13.2 垂直平分线的性质和应用（知识解读+达标检测）-2024-2025学年八年级数学上册《知识解读•题型专练》（人教版）

13.2 垂直平分线的性质和应用 【考点1： 线段垂直平分线的性质在线段中的应用】 【考点2： 线段垂直平分线的性质在求角中的应用】 【考点3： 线段垂直平分线的性质在实际中的应用】 【考点4： 线段垂直平分线的性质的综合应用】 【考点5： 尺规作图-角平分线和垂直平分线的综合】 知识点1 ：线段垂直平分线 1.定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线。 2.线段垂直平分线的作图 1. 分别以点 A、B 为圆心，以大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于 C、D 两点； 2. 作直线 CD，CD 为所求直线 3.线段垂直平分线性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 【考点1： 线段垂直平分线的性质在线段中的应用】 【典例1】（2023秋•宁津县期末）如图，△ABC中，AB＝AE，且AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，若△ABC周长为16，AC＝6，则DC为（　　） A．5 B．8 C．9 D．10 【变式1-1】（2024春•五华县期中）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝5，EC＝3，则BC的长 　　． 【变式1-2】（2024春•新郑市期中）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，作边BC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．若AD＝3，则DE的长为 　3　． 【变式1-3】（2024•中山区一模）如图，在△ABC中，AB＞AC，按以下步骤作图：分别以点B和点C为圆心，大于BC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，连结CD．若AB＝8，AC＝4，则△ACD的周长为（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 【考点2： 线段垂直平分线的性质在求角中的应用】 【典例2】（2023秋•浑江区期末）如图，△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F，G，连接AE，AG． （1）若△AEG的周长为10，求线段BC的长； （2）若∠BAC＝104°，求∠EAG的度数． 【变式2-1】（2024•安徽一模）如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AB和AC，垂足为M，N．且分别交BC于点D，E．若∠DAE＝20°，则∠BAC的度数为（　　） A．100° B．105° C．110° D．120° 【变式2-2】（2023秋•安康期末）如图，△ABC中，BD平分∠ABC，EF垂直平分BC交BC于点E，交BD于点F，连接CF，若∠A＝60°，∠ABD＝25°，则∠ACF的度数为（　　） A．25° B．45° C．50° D．70° 【变式2-3】（2023秋•成都期末）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，垂足为点E，CD平分∠ACB，若∠A＝50°，则∠B的度数为（　　） A．25° B．30° C．35° D．40° 【变式2-4】（2023春•福田区期中）如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分边AC和边BC，交边AB于M，N两点，DM与EN相交于点F． （1）若AB＝5，则△CMN的周长为 　　； （2）若∠MFN＝70°，求∠MCN的度数． 【考点3： 线段垂直平分线的性质在实际中的应用】 【典例3】（2024春•高碑店市月考）如图，政府计划在A，B，C三个村庄附近建立一所小学，且小学到三个村庄的距离相等，则小学应建在（　　） A．△ABC三边垂直平分线的交点 B．△ABC三条角平分线的交点 C．△ABC三条高所在直线的交点 D．△ABC三条中线的交点 【变式3-1】（2023秋•阿荣旗期末）在联欢会上，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在△ABC的（　　） A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边中垂线的交点 D．三边上高的交点 【考点4： 线段垂直平分线的性质的综合应用】 【典例4】（2023秋•天津期末）在△ABC中，AB的垂直平分线l1交BC于点D，AC的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，△ADE的周长为6． （1）AD与BD的数量关系为　AD＝BD　． （2）求BC的长． （3）分别连接OA，OB，OC，若△OBC的周长为16，求OA的长． 【变式4-1】（2024春•吉安期中）如图，在△ABC中，DE，DF分别为BC，AB边的垂直平分线，连接AD，CD． （1）若∠B＝40°，求∠ACD的度数； （2）判断∠B与∠ACD之间的数量关系，并说明理由． 【变式4-2】（2023秋•嵩县期末）如图，在△ABC中，BC边的垂直平分线交AC边于点D，连接BD． （1）如图CE＝4，△BDC的周长为18，求BD的长． （2）求∠ADM＝60°，∠ABD＝20°，求∠A的度数． 【变式4-3】（2023春•丰城市期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G． （1）若BC＝9，求△AEG的周长． （2）若∠BAC＝130°，求∠EAG的度数． 【考点5： 尺规作图-角平分线和垂直平分线的综合】 【典例5】（2023•胶州市模拟）如图，某城市公园里有三个景点A、B、C，直线l1、l3表示直路，而l2表示弯路．想在S区里修建一座公厕P，使它到两条路l1和l3的距离相等，且到两个景点B和C的距离也相等．求点P位置． 【变式5-1】（2023秋•靖西市期末）如图：已知OA和OB两条公路，以及C、D两个村庄，建立一个车站P，使车站到两个村庄距离相等即PC＝PD，且P到OA，OB两条公路的距离相等． 【变式5-2】（2022秋•黄埔区期中）如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路MN、OA、OB，拟在MN上建造一个大型超市，使得它到OA、OB的距离相等，请确定该超市的位置P． 【变式5-3】（2023秋•宁安市期末）作图题：（不写作法，但必须保留作图痕迹） 如图：某地有两所大学和两条相交叉的公路，（点M，N表示大学，AO，BO表示公路）．现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等．你能确定仓库P应该建在什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案． 一、单选题 1．如图，D为上一点，垂直平分交于点E，已知，，则的长为（   ） A．3 B．5 C．8 D．18 2．如图，在中，，，的垂直平分线交于点，垂足为，则的周长为（　　） A．14 B．20 C．28 D．32 3．在联欢晚会上，有A、B、C三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置在的（　　） A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边上高的交点 D．三边中垂线的交点 4．如图，有甲、乙两种作图方式，根据圆规作图的痕迹，再利用直尺能够作出线段垂直平分线的是（　　） A．只有乙可以 B．甲、乙都不可以 C．只有甲可以 D．甲、 乙都可以 5．如图，在中，，，根据尺规作图痕迹，可知（　　） A． B． C． D． 6．如图，在中，，，若和分别垂直平分和，则的周长为（    ）    A．10 B．12 C．13 D．15 7．如图，在中，，垂直平分交于点，若的周长为cm，则（　　） A．cm B．cm C．cm D．cm 8．如图，在长方形中，在上分别截取，使，分别以E、F为圆心、以大于长为半径作弧，两弧在内交于点G，作射线；又分别以A、C为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线；射线和直线交于点P，则的度数为（    ） A． B． C． D． 9．如图，在中，以点A为圆心，长为半径作弧，交于点D，再分别以点B，点D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于M，N两点，连接交于点E，已知，则的周长为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 10．如图，在中，边的垂直平分线，分别交，于点D，E两点，连接，，，则的度数是 ． 11．如图，在中，，利用尺规作图，得到直线和射线．若，则 °． 12．如图，已知线段，分别以点为圆心，5为半径作弧相交于点．连接，点E在上，连接．若与的周长之差为4，则的长为 ． 13．已知：如图，在梯形中，，，，，，长为 ． 三、解答题 14．如图，利用尺规在内部求作一点，使到两边的距离相等，且．（保留作图痕迹，不写作法） 15．如图，在中，点E是边上的一点，连接，垂直平分，垂足为F，交于点D．连接．    (1)若的周长为19，的周长为7，求的长． (2)若，，求的度数． 16．如图，在中，平分交于点，交于点．    (1)请作出中边上的高 (2)求的度数． 17．如图，中，的垂直平分线分别交，于点，，的垂直平分线分别交，于点，，连接，． (1)若的周长为，求线段的长； (2)若，求的度数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 13.2 垂直平分线的性质和应用 【考点1： 线段垂直平分线的性质在线段中的应用】 【考点2： 线段垂直平分线的性质在求角中的应用】 【考点3： 线段垂直平分线的性质在实际中的应用】 【考点4： 线段垂直平分线的性质的综合应用】 【考点5： 尺规作图-角平分线和垂直平分线的综合】 知识点1 ：线段垂直平分线 1.定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线。 2.线段垂直平分线的作图 1. 分别以点 A、B 为圆心，以大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于 C、D 两点； 2. 作直线 CD，CD 为所求直线 3.线段垂直平分线性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 【考点1： 线段垂直平分线的性质在线段中的应用】 【典例1】（2023秋•宁津县期末）如图，△ABC中，AB＝AE，且AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，若△ABC周长为16，AC＝6，则DC为（　　） A．5 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【解答】解：∵△ABC周长为16， ∴AB+BC+AC＝16， ∵AC＝6， ∴AB+BC＝10， ∵EF垂直平分AC， ∴EA＝EC， ∵AB＝AE，AD⊥BC， ∴BD＝DE， ∴AB+BD＝AE+DE＝×（AB+BC）＝5， ∴DC＝DE+EC＝AE+DE＝5， 故选：A． 【变式1-1】（2024春•五华县期中）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝5，EC＝3，则BC的长 　8　． 【答案】8． 【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线， ∴EA＝EB， ∴BC＝EB+EC＝EA+EC＝5+3＝8， 故答案为：8． 【变式1-2】（2024春•新郑市期中）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，作边BC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．若AD＝3，则DE的长为 　3　． 【答案】3． 【解答】解：∵∠A＝90°，∠C＝30°， ∴∠ABC＝90°﹣∠C＝60°， ∵DE是BC的垂直平分线， ∴DB＝DC， ∴∠DBC＝∠C＝30°， ∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝30°， ∴∠ABD＝∠DBC＝30°， ∴BD平分∠ABC， ∵DA⊥AB，DE⊥BC， ∴DA＝DE＝3， 故答案为：3． 【变式1-3】（2024•中山区一模）如图，在△ABC中，AB＞AC，按以下步骤作图：分别以点B和点C为圆心，大于BC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，连结CD．若AB＝8，AC＝4，则△ACD的周长为（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】D 【解答】解：根据作图过程可知： MN是线段BC的垂直平分线， ∴CD＝BD， ∴△ACD的周长为：AC+CD+AD＝AC+BD+AD＝AC+AB＝4+8＝12． 故选：D． 【考点2： 线段垂直平分线的性质在求角中的应用】 【典例2】（2023秋•浑江区期末）如图，△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F，G，连接AE，AG． （1）若△AEG的周长为10，求线段BC的长； （2）若∠BAC＝104°，求∠EAG的度数． 【答案】（1）10； （2）28°． 【解答】解：（1）∵DE垂直平分AB，GF垂直平分AC， ∴EA＝EB，GA＝GC， ∵△AEG的周长为10， ∴AE+EG+AG＝10， ∴BC＝BE+EG+GC＝AE+EG+GC＝10； （2）∵∠BAC＝104°， ∴∠B+∠C＝180°﹣104°＝76°， ∵EA＝EB，GA＝GC， ∴∠EAB＝∠B，∠GAC＝∠C， ∴∠EAB+∠GAC＝∠B+∠C＝76°， ∴∠EAG＝∠BAC﹣（∠EAB+∠GAC）＝104°﹣76°＝28°． 【变式2-1】（2024•安徽一模）如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AB和AC，垂足为M，N．且分别交BC于点D，E．若∠DAE＝20°，则∠BAC的度数为（　　） A．100° B．105° C．110° D．120° 【答案】A 【解答】解：∵DM，EN分别垂直平分AB和AC， ∴DB＝DA，EA＝EC， ∴∠B＝∠DAB，∠C＝∠EAC， ∵∠DAE＝20°，∠B+∠C+∠BAC＝180°， ∵∠B+∠BAD+∠C+∠EAC＝180°﹣20°＝160°， ∴2∠BAD+2∠EAC＝160°， ∴∠BAD+∠CAE＝80°， ∴∠BAC＝∠BAD+∠CAE+∠DAE＝80°+20°＝100°． 故选：A． 【变式2-2】（2023秋•安康期末）如图，△ABC中，BD平分∠ABC，EF垂直平分BC交BC于点E，交BD于点F，连接CF，若∠A＝60°，∠ABD＝25°，则∠ACF的度数为（　　） A．25° B．45° C．50° D．70° 【答案】B 【解答】解：∵BD平分∠ABC， ∴∠DBC＝∠ABD＝25°， ∵∠A＝60°， ∴∠ACB＝180°﹣60°﹣25°×2＝70°， ∵BC的中垂线交BC于点E， ∴BF＝CF， ∴∠FCB＝25°， ∴∠ACF＝70°﹣25°＝45°， 故选：B． 【变式2-3】（2023秋•成都期末）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，垂足为点E，CD平分∠ACB，若∠A＝50°，则∠B的度数为（　　） A．25° B．30° C．35° D．40° 【答案】B 【解答】解：∵DE垂直平分AC， ∴AD＝CD， ∴∠A＝∠ACD 又∵CD平分∠ACB， ∴∠ACB＝2∠ACD＝100°， ∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣50°﹣100°＝30°， 故选：B． 【变式2-4】（2023春•福田区期中）如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分边AC和边BC，交边AB于M，N两点，DM与EN相交于点F． （1）若AB＝5，则△CMN的周长为 　5　； （2）若∠MFN＝70°，求∠MCN的度数． 【答案】（1）5； （2）40°． 【解答】解：（1）∵DM，EN分别垂直平分边AC和边BC， ∴MA＝MC，NB＝NC， ∴△CMN的周长＝MC+MN+NC＝MA+MN+NB＝AB， ∵AB＝5， ∴△CMN的周长＝5， 故答案为：5； （2）∵∠MFN＝70°， ∴∠FMN+∠FNM＝180°﹣∠MFN＝110°， ∴∠AMD+∠BNE＝∠FMN+∠FNM＝110°， ∴∠A+∠B＝180°﹣（∠AMD+∠BNE）＝70°， ∵MA＝MC，NB＝NC， ∴∠A＝∠MCA，∠B＝∠NCB， ∴∠MCN＝180°﹣（∠A+∠B+∠MCA+∠NCB）＝40°． 【考点3： 线段垂直平分线的性质在实际中的应用】 【典例3】（2024春•高碑店市月考）如图，政府计划在A，B，C三个村庄附近建立一所小学，且小学到三个村庄的距离相等，则小学应建在（　　） A．△ABC三边垂直平分线的交点 B．△ABC三条角平分线的交点 C．△ABC三条高所在直线的交点 D．△ABC三条中线的交点 【答案】A 【解答】解：∵小学到三个村庄的距离相等， ∴小学应该修建在△ABC的三边的垂直平分线的交点， 故选：A． 【变式3-1】（2023秋•阿荣旗期末）在联欢会上，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在△ABC的（　　） A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边中垂线的交点 D．三边上高的交点 【答案】C 【解答】解：∵三角形的三条垂直平分线的交点到三角形各顶点的距离相等， ∴凳子应放在△ABC的三条垂直平分线的交点最适当． 故选：C． 【考点4： 线段垂直平分线的性质的综合应用】 【典例4】（2023秋•天津期末）在△ABC中，AB的垂直平分线l1交BC于点D，AC的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，△ADE的周长为6． （1）AD与BD的数量关系为　AD＝BD　． （2）求BC的长． （3）分别连接OA，OB，OC，若△OBC的周长为16，求OA的长． 【答案】（1）AD＝BD； （2）6； （3）5． 【解答】解：（1）∵l1是线段AB的垂直平分线， ∴AD＝BD， 故答案为：AD＝BD； （2）∵l2是线段AC的垂直平分线， ∴EA＝EC， ∵△ADE的周长为6， ∴AD+DE+AE＝6， ∴BD+DE+EC＝6，即BC＝6； （3）∵l1是线段AB的垂直平分线， ∴OA＝OB， ∵l2是线段AC的垂直平分线， OA＝OC， ∴OB＝OC， ∵△OBC的周长为16，BC＝6， ∴OB+OC＝10， ∴OA＝OB＝OC＝5． 【变式4-1】（2024春•吉安期中）如图，在△ABC中，DE，DF分别为BC，AB边的垂直平分线，连接AD，CD． （1）若∠B＝40°，求∠ACD的度数； （2）判断∠B与∠ACD之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）50°； （2）∠B+∠ACD＝90°，理由见解答过程． 【解答】解：（1）连接BD并延长，交AC于H， ∵DE，DF分别为BC，AB边的垂直平分线， ∴DA＝DB，DC＝DB， ∴∠DAB＝∠DBA，∠DCB＝∠DBC， ∴∠ADH＝∠DAB+∠DBA＝2∠DBA，∠CDH＝∠DCB+∠DBC＝2∠DBC， ∴∠ADC＝2∠ABC＝80°， ∵DA＝DB，DC＝DB， ∴DA＝DC， ∴∠ACD＝∠CAD＝（180°﹣80°）＝50°； （2）∠B+∠ACD＝90°， 理由如下：∵∠ACD+∠CAD+∠ADC＝180°， ∴2∠ACD+2∠ABC＝180°， ∴∠ACD+∠ABC＝90°． 【变式4-2】（2023秋•嵩县期末）如图，在△ABC中，BC边的垂直平分线交AC边于点D，连接BD． （1）如图CE＝4，△BDC的周长为18，求BD的长． （2）求∠ADM＝60°，∠ABD＝20°，求∠A的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵MN垂直平分BC， ∴DC＝BD， CE＝EB， 又∵EC＝4， ∴BE＝4， 又∵△BDC的周长＝18， ∴BD+DC＝10， ∴BD＝5； （2）∵∠ADM＝60°， ∴∠CDN＝60°， 又∵MN垂直平分BC， ∴∠DNC＝90°， ∴∠C＝30°， 又∵∠C＝∠DBC＝30°， ∠ABD＝20°， ∴∠ABC＝50°， ∴∠A＝180°﹣∠C﹣∠ABC＝100°． 【变式4-3】（2023春•丰城市期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G． （1）若BC＝9，求△AEG的周长． （2）若∠BAC＝130°，求∠EAG的度数． 【答案】（1）9； （2）80°． 【解答】解：（1）∵DE是AB的垂直平分线，GF是AC的垂直平分线， ∴EA＝EB，GA＝GC， ∴△AEG的周长＝EA+EG+GA＝EB+EG+GC＝BC＝9； （2）∵∠BAC＝130°， ∴∠B+∠C＝180°﹣130°＝50°， ∵EA＝EB，GA＝GC， ∴∠EAB＝∠B，∠GAC＝∠C， ∴∠EAB+∠GAC＝∠B+∠C＝50°， ∴∠EAG＝130°﹣50°＝80°． 【考点5： 尺规作图-角平分线和垂直平分线的综合】 【典例5】（2023•胶州市模拟）如图，某城市公园里有三个景点A、B、C，直线l1、l3表示直路，而l2表示弯路．想在S区里修建一座公厕P，使它到两条路l1和l3的距离相等，且到两个景点B和C的距离也相等．求点P位置． 【答案】答案见解答过程． 【解答】解：设l1和l3交于点E， 以点E为圆心，以适当的长为半径画弧分别交l1，l3于点M，N， 分别以MN为圆心，以大于为半径画弧在l1，l3的内部交于点F， 作射线EF， 连接BC， 分别以B，C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于T，H， 作直线TH与射线BF交于点P， 则点P为所求作的点． 理由如下： 由作图可知：EF为直线l1，l3夹角的平分线，点P在EF上， ∴点P到l1和l3的距离相等， 由作图可知：直线TH为线段BC的垂直平分线，点P在TH上， ∴TB＝TC． ∴点P点P到l1和l3的距离相等，且到点B和C的距离也相等． 【变式5-1】（2023秋•靖西市期末）如图：已知OA和OB两条公路，以及C、D两个村庄，建立一个车站P，使车站到两个村庄距离相等即PC＝PD，且P到OA，OB两条公路的距离相等． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图，点P为所作． 【变式5-2】（2022秋•黄埔区期中）如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路MN、OA、OB，拟在MN上建造一个大型超市，使得它到OA、OB的距离相等，请确定该超市的位置P． 【答案】图见解析． 【解答】解：如图所示：作∠AOB的平分线交MN于点P，点P即为该超市的位置． 【变式5-3】（2023秋•宁安市期末）作图题：（不写作法，但必须保留作图痕迹） 如图：某地有两所大学和两条相交叉的公路，（点M，N表示大学，AO，BO表示公路）．现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等．你能确定仓库P应该建在什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图所示： 一、单选题 1．如图，D为上一点，垂直平分交于点E，已知，，则的长为（   ） A．3 B．5 C．8 D．18 【答案】A 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，利用线段垂直平分线的性质求出，然后利用线段和差关系求解即可． 【详解】解：∵垂直平分交于点E，， ∴， 又， ∴， 故选：A． 2．如图，在中，，，的垂直平分线交于点，垂足为，则的周长为（　　） A．14 B．20 C．28 D．32 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质得到，再根据三角形周长计算公式求解即可． 【详解】解：的垂直平分线交于点，交于点， ， 的周长， 故选：B． 3．在联欢晚会上，有A、B、C三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置在的（　　） A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边上高的交点 D．三边中垂线的交点 【答案】D 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，为使游戏公平，则凳子到三人的距离相等，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等即可得，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：为使游戏公平，则凳子到三人的距离相等，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要将凳子放在三边中垂线的交点， 故选：D． 4．如图，有甲、乙两种作图方式，根据圆规作图的痕迹，再利用直尺能够作出线段垂直平分线的是（　　） A．只有乙可以 B．甲、乙都不可以 C．只有甲可以 D．甲、 乙都可以 【答案】C 【分析】由图甲的作图痕迹可知，利用直尺能够作出线段的垂直平分线，由图乙的作图痕迹可知，利用直尺能够作出的平分线，即可得出答案．本题考查作图—基本作图，熟练掌握基本尺规作图方法是解答本题的关键． 【详解】解：由图甲的作图痕迹可知，利用直尺能够作出线段的垂直平分线， 故甲符合题意； 由图乙的作图痕迹可知，利用直尺能够作出的平分线， 故乙不符合题意． 故选：C． 5．如图，在中，，，根据尺规作图痕迹，可知（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形外角性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质．先用三角形内角和求出，再用角平分线求出，由线段垂直平分线知，然后用外角性质求出，最后根据三角形的内角和求出． 【详解】解：在中，，， ， 由作图可知，平分，垂直平分， ，， ， ， 故选：C． 6．如图，在中，，，若和分别垂直平分和，则的周长为（    ）    A．10 B．12 C．13 D．15 【答案】A 【分析】此题主要考查线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等是解题关键． 根据线段垂直平分线的性质得出，，然后结合图形求解即可． 【详解】解：，分别是，的垂直平分线， ，， ， 的周长， 故选：A． 7．如图，在中，，垂直平分交于点，若的周长为cm，则（　　） A．cm B．cm C．cm D．cm 【答案】C 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，熟悉掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 利用垂直平分线的性质得到，再利用三角形的周长进行转化求解即可． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∵的周长为cm， ∴， ∴， 故选：C． 8．如图，在长方形中，在上分别截取，使，分别以E、F为圆心、以大于长为半径作弧，两弧在内交于点G，作射线；又分别以A、C为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线；射线和直线交于点P，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平行线的性质得，由角平分线的定义得，求出，然后根据对顶角的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 由作图知，平分， ∴． 由作图知，， ∴， ∴． 故选B． 【点睛】本题考查了平行线的性质，尺规作图，直角三角形两锐角互余，以及对等角相等，理解作图的含义是解答本题的关键． 9．如图，在中，以点A为圆心，长为半径作弧，交于点D，再分别以点B，点D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于M，N两点，连接交于点E，已知，则的周长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了作垂线，垂直平分线的性质等知识．熟练掌握作垂线，垂直平分线的性质是解题的关键． 解：由作图可知，，直线为线段的垂直平分线，则，根据的周长为，计算求解即可． 【详解】解：由作图可知，，直线为线段的垂直平分线， ∴， ∴的周长为． 故选：D． 二、填空题 10．如图，在中，边的垂直平分线，分别交，于点D，E两点，连接，，，则的度数是 ． 【答案】85 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，根据线段垂直平分线的性质得出，再根据角的和差关系即可得出，最后根据三角形内角和定理即可得出的度数． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：85． 11．如图，在中，，利用尺规作图，得到直线和射线．若，则 °． 【答案】40 【分析】本题考查了作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识，由作图可知，为线段的垂直平分线，为的平分线，则，，从而得到，由三角形内角和定理求出，即可得到答案． 【详解】解：由作图可知，为线段的垂直平分线，为的平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：40． 12．如图，已知线段，分别以点为圆心，5为半径作弧相交于点．连接，点E在上，连接．若与的周长之差为4，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的尺规作图，正确理解作图的意义，并灵活计算是解题的关键．根据作图的意义，可得是线段的垂直平分线，与的周长之差为4，就是，即可求解． 【详解】解：根据作图的意义，可得是线段的垂直平分线， ， ∴与的周长之差为4，即， ∵， ∴， 解得， 故答案为：3． 13．已知：如图，在梯形中，，，，，，长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．延长交延长线于点，证明，得，，又由，得垂直平分，得，即可求解． 【详解】解：延长交延长线于点， ∵， ∴，， 又∵点是的中点，即， ∴， ∴，， ∵，，即垂直平分， ∴， 故答案为：6． 三、解答题 14．如图，利用尺规在内部求作一点，使到两边的距离相等，且．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作图—作角平分线、垂直平分线，先作图的角平分线，再作出的垂直平分线，交点即为所求． 【详解】解：如图，点即为所作， ． 15．如图，在中，点E是边上的一点，连接，垂直平分，垂足为F，交于点D．连接．    (1)若的周长为19，的周长为7，求的长． (2)若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先证明，，结合的周长为19，的周长为7，可得，从而可得答案； （2）先求解，证明，再利用全等三角形的性质可得答案． 【详解】（1）解：∵是线段的垂直平分线， ∴，， ∵的周长为19，的周长为7， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，掌握以上基础知识是解本题的关键． 16．如图，在中，平分交于点，交于点．    (1)请作出中边上的高 (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了尺规作垂线，三角形内角和定理，角平分线的概念，平行线的性质， （1）根据题意做出中边上的高即可； （2）先根据三角形内角和定理求出，再由角平分线的定义求出的度数，即可利用平行线的性质求出的度数． 【详解】（1）如图所示，即为所求；    （2）解：∵． 又∵ ∴ ∵平分， ∴， ∵， ∴． 17．如图，中，的垂直平分线分别交，于点，，的垂直平分线分别交，于点，，连接，． (1)若的周长为，求线段的长； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查垂直平分线，三角形的内角和的知识，解题的关键是掌握垂直平分线的性质，三角形的内角和，即可． （1）根据垂直平分线的性质，则，；根据的周长为，，即可； （2）根据垂直平分线的性质，则，，根据三角形的内角和，求出，再根据等量代换，，即可． 【详解】（1）∵是的垂直平分线，是的垂直平分线， ∴，， ∵的周长为， ∴， ∵， ∴． （2）∵是的垂直平分线，是的垂直平分线， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$