课时梯级训练(13) 基本不等式的应用（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

课时梯级训练(13)　基本不等式的应用 1．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2，形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是(参考数据：≈1.414)(　　) A．6.5 m B．6.8 m C．7 m D．7.2 m C　解析：设两直角边分别为a，b，直角三角形的框架的周长为l，则ab＝2，∴ab＝4，l＝a＋b＋≥2＋＝4＋2≈6.828(m)(当且仅当a＝b时，等号成立). 因为要求够用且浪费最少，故选C. 2．某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比．如果在距离车站10 km处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站(　　) A．5 km处 B．4 km处 C．3 km处 D．2 km处 A　解析：设仓库建在离车站x km处，则土地费用y1＝(k1≠0)，运输费用y2＝k2x(k2≠0)，把x＝10，y1＝2代入得k1＝20，把x＝10，y2＝8代入得k2＝，故总费用y＝＋x≥2＝8，当且仅当＝x，即x＝5时等号成立． 3．气象学院用32万元买了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启动的第一天开始连续使用，第n天的维修保养费为(4n＋46)(n∈N*)元，使用它直至“报废最合算”(所谓“报废最合算”是指使用的这台仪器平均每天的耗资最少)为止，则一共使用了(　　) A．300天 B．400天 C．600天 D．800天 B　解析：设一共使用了n天，n天维修费共＝2n2＋48n，则使用n天的平均耗资为＋2n＋48，当且仅当＝2n时，取得最小值，此时n＝400. 4．港珠澳大桥通车后，经常往来于珠、港、澳三地的刘先生采用自驾出行．由于燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案：每次均加30升的燃油；第二种方案：每次加200元的燃油，则下列说法正确的是(　　) A．采用第一种方案划算 B．采用第二种方案划算 C．两种方案一样 D．无法确定 B　解析：任取其中两次加油，假设第一次的油价为m元/升，第二次的油价为n元/升．第一种方案的均价为＝≥；第二种方案的均价为＝≤.当且仅当m＝n时，等号成立．≥，所以无论油价如何变化，第二种方案都更划算． 5．(2024·太原高一期中)将基本不等式≤(a>0，b>0)推广可得正确结论≤(a>0，b>0，c>0)，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．利用此结论解决问题：已知一个矩形的周长为18 cm，将矩形围绕其一边旋转形成一个圆柱，当矩形的长是________cm时，旋转形成的圆柱体积最大，其最大值是________cm3. 答案：6　108π　解析：设矩形的两边分别为x，y，则x＋y＝9，x>0，y>0， 设以长度为x的边长为圆柱的高， 则所围成圆柱的体积V＝πxy2＝4π·x··≤4π·＝108π， 当且仅当x＝，即y＝6，x＝3时，等号成立． 6．(2024·浙江强基联盟高一月考)在中国，周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例，其中“弦”指的是直角三角形的斜边．现将两个全等的直角三角形拼接成一个矩形，若其中一个三角形“弦”的长度为4，则该矩形周长的最大值为 ________． 答案：8　解析：设直角三角形的两条直角边长分别为a，b， 则a2＋b2＝42＝16，a，b>0，矩形周长为2(a＋b)， (a＋b)2＝a2＋b2＋2ab≤a2＋b2＋a2＋b2＝2(a2＋b2)＝32， 故a＋b≤4，当且仅当a＝b＝2时等号成立， 故周长的最大值为8. 7．(2024·玉林高一检测)据预测，某旅游区游客人数在500至1 300之间，游客人数x人与游客的消费总额y元之间近似的满足关系式：y＝－x2＋2.4×103x－106，若该景区游客的人数为多少时，游客的人均消费最高，并求游客的人均最高消费额． 解：设游客的人均消费额为y，由y＝－x2＋2.4×103x－106，可得：y＝＝－(x＋)＋2 400≤－2＋2 400＝400， 当且仅当x＝1 000时，游客的人均消费最高，游客的人均最高消费额为400元． 8．某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？ 解：设该厂每隔x天购买一次面粉，其购买量为6x吨． 由题意可知，面粉的保管及其他费用为9x(x＋1). 设平均每天所支付的总费用为y1元， 则y1＝[9x(x＋1)＋900]＋6×1 800＝9x＋＋10 809≥2＋10 809＝10 989， 当且仅当9x＝，即x＝10时，等号成立． 所以该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少． 9．(2024·贺州高一检测)某学校拟建一块周长为400 m的操场如图所示，操场的两头是半圆形，中间区域是矩形，学生做操一般安排在矩形区域，为了能让学生的做操区域尽可能大，试问如何设计矩形的长和宽？(精确到0.1 m，取π≈3.14) 解：设矩形的长为x m，宽即半圆的直径为d m，矩形的面积为S m2. 由题意得2x＋πd＝400 m. ∴S＝x·d＝·(2x·πd)≤()2＝， 当且仅当2x＝πd且2x＋πd＝400，即2x＝πd＝200时等号成立．∴当矩形的长为100 m，宽为≈63.7 m时，矩形的面积最大． 10．(2024·百色高一检测)已知a>0，b>0. (1)若b＝6－，求的最大值； (2)若a2＋9b2＋2ab＝a2b2，证明：ab≥8. (1)解：因为b＝6－，所以b＋＝6. ＝×b≤()2＝9， 当且仅当b＝，a＝，b＝3时，等号成立， 故的最大值为9. (2)证明：因为a2＋9b2＋2ab≥2＋2ab＝8ab， 所以a2b2≥8ab，又a>0，b>0，解得ab≥8， 当且仅当a＝2，b＝时，等号成立．故ab≥8. 11．某单位在国家科研部门的支持下，能够把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的二氧化碳处理量最少为400 t，最多为600 t，月处理成本y(元)与月处理量x(t)之间的函数关系可近似地表示为y＝x2－200x＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元． (1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ (2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？ 解：(1)由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为＝x＋－200≥2－200＝200，当且仅当x＝，即x＝400时等号成立， 故该单位每月处理量为400 t时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为每吨200元． (2)不获利．设该单位每月获利为S元，则S＝100x－y＝100x－(x2－200x＋80 000)＝－x2＋300x－80 000＝－(x－300)2－35 000， 因为x∈[400，600]，所以S∈[－80 000，－40 000]. 故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴40 000元才能不亏损． 学科网（北京）股份有限公司 $$