课时梯级训练(37) 对数函数的图象和性质(二)（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

课时梯级训练(37)　对数函数的图象和性质(二) 1．已知函数f(x)＝log2x，若函数g(x)是f(x)的反函数，则f(g(2))等于(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 B　解析：∵g(x)是f(x)的反函数，且f(x)＝log2x，∴g(x)＝2x，∴g(2)＝22＝4，则f(g(2))＝f(4)＝log24＝2. 2．设f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝log2x，则当x<0时，f(x)的解析式为(　　) A．f(x)＝－log2x B．f(x)＝log2(－x) C．f(x)＝－log2(－x) D．f(x)＝logx2 C　解析：当x<0时，－x>0，f(－x)＝log2(－x).又因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)＝－f(－x)，所以f(x)＝－log2(－x). 3．(2024·武汉高一上学期期末)已知f(x)＝在R上是减函数，那么a的取值范围为(　　) A．(0，1) B． C． D． D　解析：因为f(x)＝在R上是减函数， 所以解得 即a∈. 4．设a>1，函数f(x)＝logax在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为，则a＝________． 答案：4　解析：∵a>1，∴f(x)＝logax在[a，2a]上单调递增，∴loga(2a)－logaa＝，即loga2＝， ∴a＝2，即a＝4. 5．已知f(x)＝log3x的值域是[－1，1]，那么它的反函数的值域为________． 答案：[，3]　解析：∵－1≤log3x≤1，∴log3≤log3x≤log33， ∴≤x≤3.∴f(x)＝log3x的定义域是[，3]， ∴f(x)＝log3x的反函数的值域是[，3]. 6．设0<a<1，函数f(x)＝loga(2ax－2)，则使得f(x)<0的x的取值范围为________． 答案：(－∞，loga)　解析：由于y＝logax(0<a<1)在(0，＋∞)上为减函数，且f(x)<0，所以2ax－2>1，即ax>.由0<a<1，可得x<loga. 7．已知函数y＝(log2x－2)(log4x－)，2≤x≤8. (1)令t＝log2x，求y关于t的函数关系式，并写出t的取值范围； (2)求该函数的值域． 解：(1)y＝(log2x－2)(log4x－)＝(log2x－2)·(log2x－)，令t＝log2x，得y＝(t－2)(t－1)＝t2－t＋1， 又2≤x≤8，∴1＝log22≤log2x≤log28＝3，即1≤t≤3. (2)由(1)得y＝(t－)2－，1≤t≤3， 当t＝时，ymin＝－； 当t＝3时，ymax＝1，∴－≤y≤1， 即函数的值域为[－，1]. 8．(多选)(2024·南宁高一期中)已知函数f(x)＝loga(x2－6x＋5)，则(　　) A．当a>1时，f(x)的单调递减区间为(－∞，3] B．当0<a<1时，f(x)的单调递减区间为(5，＋∞) C．当a>1时，f(x)的值域为R D．当0<a<1时，f(x)的值域为(－∞，0) BC　解析：令x2－6x＋5>0，解得x<1或x>5， 故f(x)的定义域为(－∞，1)∪(5，＋∞). 因为函数y＝x2－6x＋5在(－∞，1)上单调递减，在(5，＋∞)上单调递增， 由复合函数的单调性可知： 当a>1时，f(x)的单调递减区间为(－∞，1)，f(x)的值域为R； 当0<a<1时，f(x)的单调递减区间为(5，＋∞)，f(x)的值域为R. 9．(2024·广州九区联考高一期末)函数f(x)＝loga(x＋1)＋loga(1－x)，若f(x)max－f(x)min＝1，则a的值为(　　) A．4 B．4或 C．2或 D．2 C　解析：由题意得f(x)＝loga(x＋1)＋loga(1－x)＝loga(1－x2)，x∈， 令t＝1－x2，则t∈， 则函数f(x)＝loga(1－x2)，即为g(t)＝logat， 当a>1时，g(t)＝logat在上单调递增，由f(x)max－f(x)min＝1可得， loga1－loga＝1，所以a＝2； 当0<a<1时，g(t)＝logat在上单调递减，由f(x)max－f(x)min＝1可得， loga－loga1＝1，所以a＝； 故a的值为2或. 10．设f(x)＝则f(x)的值域为______，f(x)≤的解集为________________． 答案：(－∞，2)　(－∞，－1]∪[1，＋∞)　解析：当x≥1时，f(x)＝logx≤log1＝0.当x＜1时，f(x)＝2x∈(0，2)，故函数f(x)的值域为(－∞，2).当x≥1时，由f(x)≤，得x≥1；当x＜1时，由f(x)≤，得x≤－1，故f(x)≤的解集为(－∞，－1]∪[1，＋∞). 11．(2024·防城港高一检测)若函数f(x)＝log(a2－1)(2x＋1)在(－，0)上恒有f(x)>0，则实数a的取值范围是________． 答案：(－，－1)∪(1，)　解析：因为x∈(－，0)， 则有2x＋1∈(0，1)，且log(a2－1)(2x＋1)>0， 所以0<a2－1<1，解得－<a<－1或1<a<， 所以实数a的取值范围是(－，－1)∪(1，). 12．(2024·玉林高一期末)已知函数f(x)＝log3(x＋4)－log3(－x＋4). (1)求f(x)的定义域； (2)判断函数f(x)的奇偶性并予以证明； (3)求不等式f(x)>1的解集． 解：(1)由解得－4<x<4，所以函数f(x)的定义域为(－4，4) . (2)函数f(x)是奇函数 证明如下：f(x)定义域为(－4，4)关于原点对称． 因为f(－x)＝log3(－x＋4)－log3(x＋4)＝－f(x)， 所以函数f(x)是奇函数． (3)由题意f(x)＝log3()， 当f(x)>1时，解得2＜x＜4， 所以所求不等式的解集是(2，4). 13．已知函数f(x)＝log的图象关于原点对称，其中a为常数． (1)求a的值； (2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋log(x－1)<m恒成立，求实数m的取值范围． 解：(1)∵函数f(x)的图象关于原点对称， ∴函数f(x)的定义域关于原点对称， ∵>0，∴(x－1)(1－ax)>0， 令(x－1)(1－ax)＝0，得x1＝1，x2＝， ∴＝－1，a＝－1， 经验证，a＝－1满足题意． (2)∵f(x)＋log(x－1)＝log＋log(x－1)＝log(1＋x)， ∴当x>1时，log(1＋x)<－1， 又当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋log(x－1)<m恒成立， ∴m≥－1，即实数m的取值范围是[－1，＋∞). 学科网（北京）股份有限公司 $$