课时梯级训练(41) 用二分法求方程的近似解（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

课时梯级训练(41)　用二分法求方程的近似解 1．关于二分法求方程的近似解，下列说法正确的是(　　) A．二分法求方程的近似解一定可将y＝f(x)在[a，b]内的所有零点得到 B．二分法求方程的近似解有可能得不到y＝f(x)在[a，b]内的零点 C．应用二分法求方程的近似解，y＝f(x)在[a，b]内有可能无零点 D．二分法求方程的近似解可能得到f(x)＝0在[a，b]内的精确解 D　解析：如果函数在某区间满足二分法，且在区间内存在两个及以上的实根，二分法只可能求出其中的一个，故A错误；二分法的实施满足零点存在性定理，在区间内一定存在零点，故B错误；C只要限定了近似解的范围就可以得到方程的近似解，故C错误；二分法求方程的近似解，甚至有可能得到函数的精确零点，故D正确． 2．(多选)下列函数图象与x轴均有交点，其中能用二分法求函数零点近似值的是(　　) ACD　解析：能用二分法求函数零点的函数，在零点的左右两侧的函数值符号相反，图象要经过x轴，B图象不经过x轴．故B错误． 3．用二分法求函数f(x)在(a，b)内的唯一零点时，精确度为0.001，则结束计算的条件是(　　) A．|a－b|<0.1 B．|a－b|<0.001 C．|a－b|>0.001 D．|a－b|＝0.001 B　解析：据二分法的步骤知当区间长度|b－a|小于精确度ε时，便可结束计算． 4．在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算，f(0.64)＜0，f(0.72)＞0，f(0.68)＜0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为(　　) A．0.68 B．0.72 C．0.7 D．0.6 C　解析：已知f(0.64)＜0，f(0.72)＞0，则函数f(x)的零点的初始区间为[0.64，0.72]，又因为(0.64＋0.72)＝0.68，且f(0.68)＜0，所以零点在区间[0.68，0.72]，且该区间的左、右端点精确到0.1所取的近似值都是0.7.因此，0.7就是所求函数的一个正实数零点的近似值． 5．用二分法求函数y＝f(x)在区间[2，4]上零点的近似值，经验证有f(2)·f(4)＜0.取区间的中点x1＝＝3，计算得f(2)·f(x1)＜0，则此时零点x0∈________(填区间). 答案：(2，3)　解析：因为f(2)·f(3)＜0，所以零点在区间(2，3)内． 6．已知图象连续不断的函数y＝f(x)在区间(0，0.1)上有唯一零点，如果用“二分法”求这个零点(精确度为0.01，取端点值为近似解)的近似值，那么应将区间(0，0.1)等分的次数至少为________． 答案：4　解析：设等分的次数为n，由<0.01，得2n>10，故n的最小值为4，即将区间(0，0.1)等分的次数至少为4. 7．用二分法求方程x3＋4＝6x2的一个近似解时，已经将一根锁定在区间(0，1)内，则下一步可断定该根所在的区间为________________． 答案：(，1)　解析：令f(x)＝x3－6x2＋4，则f(0)＝4>0，f(1)＝－1<0，f()＝>0，由f()·f(1)<0知根所在区间为(，1). 8．证明函数f(x)＝2x＋3x－6在区间(1，2)内有唯一零点，并求出这个零点(精确度为0.1). 解：由于f(1)＝－1<0，f(2)＝4>0，又函数f(x)是连续的增函数，所以函数在区间(1，2)内有唯一零点，不妨设为x0，则x0∈(1，2). 下面用二分法求解： 区间 中点的值 中点函数近似值 (1，2) 1.5 1.328 (1，1.5) 1.25 0.128 (1，1.25) 1.125 －0.444 (1.125，1.25) 1.187 5 －0.160 因为f(1.187 5)·f(1.25)＜0，且|1.187 5－1.25|＝0.062 5<0.1，所以函数f(x)＝2x＋3x－6精确度为0.1的零点可取为1.2. 9．从A地到B地的海底电缆有15个接点，现某一个接点发生故障，需及时修理，为了尽快找出故障的发生点，一般最多需要检查多少个接点？ 解：首先检查中间的1个接点，若正常，则可断定故障在其另一侧的7个接点中；然后检查这一段中间的1个接点，若仍正常，则可断定故障在其另一侧的3个接点中；最后只需检查这3个接点中间的1个，即可找出故障所在．故一般最多只需检查3个接点. 10．(2024·崇左高一检测)已知函数f(x)在(10，12)内有一个零点，要使零点的近似值的精确度为0.001，若只从二等分区间的角度来考虑，则对区间(10，12)至少需要二等分(　　) A．8次 B．9次 C．10次 D．11次 D　解析：设对区间(10，12)至少二等分n次，此时区间长度为2，则第n次二等分后区间长为，依题意得＜0.001，所以2n＞2 000，∴n＞log22 000， ∵log21 024＜log22 000＜log2 2 048， ∴log2210＜log22 000＜log2211， ∴10＜log22 000＜11，所以n≥11. 11．(2024·贵港高一检测)用二分法求函数f(x)的零点，函数f(x)的零点总位于区间[an，bn](n∈N)上，当|an－bn|＜m时，函数的零点近似值x0＝与真实零点a的误差最大不超过(　　) A． B． C．m D．2m B　解析：根据题意，函数的零点总位于区间[an，bn](n∈N)上，即a∈[an，bn]，零点近似值x0＝， 若a∈[an，]，则|x0－a|＝|－a|≤|－an|＝||＝，即有|x0－a|≤； 同理当a∈[，bn]时，也有|x0－a|≤； 综合可得，|x0－a|≤，函数的零点近似值x0＝与真实零点a的误差最大不超过. 12．(2024·毕节高一期末)张遂(僧一行，公元673－727年)，中国唐代著名的天文学家．他发明了一种内插法近似计算原理，广泛应用于现代建设工程费用估算．近似计算公式如下：f(x)≈f(x1)＋(x－x1)，其中[x1，x2]为计费额的区间，f(x1)，f(x2)为对应于x1，x2的收费基价，x为该区间内的插入值，f(x)为对应于x的收费基价．如下表所示，则m的值估计为(　　) 计费额x(单位：万元) 500 700 1 000 收费基价f(x)(单位：万元) 16.5 m 30.1 A.18.53 B．19.22 C．21.94 D．28.22 C　解析：由题意得，x＝700∈[500，1 000]，其中x1＝500，x2＝1 000，f(x1)＝16.5，f(x2)＝30.1， m＝f(700)≈16.5＋×(700－500)＝21.94. 13．(2024·柳州高一检测)已知函数f(x)＝2x2－8x＋m＋3为R上的连续函数． (1)若函数f(x)在区间[－1，1]上存在零点，求实数m的取值范围； (2)若m＝－4，判断f(x)在(－1，1)上是否存在零点？若存在，请在误差不超过0.1的条件下，用二分法求出这个零点所在的区间；若不存在，请说明理由． 解：(1)∵f(x)＝2x2－8x＋m＋3为二次函数，开口向上，对称轴为x＝2， 可知函数f(x)在区间[－1，1]上单调递减， ∵f(x)在区间[－1，1]上存在零点，∴ 即解得－13≤m≤3， ∴实数m的取值范围是[－13，3]. (2)当m＝－4时，f(x)＝2x2－8x－1为二次函数，开口向上，对称轴为x＝2， 所以f(x)在区间(－1，1)上单调递减， ∴f(－1)＝9，f(1)＝－7，则f(－1)·f(1)＜0， ∴函数f(x)在(－1，1)上存在唯一零点x0， 又f(x)为R上的连续函数， ∵f(0)＝－1＜0，∴f(－1)·f(0)＜0， ∴x0∈(－1，0)， ∵f(－)＝＞0，∴f(－)·f(0)＜0， ∴x0∈(－，0)， ∵f(－)＝＞0，∴f(－)·f(0)＜0， ∴x0∈(－，0)， ∵f(－)＝＞0，∴f(－)·f(0)＜0， ∴x0∈(－，0). ∵f(－)＝－＜0，∴f(－)·f(－)＜0， ∴x0∈(－，－). 此时误差为|－－(－)|＝＜0.1，即满足误差不超过0.1， ∴零点所在的区间为(－，－). 14．已知函数f(x)＝ln x＋2x－6. (1)证明：f(x)有且只有一个零点； (2)求这个零点所在的一个区间，使这个区间的长度不大于. (1)证明：令x1>x2>0，则f(x1)－f(x2)＝ln ＋2(x1－x2)，且>1，x1－x2>0，∴f(x1)>f(x2)， 即f(x)＝ln x＋2x－6在(0，＋∞)上是增函数， ∴f(x)至多有一个零点．又f(2)＝ln 2－2<0，f(3)＝ln 3>0， ∴f(2)·f(3)<0，即f(x)在(2，3)内有一个零点． ∴f(x)在(0，＋∞)上只有一个零点． (2)解：∵f(2)<0，f(3)>0，取x1＝＝， 则f()＝ln －1<0， ∴f(3)f()<0，即f(x)的零点x0∈(，3). 取x2＝＝，则f()＝ln －>0. ∴f()f()<0. ∴f(x)的零点在(，)内，又|－|＝≤， ∴满足题意的区间为(，). 学科网（北京）股份有限公司 $$