课时梯级训练(9) 全称量词命题和存在量词命题的否定（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

课时梯级训练(9)　全称量词命题和存在量词命题的否定 1．(2024·泰安肥城高一期中)命题“∀x∈Q，x＋是无理数”的否定是(　　) A．∃x∈Q，x＋不是无理数 B．∀x∈Q，x＋不是无理数 C．∃x∉Q，x＋不是无理数 D．∀x∉Q，x＋不是无理数 A　解析：由全称量词命题的否定为存在量词命题， 得命题“∀x∈Q，x＋是无理数”的否定是“∃x∈Q，x＋不是无理数”． 2．下列命题的否定是真命题的为(　　) A．p1：每一个合数都是偶数 B．p2：两条平行线被第三条直线所截内错角相等 C．p3：有些实数的绝对值是正数 D．p4：某些平行四边形是菱形 A　解析：若判断某命题的否定的真假，只要判断出原命题的真假即可得解，它们的真假性始终相反．因p1为全称量词命题，且是假命题，则¬p1是真命题．命题p2，p3，p4均为真命题，即¬p2，¬p3，¬p4均为假命题． 3．命题p：∃m∈R，方程x2＋mx＋1＝0有实根，则¬p是　(　　) A．∃m∈R，方程x2＋mx＋1＝0无实根 B．∀m∈R，方程x2＋mx＋1＝0无实根 C．不存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实根 D．至多有一个实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实根 B　解析：存在量词命题的否定为全称量词命题，所以命题p：∃m∈R，方程x2＋mx＋1＝0有实根的否定为∀m∈R，方程x2＋mx＋1＝0无实根． 4．下列命题的否定是真命题的是(　　) A．有些实数的绝对值不是正数 B．所有平行四边形都不是矩形 C．任意两个等边三角形都是相似的 D．3是方程x2－9＝0的一个根 B　解析：A选项的否定：所有实数的绝对值都是正数，假命题；B选项的否定：有些平行四边形是矩形，真命题；C选项的否定：有些等边三角形不相似，假命题；D选项的否定：3不是方程x2－9＝0的一个根，假命题．故选B. 5．(2024·新乡高一月考)命题p：ax2＋2x＋1＝0有实数根，若¬p是假命题，则实数a的取值范围是(　　) A．{a|a<1} B．{a|a≤1} C．{a|a>1} D．以上都不对 B　解析：因为¬p是假命题，所以p是真命题．当a＝0时，即2x＋1＝0有实数根，解得x＝－，故符合要求； 当a≠0时，有Δ＝4－4a≥0，解得a≤1且a≠0. 综上所述，a≤1. 6．(2024·南京高一期中)命题“∀x>0，2x＋1>0”的否定是__________________________． 答案：∃x>0，2x＋1≤0　解析：根据全称量词命题的否定可知：命题“∀x>0，2x＋1>0”的否定是命题“∃x>0，2x＋1≤0”． 7．全称量词命题“所有的素数都是奇数”的否定是________________________________________________________________________， 这是________(填“真”或“假”)命题． 答案：存在一个素数不是奇数　真　解析：全称量词命题“所有的素数都是奇数”的否定是存在量词命题“存在一个素数不是奇数”，这是真命题． 8．(2024·保定高一联考)写出下列命题的否定，并判断下列命题的否定的真假． (1)命题p：梯形的内角和是360°； (2)命题q：∀a∈R，二次函数y＝9x2＋7a的图象关于y轴对称． 解：(1)¬p：有一个梯形的内角和不是360°. 因为所有梯形的内角和都为360°，所以¬p是假命题． (2)¬q：∃a∈R，二次函数y＝9x2＋7a的图象不关于y轴对称． 因为∀a∈R，二次函数y＝9x2＋7a的图象的对称轴为直线x＝0，所以¬q是假命题． 9．命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定是(　　) A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n<x2 B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n<x2 C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n<x2 D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n<x2 D　解析：由于存在量词命题的否定形式是全称量词命题，全称量词命题的否定形式是存在量词命题，所以“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定为“∃x∈R，∀n∈N*，使得n<x2”． 10．已知命题p：∀x∈{x|1≤x≤2}，x2－a≥0，命题q：∃x∈R，x2＋2ax＋4＝0，若命题¬p和命题q都是真命题，则实数a的取值范围为________． 答案：[2，＋∞)　解析：若命题p：∀x∈{x|1≤x≤2}，x2－a≥0为真命题，则a≤x2在x∈{x|1≤x≤2}时恒成立，∴a≤1. 若命题q：∃x∈R，x2＋2ax＋4＝0为真命题，则Δ＝(2a)2－16≥0，解得a≤－2或a≥2. ∵命题¬p和命题q都是真命题， ∴解得a≥2. 11．已知命题p：∀1≤x≤3，都有m≥x，命题q：∃1≤x≤3，使m≥x，若命题p为真命题，命题q的否定为假命题，求实数m的取值范围． 解：由题意知命题p，q都是真命题． 由∀1≤x≤3，都有m≥x成立，只需m大于或等于x的最大值，即m≥3. 由∃1≤x≤3，使m≥x成立，只需m大于或等于x的最小值，即m≥1， 因为两者同时成立，故实数m的取值范围为{m|m≥3}∩{m|m≥1}＝{m|m≥3}． 12．已知命题p：∀x∈{x|－3≤x≤2}，都有x∈{x|a－4≤x≤a＋5}，且¬p是假命题，求实数a的取值范围． 解：因为¬p是假命题，所以p是真命题，又∀x∈{x|－3≤x≤2}，都有x∈{x|a－4≤x≤a＋5}，所以{x|－3≤x≤2}⊆{x|a－4≤x≤a＋5}，则解得－3≤a≤1， 即实数a的取值范围是{a|－3≤a≤1}． 学科网（北京）股份有限公司 $$