面所成锐二面角的平面角为．若，求． 【答案】(1)证明过程见解析 (2) (3) 【详解】（1），平面，平面． 平面， 由，同理可得平面， 又，平面，平面， 平面平面，平面， 平面； （2）    如图所示， 过作，过作平面， 分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系． 在平面上的射影在直线上， 设， ， 因为，且，； ，解得，， 而， 所以， 因为平面，平面， 所以， 因为，，平面，平面， 所以平面， 所以平面的一个法向量是， 所以， 即直线与平面所成角的正弦值； （3）    设，， 因为，， 所以， 所以， 从而， 设平面的法向量为， 所以， 设，解得，即， 由（2）可知平面的一个法向量是，， 由题意可知平面与平面所成锐二面角的余弦值 ， 整理得，，解得， 即. 6．如图，四边形与四边形是全等的矩形，，，P为上的动点． (1)若P为的中点，求证：平面； (2)若直线与平面所成角的正切值为，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由题意知，又四边形为矩形，得， 且平面平面， 所以平面，又平面，所以. 因为，点为的中点，所以，所以， 同理，所以，即. 又由于，所以，且， 又平面平面， 所以平面， （2）由（1）知，平面，又，故平面， 所以是直线在平面内的射影， 所以就是直线与平面所成的角，即， 即，设，则. 又由（1）知，两两垂直， 以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系. 则， 设平面的一个法向量为， 由于，所以，即， 令，则，即， 设平面的一个法向量为， ， 由于，所以，即， 令，则，即， 设平面与平面的夹角为，可知为锐角， 所以. 故平面与平面夹角的余弦值为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$