课时梯级训练(34) 换底公式（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

课时梯级训练(34)　换底公式 1．log52·log425＝(　　) A．－1 B． C．1 D．2 C　解析：log52·log425＝×＝×＝1. 2．已知2x＝3y＝k，且＋＝1，则k的值为(　　) A．6 B． C．2 D．3 A　解析：∵2x＝3y＝k，∴x＝log2k，y＝log3k，∴＝logk2，＝logk3，∴1＝＋＝logk2＋logk3＝logk6，∴k＝6，故选A. 3．若log5·log36·log6x＝2，则x等于(　　) A．9 B． C．25 D． D　解析：原式＝××＝＝2， ∴－lg x＝2lg 5＝lg 52＝lg 25，∴x＝. 4．(多选)(2024·朔州第一中学高一期末)已知2loga＋log3b＝0，则下列等式正确的是(　　) A．b＝a2 B．a·eln a＝b2 C．log2a＝log8(ab) D．(2a)2＝2b AC　解析：对于A项，因为2loga＋log3b＝log3a－2＋log3b＝log3(a－2b)＝0(a>0，b>0)，所以a－2b＝1，即b＝a2，故A项正确； 对于B项，由A项知，b＝a2(a>0)，所以a·eln a＝a·a＝a2＝b，故B项错误； 对于C项，由A项知，b＝a2(a>0)，所以log8(ab)＝log23a3＝log2a，故C项正确； 对于D项，由A项知，2b＝2a2，又(2a)2＝22a，所以22a＝2a2不一定成立，故D项错误． 5．计算：log2·log3·log5＝______________________________________________. 答案：－12　解析：原式＝··＝ ＝－12. 6．若mlog35＝1，n＝5m＋5－m，则n的值为________． 答案：　解析：∵mlog35＝1，∴m＝＝log53， ∴n＝5m＋5－m＝5log53＋5－log53＝3＋5log5＝3＋＝. 7．已知f(x)＝kx＋－4(k∈R)，f(lg 2)＝0，则f(lg )＝__________．　 答案：－8　解析：f(lg 2)＝k lg 2＋－4＝0，∴k＝＝，f(lg )＝·(－lg 2)－－4＝－8. 8．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v(单位：m/s)和燃料的质量M(单位：kg)，火箭(除燃料外)的质量m(单位：kg)满足ev＝(1＋)2 000(e为自然对数的底数).当燃料质量M为火箭(除燃料外)质量m的两倍时，求火箭的最大速度(单位：m/s).(参考数据：ln 3≈1.099) 解：因为v＝ln (1＋)2 000＝2 000ln (1＋)， 所以v＝2 000 ln 3≈2 000×1.099＝2 198(m/s). 故当燃料质量M为火箭(除燃料外)质量m的两倍时，火箭的最大速度为2 198 m/s. 9．(2024·泰安高一检测)用计算器计算：log23×log32，log0.46×log60.4.根据计算结果写出一个一般性结论，并证明． 解：log23×log32＝1，log0.46×log60.4＝1， 结论logab·logba＝1， 证明如下：设c>0且c≠1， 由换底公式得：logab·logba＝·＝1. 10.＋等于(　　) A．lg 3 B．－lg 3 C． D．－ C　解析：原式＝log＋log＝log＋log＝log＝log310＝. 11．(2024·龙东五校高一期末)2023年2月27日，湖北十堰学堂梁子遗址入围2022年度全国十大考古新发现终评项目．该遗址先后发现石制品300多件，已知石制品化石样本中碳14的质量N随时间t(单位：年)的衰变规律满足N＝N0(N0表示碳14原有的质量).经过测定，学堂梁子遗址中某件石制品化石样本中的碳14质量约是原来的，据此推测该石制品生产的时间距今约(参考数据：ln 2≈0.69，ln 5≈1.61)(　　) A．9 560年 B．9 550年 C．8 370年 D．8 230年 B　解析：由题意，N0＝N0，即＝，所以ln ＝ln ， 所以t＝＝＝5 730×≈9 550. 12．(2024·百色高一期末)已知S市某所新建高中2022年的绿化面积为a m2，若该校绿化面积的年平均增长率为50%，则到________年(用整数年份表示)，该校的绿化面积约是5a m2.(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477) 答案：2 026　解析：设经过n年后，该校的绿化面积约是5a m2， 则由已知得a(1＋50%)n≈5a，n∈N*，即()n≈5，n∈N*， 两边取对数得n≈log5＝＝≈＝≈4，所以2 022＋4＝2 026. 13．(2024·汕头潮阳区高一期末)记A＝1×2×3×…×2 024，那么＋＋＋…＋＝________． 答案：1　解析：＋＋＋…＋ ＝logA2＋logA3＋logA4＋…＋logA2 024 ＝logA＝logAA＝1. 14．已知logax＋3logxa－logxy＝3(a>1)，若设x＝at，试用含a，t的式子表示y. 解：由换底公式，得logax＋－＝3(a>1)， 所以logay＝(logax)2－3logax＋3. 当x＝at时，logax＝logaat＝t， 所以logay＝t2－3t＋3.所以y＝at2－3t＋3(t≠0). 15．若a，b是方程2(lg x)2－lg x4＋1＝0的两个实根，求lg (ab)·(logab＋logba)的值． 解：原方程可化为2(lg x)2－4lg x＋1＝0， 设t＝lg x，则原方程化为2t2－4t＋1＝0， 所以t1＋t2＝2，t1·t2＝. 又因为a，b是方程2(lg x)2－lg x4＋1＝0的两个实根， 所以t1＝lg a，t2＝lg b，即lg a＋lg b＝2，lg a·lg b＝. 所以lg (ab)·(logab＋logba)＝(lg a＋lg b)·(＋)＝(lg a＋lg b)·＝(lg a＋lg b)·＝2×＝12， 即lg (ab)·(logab＋logba)＝12. 学科网（北京）股份有限公司 $$