课时梯级训练(8) 全称量词与存在量词（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

课时梯级训练(8)　全称量词与存在量词 1．设非空集合P，Q满足P⊆Q，则表述正确的是(　　) A．∀x∈Q，有x∈P B．∀x∈P，有x∈Q C．∃x∉Q，使得x∈P D．∃x∈P，使得x∉Q B　解析：因为P⊆Q，则由子集的定义知集合P中的任何一个元素都在集合Q中．故选B. 2．下列命题是“∀x∈R，x2>3”的另一种表述方法的是(　　) A．有一个x∈R，使得x2>3 B．对有些x∈R，使得x2>3 C．任选一个x∈R，使得x2>3 D．至少有一个x∈R，使得x2>3 C　解析：“∀x∈R，x2>3”是全称量词命题，改写时应使用全称量词． 3．下列存在量词命题是假命题的是(　　) A．存在x∈Q，使2x－x3＝0 B．存在x∈R，使x2＋x＋1＝0 C．有的质数是偶数 D．有的有理数没有倒数 B　解析：对于任意的x∈R，x2＋x＋1＝(x＋)2＋>0恒成立． 4．(2024·贵阳高一月考)下列命题是全称量词命题，且是真命题的是(　　) A．所有的素数都是奇数 B．∀x∈R，|x|＋1≥1 C．有一个实数x，使x2＋2x＋3＝0 D．有些平行四边形是菱形 B　解析：对于A，“所有的素数都是奇数”是全称量词命题，但是假命题， 例如2是素数，但2是偶数，所以A错误； 对于B，易知“∀x∈R，|x|＋1≥1”是全称量词命题， 且由|x|≥0可得|x|＋1≥1，所以是真命题，即B正确； 对于C，“有一个实数x，使x2＋2x＋3＝0”是存在量词命题，不合题意，所以C错误； 对于D，“有些平行四边形是菱形”是存在量词命题，不合题意，所以D错误． 5．(2024·鞍山高一上学期期中)下列命题中为真命题的是(　　) A．p1：∃x∈R，x2＋1<0 B．p2：∀x∈R，x＋|x|>0 C．p3：∀x∈Z，|x|∈N D．p4：∃x∈R，x2－7x＋15＝0 C　解析：∀x∈R，x2＋1≥1>0，故p1是假命题； 当x＝0时，x＋|x|＝0，故p2是假命题； ∀x∈Z，|x|∈N，故p3是真命题； 方程x2－7x＋15＝0中Δ＝72－4×15<0，此方程无解，故p4是假命题． 6．命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)2>0”用“∃”写成存在量词命题为________________________________________________________________________． 答案：∃x<0，(1＋x)(1－9x)2>0　解析：存在量词命题“存在M中的元素x，使p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)”．故命题为∃x＜0，(1＋x)(1－9x)2＞0. 7．对任意x>3，x>a恒成立，则实数a的取值范围是________． 答案：a≤3　解析：对任意x>3，x>a恒成立，即大于3的数恒大于a，∴a≤3. 8．用量词符号“∀”“∃”表述下列命题，并判断真假． (1)所有实数x都能使x2＋x＋1>0成立； (2)对所有实数a，b，方程ax＋b＝0恰有一个解； (3)一定有整数x，y，使得3x－2y＝10成立． 解：(1)∀x∈R，x2＋x＋1>0，为真命题． (2)∀a，b∈R，ax＋b＝0恰有一解，为假命题． (3)∃x，y∈Z，3x－2y＝10，为真命题． 9．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断真假． (1)三角形的内角和为180°； (2)每个二次函数的图象都开口向下； (3)存在一个四边形不是平行四边形； (4)p：∀x∈R，x2＋2>0； (5)p：∃x∈R，x2＋1＝0. 解：(1)是全称量词命题，且为真命题． (2)是全称量词命题，且为假命题． (3)是存在量词命题，且为真命题． (4)是全称量词命题，由于∀x∈R都有x2≥0，故x2＋2>0，真命题． (5)是存在量词命题，因为不存在一个实数x，使x2＋1＝0成立，假命题． 10．(多选)(2024·内蒙古部分名校高一期中联考)下列命题为真命题的是(　　) A．对角线相等的平行四边形是矩形 B．若x，y是任意实数，则|x|＋|y|>0 C．若x是奇数，则x2是奇数 D．若a>1，b>1，则a(b＋1)>2 ACD　解析：对选项A：对角线相等的平行四边形是矩形，则A是真命题． 对选项B：当x＝y＝0时，|x|＋|y|＝0，则B是假命题． 对选项C：x是奇数，所以x不能被2整除，所以x2不能被2整除，即x2是奇数， 则C是真命题． 对选项D：由a>1，b>1，得b＋1>2，则a(b＋1)>2，则D是真命题． 11．已知命题p：∃x∈R，x2＋2x－a＝0，若p为假命题，则实数a的取值范围是(　　) A．a>－1 B．a<－1 C．a≥－1 D．a≤－1 B　解析：依题意得，方程x2＋2x－a＝0无实根， 所以必有Δ＝4＋4a<0，解得a<－1. 12．已知命题“存在－3≤x≤2，3a＋x－2＝0”为真命题，求实数a的取值范围． 解：由3a＋x－2＝0，得3a－2＝－x， ∵－3≤x≤2，∴－2≤－x≤3， ∴－2≤3a－2≤3，即0≤a≤， 故实数a的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $$