课时梯级训练(15) 二次函数与一元二次方程、不等式（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

课时梯级训练(15)　二次函数与一元二次方程、不等式 1．下列四个不等式： ①－x2＋x＋1≥0；②x2－2x＋>0；③x2＋6x＋10>0；④2x2－3x＋4<1.其中解集为R的是(　　) A．① B．② C．③ D．④ C　解析：①的图象开口向下，显然不可能；②中Δ＝(－2)2－4×>0，解集不为R；③中Δ＝62－4×10<0，满足条件；④中不等式可化为2x2－3x＋3<0，所对应的二次函数开口向上，显然不可能．故选C. 2．(2024·柳州高一检测)不等式x(x＋1)<2的解集是(　　) A．{x|－1<x<2} B．{x|－2<x<1} C．{x|x<－1或x>2} D．{x|x<－2或x>1} B　解析：由x(x＋1)<2，解得－2<x<1，即原不等式的解集为{x|－2<x<1}．故选B. 3．已知集合A＝{x|x2－16<0}，B＝{x|x2－4x＋3>0}，则A∪B等于(　　) A．{x|x<1} B．{x|3<x<4} C．{x|1<x<3} D．R D　解析：由题得A＝{x|－4<x<4} ，B＝{x|x>3 或 x<1}，所以A∪B ＝R. 故选D. 4．(2024·武汉部分学校高一期中)已知关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0恰有四个整数解，则实数a的取值范围是(　　) A．{a|5＜a≤6} B．{a|－4≤a＜－3} C．{a|－4≤a＜－3或5＜a≤6} D．{a|－4＜a≤－3或5≤a＜6} C　解析：不等式x2－(a＋1)x＋a<0，可化为(x－a)(x－1)<0， 当a＝1时，不等式x2－(a＋1)x＋a<0的解集为空集，不合题意； 当a>1时，不等式x2－(a＋1)x＋a<0的解集为(1，a)， 要使不等式x2－(a＋1)x＋a<0恰有四个整数解，则5<a≤6； 当a<1时，不等式x2－(a＋1)x＋a<0的解集为(a，1)， 要使不等式x2－(a＋1)x＋a<0恰有四个整数解，则－4≤a<－3，综上可得，实数a的取值范围是{a|－4≤a＜－3或5＜a≤6}． 5．不等式x2－2x－6<0 的解集为_________________________________________． 答案：{x|－＜x＜3}　解析：x2－2x－6<0 可化为(x－3)(x＋)<0，故解集为{x|－＜x＜3}． 6．解下列不等式： (1)2x2＋7x＋3>0； (2)－4x2＋18x－≥0; (3)－2x2＋3x－2<0； (4)－x2＋3x－5>0. 解：(1)因为Δ＝72－4×2×3＝25>0，所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不等实根x1＝－3，x2＝－. 又二次函数y＝2x2＋7x＋3的图象开口向上， 所以原不等式的解集为{x|x<－3或x>－}． (2)原不等式可化为(2x－)2≤0， 所以原不等式的解集为. (3)原不等式可化为2x2－3x＋2>0， 因为Δ＝9－4×2×2＝－7<0， 所以方程2x2－3x＋2＝0无实根， 又二次函数y＝2x2－3x＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R. (4)原不等式可化为x2－6x＋10<0，Δ＝(－6)2－40＝－4<0，所以方程x2－6x＋10＝0无实根，又二次函数y＝x2－6x＋10的图象开口向上，所以原不等式的解集为∅. 7．已知关于x的不等式x2－5x＋c<0的解集为{x|2<x<3}． (1)求c的值； (2)解关于x的不等式x2＋(c＋2)x＋2c≥0. 解：(1)因为不等式x2－5x＋c<0的解集为{x|2<x<3}， 所以c＝2×3＝6. (2)当c＝6时，不等式为x2＋8x＋12≥0，(x＋6)·(x＋2)≥0， 其对应方程的两个实数根分别是x1＝－6，x2＝－2， 所以不等式的解集是{x|x≥－2或x≤－6}． 8．(2024·百色高一检测)若t>1，则关于x的不等式(t－x)(x－)>0的解集是(　　) A． B． C． D． A　解析：因为t－＝，因为t>1， 所以t－>0，所以t>. 原不等式(t－x)(x－)>0，则(x－t)·(x－)<0，解得<x<t. 所以不等式(t－x)(x－)>0的解集为. 9．(多选)若不等式ax2－bx＋c>0的解集是{x|－1<x<2}，则下列选项正确的是(　　) A．b<0且c>0 B．a－b＋c>0 C．a＋b＋c>0 D．不等式ax2＋bx＋c>0的解集是{x|－2<x<1} ABD　解析：对于A，a<0，－1，2是方程ax2－bx＋c＝0的两个根，所以－1＋2＝1＝，－1×2＝，所以b＝a，c＝－2a，所以b<0，c>0，所以A正确；对于B，令y＝ax2－bx＋c，由题意可知当x＝1时不等式成立，a－b＋c>0，所以B正确；对于C，当x＝－1时ax2－bx＋c＝0，a＋b＋c＝0，所以C错误；对于D，由题得ax2＋ax－2a>0，因为a<0，所以x2＋x－2<0，所以－2<x<1，所以不等式ax2＋bx＋c>0的解集是{x|－2<x<1}，所以D正确． 10．关于x的不等式(mx－1)(x－2)>0，若此不等式的解集为，则m的取值范围是________________________________________________________________________． 答案：{m|m<0}　解析：由题意知m<0，∵不等式(mx－1)(x－2)>0的解集为，∴方程(mx－1)(x－2)＝0的两个实数根为和2，且解得m<0，∴m的取值范围是{m|m<0}． 11．已知不等式x2－2x－3<0的解集为A，不等式x2＋x－6<0的解集为B. (1)求A∩B； (2)若不等式x2＋ax＋b<0的解集为A∩B，求不等式ax2＋x＋b<0的解集． 解：(1)由x2－2x－3<0，得－1<x<3，∴A＝{x|－1<x<3}．由x2＋x－6<0，得－3<x<2， ∴B＝{x|－3<x<2}， ∴A∩B＝{x|－1<x<2}． (2)由题意，得 解得 ∴不等式为－x2＋x－2<0，∴x2－x＋2>0. ∵Δ＝1－8<0，且图象开口向上， ∴不等式x2－x＋2>0的解集为R. 12．解集为{x|x≤1－或x≥1＋}的一个一元二次不等式为________． 答案：x2－2x－1≥0(答案不唯一)　解析：设满足题意的一元二次不等式为ax2＋bx＋c≥0(a>0)，因为不等式的解集为{x|x≤1－或x≥1＋}，所以方程ax2＋bx＋c＝0的两根分别为1－，1＋，所以即令a＝1，则b＝－2，c＝－1，故满足题意的一个不等式为x2－2x－1≥0(答案不唯一). 学科网（北京）股份有限公司 $$