课时梯级训练(47) 同角三角函数的基本关系（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

课时梯级训练(47)　同角三角函数的基本关系 1．(2024·无锡高一期末)已知P(1，3)为角α终边上一点，则＝(　　) A．－ B．1 C．2 D．3 B　解析：P(1，3)为角α终边上一点，故tan α＝3，故＝＝＝1. 2．(2024·韶关实验中学高一检测)若tan α＝3，则2sin αcos α＝(　　) A．± B．－ C． D． C　解析：因为tan α＝3， 因此2sin αcos α＝＝＝＝. 3．(2024·济南高一阶段检测)若θ∈(，π)，且满足－tan θ＝1，则sin θ＋cos θ＝(　　) A． B． C．－ D．－ A　解析：由－tan θ＝1得(tan θ－2)(tan θ＋3)＝0，所以tan θ＝－3或tan θ＝2，因为θ∈(，π)，tan θ<0，所以 tan θ＝－3.由tan θ＝＝－3， sin2θ＋cos2θ＝1及sin θ>0得sin θ＝，所以cos θ＝＝－，所以sin θ＋cos θ＝. 4．(2024·邢台开学考试)设 α 是第二象限角，则 ·＝(　　) A．1 B．tan2α C．－tan2α D．－1 D　解析：由题意可得·＝·＝×＝×|| ，由于α是第二象限角，故原式 ＝×||＝×＝－1. 5．已知sin α＝，则sin4α－cos4α＝______________________________________. 答案：－　解析：sin4α－cos4α＝(sin2α＋cos2α)(sin2α－cos2α)＝sin2α－(1－sin2α)＝2sin2α－1＝2×()2－1＝－. 6．(2024·盐城高一期末)若sinα＝，cos α＝，则tan α＝________________． 答案：0或　解析：由已知可得，sin 2α＋cos 2α＝1， 所以2＋2＝＝1， 整理可得，m2－2m－3＝0，解得m＝－1或m＝3， 当m＝－1时，sin α＝0，cos α＝－1，tan α＝＝0； 当m＝3时，sin α＝，cos α＝，tan α＝＝， 综上所述，tan α＝0或tan α＝. 7．(2024·南通海安高一期末)已知x∈. (1)化简：cos x； (2)若sin x＋cos x＝，求－tan x的值． 解：(1)cos x＝cos x＝ cosx＝cosx， 因为x∈， 所以cosx<0， 所以原式＝cos x＝－1. (2)因为sin x＋cos x＝， 所以(sin x＋cos x)2＝1＋2sin x cos x＝， 解得sin x cos x＝－， 所以(sin x－cos x)2＝1－2sin x cos x＝， 因为x∈， 所以sin x>0，cos x<0，可得sin x－cos x>0， 所以sin x－cos x＝， 所以－tan x＝－＝＝＝. 8．求证：·＝1. 证明：·＝·＝·＝＝＝1. 9．(2024·玉林高一检测)如果角α的终边经过点(3，－2)，则＝(　　) A．－ B． C． D．－ A　解析：由题可得tan α＝＝－， 所以＝＝＝－. 10．(2024·盐城四校联考)已知α∈，sin α＋cos α＝－，则tan α＝(　　) A．－ B．－ C． D． A　解析：∵α∈，sin α＋cos α＝－， ∴cos α>0，sin α<0， ∵(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝， ∴2sin αcos α＝－， ∴sin α－cos α＝－＝－＝－， 可得从而tan α＝＝－. 11．若β∈[0，2π)，且＋＝sinβ－cos β，则β的取值范围是________． 答案：[，π]　解析：∵＋＝|sinβ|＋|cos β|＝sin β－cos β，∴sin β≥0且cos β≤0.又β∈[0，2π)，∴β∈[，π]. 12．(2024·崇左高一检测)已知cos2α＋4sinαcos α＋4sin2α＝5，则tanα＝________． 答案：2　解析：cos2α＋4sinαcos α＋4sin2α＝＝＝5，整理得tan2α－4tanα＋4＝0，所以tan α＝2. 13．化简下列各式： (1)； (2)＋(0＜α＜). 解：(1)原式＝＝＝＝1. (2)原式＝＋＝|cos －sin |＋|cos ＋sin |. 因为α∈(0，)，所以∈(0，)， 所以cos －sin ＞0，sin ＋cos ＞0， 所以上式＝cos －sin ＋cos ＋sin ＝2cos . 14．设α是第三象限角，问是否存在实数m，使得sin α，cos α是关于x的方程8x2＋6mx＋2m＋1＝0的两个根？若存在，求出实数m；若不存在，请说明理由． 解：假设存在实数m满足条件，由题设得， Δ＝36m2－32(2m＋1)≥0，① ∵sin α＜0，cos α＜0，∴sin α＋cos α＝－m＜0，② sin αcos α＝＞0.③ 又sin2α＋cos2α＝1， ∴(sinα＋cos α)2－2sin αcos α＝1. 把②③代入上式得(－m)2－2×＝1， 即9m2－8m－20＝0，解得m1＝2，m2＝－. m1＝2不满足条件①，舍去；m2＝－不满足条件③，舍去． 故满足题意的实数m不存在． 学科网（北京）股份有限公司 $$