课时梯级训练(12) 基本不等式（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

课时梯级训练(12)　基本不等式 1．已知x>0，若x＋的值最小，则x为(　　) A．81 B．9 C．3 D．16 B　解析：因为x>0，所以x＋≥2＝18，当且仅当x＝，即x＝9时等号成立． 2．已知m＝a＋＋1(a>0)，n∈{x|0<x＜3}，则m，n之间的大小关系是(　　) A．m>n B．m<n C．m＝n D．m≤n A　解析：因为a>0，所以m＝a＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当a＝1时等号成立．所以m>n. 3．下列各式中最小值为2的是(　　) A．y＝t＋(t>1) B．y＝＋ C．y＝t＋(t>1) D．y＝t＋＋1(t>0) B　解析：A中，y＝t＋≥2，当且仅当t＝1时等号成立，又t＞1，故A不符合题意；B中，y＝＋≥2，当且仅当t＝1时等号成立；C中，y＝t＋＝t－1＋＋1≥3，故C不符合题意；D中，y＝t＋＋1≥3，故D不符合题意． 4．小王从甲地到乙地的往返时速分别为a和b(a<b)，其全程的平均时速为v，则(　　) A．a<v< B．v＝ C．<v< D．v＝ A　解析：设甲、乙两地之间的距离为s. ∵a<b，∴v＝＝＝<＝. 又v－a＝－a＝>＝0，∴v>a. 5．(多选)设a＞0，b＞0，且a≠b，a＋b＝2，则必有(　　) A．ab>1 B．ab<1 C. <1 D．>1 BD　解析：∵a＞0，b＞0由基本不等式可得≤＝1，又∵a≠b，∴ab<1，故A错误，B正确；又1＝＝<＝(a2＋b2)，∴ (a2＋b2)>1，所以 ab<1<(a2＋b2)，故C错误，D正确． 6．已知a＞b＞c，则与的大小关系是________． 答案：≤　解析：∵a＞b＞c， ∴a－b＞0，b－c＞0，∴＝≥.当且仅当a－b＝b－c，即2b＝a＋c时等号成立． 7．已知正数x，y满足x＋＝1，则y＋的最小值为________． 答案：9　解析：y＋＝(y＋)(x＋)＝xy＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当 xy＝，即 x＝，y＝3 时，等号成立． 8．已知函数f(x)＝＋1，求函数f(x)的最小值． 解：f(x)＝＋1＝＋1＝＋＋1， 令t＝，t∈[，＋∞)， 则函数f(x)可转化为g(t)＝t＋＋1，t∈[，＋∞). 令u(t)＝t＋(t≥)， 则由u(t)在[，＋∞)上单调递增可知，u(t)≥＋＝， 则g(t)≥＋1， 所以函数f(x)的最小值为＋1. 9．已知x>0，y>0，4x＋y＝3. (1)求xy的最大值； (2)求＋ 的最小值． 解：(1)因为4x＋y≥2，所以3≥2， 当且仅当4x＝y，即x＝，y＝时等号成立，所以xy≤， 所以xy的最大值为 . (2)因为 ＝1，所以(＋)(＋)＝＋＋8≥2＋8＝16， 当且仅当＝，即 x＝，y＝时等号成立， 所以＋的最小值为16. 10．(2024·安徽县中联盟高一联考)已知x<4，则x＋的最大值是(　　) A．6 B．－6 C．4 D．－4 D　解析：∵x<4，∴4－x>0，∴x＋＝－＋4≤－2＋4＝－4，当且仅当4－x＝，即x＝0时等号成立，∴x＋的最大值为－4. 11．(多选)(2024·常州高一检测)设正实数a，b满足a＋b＝1，则(　　) A．＋有最小值4 B．有最小值 C．＋有最大值 D．ab＋b≤ ACD　解析：A选项，由基本不等式及题意得 ＋＝＝1＋1＋＋≥2＋2＝4， 当且仅当＝，即a＝b＝时，等号成立，故A正确； B选项，由基本不等式得a＋b＝1≥2，当且仅当a＝b＝时，等号成立， 故≤，即最大值为，B错误； C选项，(＋)2＝a＋b＋2＝1＋2， 由B选项得，≤，故(＋)2＝1＋2≤2， 故＋≤，当且仅当a＝b＝时，等号成立， ＋有最大值，C正确； D选项，因为a＋b＝1，所以a＝1－b，其中0<b<1， 故ab＋b＝b＋b＝－b2＋b ＝－＋ ＝－2＋≤， 当b＝时，等号成立，故ab＋b≤，D正确． 12．(2023·防城港高一检测)已知a>0，则的最小值为________． 答案：4　解析：∵a>0，∴＝a＋≥2＝4，当a＝2时等号成立． 13．已知a，b，c都是正数，求证：a＋b＋c－－－≥0. 证明：∵a，b，c都是正数， ∴a＋b≥2，b＋c≥2，a＋c≥2， ∴a＋b＋b＋c＋a＋c≥2(＋＋)， ∴a＋b＋c≥＋＋， 即a＋b＋c－－－≥0， 当且仅当a＝b＝c时，等号成立． 14．已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，求W＝＋的最大值． 解：∵x，y为正实数，3x＋2y＝10， ∴W2＝3x＋2y＋2≤10＋(3x＋2y)＝20， 当且仅当3x＝2y，3x＋2y＝10，即x＝，y＝时，等号成立．∴W≤2，即W的最大值为2. 学科网（北京）股份有限公司 $$