课时梯级训练(42) 函数模型的应用（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

课时梯级训练(42)　函数模型的应用 1．一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所示，那么图象所对应的函数模型是(　　) A．分段函数 B．二次函数 C．指数函数 D．对数函数 A　解析：由图象知，在不同的时间段内，行驶路程的折线图不同，故对应函数模型应为分段函数． 2．我们处在一个有声世界里，不同场合，人们对声音的音量会有不同的要求．音量大小的单位是分贝(dB)，对于一个强度为I的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：η＝10·lg(其中I0是人耳能听到的声音的最低声波强度)，设η1＝70 dB的声音强度为I1，η2＝60 dB的声音强度为I2，则I1是I2的(　　) A．倍 B．10倍 C．10倍 D．ln 倍 B　解析：依题意可知，η1＝10·lg ，η2＝10·lg ，所以η1－η2＝10·lg －10·lg ，则1＝lg ，所以＝10.故选B. 3．(多选)某电子公司7年来生产智能手机总产量y(单位：万台，即前t年年产量的和)与时间t(单位：年)的函数关系式如图所示，下列说法正确的是(　　) A．前3年中，产量增长的速度越来越快 B．前3年中，产量增长的速度越来越慢 C．第3年后，这种产品停止生产 D．第3年后，年产量保持为100万台 BC　解析：在区间[0，3]上，函数图象越来越远离y轴，则前3年中，产量增长的速度越来越慢，则A错误，B正确；在区间[3，7]上，函数图象是平行于x轴的线段，说明没有变化，所以在第3年后，这种产品停止生产，则C正确，D错误． 4．(2024·朝阳区高一期末)某品牌可降解塑料袋经自然降解后残留量y与时间t(单位：年)之间的关系式为y＝y0·ekt.其中y0为初始量，k为降解系数．已知该品牌塑料袋2年后残留量为初始量的75%.若该品牌塑料袋需要经过n年，使其残留量为初始量的10%，则n的值约为(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)(　　) A．20 B．16 C．12 D．7 B　解析：由题意可得y0·e2k＝y0·， 则e2k＝，即ek＝()， 则经过n年时，有y0·enk＝y0·， 即enk＝，则(ek)n＝，则()＝， 所以＝log＝＝≈＝8， 则n＝16. 5．“学习曲线”可以用来描述学习某一任务的速度，假设函数t＝－144lg (1－)中，t表示达到某一英文打字水平所需的学习时间，N表示每分钟打出的字数．则当N＝40时，t＝________．(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477) 答案：36.72　解析：当N＝40时，t＝－144lg (1－)＝－144lg ＝－144(lg 5－2lg 3)＝－144(1－lg 2－2lg 3)＝36.72. 6．一个驾驶员喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少．为了保障交通安全，规定驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL，那么这个驾驶员至少要经过______小时才能开车．(精确到1小时，参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48) 答案：5　解析：设经过n小时后才能开车，此时酒精含量为0.3(1－0.25)n.根据题意，有0.3(1－0.25)n≤0.09，即(1－0.25)n≤0.3，在不等式两边取常用对数，则有n lg ＝n(lg 3－2lg 2)≤lg 0.3＝lg 3－1，将已知数据代入，得n(0.48－0.6)≤0.48－1，解得n≥＝4，故至少经过5小时才能开车． 7．(2024·上海杨浦高级中学高一上学期期中)某科研小组对面积为8 000 m2的某池塘里的一种生物的生长规律进行研究，一开始在此池塘投放了一定面积的该生物，观察实验得到该生物覆盖面积y(单位：m2)与所经过月数x(x∈N)的下列数据： x 0 2 3 4 y 4 25 62.5 156.25 为描述该生物覆盖面积y(单位：m2)与经过的月数x(x∈N)的关系，现有以下三种函数模型供选择：y＝k·ax(k>0，a>1)；y＝p＋q(p>0)；y＝ax2＋bx＋c. (1)试判断哪个函数模型更适合，并求出该模型的函数解析式； (2)大约经过几个月，此生物能覆盖整个池塘？ (3)经过4个月的研究掌握该生物的生长规律后，科研小组需改善池塘生态，现有两种方案： 方案一：加入能抑制该生物生长的某种化学物质，使其覆盖面积y与经过的月数x(x≥5)的关系式变为y＝4×1.7x； 方案二：在4月底集中打捞一次，使其覆盖面积减少到4 m2，生物增长速度不变． 问如何评价这两种方案，并说明理由． 解：(1)显然函数y＝k·ax(k>0，a>1)刻画的是增长速度越来越快的变化规律， 函数y＝p＋q(p>0)刻画的是增长速度越来越慢的变化规律， 由表中数据知该生物增长的速度越来越快， 因此函数y＝p＋q(p>0)不符合题意， 若选择函数模型y＝k·ax(k>0，a>1)，则解得故y＝4·x，x∈N， 当x＝3时，y＝62.5，当x＝4时，y＝156.25，所给数据均满足函数y＝4·x； 若选择函数模型y＝ax2＋bx＋c，则c＝4，解得 故y＝9x2－7.5x＋4，而当x＝4时，y＝118，与给定的数据相差太大，不符合题意， 所以函数模型y＝k·ax(k>0，a>1)更适合，函数解析式y＝4·x，x∈N. (2)由(1)知，y＝4·x，x∈N，设大约经过x个月，此生物能覆盖整个池塘， 则4·x＝8 000， 解得x＝log2 000＝ ＝ ≈8.295. 所以大约经过9个月此生物能覆盖整个池塘． (3)依题意，方案二的函数模型为y＝4·x－4，x≥5，x∈N， 当x＝5，6，7，8，9，10时，方案二的函数模型对应的y值依次为10，25，62.5，156.25，390.625，976.562 5， 方案一的函数模型对应的y值依次为56.79，96.55，164.14，279.03，474.35，806.40， 方案一的增长速度比方案二的小，方案二在第5到9月生物量较方案一小，10月开始方案一生物量较方案二小， 方案二再经过13个月此生物能覆盖整个池塘，由4×1.7x＝8 000，解得x＝≈14.32， 方案一再经过15个月此生物能覆盖整个池塘． 8．(2024·柳州高一期末)天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯(Hipparchus，又名依巴谷)在公元前二世纪首先提出了星等这个概念．星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大，它的光就越暗．到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森(M.R.Pogson)又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念．天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m1－m2＝2.5(lg E2－lg E1)，其中星等为mi的星星的亮度为Ei(i＝1，2).已知“角宿一”的星等是0.97，“水委一”的星等是0.47.“水委一”的亮度是“角宿一”亮度的r倍，则与r最接近的是(当|x|较小时，10x≈1＋2.3x＋2.7x2)(　　) A．1.56 B．1.57 C．1.58 D．1.59 B　解析：设“角宿一”的星等是m1，“水委一”的星等是m2，“角宿一”的亮度是E1，“水委一”的亮度是E2，则m1＝0.97，m2＝0.47，E2＝rE1， ∵两颗星的星等与亮度满足m1－m2＝2.5(lg E2－lg E1)， ∴0.97－0.47＝2.5(lg rE1－lg E1)，即lg r＝0.2， ∴r＝100.2≈1＋2.3×0.2＋2.7×(0.2)2＝1＋0.46＋0.108＝1.568， ∴与r最接近的是1.57. 9．(2024·玉林高一检测)大西洋蛙鱼每年都要逆流而上游回产地产卵，研究蛙鱼的科学家发现蛙鱼的游速(单位：m/s)可以表示为v＝log3，其中Q表示蛙鱼的耗氧量的单位数．当一条鲑鱼以m/s的速度游动时，其耗氧量是静止时耗氧量的倍数为(　　) A． B．8 C．32 D．64 D　解析：因为v＝log3，所以当鲑鱼静止时，v1＝0 m/s，即log3＝0， 化简得＝1，所以Q1＝100； 当v2＝m/s，即log3＝＝＝log38， 化简得log3＝2log38＝log364，所以＝64， 所以Q2＝6 400. ＝＝64. 10．家用冰箱制冷使用的氟化物，释放后破坏了大气上层的臭氧层．臭氧含量Q呈指数函数型变化，满足关系式Q＝Q0e－，其中Q0是臭氧的初始量． (1)随时间的增加，臭氧的含量是增加还是减少？ (2)多少年以后将会有一半的臭氧消失？(精确到年，参考数据：ln 2≈0.693，ln 3≈1.099) 解：(1)因为Q0>0，－<0，e>1， 所以Q＝Q0e－为减函数， 所以随时间的增加，臭氧的含量减少． (2)设x年以后将会有一半的臭氧消失，则 Q＝Q0e－＝Q0，即e－＝， 取对数可得－＝ln ，解得x＝400ln 2≈277.2. 所以278年以后将会有一半的臭氧消失． 11．(2024·百色高一期中)某企业于2020年在其治贪基地投入150万元研发资金用于养殖业发展，并计划今后7年内在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长20%. (1)写出第x年(2021年为第1年)该企业投入的研发资金y(万元)与x的函数关系式，并指出函数的定义域； (2)该企业从第几年开始投入的研发资金将超过300万元？ (参考数据：lg 0.12≈－0.921，lg 1.2≈0.079，lg 0.112≈－0.951，lg 1.12≈0.049，lg 2≈0.301). 解：(1)第x年(2021年为第1年)该企业投入的研发资金y(万元)， 则y＝150(1＋20%)x＝150·1.2x，其定义域为{x∈N*|1≤x≤7}． (2)由(1)得y＞300，150·1.2x＞300， 所以1.2x＞2，即x＞log1.22＝≈≈3.81，x∈N*. 所以x≥4，故该企业从第4年开始投入的研发资金将超过300万元． 12．某乡镇为创建“绿色家园”，决定在乡镇范围内栽种某种观赏树木，已知这种树木自栽种之日起，其生长规律为树木的高度f(x)(单位：m)与生长年限x(单位：年)满足关系式f(x)＝(x≥0)，树木栽种时的高度为 m，1年后，树木的高度达到 m. (1)求f(x)的解析式； (2)问从栽种之日起，第几年树木生长最快？ 解：(1)由已知得即 所以解得k＝－1，b＝4， 所以f(x)＝(x≥0). (2)令x∈N，g(x)＝f(x＋1)－f(x)＝－＝. 问题化为当x∈N时，求函数g(x)的最大值． 又g(x)＝＝≤＝41(2－). 当且仅当3x＝37－x，即x＝时，上式取等号， 又x∈N，所以g(3)＝g(4)＝， 故从栽种之日起，第4年与第5年树木生长最快． 学科网（北京）股份有限公司 $$