课时梯级训练(38) 不同函数增长的差异（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

课时梯级训练(38)　不同函数增长的差异 1．如表是函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型是(　　) x 4 5 6 7 8 9 10 y 15 17 19 21 23 25 27 A．一次函数模型 B．二次函数模型 C．指数函数模型 D．对数函数模型 A　解析：自变量每增加1函数值增加2，函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型．故选A. 2．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致是(　　) D　解析：设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意，ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)，∴y＝f(x)的图象大致为D中图象． 3．某地区植被被破坏，土地沙漠化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y(单位：万公顷)关于年数x(单位：年)的函数关系较为近似的是(　　) A．y＝0.2x B．y＝(x2＋2x) C．y＝ D．y＝0.2＋log16x C　解析：将x＝1，2，3，y＝0.2，0.4，0.76分别代入验算，可得C选项中的函数关系较为近似． 4．某校拟用一种喷雾剂对宿舍进行消毒，需对喷雾完毕后，空气中每立方米药物残留量y (单位：mg)与时间x(单位：时)的关系进行研究，为此收集部分数据并做了初步处理，得到如下散点图．现拟从下列四个函数模型中选择一个估计y与x的关系，则应选用的函数模型是(　　) A．y＝ax＋b B．y＝a·＋b C．y＝xa＋b(a>0) D．y＝ax＋(a>0，b>0) B　解析：由散点图可知，函数在(0，＋∞)上单调递减，且散点分布在一条曲线附近， 函数y＝ax＋b的图象为一条直线，不符合题意； 函数y＝a·＋b的图象为一条曲线，且当a>0时，该函数单调递减； 函数y＝xa＋b(a>0)在区间(0，＋∞)上单调递增，不符合题意； 由双勾函数的单调性可知，函数y＝ax＋(a>0，b>0)在区间上单调递减，在区间上单调递增，不符合题意．故选B. 5．在固定电压差(电压为常数)的前提下，当电流通过圆柱形的电线时，其电流强度I(单位：安)与电线半径r(单位：毫米)的三次方成正比，若已知电流通过半径为4毫米的电线时，电流强度为320安，则电流通过半径为3毫米的电线时，电流强度为(　　) A．60安 B．240安 C．75安 D．135安 D　解析：由已知，设比例常数为k，则I＝k·r3.由题意，当r＝4时，I＝320，故有320＝k×43，解得k＝＝5，所以I＝5r3.故当r＝3时，I＝5×33＝135(安)，故选D. 6．现测得(x，y)的两组对应值分别为(1，2)，(2，5)，现有两个待选模型，甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1，若又测得(x，y)的一组对应值为(3，10.2)，则应选用________作为函数模型． 答案：甲　解析：将x＝3分别代入y＝x2＋1及y＝3x－1，得y＝32＋1＝10，y＝3×3－1＝8.由于10更接近10.2，所以选用甲模型． 7．某地发生地震后，地震专家对该地区发生的余震进行了监测，记录的部分数据如下表： 地震强度(J) 1.6×1019 3.2×1019 4.5×1019 6.4×1019 震级(里氏) 5.0 5.2 5.3 5.4 注：地震强度是指地震时释放的能量．地震强度(x)和震级(y)的模拟函数关系可以选用y＝a lg x＋b(其中a，b为常数).利用散点图可知a的值等于________.(参考数据：lg 2≈0.3) 答案：　解析：由模拟函数及散点图得两式相减得a(lg 3.2－lg 1.6)＝0.2，即a lg 2＝0.2，解得a≈. 8．某人对东北一种松树的生长进行了研究，收集了其高度h(单位：m)与生长时间t(单位：年)的相关数据，选择h＝mt＋b与h＝loga(t＋1)来拟合h与t的关系，你认为哪个符合？并预测第8年的松树高度． t(年) 1 2 3 4 5 6 h(m) 0.6 1 1.3 1.5 1.6 1.7 解：在坐标轴上标出t(年)与h(m)之间的关系如图所示． 由图象可以看出增长的速度越来越慢，用一次函数模型拟合不合适，则选用对数函数模型比较合理． 不妨将(2，1)代入h＝loga(t＋1)中，得1＝loga3，解得a＝3. 故可用函数h＝log3(t＋1)来拟合这个实际问题． 当t＝8时，求得h＝log3(8＋1)＝2，故可预测第8年松树的高度为2 m． 9．某国2020年至2023年国内生产总值(单位：万亿元)如下表所示： 年份 2020 2021 2022 2023 x(年份代码) 0 1 2 3 生产总值y (万亿元) 8.206 7 8.944 2 9.593 3 10.239 8 (1)画出函数图象，猜想y与x之间的函数关系，近似地写出一个函数关系式； (2)利用得出的关系式求生产总值，与表中实际生产总值比较； (3)利用关系式预测2034年该国的国内生产总值． 解：(1)画出函数图象，如图所示． 从函数的图象可以看出，画出的点近似地落在一条直线上，设所求的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0). 联立解得k＝0.677 7，b＝8.206 7. ∴函数关系式为y＝0.677 7x＋8.206 7. (2)由得到的函数关系式计算出2021年和2022年的国内生产总值分别为0.677 7×1＋8.206 7＝8.884 4(万亿元)， 0．677 7×2＋8.206 7＝9.562 1(万亿元). 与实际的生产总值相比，误差不超过0.1万亿元． (3)2034年，即x＝14时，由(1)得y＝0.677 7×14＋8.206 7＝17.694 5， 即预测2034年该国的国内生产总值约为17.694 5万亿元． 10．下列函数图象中，估计有可能用函数y＝a＋b lg x(b>0)来模拟的是(　　) C　解析：由于函数y＝lg x在定义域内单调递增，且是上凸的，又b>0，所以当x>0时，y＝a＋b lg x(b>0)的图象是单调递增且上凸的． 11．今有一组实验数据如下： t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12 v 1.5 4.04 7.5 12 18.1 现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是(　　) A．v＝log2t B．v＝logt C．v＝ D．v＝2t－2 C　解析：对于选项A：当x＝4时，v＝log24＝2，与7.5相差较多，故选项A不正确；对于选项B：当x＝4时，v＝log4＝－2，与7.5相差较多，故选项B不正确；对于选项C：当x＝4时，v＝＝7.5，故选项C正确；对于选项D：当x＝4时，v＝2t－2＝2×4－2＝6，与7.5相差较多，故选项D不正确． 12．如图是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的剩留量y与净化时间t(月)的近似函数关系：y＝at(t≥0，a＞0且a≠1)的图象． 有以下叙述： ①第4个月时，剩留量就会低于； ②每月减少的有害物质质量都相等； ③若剩留量为，，时，所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3. 其中所有正确叙述的是__________．(填序号) 答案：①③　解析：根据题意，函数的图象经过点(2，)，故函数解析式为y＝()t，当t＝4时，y＝＜，故①正确；当t＝1时，y＝，减少了，当t＝2时，y＝，减少了，每月减少的有害物质质量不相等，故②不正确；分别令y＝，，，解得t1＝log ，t2＝log ，t3＝log ，则t1＋t2＝t3，故③正确． 13．某跨国饮料公司在对全世界所有人均GDP(即人均纯收入)在0.5～8千美元的地区销售该公司A饮料的情况调查时发现：该饮料在人均GDP处于中等的地区销售量最多，然后向两边递减． (1)下列几个模拟函数：①y＝ax2＋bx；②y＝kx＋b；③y＝logax＋b；④y＝ax＋b(x表示人均GDP，单位：千美元，y表示年人均A饮料的销售量，单位：L).用哪个模拟函数来描述人均A饮料销售量与地区的人均GDP关系更合适？说明理由； (2)若人均GDP为1千美元时，年人均A饮料的销售量为2 L，人均GDP为4千美元时，年人均A饮料的销售量为5 L，把(1)中你所选的模拟函数求出来，并求出各个地区年人均A饮料的销售量最多是多少． 解：(1)用①来模拟比较合适．因为该饮料在人均GDP处于中等的地区销售量最多， 然后向两边递减，而②③④表示的函数均是单调函数，所以②③④都不合适， 故用①来模拟比较合适． (2)因为人均GDP为1千美元时，年人均A饮料的销售量为2 L， 人均GDP为4千美元时，年人均A饮料的销售量为5 L，所以把x＝1，y＝2； x＝4，y＝5分别代入y＝ax2＋bx中，得 解得所以函数的解析式为y＝－x2＋x(x∈[0.5，8]). 因为y＝－x2＋x＝－(x－)2＋， 所以当x＝时，年人均A饮料的销售量最多，最多是 L． 14．近年来，我国在航天领域取得了巨大成就，得益于我国先进的运载火箭技术．据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式v＝v0ln 计算火箭的最大速度v m/s，其中v0 m/s是喷流相对速度，m kg是火箭(除推进剂外)的质量，M kg是推进剂与火箭质量的总和，称为“总质比”．已知A型火箭的喷流相对速度为2 000 m/s. (1)当总质比为410时，利用给出的参考数据求A型火箭的最大速度； (2)经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的1.5倍，总质比变为原来的，若要使火箭的最大速度至少增加1 000 m/s，求在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值． 参考数据：ln 410≈6，e≈2.718. 解：(1)当总质比为410时，v＝2 000ln 410. 由参考数据得v≈2 000×6＝12 000 m/s， ∴当总质比为410时，A型火箭的最大速度约为12 000 m/s. (2)由题意，经过材料更新和技术改进后， A型火箭的喷流相对速度为3 000 m/s，总质比变为. 要使火箭的最大速度至少增加1 000 m/s， 则需3 000 ln －2 000 ln ≥1 000. 化简，得3ln －2ln ≥1. ∴ln ()3－ln ()2≥1，整理得ln ≥1. ∴≥e，则≥125×e≈125×2.718≈340. ∴材料更新和技术改进前总质比的最小整数值为340. 学科网（北京）股份有限公司 $$