课时梯级训练(44) 弧度制（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

课时梯级训练(44)　弧度制 1．下列命题中，假命题是(　　) A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B．1°的角是周角的，1 rad的角是周角的 C．1 rad的角比1°的角要大 D．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关 D　解析：根据1度、1弧度的定义可知只有D为假命题，故选D. 2．(多选)将－1 485°化成α＋2kπ(k∈Z)的形式是(　　) A．－－8π B．π－8π C．－10π D．π－10π AD　解析：因为－1 485°＝－45°－4×360°＝－－8π或－1 485°＝315°－5×360°＝π－10π. 3．角－π的终边所在的象限是(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 D　解析：－π＝－4π＋π，π的终边位于第四象限． 4．(2024·河西区高一期末)如图，在扇形OAB中，∠AOB＝，OA＝OB＝2，则下列说法正确的个数为(　　) ①∠AOB＝30°；②线段AB的长等于；③扇形OAB的周长为＋4；④扇形OAB的面积为. A．1 B．2 C．3 D．4 A　解析：①∠AOB＝60°，故①错误； ②连接AB(图略)，△OAB为等边三角形， 则AB＝2，故②错误； ③扇形OAB的周长为×2＋2×2＝＋4，故③正确； ④扇形OAB的面积为××22＝，故④错误． 故正确的个数是1. 5．密位广泛用于航海和军事，我国采取的“密位制”是6 000密位制，即将一个圆周分成6 000等份，每一等份是一个密位，那么60密位等于________rad. 答案：　解析：∵圆周角为2π，∴1密位＝＝， ∴60密位＝×60＝. 6．圆的半径变为原来的，而弧长不变，该弧所对的圆心角是原来的________倍． 答案：2　解析：因为l＝r·θ，所以θ＝.因为半径变为原来的，弧长不变，所以圆心角变为θ′＝＝2·＝2θ. 7．扇形的半径是，圆心角是60°，则该扇形的弧长为________，面积为________． 答案：π　π　解析：60°＝，扇形的弧长为l＝|α|·r＝×＝π，面积为S＝lr＝×π×＝π. 8．试求出终边在如图所示阴影区域内的角的集合． 解：因为的终边与－的终边相同，故终边落在阴影区域内角的集合S＝{α|－＋2kπ≤α≤＋2kπ，k∈Z}． 9．自行车的大链轮有88齿，小链轮有20齿，当大链轮逆时针转过一周时，小链轮转过的弧度数是(　　) A． B． C． D． B　解析：由题意，知当大链轮逆时针转过一周时，小链轮逆时针转过周，则小链轮转过的弧度数是×2π＝. 10．(2024·广东实验中学高一期末)折扇(如图1)在我国已有三千多年的历史，它常以字画的形式体现我国的传统文化．图2为其结构简化图，设扇面A，B间的圆弧长为l1，C，D间的圆弧长为l2＝l1，当弦长AB为d＝2，圆弧所对的圆心角为θ＝，则扇面字画部分的面积为(　　) A．π B． C． D． A　解析：连接AB，记OA＝R，如图所示， 在△OAB中，因为OA＝OB＝R，弦长AB＝2，∠AOB＝θ＝， 所以＝sin ，即＝，解得R＝2； 又因为l2＝l1，即OD·＝×OB·， 所以OC＝OD＝R＝1， 所以扇面字画部分的面积为 S＝θ·OA2－θ·OC2＝×·(22－12)＝π. 11．(2024·柳州高一检测)下列各组中，终边相同的是(　　) A．(2k＋1)π与π(k∈Z) B．kπ＋与kπ－(k∈Z) C．kπ＋与kπ－(k∈Z) D．2kπ＋与2kπ－(k∈Z) C　解析：对于A，(2k＋1)π＝2kπ＋π与π终边相同，π＝2kπ＋与终边相同，A项错误；对于B，kπ＋与，终边相同，kπ－＝(k－1)π＋与，终边相同，B项错误；对于C，kπ＋与，终边相同，kπ－＝(k－1)π＋与，终边相同，C项正确；对于D，2kπ＋与终边相同，2(k－1)π＋与终边相同，D项错误． 12．时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度为__________． 答案：－π　解析：显然分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了周，转过的弧度为－×2π＝－π. 13．(2024·崇左高一检测)已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l(a＞0). (1)已知扇形的周长为10 cm，面积是4 cm2，求扇形的圆心角； (2)若扇形周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求此扇形的最大面积． 解：(1)由题意得解得(舍去)， 所以扇形的圆心角为. (2)由已知得，l＋2R＝20. 所以S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25， 所以当R＝5时，S取得最大值25， ×α×R2＝25，解得α＝2. 当扇形的圆心角α为2弧度时，这个扇形的面积最大值为25. 14．(2024·昆明西南联大附中高一期末)窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，它历史悠久，风格独特，深受国内外人士所喜爱．窗花是农耕文化的特色艺术、农村生活的地理环境、农业生产特征以及社会的习俗方式，也使这种乡土艺术具有了鲜明的中国民俗情趣和艺术特色．如图所示的四叶形窗花是由一些圆弧构成的旋转对称图形，若设外围虚线正方形的边长为a，求窗花的面积． 解：根据正方形以及窗花的对称性可知：窗花的一个“花瓣”(阴影部分)的面积S＝S△ACE－2S扇形AOB－S△BCD， 即S＝a2－π·2－·2＝a2. 故窗花面积为4S＝a2. 学科网（北京）股份有限公司 $$