第11章 平面直角坐标系知识归纳与题型突破（单元复习 16类题型清单）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记•巧练（沪科版）

第十一章 平面直角坐标系知识归纳与题型突破（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、平面直角坐标系 1、坐标：数轴上每一个点都对应一个实数，这个实数叫做这个点在数轴上的坐标. 2、平面直角坐标系： （1）定义：在平面内画两条互相垂直并且原点重合的数轴，组成平面直角坐标系. （2）相关概念：水平的数轴叫做轴或横轴，取向右为正方向；垂直的数轴叫做轴或纵轴，取向上为正方向，两轴交点为原点.如图11.1—1. 【注意】1、平面直角坐标系的两条数轴共原点，且互相垂直. 2、一般情况下两条数轴的单位长度是一致的，在有些实际问题中，两坐标轴的单位长度可以不同，但在同一坐标轴上的单位长度必须相同. 二、点的坐标 1、点的坐标定义：若平面直角坐标系中有一点，过点作横坐标的垂线，垂足在横轴上表示的数为，过点作纵轴的垂线，垂足在纵轴上表示的数为，则有序实数对叫做点的坐标，其中叫做横坐标，叫做纵坐标. 【注意】1、在写点的坐标时，必须先写横坐标，再写纵坐标，中间用逗号隔开，最后用小括号把它们括起来； 2、点的坐标是有序实数对，和虽然数字相同，但由于顺序不同，表示的位置不同.当时，这两个坐标表示的是两个不用的点； 3、已知点的位置可以读出点的坐标，反之已知点的坐标可以在平面直角坐标系中标出点的位置. 2、平面直角坐标系内的点与有序实数对的一一对应关系： （1）坐标平面内的任意一点，都有唯一的一个有序实数对（点的坐标）与它对应； （2）任意一个有序实数对（点的坐标）在坐标平面内都有唯一的一个点和它对应. 三、平面直角坐标系中各区域的点的坐标 1、象限的划分：如图11.1—2，建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成I，II，III，IV四个部分，每个部分称为象限，分别叫第一象限、第二象限、第三象限和第四象限，坐标轴上的点不属于任何一个象限. 图11.1—2 【注意】1、象限的划分是从“右上”开始的，按“逆时针”方向依次排列为第一象限、第二象限、第三象限和第四象限，各象限的名称是一种规定，不能随意更改； 2、坐标原点既在轴上，又在轴上，它是两条坐标轴唯一的公共点． 2、平面直角坐标系中个区域的点的坐标特征． 点所处的位置 坐标特征 象限内的点 点在第一象限 点在第二象限 点在第三象限 点在第四象限 坐标轴上的点 点在轴上 在轴正半轴上： 在轴负半轴上： 点在轴上 在轴正半轴上： 在轴负半轴上： 四、特殊位置的点的坐标特征 1、两坐标轴夹角平分线上的点的坐标特征： （1）第一、三象限的角平分线上的点的横、纵坐标相等； （2）第二、四象限的角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数． 2、平行于轴、轴的直线上的点的坐标特征： 图11.1—3 如图11.1—3所示，直线 // 轴，直线直线 // 轴，因为由上的任意一点向轴作垂线，垂足都是同一个点（不与原点重合），所以上的所有点的纵坐标都相等且不为0；因为由上的任意一点向轴作垂线，垂足都是同一个点（不与原点重合），所以上的所有点的横坐标都相等且不为0. 3、若两个点的横坐标相等，则这两个点之间的距离为纵坐标差的绝对值； 若两个点的纵坐标相等，则这两个点之间的距离为横坐标差的绝对值. 【注意】1、若AB//轴，则，的横坐标不相等，纵坐标相等且不为0 ，即， ；反之，若，，且，，则AB//轴； 2、若//轴，则，的横坐标相等且不为0，纵坐标不相等， 即，；反之，若，，，则 //轴. 五、用坐标表示点的平移 点在坐标系中的平移：在平面直角坐标系中，某个点经过平移后，其位置发生了变化，其坐标也发生 了变化. 点的平移与坐标变化的关系：根据点的平移情况可以得到平移后点的坐标变化情况；反过来，根据点 的坐标变化情况可以得到点的平移情况，即: 【注意】1、将点左右平移，纵坐标不变； 2、将点上下平移，横坐标不变； 3、点的平移遵循 上加下减，右加左减. 六、用点的坐标表示图形的平移 1、图形在坐标平面中的平移：是指在坐标系中，在保持坐标轴不动的情况下，图形的整体移动. 【注意】 图形在坐标平面中平移变换的实质： （1）、图形的位置及表示位置的坐标发生变化； （2）、图形的性质、大小、方向不变. 2、图形的平移与图形上各点的坐标变化的关系： （1）因为图形的平移是图形的整体平移，所以已知图形的平移情况，即可得到图形上个点坐标的变化情况； （2）平移时，因为图形上各点的变化情况相同，所以已知图形上某点的坐标变化情况，即可知道图形的平移情况. 【注意】1、图形的平移首先应转化为图形顶点的平移，再按照点的平移规律进行平移； 2、一般地，将一个图形依次沿两个坐标轴方向平移所得到的图形，可以通过将原来的图形作一次平移得到. 03 题型归纳 题型一　在平面上确定点的位置 例1. （23-24八年级下·贵州铜仁·期末）梵净山是“贵州第一名山”，国家AAAAA级旅游景区，国家级自然保护区，中国十大避暑名山，小明想向外地网友介绍我市梵净山的位置，以下几种说法，对梵净山的位置描述错误的是（    ） A．梵净山位于贵州省铜仁市的印江、江口、松桃（西南部）三县交界处 B．梵净山地处北纬，东经 C．梵净山位于贵阳市大约北偏东方向，距离贵阳约310千米 D．梵净山在距离北京大约2800千米的位置处 【答案】D 【分析】本题主要考查了实际生活中位置的确定，表示的方法有坐标表示位置，用方向角和距离确定物体的位置，根据方位描述确定物体的位置，根据题意一一判断即可． 【详解】解：．梵净山位于贵州省铜仁市的印江、江口、松桃（西南部）三县交界处，可以确定梵净山的位置，故该选项不符合题意； ．梵净山地处北纬，东经，可以确定梵净山的位置，故该选项不符合题意； ．梵净山位于贵阳市大约北偏东方向，距离贵阳约310千米，以确定梵净山的位置，故该选项不符合题意； ．梵净山在距离北京大约2800千米的位置处，无法确定梵净山的位置，故该选项符合题意； 故选：D． 巩固训练 1．（2024·河北唐山·二模）如图是某街道的局部图，小刚从A 处走往B 处(街道宽度忽略)，下列描述错误的是（     ） A．向西走150m， 再向南走80m B．向西走150m，再向左走80m C．向南走80m，再向西走150m D．向南走80m，再向左走150m 【答案】D 【分析】此题主要考查依据方向和距离判定物体位置的方法，结合示意图，是解答此类题的关键． 依据图上标注的各种信息，以及地图上的方向辨别方法“上北下南，左西右东”判断即可． 【详解】解：A、向西走150m， 再向南走80m，故本选项不符合题意； B、向西走150m，再向左走80m，故本选项不符合题意； C、向南走80m，再向西走150m；故本选项不符合题意； D、向南走80m，应该再向右走150m，故本选项符合题意． 故选：D． 2．（23-24八年级下·河北承德·阶段练习）2023年9~10月，第19届亚运会于中国杭州顺利举行，以下能够准确表示杭州市地理位置的是（    ） A．东经，北纬 B．离北京市1250千米 C．在浙江省 D．在中国南方 【答案】A 【分析】本题考查了坐标确定位置，根据点的坐标的定义，确定的一个位置需要两个数据，根据选项判断即可． 【详解】解：能够准确表示杭州市地理位置的是东经，北纬， 故选：A． 3．（23-24九年级上·河北廊坊·期中）李雯同学约小明去电影院看电影，下面是他们在微信中的对话 从上面的对话中，小明能从生活超市走到电影院的路线是（  ） A．先向东走500米，再向南走100米 B．先向东走100米，再向南走500米 C．先向东走200米，再向南走300米 D．先向东走300米，再向南走200米 【答案】A 【分析】此题主要考查了坐标确定位置，先根据对话话确定出生活超市与电影院的位置，再根据图形解答即可． 【详解】解：依题意，小明能从生活超市走到电影院的路线是先向东走500米，再向南走100米 故选：A． 题型二　平面直角坐标系的定义识别 例2．（23-24八年级上·全国·单元测试）下列说法中，正确的是(     ) A．平面直角坐标系是由两条互相垂直的直线组成的 B．平面直角坐标系是由两条相交的数轴组成的 C．平面直角坐标系中的点的坐标是唯一确定的 D．在平面上的一点的坐标在不同的直角坐标系中的坐标相同 【答案】C 【分析】根据平面直角坐标系的定义即可知选项A、B错误；在平面上的一点的坐标在不同的直角坐标系中的坐标不一定相同，可得选项D错误，由此即可解答. 【详解】在平面内两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系，所以选项A、B错误；坐标平面内的点与有序实数对是一一对应，选项C正确；在平面上的一点的坐标在不同的直角坐标系中的坐标不一定相同，选项D错误. 故选C. 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系的知识，熟知平面直角坐标系的定义及坐标平面内的点与有序实数对是一一对应是解决问题的关键. 巩固训练 1．（22-23七年级·全国·课后作业）下列选项中，平面直角坐标系的画法正确的是(  ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面直角坐标系的定义判断即可． 【详解】解：A．x轴与y轴不垂直，故本选项不符合题意； B．符合平面直角坐标系的定义，故本选项符合题意； C．x轴的正方向错误，故本选项不符合题意； D．x轴与y轴没有标注正方向，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了点的坐标以及建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴． 2．（21-22八年级上·广西百色·期中）在图中，所画的平面直角坐标系正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面直角坐标系的定义判断即可． 【详解】解：A、原点的位置错误，坐标轴上y的字母位置错误，错误； B、两坐标轴不垂直，错误； C、符号平面直角坐标系的定义，正确； D、x轴和y轴的方向有错误，坐标系无箭头，错误． 故选：C． 【点睛】本题考查平面直角坐标系，在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系，解题关键是掌握平面直角坐标系坐标轴的位置． 3．（22-23七年级下·河北邯郸·期中）下列说法中，正确的是（    ） A．平面直角坐标系中和表示相同的点 B．轴上的点的横坐标为0 C．坐标轴上的点不属于任何象限 D．横、纵坐标符号相同的点一定在第一象限 【答案】C 【分析】根据点与坐标，象限的概念依次进行判断即可得． 【详解】解：A、平面直角坐标系中和表示不相同的点，选项说法错误，不符合题意； B、轴上的点的纵坐标为0，选项说法错误，不符合题意； C、坐标轴上的点不属于任何象限，选项说法正确，符合题意； D、横、纵坐标符号相同的点在第一象限或第三象限，选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了点与坐标，点所在的象限，解题的关键是掌握点的坐标与点所在象限的特征． 题型三　平面直角坐标系中各象限内点的坐标特征 例3. （23-24七年级下·吉林·期末）在平面直角坐标系中，点一定在（  ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查点横纵坐标与所在象限的关系，判定点P的横纵坐标的符号即可得解． 【详解】解：∵， ∴ ∵， ∴点一定在第四象限． 故选：D． 巩固训练 1．（23-24七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，小手盖住的点的坐标可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了点在第三象限时点的坐标特征．注意四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．根据点在第三象限点的坐标特点，即可解答． 【详解】解：根据题意得：小手盖住的点位于第三象限， A、在第一象限，故本选项不符合题意； B、在第二象限，故本选项不符合题意； C、在第四象限，故本选项不符合题意； D、在第三象限，故本选项符合题意； 故选：D． 2．（23-24八年级下·吉林长春·阶段练习）已知点在第二象限，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标，点的坐标的符号特征为：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限，由点在第二象限得出，，从而得出，，即可得出答案． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴，， ∴，， ∴点在第一象限， 故选：A． 3．（23-24七年级下·云南昆明·期末）在平面直角坐标系中，点的坐标满足，则点在（    ） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第一、三象限 D．第二，四象限 【答案】C 【分析】本题考查了平面直角坐标系与点的坐标，根据点为原点，则点的横纵坐标都为，解答即可，解题的关键是熟练掌握平面直角坐标系中点的坐标特征，第一象限，第二象限，第三象限，第四象限． 【详解】∵点的坐标满足， ∴，或，， ∴据平面直角坐标系特点，点在第一、三象限， 故选：． 题型四　平面直角坐标系中点与坐标特征 例4. （23-24七年级下·山东潍坊·期末）已知点和点，且轴，则B点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂直于轴点坐标的特征．熟练掌握垂直于轴点坐标的纵坐标相同是解题的关键． 根据垂直于轴点坐标的纵坐标相同求解作答即可． 【详解】解：∵轴， ∴， ∴B点坐标为， 故选：A． 巩固训练 1. （23-24七年级下·湖北省直辖县级单位·期末）已知点在过点且与轴平行的直线上，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标的特征，熟练掌握平面直角坐标系中点的坐标的特征是解题的关键．根据点在过点且与轴平行的直线上，得到点的横坐标为2，即，由此得解． 【详解】解：点在过点且与轴平行的直线上， 的横坐标为2， ，解得， ． 故选：C． 2．（23-24七年级下·云南文山·期末）已知点在轴上，那么点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了直角坐标系中点的坐标特征，掌握轴上点的坐标特征是解题的关键．直接利用轴上点的坐标特点（纵坐标为）得出的值，即可得出答案． 【详解】解：点在轴上， ， 解得：， ， 点的坐标是， 故选：D． 3．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知点在第二象限，且，为整数，则点P的个数是（    ） A．3 B．6 C． D．无数个 【答案】B 【分析】本题主要考查了不等式的解法及坐标系内点的坐标特点．熟练掌握根据未知数的范围确定它所满足的特殊条件的值是解题的关键． 先根据第二象限点的坐标特征求出x，y的取值范围，再根据y的取值范围求出x的整数解，进而可求出符合条件的y的值． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴， ∴， 解得，， ∴当时，，此时点P为，， 当时，，此时点P为，，， ， 综上所述，点P的个数是6个， 故选：B ． 题型五　利用点到坐标轴的距离确定点的坐标 例5. （23-24八年级下·广西贵港·期末）第三象限内的点P到x轴的距离是7，到y轴的距离是8，那么点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据第三象限内点的横坐标是负数，纵坐标是负数以及点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，到轴的距离等于横坐标的绝对值解答．本题考查了点的坐标，熟记点到轴的距离等于纵坐标的长度，到轴的距离等于横坐标的长度是解题的关键． 【详解】解：第三象限的点到轴的距离是7，到轴的距离是8， 点的横坐标是，纵坐标是， 点的坐标为． 故选：A． 巩固训练 1. （23-24七年级下·湖南长沙·期末）点P在第四象限内，点P到x轴的距离是6，到y轴的距离是2，那么点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查点的坐标，熟练掌握点的坐标是解题的关键；由题意易得点P的横坐标为，纵坐标为，然后问题可求解． 【详解】解：∵P在第四象限内，点P到x轴的距离是6，到y轴的距离是2， ∴点P的坐标为． 故选D． 2．（23-24七年级下·湖北襄阳·期末）点在平面直角坐标系第二象限，距离轴个单位长度，距离轴个单位长度，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标，根据第二象限内的点横坐标为负数，纵坐标为正数，点到轴的距离是纵坐标的绝对值，到轴的距离是横坐标的绝对值即可求解，掌握各象限内点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：∵，点在平面直角坐标系第二象限，距离轴个单位长度，距离轴个单位长度， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标为， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·陕西渭南·期末）已知第二象限的点坐标为，且点到两坐标轴的距离相等，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标特点和点到坐标轴的距离，根据第二象限内的点坐标为，且点到两坐标轴的距离相等，得出即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】∵第二象限内的点坐标为，且点到两坐标轴的距离相等， ∴， 解得， ∴点， 故答案为：． 题型六　利用点的位置特征求字母的值（取值范围） 例6．（23-24八年级下·宁夏吴忠·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点P在第四象限，则的取值范围 ． 【答案】 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限． 【详解】解：∵点P在第四象限， ∴， 解得， 故答案为：． 巩固训练 1．36．（23-24七年级下·吉林白城·期末）点在第二、四象限的角平分线上，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了第二、四象限平分线上的点．解决本题的关键是熟练掌握各个象限角平分线上的点的特点：第一，三角平分线上的点的横纵坐标相等，二四象限角平分线上的点横纵坐标互为相反数． 根据二四象限角平分线上的点横纵坐标互为相反数，建立方程解方程，即可得解． 【详解】∵点在第二，四象限夹角平分线上， ∴， 解得：． 故答案为：． 2．（21-22八年级下·河北邯郸·期末）已知点： （1）若点P在x轴上，则 ； （2）若点P到x轴、y轴的距离相等，则a ． 【答案】 或/或 【分析】（1）利用x轴上点的坐标性质纵坐标为0，进而得出a的值； （2）利用点P到x轴、y轴的距离相等，得出横纵坐标相等或互为相反数，进而得出a的值． 【详解】解：（1）∵点在x轴上， ∴， 解得：； 故答案为：； （2）∵点P到x轴、y轴的距离相等， ∴或， 解得：或， 故答案为：或． 【点睛】此题主要考查了点的坐标性质，用到的知识点为：点到两坐标轴的距离相等，那么点的横纵坐标相等或互为相反数以及点在坐标轴上的点的性质． 3．（22-23七年级下·河北石家庄·期末）点在第三象限，且到轴的距离是3，则 ． 【答案】0 【分析】第三象限的横纵坐标为负值，到x轴的距离就是纵坐标的绝对值，因此即可求解． 【详解】由题意知，点在第三象限，且到x轴的距离是3，则该点的纵坐标是， ∴． ∴． 故答案为0． 【点睛】本题考查了象限内坐标的正负符号，解题的关键是熟知点的坐标位置对应的正负值情况． 题型七　利用特殊位置点的坐标特征求值 例7. （23-24七年级下·吉林·期末）在平面直角坐标系中，已知点，点． (1)若M在x轴上，求m的值； (2)若轴，点M在点N的下方且，求出点M的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据x轴上的点的纵坐标为0即可求解． （2）根据轴可得，根据M在点N的下方且，可得，求出m、n的值即可得M点的坐标． 本题考查了“平面直角坐标系中x轴上的点的纵坐标为0，平行于y轴的直线上的点的横坐标相同”，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点在x轴上， ， 解得； （2）解：∵轴，点M在点N的下方且， ∴， 解得，， ，， ． 巩固训练 1．40．（23-24七年级下·四川自贡·阶段练习）已知点，解答下列各题． (1)点P在y轴上，求出点P的坐标； (2)点Q的坐标为，直线轴；求出点P的坐标； (3)若点P在第一象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求a的立方根 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查图形与坐标，立方根，掌握点的坐标特征是关键； （1）根据y轴上点的横坐标都为零即可解决问题． （2）根据平行于y轴的直线上点的坐标特征即可解决问题． （3）根据第一象限内点的坐标特征及点到坐标轴的距离即可求出a的值，再根据立方根的定义解决问题． 【详解】（1）解：由点P在y轴上得，， 解得， 则． 点P的坐标为． （2）解：直线轴， 直线上所有点的横坐标都相等，则， 解得， 则． 点P的坐标为． （3）解：点P在第一象限， ，． 点P到x轴和y轴的距离相等， ， 解得． 的立方根是 2．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）已知点，分别满足下列条件，求出点的坐标： (1)点在轴上； (2)点在轴上； (3)点的坐标，直线轴； (4)点到两个坐标轴的距离相等 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】本题考查的是坐标系内点的坐标特点，掌握坐标系内点的坐标特点是解本题的关键； （1）根据轴上的点的纵坐标为0，再建立方程可得答案； （2）根据轴上，横坐标为0，再建立方程可得答案； （3）根据直线轴，可得，的纵坐标相等，再建立方程求解即可； （4）根据点到两个坐标轴的距离相等，则点横纵坐标相等或点横纵坐标互为相反数，再建立方程求解即可； 【详解】（1）解：∵点在轴上 ， ∴即，   ∴， ∴， 点； （2）解：点在轴上，横坐标为0， 即， ∴， ∴， 点； （3）解：∵点，点的坐标，直线轴， ∴，的纵坐标相等， 即， ∴， ∴， 点. （4）解：∵点到两个坐标轴的距离相等， 点在第一或第三象限，点横纵坐标相等， 即， ∴， ∴， 点， 若点在第二或第四象限，点横纵坐标互为相反数， 即， ∴， ∴，， 点. 3．（23-24七年级下·陕西渭南·期末）已知点． (1)若点P在x轴上，求点P的坐标； (2)若点P在第四象限，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了坐标轴上点的特征和各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式组，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限． （1）根据点在轴上，横坐标为解题即可； （2）根据点在第四象限，即满足，解不等式组即可解题． 【详解】（1）解：∵点在轴上， ∴，   解得：， ∴； （2）解：∵点在第四象限， ∴ ， 解得：， 题型八　利用坐标系解决几何图形的定点坐标问题 例8. （23-24七年级下·山东济宁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知正方形的边长为8，与y 轴交于点，顶点 ．将一条长为个单位长度且没有弹性的细绳一端固定在点M处，从点M出发顺时针将细绳紧绕在正方形的边上，则细绳的另一端到达的位置点N的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题利用点的坐标考查了数字变化规律，根据点的坐标和正方形一周的长度，从而确定个单位长度的细线的另一端落在第几圈第几个单位长度的位置是解题的关键．根据题意求出各点的坐标和正方形的周长，然后求出另一端是绕第几圈后的第几个单位长度，从而确定答案． 【详解】解：∵正方形的边长为8， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴绕正方形一周的细线长度为， ∵， ∴细线另一端在绕正方形第64圈的第8个单位长度的位置，即在边上， ∴点N的坐标为， 故选：D． 巩固训练 1. （2024·浙江·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知直线l：和直线m：，点的位置如图所示，则（    ）    A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查坐标与图形性质，根据所给平面直角坐标系，利用数形结合的数学思想即可解决问题． 【详解】解：根据所给图象可知， 点在直线l的左侧，且直线l为，所以． 点在直线m的上方，且直线m为，所以． 故选：C． 2．（23-24七年级下·山东潍坊·期末）如图，将5个大小相同的正方形置于平面直角坐标系中．若顶点，的坐标分别为，，则顶点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平面直角坐标系，根据图形和点的特征计算出点的坐标是解题的关键． 先根据条件，算出每个正方形的边长，再根据坐标的变换计算出点A的坐标即可． 【详解】解：∵点，的坐标分别为，， ∴， ∴每个正方形的边长为， ∵点N的坐标为， ∴ ∴点B的坐标为， ∴ ∴点A的坐标为， 故选：D． 3．（23-24七年级下·山东菏泽·期末）在平面直角坐标系中有三个点：，，．请根据要求完成下列问题： (1)在如图所示的平面直角坐标系内描出点A，B，C的位置； (2)求的面积； (3)求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)10 (3)13 【分析】本题主要考查平面直角坐标系和三角形的面积公式，关键是要牢记三角形的面积公式，能根据图形适当的选取三角形的底和高． （1）根据平面直角坐标系的知识即可描出，，的位置； （2）以为底边，用三角形的面积公式即可求出三角形的面积； （3）用割补法求四边形的面积即可． 【详解】（1）点A，B，C的位置如图所示； （2）； （3） 题型九　利用等积法求平面直角坐标系中点的坐标 例9. （22-23七年级下·上海奉贤·期末）已知点，点，点C在y轴上，如果的面积是8，求点C的坐标． 【答案】或 【分析】本题考查的是坐标与图形面积，首先设点C的坐标，然后确定的长，再利用三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：设点C的坐标， ∵点，点， ∴， ∵的面积是8， ∴， 解得：， 故设点C的坐标或． 巩固训练 1. 45．（23-24七年级下·广西南宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知三角形，点A的坐标是，点B的坐标为，点C在x轴的负半轴，且 (1)求点C的坐标； (2)在y轴上是否存在点P，使得三角形的面积等于三角形的面积？若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查平面直角坐标中图形的与坐标，掌握平面直角坐标系的特点，点坐标与线段的关系是解题的关键． （1）根据点A的坐标，线段AC的长即可求解； （2）根据题意可求出，，结合几何图形面积的计算方法即可求解． 【详解】（1）∵点A的坐标是 ∴， ∵，， ∴. ∴点C的坐标是. （2）存在，如图所示 ∵，， ∴. ∴ 设，则， ∴， ∴，解得：， ∴或. 2．（23-24七年级下·山东潍坊·期末）已知：，，．    (1)在直角坐标系中描出各点，画出； (2)求的面积； (3)设点在轴上，且与的面积相等，求点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)6 (3)或 【分析】本题考查了坐标与图形，割补法求面积，绝对值方程，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）根据、、三点坐标在直角坐标系中确定位置，依次连接，即可得到； （2）利用割补法即可求出的面积； （3）由已知可知，，设点的坐标为，则，再根据的面积，求出的值，即可得到点的坐标． 【详解】（1）解：如图，即为所求作；    （2）解：的面积； （3）解：，， ， 设点的坐标为， ， 由（2）可知，， ， ， 或， 点的坐标为或． 3．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）如图，在直角坐标平面内，已知，，，线段经过原点O． (1)求的面积； (2)在x轴上是否存在一点D，使，如果存在，求出点D的坐标，如果不存在说明理由． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了求平面直角坐标系中三角形的面积； （1）由，即可求解； （2）设，由三角形面积得，即可求解； 能根据点的坐标表示出三角形面积是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得 ； （2）解：设， ， 解得：或， 的坐标为或． 题型十　利用割补法求平面直角坐标系中不规则图形的面积 例10. （23-24七年级下·内蒙古赤峰·期末）如图，在平面直角坐标系内有四个点：，，，． (1)求三角形的面积； (2)求四边形的面积； (3)若点P在x轴上，直线将四边形的面积分成两部分，求点P的坐标． 【答案】(1)3 (2)9 (3)或 【分析】本题考查了坐标与图形，三角形的面积的计算，解题的关键是数形结合，用分割法求出不规则图形的面积，再进行计算是解本题的关键． （1）根据，，得出，，利用三角形面积公式求出结果即可； （2）作轴于点E，利用割补法求出四边形的面积即可； （3）先求出的面积，分两种情况：当时，，当，，求出的值，进而可得的值，即可求出点P的坐标． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴； （2）解：作轴于点E，如图所示： ∵，． ∴，，，， ∴， ， ∴； （3）解：， ∵， ∴， 当时，， ∴， 解得：， ∴点的坐标为； 当时，， ∴， 解得：， ∴点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 巩固训练 1. 49．（23-24七年级下·云南昆明·期末）如图，描出，，，四个点，连接，，，．求所连线段围成图形的面积．    【答案】描点见解析，． 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，根据平面直角坐标系描出各点，然后根据面积公式列式计算即可得解，熟练掌握网格结构与平面直角坐标系准确描出四个点是解题的关键． 【详解】解：如图，    ∴所连线段围成图形的面积为． 2．（23-24七年级下·四川广元·期末）已知四边形在平面直角坐标系中的位置如图所示，将四边形先向右平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到四边形．    (1)画出四边形； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平移作图，在网格中求四边形的面积． （1）分别作出各顶点的对应点，依次连接即可解答； （2）运用割补法即可解答． 【详解】（1）解：如图，四边形为所求；    （2）解：四边形的面积． 3．（23-24七年级下·河南驻马店·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别是，且与x轴的交点E的坐标为，求这个四边形的面积． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，过点作轴的垂线，过点，点分别作轴的垂线，分别与直线交于点，根据进行求解即可． 【详解】解：如图，过点作轴的垂线，过点，点分别作轴的垂线，分别与直线交于点， ∵， ∴， ∴， ， ∴． 题型十一　利用找规律法求运动中点的坐标 例11. （23-24七年级下·河南省直辖县级单位·期末）如图，平面直角坐标系内，动点P按照图中箭头所示方向依次运动，第1次从点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，…，按这样的运动规律，动点第2024次运动到达的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查点的坐标规律探究．根据已知点的坐标，抽象概括出相应的数字规律，是解题的关键．据图可以得出动点的纵坐标按照，每四个一循环，横坐标为运动次数减1，进行求解即可． 【详解】解：由图可知：动点的纵坐标按照，每四个一循环，横坐标为运动次数减1， ∵， ∴动点第2024次运动后的纵坐标为0，横坐标为， ∴动点第2024次运动到点； 故选：B． 巩固训练 1. （2024·河南新乡·模拟预测）直角坐标系中，的三个顶点都在边长为的小正方形的格点上，关于轴的对称图形为，与组成一个基本图形，不断复制与平移这个基本图形，得到如图所示的图形．若是这组图形中的一个三角形，当时，点的横坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称，平移与坐标的变化关系，根据图中规律即可求解，弄清题意，找出规律是解题的关键． 【详解】由图可知：，，，，， ，，，，，， 又，，，，， 当为偶数时， 与横坐标相差，即横坐标横坐标， 与横坐标相差，即横坐标横坐标， 与横坐标相差，即横坐标横坐标， 与横坐标相差，即横坐标横坐标， ， 与横坐标相差，即横坐标横坐标， ∴，即， 故选：． 2．（23-24七年级下·云南曲靖·期末）如图，在平面直角坐标系中，长方形的四条边与两条坐标轴平行，已知，．点从点出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒2个单位长度；点从点出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒3个单位长度．记在长方形边上第一次相遇时的点为，第二次相遇时的点为，……，则的坐标为是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平面直角坐标系上点的坐标规律，求出长方形的周长为，设经过秒，第一次相遇，则点走的路程为，点走的路程为，根据题意列出方程，求出相遇各点坐标，得出规律，即可得出答案． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，长方形的四条边与两条坐标轴平行，已知，． ∴，， ∴，， ∴长方形的周长为：， 设经过秒，第一次相遇，则点走的路程为，点走的路程为， 由题意得：， 解得：， ∴当时，第一次相遇，此时相遇点的坐标为， 当时，第二次相遇，此时相遇点的坐标为， 当时，第三次相遇，此时相遇点的坐标为， 当时，第四次相遇，此时相遇点的坐标为， 当时，第五次相遇，此时相遇点的坐标为， 当时，第六次相遇，此时相遇点的坐标为， …， ∴五次相遇为一循环， ∵， ∴的坐标为是， 故选：B． 3．（23-24七年级下·黑龙江佳木斯·期末）如图，点A在y轴正半轴及x轴正半轴上交替运动，点A从原点出发，依次跳动至点，，，，，，，，…，按此规律，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查规律探索，根据已知的点坐标，对点分组找出规律是解题的关键． 根据已知点的坐标特征，将连续的4个点看成一组，由第1组，第2组确定组内点的位置特征、点坐标与组序数的联系；以此类推，，故点是第506组的第4个点，则在y轴上，其非零坐标即横坐标为． 【详解】解：根据题意，将连续的4个点A看成一组， 第1组：，，，，其位置分别为y轴、x轴、x轴、y轴，前两个点的非零坐标为1，后两个点的非零坐标为2；其中，，； 第2组：，，，，其位置分别为y轴、x轴、x轴、y轴，前两个点的非零坐标为3，后两个点的非零坐标为4；其中，，； …… 以此类推，，则点是第506组的第4个点，则在轴上，其非零坐标即横坐标为1012， 故点的坐标是， 故选：C． 题型十二　点在坐标系中的平移 例12. （22-23七年级下·海南省直辖县级单位·期中）在平面直角坐标系中，点向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形的变化．根据“横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减”即可求解． 【详解】解：点向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度得到的点的坐标是，即． 故选：B． 巩固训练 1. （23-24七年级下·山东济宁·期末）在平面直角坐标系中，直线l经过，两点．现将直线l平移，使点A到达点处，则点B到达的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查图形的平移，由点平移后可得坐标的变化规律，由此可得点B的对应点的坐标． 【详解】解：由点平移后可得坐标的变化规律是：横坐标加2，纵坐标减5， ∴点的对应点的坐标为． 故选：A． 3．（23-24七年级下·山东滨州·期末）在平面直角坐标系中，若将点向左平移4个单位长度，再向上平移5个单位长度后，则得到的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加求解即可得到平移后的坐标． 【详解】解：将点向左平移4个单位长度，得到，再向上平移5个单位长度后得到：， 故选：D． 4．（23-24七年级下·湖北十堰·期末）如果将点向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度得，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，根据“上加下减，左减右加”的平移规律可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵将点向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度得， ∴， ∴， 故选：D． 题型十三　图形在坐标系中的平移 例13. （23-24七年级下·江苏南通·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，若将线段平移至，则的值为（     ）． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】此题主要考查图形的平移及平移特征．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 利用平移中点的变化规律得到，，算出a、b的值，进而求解即可． 【详解】解：∵点，的坐标分别为，，， ∵将线段平移至， ∴，， ∴， ∴． 故选A． 巩固训练 1. 27．（23-24七年级下·四川南充·期中）如图所示，是由平移得到的，若，，则的值为（   ） A． B．3 C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查坐标与图形变化-平移，解题的关键是掌握平移变换的性质，属于中考常考题型． 判断出的值即可解决问题． 【详解】解：由平移变换的性质可知是由向上平移个单位，向右平移4个单位得到， 故． ， ， 故选：A． 2．（23-24七年级下·福建福州·阶段练习）如图，把“”笑脸放在直角坐标系中，已知左眼A的坐标是，右眼B的坐标为，则将此“”笑脸向右平移3个单位后，嘴唇C的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了坐标系中点、线段的平移规律，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右加，左减；纵坐标上加，下减．首先根据左眼，右眼坐标，得到嘴唇C的坐标，再根据平移的性质即可解题． 【详解】解：左眼A的坐标是，右眼B的坐标为， 嘴唇C的坐标为，即， 又将此“”笑脸向右平移3个单位， 将此“”笑脸向右平移3个单位后，嘴唇C的坐标是， 故选：D． 3．（22-23七年级下·四川绵阳·期中）如图，线段经过平移得到线段，其中点A，B、，这四个点都在格点上．若线段上有一个点，则点P在上的对应点的坐标为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标系中点、线段的平移规律，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同，平移的规律：横坐标左减右加，纵坐标上加下减． 【详解】解：由题意可得线段向左平移2个单位，向上平移了3个单位， ∴， 故选：A． 题型十四　利用平移坐标系比较其坐标变化规律 例14. （22-23八年级上·全国·课后作业）如图 (1)分别求出点A，和点B，的坐标，并比较A与，B与之间的坐标变化． (2)图甲怎样平移到图乙？ 【答案】(1)，，由A到，横坐标增加5，纵坐标增加5；由B到，横坐标增加5，纵坐标增加5 (2)一次是向右平移5个单位，另一次是向上平移5个单位． 【分析】（1）比较点A，和点B，的横纵坐标即可得出答案； （2）根据图形结合平面直角坐标系的平移规律进行解答即可． 【详解】（1）解：点A，的坐标分别为；点B，的坐标分别为． 由A到，横坐标增加5，纵坐标增加5； 由B到，横坐标增加5，纵坐标增加5； （2）由第（1）题知，A，B都向右平移5个单位，向上平移5个单位． 从图甲到图乙，可以看作经过了两次平移：一次是向右平移5个单位，另一次是向上平移5个单位． 【点睛】本题考查了坐标与图形－平移，熟知平面直角坐标系中点的平移规律为“横坐标左减右加，纵坐标上加下减”是解本题的关键． 巩固训练 1. （20-21七年级下·新疆乌鲁木齐·期中）平面直角坐标系中，三角形的三个顶点的位置如图，为三角形内一点，的坐标为 (1)平移三角形，使点与原点重合，请画出平移后的三角形 (2)直接写出的对应点的坐标；并写出平移的规律． （ ， ）； （ ， ）； （ ， ）； (3)求三角形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)；先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 (3) 【分析】（1）根据题可得△ABC先向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到，即可求解； （2）根据平移的规律，即可求解； （3）利用△ABC所在的长方形的面积减去它周围的三角形的面积，即可求解． 【详解】（1）解：∵平移三角形，使点与原点重合，点C（1，2）， ∴△ABC先向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到， 如图，即为所求． （2）解：由（1）得：△ABC先向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到， ∵点A（4，3），B（2，-1），， ∴点， （3）解：． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形变换——平移，熟练掌握平移的规律是解题的关键． 2．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）如图，长方形四个顶点的坐标分别是，，，．将这个长方形向下平移个单位长度，得到长方形，则平移后的顶点坐标正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标的平移．点的左右平移与点的横坐标有关，左减右加；点的上下平移与点的纵坐标有关，上加下减． 【详解】解：长方形向下平移个单位长度，得到长方形， ，，，， 故选：B． 3．（22-23七年级下·全国·课后作业）已知三角形ABC经过平移后得到三角形，点A与，点B与，点C与分别是对应点，观察各对应点坐标之间的关系，解答下列问题：    (1)分别写出点A与，点B与，点C与的坐标； (2)若点P（2x，2y）通过上述的平移规律平移得到的对应点为，求x，y的值． 【答案】(1)A（1，2），B（2，1），C（3，3），，， (2) 【详解】（1）A（1，2），B（2，1），C（3，3），，，． （2）平移后的横坐标为-3＋2x，纵坐标为-3＋2y， ∴由题意，得解得 题型十五　利用坐标的变化确定平移方式 例15. （23-24七年级下·广西南宁·期末）在平面直角坐标系中，将点平移到点处，正确的移动方法是（    ） A．向右平移5个单位长度 B．向左平移5个单位长度 C．向下平移5个单位长度 D．向上平移5个单位长度 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形变化平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减；根据平移的规律即可求出平移方法． 【详解】解：∵， ∴平移方法为将点向下平移5个单位长度到点处． 故选：C． 巩固训练 1. （23-24七年级下·吉林四平·期末）如果将平面直角坐标系中的点平移到点的位置，那么下列平移方法中正确的是（      ） A．向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度 B．向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度 C．向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度 D．向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度 【答案】C 【分析】本题考查了点的平移的性质，平移规律：横坐标是左减右加，纵坐标是上加下减，据此即可作答． 【详解】解：∵将平面直角坐标系中的点平移到点的位置， ∴ ∴平移方法是向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度 故选：C 2．（23-24七年级下·吉林白山·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点分别为，，．将平移后得到且点的对应点是，点，的对应点分别为，． (1)说明是由经过怎样平移得到的？ (2)写出，的坐标并画出． 【答案】(1)向右平移5个单位长度再向下平移3个单位长度得到的（答案不唯一） (2)的坐标为，的坐标为，作图见解析 【分析】本题考查图形平移、点的平移、平移作图等知识，熟记点的平移、图形平移是解决问题的关键． （1）由题中与即可得到图形的平移方式； （2）由（1）的平移方式作出图形，数形结合即可得到，的坐标． 【详解】（1）解：点的对应点是， 点向右平移5个单位长度再向下平移3个单位长度得到点， 是由向右平移5个单位长度再向下平移3个单位长度得到的； （2）解：由（1）的平移方式，画出如图所示： 的坐标为，的坐标为． 3．（23-24七年级下·四川德阳·期中）如图，正方形的顶点，的坐标分别为和． (1)画出平面直角坐标系，并写出点，的坐标； (2)将正方形平移，使个顶点到原点的距离相等，画出平移后的正方形，并写出平移方式． 【答案】(1)作图见解析，，； (2)作图见解析，把正方形先向下平移个单位，再向右平移个单位得到正方形 【分析】本题考查了平移作图，在坐标系中描点，平移的性质； （1）利用点和点的坐标建立平面直角坐标系，从而得到、点的坐标； （2）利用正方形的性质得到平移后的正方形的中心为坐标原点，然后画出平移的正方形，从而得到平移的方向与距离． 【详解】（1）解：如图，，； （2）如图，把正方形先向下平移个单位，再向右平移个单位得到正方形． 题型十六　利用平移建立坐标系确定点的坐标 例16. （23-24七年级下·黑龙江佳木斯·期末）如图，四边形所在的网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位长度. (1)建立以O为原点，边所在直线为x轴的平面直角坐标系，并写出点C的坐标； (2)求出四边形的面积； (3)请画出将四边形向上平移4个单位长度，再向左平移2个单位长度后所得的四边形． 【答案】(1)画图见解析， (2)9 (3)画图见解析 【分析】此题考查了平面直角坐标系及点的坐标、图形的平移作图、网格中图形的面积等知识，准确建立平面直角坐标系是解题的关键． （1）按照要求建立平面直角坐标系，根据建立的坐标系写出点C的坐标即可； （2）根据四边形的面积求出面积即可； （3）按照平移规律找出、、、平移后的对应的、、、，再依次连接即可． 【详解】（1）解：建立平面直角坐标系如下图： 由图可得：点C的坐标为； （2）解：由图可得： 四边形的面积； （3）解：如图所示，四边形即为所求． 巩固训练 1．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）如图，在一个的正方形网格中有一个． (1)在网格中画出三角形向下平移3个单位得到的； (2)若以所在直线为x轴，所在的直线为y轴建立直角坐标系，写出，两点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题考查了平移作图，点坐标等知识．熟练掌握平移作图，点坐标是解题的关键． （1）由平移的性质作图即可； （2）根据题意建立平面直角坐标系，进而可得点坐标． 【详解】（1）解：由平移的性质作图，如图1，即为所作；           图1 （2）解：建立平面直角坐标系如图2，           图2 ∴，． 2．（22-23八年级下·河北邢台·期末）如图，已知A，B两点的坐标分别为． (1)在网格图中建立平面直角坐标系，标出点B关于x轴的对称点C，并写出点C的坐标； (2)平移线段使点A移动到点C，画出平移后的线段，并写出点D的坐标； (3)若x轴上存在一点P，使得，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)见解析， (2)见解析， (3)点P的坐标为或 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中坐标与图形，平移等知识； （1）根据点A，B的坐标建立平面直角坐标系，即可得点C的坐标． （2）根据平移的性质作图，即可得出答案． （3）设点P的坐标为，根据题意可列方程为=3，求出m的值即可． 【详解】（1）解：如图，平面直角坐标系、点C即为所求． 由图可得，． （2）由题意知，线段是向左平移3个单位长度，向下平移1个单位长度得到的线段， 如图，线段即为所求． 由图可得，． （3）设线段与x轴交于点E， 可知． 设点P的坐标为， ， 解得或6， ∴点P的坐标为或． 3．（23-24七年级下·广西钦州·期末）如图，在边长为的正方形网格中，三角形的三个顶点均在格点上，点的坐标为． (1)将三角形向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度后得到三角形A'B'C'，请画出三角形，并写出，的坐标； (2)连结，，直接写出与的位置关系． 【答案】(1)作图见解析，， (2) 【分析】本题考查作图—平移变换，坐标与图形， （1）根据题意画出平面直角坐标系，根据平移的性质分别确定、、的对称点、、，再顺次连接即可； （2）根据平移性质即可得出结论； 解题的关键是掌握平移的性质：①平移不改变图形的大小、形状，只改变图形的位置；②图形上的每个点都平移了相同的距离，对应点之间的距离就是平移的距离；③连接各组对应点的线段平行（或在同一直线上）且相等． 【详解】（1）解：如图建立平面直角坐标系，，； （2）与位置关系为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十一章 平面直角坐标系知识归纳与题型突破（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、平面直角坐标系 1、坐标：数轴上每一个点都对应一个实数，这个实数叫做这个点在数轴上的坐标. 2、平面直角坐标系： （1）定义：在平面内画两条互相垂直并且原点重合的数轴，组成平面直角坐标系. （2）相关概念：水平的数轴叫做轴或横轴，取向右为正方向；垂直的数轴叫做轴或纵轴，取向上为正方向，两轴交点为原点.如图11.1—1. 【注意】1、平面直角坐标系的两条数轴共原点，且互相垂直. 2、一般情况下两条数轴的单位长度是一致的，在有些实际问题中，两坐标轴的单位长度可以不同，但在同一坐标轴上的单位长度必须相同. 二、点的坐标 1、点的坐标定义：若平面直角坐标系中有一点，过点作横坐标的垂线，垂足在横轴上表示的数为，过点作纵轴的垂线，垂足在纵轴上表示的数为，则有序实数对叫做点的坐标，其中叫做横坐标，叫做纵坐标. 【注意】1、在写点的坐标时，必须先写横坐标，再写纵坐标，中间用逗号隔开，最后用小括号把它们括起来； 2、点的坐标是有序实数对，和虽然数字相同，但由于顺序不同，表示的位置不同.当时，这两个坐标表示的是两个不用的点； 3、已知点的位置可以读出点的坐标，反之已知点的坐标可以在平面直角坐标系中标出点的位置. 2、平面直角坐标系内的点与有序实数对的一一对应关系： （1）坐标平面内的任意一点，都有唯一的一个有序实数对（点的坐标）与它对应； （2）任意一个有序实数对（点的坐标）在坐标平面内都有唯一的一个点和它对应. 三、平面直角坐标系中各区域的点的坐标 1、象限的划分：如图11.1—2，建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成I，II，III，IV四个部分，每个部分称为象限，分别叫第一象限、第二象限、第三象限和第四象限，坐标轴上的点不属于任何一个象限. 图11.1—2 【注意】1、象限的划分是从“右上”开始的，按“逆时针”方向依次排列为第一象限、第二象限、第三象限和第四象限，各象限的名称是一种规定，不能随意更改； 2、坐标原点既在轴上，又在轴上，它是两条坐标轴唯一的公共点． 2、平面直角坐标系中个区域的点的坐标特征． 点所处的位置 坐标特征 象限内的点 点在第一象限 点在第二象限 点在第三象限 点在第四象限 坐标轴上的点 点在轴上 在轴正半轴上： 在轴负半轴上： 点在轴上 在轴正半轴上： 在轴负半轴上： 四、特殊位置的点的坐标特征 1、两坐标轴夹角平分线上的点的坐标特征： （1）第一、三象限的角平分线上的点的横、纵坐标相等； （2）第二、四象限的角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数． 2、平行于轴、轴的直线上的点的坐标特征： 图11.1—3 如图11.1—3所示，直线 // 轴，直线直线 // 轴，因为由上的任意一点向轴作垂线，垂足都是同一个点（不与原点重合），所以上的所有点的纵坐标都相等且不为0；因为由上的任意一点向轴作垂线，垂足都是同一个点（不与原点重合），所以上的所有点的横坐标都相等且不为0. 3、若两个点的横坐标相等，则这两个点之间的距离为纵坐标差的绝对值； 若两个点的纵坐标相等，则这两个点之间的距离为横坐标差的绝对值. 【注意】1、若AB//轴，则，的横坐标不相等，纵坐标相等且不为0 ，即， ；反之，若，，且，，则AB//轴； 2、若//轴，则，的横坐标相等且不为0，纵坐标不相等， 即，；反之，若，，，则 //轴. 五、用坐标表示点的平移 点在坐标系中的平移：在平面直角坐标系中，某个点经过平移后，其位置发生了变化，其坐标也发生 了变化. 点的平移与坐标变化的关系：根据点的平移情况可以得到平移后点的坐标变化情况；反过来，根据点 的坐标变化情况可以得到点的平移情况，即: 【注意】1、将点左右平移，纵坐标不变； 2、将点上下平移，横坐标不变； 3、点的平移遵循 上加下减，右加左减. 六、用点的坐标表示图形的平移 1、图形在坐标平面中的平移：是指在坐标系中，在保持坐标轴不动的情况下，图形的整体移动. 【注意】 图形在坐标平面中平移变换的实质： （1）、图形的位置及表示位置的坐标发生变化； （2）、图形的性质、大小、方向不变. 2、图形的平移与图形上各点的坐标变化的关系： （1）因为图形的平移是图形的整体平移，所以已知图形的平移情况，即可得到图形上个点坐标的变化情况； （2）平移时，因为图形上各点的变化情况相同，所以已知图形上某点的坐标变化情况，即可知道图形的平移情况. 【注意】1、图形的平移首先应转化为图形顶点的平移，再按照点的平移规律进行平移； 2、一般地，将一个图形依次沿两个坐标轴方向平移所得到的图形，可以通过将原来的图形作一次平移得到. 03 题型归纳 题型一　在平面上确定点的位置 例1. （23-24八年级下·贵州铜仁·期末）梵净山是“贵州第一名山”，国家AAAAA级旅游景区，国家级自然保护区，中国十大避暑名山，小明想向外地网友介绍我市梵净山的位置，以下几种说法，对梵净山的位置描述错误的是（    ） A．梵净山位于贵州省铜仁市的印江、江口、松桃（西南部）三县交界处 B．梵净山地处北纬，东经 C．梵净山位于贵阳市大约北偏东方向，距离贵阳约310千米 D．梵净山在距离北京大约2800千米的位置处 【答案】D 【分析】本题主要考查了实际生活中位置的确定，表示的方法有坐标表示位置，用方向角和距离确定物体的位置，根据方位描述确定物体的位置，根据题意一一判断即可． 【详解】解：．梵净山位于贵州省铜仁市的印江、江口、松桃（西南部）三县交界处，可以确定梵净山的位置，故该选项不符合题意； ．梵净山地处北纬，东经，可以确定梵净山的位置，故该选项不符合题意； ．梵净山位于贵阳市大约北偏东方向，距离贵阳约310千米，以确定梵净山的位置，故该选项不符合题意； ．梵净山在距离北京大约2800千米的位置处，无法确定梵净山的位置，故该选项符合题意； 故选：D． 巩固训练 1．（2024·河北唐山·二模）如图是某街道的局部图，小刚从A 处走往B 处(街道宽度忽略)，下列描述错误的是（     ） A．向西走150m， 再向南走80m B．向西走150m，再向左走80m C．向南走80m，再向西走150m D．向南走80m，再向左走150m 【答案】D 【分析】此题主要考查依据方向和距离判定物体位置的方法，结合示意图，是解答此类题的关键． 依据图上标注的各种信息，以及地图上的方向辨别方法“上北下南，左西右东”判断即可． 【详解】解：A、向西走150m， 再向南走80m，故本选项不符合题意； B、向西走150m，再向左走80m，故本选项不符合题意； C、向南走80m，再向西走150m；故本选项不符合题意； D、向南走80m，应该再向右走150m，故本选项符合题意． 故选：D． 2．（23-24八年级下·河北承德·阶段练习）2023年9~10月，第19届亚运会于中国杭州顺利举行，以下能够准确表示杭州市地理位置的是（    ） A．东经，北纬 B．离北京市1250千米 C．在浙江省 D．在中国南方 【答案】A 【分析】本题考查了坐标确定位置，根据点的坐标的定义，确定的一个位置需要两个数据，根据选项判断即可． 【详解】解：能够准确表示杭州市地理位置的是东经，北纬， 故选：A． 3．（23-24九年级上·河北廊坊·期中）李雯同学约小明去电影院看电影，下面是他们在微信中的对话 从上面的对话中，小明能从生活超市走到电影院的路线是（  ） A．先向东走500米，再向南走100米 B．先向东走100米，再向南走500米 C．先向东走200米，再向南走300米 D．先向东走300米，再向南走200米 【答案】A 【分析】此题主要考查了坐标确定位置，先根据对话话确定出生活超市与电影院的位置，再根据图形解答即可． 【详解】解：依题意，小明能从生活超市走到电影院的路线是先向东走500米，再向南走100米 故选：A． 题型二　平面直角坐标系的定义识别 例2．（23-24八年级上·全国·单元测试）下列说法中，正确的是(     ) A．平面直角坐标系是由两条互相垂直的直线组成的 B．平面直角坐标系是由两条相交的数轴组成的 C．平面直角坐标系中的点的坐标是唯一确定的 D．在平面上的一点的坐标在不同的直角坐标系中的坐标相同 【答案】C 【分析】根据平面直角坐标系的定义即可知选项A、B错误；在平面上的一点的坐标在不同的直角坐标系中的坐标不一定相同，可得选项D错误，由此即可解答. 【详解】在平面内两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系，所以选项A、B错误；坐标平面内的点与有序实数对是一一对应，选项C正确；在平面上的一点的坐标在不同的直角坐标系中的坐标不一定相同，选项D错误. 故选C. 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系的知识，熟知平面直角坐标系的定义及坐标平面内的点与有序实数对是一一对应是解决问题的关键. 巩固训练 1．（22-23七年级·全国·课后作业）下列选项中，平面直角坐标系的画法正确的是(  ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面直角坐标系的定义判断即可． 【详解】解：A．x轴与y轴不垂直，故本选项不符合题意； B．符合平面直角坐标系的定义，故本选项符合题意； C．x轴的正方向错误，故本选项不符合题意； D．x轴与y轴没有标注正方向，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了点的坐标以及建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴． 2．（21-22八年级上·广西百色·期中）在图中，所画的平面直角坐标系正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面直角坐标系的定义判断即可． 【详解】解：A、原点的位置错误，坐标轴上y的字母位置错误，错误； B、两坐标轴不垂直，错误； C、符号平面直角坐标系的定义，正确； D、x轴和y轴的方向有错误，坐标系无箭头，错误． 故选：C． 【点睛】本题考查平面直角坐标系，在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系，解题关键是掌握平面直角坐标系坐标轴的位置． 3．（22-23七年级下·河北邯郸·期中）下列说法中，正确的是（    ） A．平面直角坐标系中和表示相同的点 B．轴上的点的横坐标为0 C．坐标轴上的点不属于任何象限 D．横、纵坐标符号相同的点一定在第一象限 【答案】C 【分析】根据点与坐标，象限的概念依次进行判断即可得． 【详解】解：A、平面直角坐标系中和表示不相同的点，选项说法错误，不符合题意； B、轴上的点的纵坐标为0，选项说法错误，不符合题意； C、坐标轴上的点不属于任何象限，选项说法正确，符合题意； D、横、纵坐标符号相同的点在第一象限或第三象限，选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了点与坐标，点所在的象限，解题的关键是掌握点的坐标与点所在象限的特征． 题型三　平面直角坐标系中各象限内点的坐标特征 例3. （23-24七年级下·吉林·期末）在平面直角坐标系中，点一定在（  ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查点横纵坐标与所在象限的关系，判定点P的横纵坐标的符号即可得解． 【详解】解：∵， ∴ ∵， ∴点一定在第四象限． 故选：D． 巩固训练 1．（23-24七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，小手盖住的点的坐标可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了点在第三象限时点的坐标特征．注意四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．根据点在第三象限点的坐标特点，即可解答． 【详解】解：根据题意得：小手盖住的点位于第三象限， A、在第一象限，故本选项不符合题意； B、在第二象限，故本选项不符合题意； C、在第四象限，故本选项不符合题意； D、在第三象限，故本选项符合题意； 故选：D． 2．（23-24八年级下·吉林长春·阶段练习）已知点在第二象限，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标，点的坐标的符号特征为：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限，由点在第二象限得出，，从而得出，，即可得出答案． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴，， ∴，， ∴点在第一象限， 故选：A． 3．（23-24七年级下·云南昆明·期末）在平面直角坐标系中，点的坐标满足，则点在（    ） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第一、三象限 D．第二，四象限 【答案】C 【分析】本题考查了平面直角坐标系与点的坐标，根据点为原点，则点的横纵坐标都为，解答即可，解题的关键是熟练掌握平面直角坐标系中点的坐标特征，第一象限，第二象限，第三象限，第四象限． 【详解】∵点的坐标满足， ∴，或，， ∴据平面直角坐标系特点，点在第一、三象限， 故选：． 题型四　平面直角坐标系中点与坐标特征 例4. （23-24七年级下·山东潍坊·期末）已知点和点，且轴，则B点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂直于轴点坐标的特征．熟练掌握垂直于轴点坐标的纵坐标相同是解题的关键． 根据垂直于轴点坐标的纵坐标相同求解作答即可． 【详解】解：∵轴， ∴， ∴B点坐标为， 故选：A． 巩固训练 1. （23-24七年级下·湖北省直辖县级单位·期末）已知点在过点且与轴平行的直线上，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标的特征，熟练掌握平面直角坐标系中点的坐标的特征是解题的关键．根据点在过点且与轴平行的直线上，得到点的横坐标为2，即，由此得解． 【详解】解：点在过点且与轴平行的直线上， 的横坐标为2， ，解得， ． 故选：C． 2．（23-24七年级下·云南文山·期末）已知点在轴上，那么点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了直角坐标系中点的坐标特征，掌握轴上点的坐标特征是解题的关键．直接利用轴上点的坐标特点（纵坐标为）得出的值，即可得出答案． 【详解】解：点在轴上， ， 解得：， ， 点的坐标是， 故选：D． 3．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知点在第二象限，且，为整数，则点P的个数是（    ） A．3 B．6 C． D．无数个 【答案】B 【分析】本题主要考查了不等式的解法及坐标系内点的坐标特点．熟练掌握根据未知数的范围确定它所满足的特殊条件的值是解题的关键． 先根据第二象限点的坐标特征求出x，y的取值范围，再根据y的取值范围求出x的整数解，进而可求出符合条件的y的值． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴， ∴， 解得，， ∴当时，，此时点P为，， 当时，，此时点P为，，， ， 综上所述，点P的个数是6个， 故选：B ． 题型五　利用点到坐标轴的距离确定点的坐标 例5. （23-24八年级下·广西贵港·期末）第三象限内的点P到x轴的距离是7，到y轴的距离是8，那么点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据第三象限内点的横坐标是负数，纵坐标是负数以及点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，到轴的距离等于横坐标的绝对值解答．本题考查了点的坐标，熟记点到轴的距离等于纵坐标的长度，到轴的距离等于横坐标的长度是解题的关键． 【详解】解：第三象限的点到轴的距离是7，到轴的距离是8， 点的横坐标是，纵坐标是， 点的坐标为． 故选：A． 巩固训练 1. （23-24七年级下·湖南长沙·期末）点P在第四象限内，点P到x轴的距离是6，到y轴的距离是2，那么点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查点的坐标，熟练掌握点的坐标是解题的关键；由题意易得点P的横坐标为，纵坐标为，然后问题可求解． 【详解】解：∵P在第四象限内，点P到x轴的距离是6，到y轴的距离是2， ∴点P的坐标为． 故选D． 2．（23-24七年级下·湖北襄阳·期末）点在平面直角坐标系第二象限，距离轴个单位长度，距离轴个单位长度，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标，根据第二象限内的点横坐标为负数，纵坐标为正数，点到轴的距离是纵坐标的绝对值，到轴的距离是横坐标的绝对值即可求解，掌握各象限内点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：∵，点在平面直角坐标系第二象限，距离轴个单位长度，距离轴个单位长度， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标为， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·陕西渭南·期末）已知第二象限的点坐标为，且点到两坐标轴的距离相等，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标特点和点到坐标轴的距离，根据第二象限内的点坐标为，且点到两坐标轴的距离相等，得出即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】∵第二象限内的点坐标为，且点到两坐标轴的距离相等， ∴， 解得， ∴点， 故答案为：． 题型六　利用点的位置特征求字母的值（取值范围） 例6．（23-24八年级下·宁夏吴忠·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点P在第四象限，则的取值范围 ． 【答案】 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限． 【详解】解：∵点P在第四象限， ∴， 解得， 故答案为：． 巩固训练 1．36．（23-24七年级下·吉林白城·期末）点在第二、四象限的角平分线上，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了第二、四象限平分线上的点．解决本题的关键是熟练掌握各个象限角平分线上的点的特点：第一，三角平分线上的点的横纵坐标相等，二四象限角平分线上的点横纵坐标互为相反数． 根据二四象限角平分线上的点横纵坐标互为相反数，建立方程解方程，即可得解． 【详解】∵点在第二，四象限夹角平分线上， ∴， 解得：． 故答案为：． 2．（21-22八年级下·河北邯郸·期末）已知点： （1）若点P在x轴上，则 ； （2）若点P到x轴、y轴的距离相等，则a ． 【答案】 或/或 【分析】（1）利用x轴上点的坐标性质纵坐标为0，进而得出a的值； （2）利用点P到x轴、y轴的距离相等，得出横纵坐标相等或互为相反数，进而得出a的值． 【详解】解：（1）∵点在x轴上， ∴， 解得：； 故答案为：； （2）∵点P到x轴、y轴的距离相等， ∴或， 解得：或， 故答案为：或． 【点睛】此题主要考查了点的坐标性质，用到的知识点为：点到两坐标轴的距离相等，那么点的横纵坐标相等或互为相反数以及点在坐标轴上的点的性质． 3．（22-23七年级下·河北石家庄·期末）点在第三象限，且到轴的距离是3，则 ． 【答案】0 【分析】第三象限的横纵坐标为负值，到x轴的距离就是纵坐标的绝对值，因此即可求解． 【详解】由题意知，点在第三象限，且到x轴的距离是3，则该点的纵坐标是， ∴． ∴． 故答案为0． 【点睛】本题考查了象限内坐标的正负符号，解题的关键是熟知点的坐标位置对应的正负值情况． 题型七　利用特殊位置点的坐标特征求值 例7. （23-24七年级下·吉林·期末）在平面直角坐标系中，已知点，点． (1)若M在x轴上，求m的值； (2)若轴，点M在点N的下方且，求出点M的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据x轴上的点的纵坐标为0即可求解． （2）根据轴可得，根据M在点N的下方且，可得，求出m、n的值即可得M点的坐标． 本题考查了“平面直角坐标系中x轴上的点的纵坐标为0，平行于y轴的直线上的点的横坐标相同”，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点在x轴上， ， 解得； （2）解：∵轴，点M在点N的下方且， ∴， 解得，， ，， ． 巩固训练 1．40．（23-24七年级下·四川自贡·阶段练习）已知点，解答下列各题． (1)点P在y轴上，求出点P的坐标； (2)点Q的坐标为，直线轴；求出点P的坐标； (3)若点P在第一象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求a的立方根 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查图形与坐标，立方根，掌握点的坐标特征是关键； （1）根据y轴上点的横坐标都为零即可解决问题． （2）根据平行于y轴的直线上点的坐标特征即可解决问题． （3）根据第一象限内点的坐标特征及点到坐标轴的距离即可求出a的值，再根据立方根的定义解决问题． 【详解】（1）解：由点P在y轴上得，， 解得， 则． 点P的坐标为． （2）解：直线轴， 直线上所有点的横坐标都相等，则， 解得， 则． 点P的坐标为． （3）解：点P在第一象限， ，． 点P到x轴和y轴的距离相等， ， 解得． 的立方根是 2．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）已知点，分别满足下列条件，求出点的坐标： (1)点在轴上； (2)点在轴上； (3)点的坐标，直线轴； (4)点到两个坐标轴的距离相等 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】本题考查的是坐标系内点的坐标特点，掌握坐标系内点的坐标特点是解本题的关键； （1）根据轴上的点的纵坐标为0，再建立方程可得答案； （2）根据轴上，横坐标为0，再建立方程可得答案； （3）根据直线轴，可得，的纵坐标相等，再建立方程求解即可； （4）根据点到两个坐标轴的距离相等，则点横纵坐标相等或点横纵坐标互为相反数，再建立方程求解即可； 【详解】（1）解：∵点在轴上 ， ∴即，   ∴， ∴， 点； （2）解：点在轴上，横坐标为0， 即， ∴， ∴， 点； （3）解：∵点，点的坐标，直线轴， ∴，的纵坐标相等， 即， ∴， ∴， 点. （4）解：∵点到两个坐标轴的距离相等， 点在第一或第三象限，点横纵坐标相等， 即， ∴， ∴， 点， 若点在第二或第四象限，点横纵坐标互为相反数， 即， ∴， ∴，， 点. 3．（23-24七年级下·陕西渭南·期末）已知点． (1)若点P在x轴上，求点P的坐标； (2)若点P在第四象限，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了坐标轴上点的特征和各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式组，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限． （1）根据点在轴上，横坐标为解题即可； （2）根据点在第四象限，即满足，解不等式组即可解题． 【详解】（1）解：∵点在轴上， ∴，   解得：， ∴； （2）解：∵点在第四象限， ∴ ， 解得：， 题型八　利用坐标系解决几何图形的定点坐标问题 例8. （23-24七年级下·山东济宁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知正方形的边长为8，与y 轴交于点，顶点 ．将一条长为个单位长度且没有弹性的细绳一端固定在点M处，从点M出发顺时针将细绳紧绕在正方形的边上，则细绳的另一端到达的位置点N的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题利用点的坐标考查了数字变化规律，根据点的坐标和正方形一周的长度，从而确定个单位长度的细线的另一端落在第几圈第几个单位长度的位置是解题的关键．根据题意求出各点的坐标和正方形的周长，然后求出另一端是绕第几圈后的第几个单位长度，从而确定答案． 【详解】解：∵正方形的边长为8， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴绕正方形一周的细线长度为， ∵， ∴细线另一端在绕正方形第64圈的第8个单位长度的位置，即在边上， ∴点N的坐标为， 故选：D． 巩固训练 1. （2024·浙江·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知直线l：和直线m：，点的位置如图所示，则（    ）    A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查坐标与图形性质，根据所给平面直角坐标系，利用数形结合的数学思想即可解决问题． 【详解】解：根据所给图象可知， 点在直线l的左侧，且直线l为，所以． 点在直线m的上方，且直线m为，所以． 故选：C． 2．（23-24七年级下·山东潍坊·期末）如图，将5个大小相同的正方形置于平面直角坐标系中．若顶点，的坐标分别为，，则顶点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平面直角坐标系，根据图形和点的特征计算出点的坐标是解题的关键． 先根据条件，算出每个正方形的边长，再根据坐标的变换计算出点A的坐标即可． 【详解】解：∵点，的坐标分别为，， ∴， ∴每个正方形的边长为， ∵点N的坐标为， ∴ ∴点B的坐标为， ∴ ∴点A的坐标为， 故选：D． 3．（23-24七年级下·山东菏泽·期末）在平面直角坐标系中有三个点：，，．请根据要求完成下列问题： (1)在如图所示的平面直角坐标系内描出点A，B，C的位置； (2)求的面积； (3)求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)10 (3)13 【分析】本题主要考查平面直角坐标系和三角形的面积公式，关键是要牢记三角形的面积公式，能根据图形适当的选取三角形的底和高． （1）根据平面直角坐标系的知识即可描出，，的位置； （2）以为底边，用三角形的面积公式即可求出三角形的面积； （3）用割补法求四边形的面积即可． 【详解】（1）点A，B，C的位置如图所示； （2）； （3） 题型九　利用等积法求平面直角坐标系中点的坐标 例9. （22-23七年级下·上海奉贤·期末）已知点，点，点C在y轴上，如果的面积是8，求点C的坐标． 【答案】或 【分析】本题考查的是坐标与图形面积，首先设点C的坐标，然后确定的长，再利用三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：设点C的坐标， ∵点，点， ∴， ∵的面积是8， ∴， 解得：， 故设点C的坐标或． 巩固训练 1. 45．（23-24七年级下·广西南宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知三角形，点A的坐标是，点B的坐标为，点C在x轴的负半轴，且 (1)求点C的坐标； (2)在y轴上是否存在点P，使得三角形的面积等于三角形的面积？若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查平面直角坐标中图形的与坐标，掌握平面直角坐标系的特点，点坐标与线段的关系是解题的关键． （1）根据点A的坐标，线段AC的长即可求解； （2）根据题意可求出，，结合几何图形面积的计算方法即可求解． 【详解】（1）∵点A的坐标是 ∴， ∵，， ∴. ∴点C的坐标是. （2）存在，如图所示 ∵，， ∴. ∴ 设，则， ∴， ∴，解得：， ∴或. 2．（23-24七年级下·山东潍坊·期末）已知：，，．    (1)在直角坐标系中描出各点，画出； (2)求的面积； (3)设点在轴上，且与的面积相等，求点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)6 (3)或 【分析】本题考查了坐标与图形，割补法求面积，绝对值方程，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）根据、、三点坐标在直角坐标系中确定位置，依次连接，即可得到； （2）利用割补法即可求出的面积； （3）由已知可知，，设点的坐标为，则，再根据的面积，求出的值，即可得到点的坐标． 【详解】（1）解：如图，即为所求作；    （2）解：的面积； （3）解：，， ， 设点的坐标为， ， 由（2）可知，， ， ， 或， 点的坐标为或． 3．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）如图，在直角坐标平面内，已知，，，线段经过原点O． (1)求的面积； (2)在x轴上是否存在一点D，使，如果存在，求出点D的坐标，如果不存在说明理由． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了求平面直角坐标系中三角形的面积； （1）由，即可求解； （2）设，由三角形面积得，即可求解； 能根据点的坐标表示出三角形面积是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得 ； （2）解：设， ， 解得：或， 的坐标为或． 题型十　利用割补法求平面直角坐标系中不规则图形的面积 例10. （23-24七年级下·内蒙古赤峰·期末）如图，在平面直角坐标系内有四个点：，，，． (1)求三角形的面积； (2)求四边形的面积； (3)若点P在x轴上，直线将四边形的面积分成两部分，求点P的坐标． 【答案】(1)3 (2)9 (3)或 【分析】本题考查了坐标与图形，三角形的面积的计算，解题的关键是数形结合，用分割法求出不规则图形的面积，再进行计算是解本题的关键． （1）根据，，得出，，利用三角形面积公式求出结果即可； （2）作轴于点E，利用割补法求出四边形的面积即可； （3）先求出的面积，分两种情况：当时，，当，，求出的值，进而可得的值，即可求出点P的坐标． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴； （2）解：作轴于点E，如图所示： ∵，． ∴，，，， ∴， ， ∴； （3）解：， ∵， ∴， 当时，， ∴， 解得：， ∴点的坐标为； 当时，， ∴， 解得：， ∴点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 巩固训练 1. 49．（23-24七年级下·云南昆明·期末）如图，描出，，，四个点，连接，，，．求所连线段围成图形的面积．    【答案】描点见解析，． 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，根据平面直角坐标系描出各点，然后根据面积公式列式计算即可得解，熟练掌握网格结构与平面直角坐标系准确描出四个点是解题的关键． 【详解】解：如图，    ∴所连线段围成图形的面积为． 2．（23-24七年级下·四川广元·期末）已知四边形在平面直角坐标系中的位置如图所示，将四边形先向右平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到四边形．    (1)画出四边形； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平移作图，在网格中求四边形的面积． （1）分别作出各顶点的对应点，依次连接即可解答； （2）运用割补法即可解答． 【详解】（1）解：如图，四边形为所求；    （2）解：四边形的面积． 3．（23-24七年级下·河南驻马店·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别是，且与x轴的交点E的坐标为，求这个四边形的面积． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，过点作轴的垂线，过点，点分别作轴的垂线，分别与直线交于点，根据进行求解即可． 【详解】解：如图，过点作轴的垂线，过点，点分别作轴的垂线，分别与直线交于点， ∵， ∴， ∴， ， ∴． 题型十一　利用找规律法求运动中点的坐标 例11. （23-24七年级下·河南省直辖县级单位·期末）如图，平面直角坐标系内，动点P按照图中箭头所示方向依次运动，第1次从点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，…，按这样的运动规律，动点第2024次运动到达的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查点的坐标规律探究．根据已知点的坐标，抽象概括出相应的数字规律，是解题的关键．据图可以得出动点的纵坐标按照，每四个一循环，横坐标为运动次数减1，进行求解即可． 【详解】解：由图可知：动点的纵坐标按照，每四个一循环，横坐标为运动次数减1， ∵， ∴动点第2024次运动后的纵坐标为0，横坐标为， ∴动点第2024次运动到点； 故选：B． 巩固训练 1. （2024·河南新乡·模拟预测）直角坐标系中，的三个顶点都在边长为的小正方形的格点上，关于轴的对称图形为，与组成一个基本图形，不断复制与平移这个基本图形，得到如图所示的图形．若是这组图形中的一个三角形，当时，点的横坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称，平移与坐标的变化关系，根据图中规律即可求解，弄清题意，找出规律是解题的关键． 【详解】由图可知：，，，，， ，，，，，， 又，，，，， 当为偶数时， 与横坐标相差，即横坐标横坐标， 与横坐标相差，即横坐标横坐标， 与横坐标相差，即横坐标横坐标， 与横坐标相差，即横坐标横坐标， ， 与横坐标相差，即横坐标横坐标， ∴，即， 故选：． 2．（23-24七年级下·云南曲靖·期末）如图，在平面直角坐标系中，长方形的四条边与两条坐标轴平行，已知，．点从点出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒2个单位长度；点从点出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒3个单位长度．记在长方形边上第一次相遇时的点为，第二次相遇时的点为，……，则的坐标为是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平面直角坐标系上点的坐标规律，求出长方形的周长为，设经过秒，第一次相遇，则点走的路程为，点走的路程为，根据题意列出方程，求出相遇各点坐标，得出规律，即可得出答案． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，长方形的四条边与两条坐标轴平行，已知，． ∴，， ∴，， ∴长方形的周长为：， 设经过秒，第一次相遇，则点走的路程为，点走的路程为， 由题意得：， 解得：， ∴当时，第一次相遇，此时相遇点的坐标为， 当时，第二次相遇，此时相遇点的坐标为， 当时，第三次相遇，此时相遇点的坐标为， 当时，第四次相遇，此时相遇点的坐标为， 当时，第五次相遇，此时相遇点的坐标为， 当时，第六次相遇，此时相遇点的坐标为， …， ∴五次相遇为一循环， ∵， ∴的坐标为是， 故选：B． 3．（23-24七年级下·黑龙江佳木斯·期末）如图，点A在y轴正半轴及x轴正半轴上交替运动，点A从原点出发，依次跳动至点，，，，，，，，…，按此规律，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查规律探索，根据已知的点坐标，对点分组找出规律是解题的关键． 根据已知点的坐标特征，将连续的4个点看成一组，由第1组，第2组确定组内点的位置特征、点坐标与组序数的联系；以此类推，，故点是第506组的第4个点，则在y轴上，其非零坐标即横坐标为． 【详解】解：根据题意，将连续的4个点A看成一组， 第1组：，，，，其位置分别为y轴、x轴、x轴、y轴，前两个点的非零坐标为1，后两个点的非零坐标为2；其中，，； 第2组：，，，，其位置分别为y轴、x轴、x轴、y轴，前两个点的非零坐标为3，后两个点的非零坐标为4；其中，，； …… 以此类推，，则点是第506组的第4个点，则在轴上，其非零坐标即横坐标为1012， 故点的坐标是， 故选：C． 题型十二　点在坐标系中的平移 例12. （22-23七年级下·海南省直辖县级单位·期中）在平面直角坐标系中，点向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形的变化．根据“横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减”即可求解． 【详解】解：点向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度得到的点的坐标是，即． 故选：B． 巩固训练 1. （23-24七年级下·山东济宁·期末）在平面直角坐标系中，直线l经过，两点．现将直线l平移，使点A到达点处，则点B到达的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查图形的平移，由点平移后可得坐标的变化规律，由此可得点B的对应点的坐标． 【详解】解：由点平移后可得坐标的变化规律是：横坐标加2，纵坐标减5， ∴点的对应点的坐标为． 故选：A． 3．（23-24七年级下·山东滨州·期末）在平面直角坐标系中，若将点向左平移4个单位长度，再向上平移5个单位长度后，则得到的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加求解即可得到平移后的坐标． 【详解】解：将点向左平移4个单位长度，得到，再向上平移5个单位长度后得到：， 故选：D． 4．（23-24七年级下·湖北十堰·期末）如果将点向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度得，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，根据“上加下减，左减右加”的平移规律可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵将点向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度得， ∴， ∴， 故选：D． 题型十三　图形在坐标系中的平移 例13. （23-24七年级下·江苏南通·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，若将线段平移至，则的值为（     ）． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】此题主要考查图形的平移及平移特征．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 利用平移中点的变化规律得到，，算出a、b的值，进而求解即可． 【详解】解：∵点，的坐标分别为，，， ∵将线段平移至， ∴，， ∴， ∴． 故选A． 巩固训练 1. 27．（23-24七年级下·四川南充·期中）如图所示，是由平移得到的，若，，则的值为（   ） A． B．3 C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查坐标与图形变化-平移，解题的关键是掌握平移变换的性质，属于中考常考题型． 判断出的值即可解决问题． 【详解】解：由平移变换的性质可知是由向上平移个单位，向右平移4个单位得到， 故． ， ， 故选：A． 2．（23-24七年级下·福建福州·阶段练习）如图，把“”笑脸放在直角坐标系中，已知左眼A的坐标是，右眼B的坐标为，则将此“”笑脸向右平移3个单位后，嘴唇C的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了坐标系中点、线段的平移规律，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右加，左减；纵坐标上加，下减．首先根据左眼，右眼坐标，得到嘴唇C的坐标，再根据平移的性质即可解题． 【详解】解：左眼A的坐标是，右眼B的坐标为， 嘴唇C的坐标为，即， 又将此“”笑脸向右平移3个单位， 将此“”笑脸向右平移3个单位后，嘴唇C的坐标是， 故选：D． 3．（22-23七年级下·四川绵阳·期中）如图，线段经过平移得到线段，其中点A，B、，这四个点都在格点上．若线段上有一个点，则点P在上的对应点的坐标为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标系中点、线段的平移规律，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同，平移的规律：横坐标左减右加，纵坐标上加下减． 【详解】解：由题意可得线段向左平移2个单位，向上平移了3个单位， ∴， 故选：A． 题型十四　利用平移坐标系比较其坐标变化规律 例14. （22-23八年级上·全国·课后作业）如图 (1)分别求出点A，和点B，的坐标，并比较A与，B与之间的坐标变化． (2)图甲怎样平移到图乙？ 【答案】(1)，，由A到，横坐标增加5，纵坐标增加5；由B到，横坐标增加5，纵坐标增加5 (2)一次是向右平移5个单位，另一次是向上平移5个单位． 【分析】（1）比较点A，和点B，的横纵坐标即可得出答案； （2）根据图形结合平面直角坐标系的平移规律进行解答即可． 【详解】（1）解：点A，的坐标分别为；点B，的坐标分别为． 由A到，横坐标增加5，纵坐标增加5； 由B到，横坐标增加5，纵坐标增加5； （2）由第（1）题知，A，B都向右平移5个单位，向上平移5个单位． 从图甲到图乙，可以看作经过了两次平移：一次是向右平移5个单位，另一次是向上平移5个单位． 【点睛】本题考查了坐标与图形－平移，熟知平面直角坐标系中点的平移规律为“横坐标左减右加，纵坐标上加下减”是解本题的关键． 巩固训练 1. （20-21七年级下·新疆乌鲁木齐·期中）平面直角坐标系中，三角形的三个顶点的位置如图，为三角形内一点，的坐标为 (1)平移三角形，使点与原点重合，请画出平移后的三角形 (2)直接写出的对应点的坐标；并写出平移的规律． （ ， ）； （ ， ）； （ ， ）； (3)求三角形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)；先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 (3) 【分析】（1）根据题可得△ABC先向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到，即可求解； （2）根据平移的规律，即可求解； （3）利用△ABC所在的长方形的面积减去它周围的三角形的面积，即可求解． 【详解】（1）解：∵平移三角形，使点与原点重合，点C（1，2）， ∴△ABC先向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到， 如图，即为所求． （2）解：由（1）得：△ABC先向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到， ∵点A（4，3），B（2，-1），， ∴点， （3）解：． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形变换——平移，熟练掌握平移的规律是解题的关键． 2．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）如图，长方形四个顶点的坐标分别是，，，．将这个长方形向下平移个单位长度，得到长方形，则平移后的顶点坐标正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标的平移．点的左右平移与点的横坐标有关，左减右加；点的上下平移与点的纵坐标有关，上加下减． 【详解】解：长方形向下平移个单位长度，得到长方形， ，，，， 故选：B． 3．（22-23七年级下·全国·课后作业）已知三角形ABC经过平移后得到三角形，点A与，点B与，点C与分别是对应点，观察各对应点坐标之间的关系，解答下列问题：    (1)分别写出点A与，点B与，点C与的坐标； (2)若点P（2x，2y）通过上述的平移规律平移得到的对应点为，求x，y的值． 【答案】(1)A（1，2），B（2，1），C（3，3），，， (2) 【详解】（1）A（1，2），B（2，1），C（3，3），，，． （2）平移后的横坐标为-3＋2x，纵坐标为-3＋2y， ∴由题意，得解得 题型十五　利用坐标的变化确定平移方式 例15. （23-24七年级下·广西南宁·期末）在平面直角坐标系中，将点平移到点处，正确的移动方法是（    ） A．向右平移5个单位长度 B．向左平移5个单位长度 C．向下平移5个单位长度 D．向上平移5个单位长度 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形变化平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减；根据平移的规律即可求出平移方法． 【详解】解：∵， ∴平移方法为将点向下平移5个单位长度到点处． 故选：C． 巩固训练 1. （23-24七年级下·吉林四平·期末）如果将平面直角坐标系中的点平移到点的位置，那么下列平移方法中正确的是（      ） A．向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度 B．向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度 C．向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度 D．向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度 【答案】C 【分析】本题考查了点的平移的性质，平移规律：横坐标是左减右加，纵坐标是上加下减，据此即可作答． 【详解】解：∵将平面直角坐标系中的点平移到点的位置， ∴ ∴平移方法是向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度 故选：C 2．（23-24七年级下·吉林白山·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点分别为，，．将平移后得到且点的对应点是，点，的对应点分别为，． (1)说明是由经过怎样平移得到的？ (2)写出，的坐标并画出． 【答案】(1)向右平移5个单位长度再向下平移3个单位长度得到的（答案不唯一） (2)的坐标为，的坐标为，作图见解析 【分析】本题考查图形平移、点的平移、平移作图等知识，熟记点的平移、图形平移是解决问题的关键． （1）由题中与即可得到图形的平移方式； （2）由（1）的平移方式作出图形，数形结合即可得到，的坐标． 【详解】（1）解：点的对应点是， 点向右平移5个单位长度再向下平移3个单位长度得到点， 是由向右平移5个单位长度再向下平移3个单位长度得到的； （2）解：由（1）的平移方式，画出如图所示： 的坐标为，的坐标为． 3．（23-24七年级下·四川德阳·期中）如图，正方形的顶点，的坐标分别为和． (1)画出平面直角坐标系，并写出点，的坐标； (2)将正方形平移，使个顶点到原点的距离相等，画出平移后的正方形，并写出平移方式． 【答案】(1)作图见解析，，； (2)作图见解析，把正方形先向下平移个单位，再向右平移个单位得到正方形 【分析】本题考查了平移作图，在坐标系中描点，平移的性质； （1）利用点和点的坐标建立平面直角坐标系，从而得到、点的坐标； （2）利用正方形的性质得到平移后的正方形的中心为坐标原点，然后画出平移的正方形，从而得到平移的方向与距离． 【详解】（1）解：如图，，； （2）如图，把正方形先向下平移个单位，再向右平移个单位得到正方形． 题型十六　利用平移建立坐标系确定点的坐标 例16. （23-24七年级下·黑龙江佳木斯·期末）如图，四边形所在的网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位长度. (1)建立以O为原点，边所在直线为x轴的平面直角坐标系，并写出点C的坐标； (2)求出四边形的面积； (3)请画出将四边形向上平移4个单位长度，再向左平移2个单位长度后所得的四边形． 【答案】(1)画图见解析， (2)9 (3)画图见解析 【分析】此题考查了平面直角坐标系及点的坐标、图形的平移作图、网格中图形的面积等知识，准确建立平面直角坐标系是解题的关键． （1）按照要求建立平面直角坐标系，根据建立的坐标系写出点C的坐标即可； （2）根据四边形的面积求出面积即可； （3）按照平移规律找出、、、平移后的对应的、、、，再依次连接即可． 【详解】（1）解：建立平面直角坐标系如下图： 由图可得：点C的坐标为； （2）解：由图可得： 四边形的面积； （3）解：如图所示，四边形即为所求． 巩固训练 1．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）如图，在一个的正方形网格中有一个． (1)在网格中画出三角形向下平移3个单位得到的； (2)若以所在直线为x轴，所在的直线为y轴建立直角坐标系，写出，两点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题考查了平移作图，点坐标等知识．熟练掌握平移作图，点坐标是解题的关键． （1）由平移的性质作图即可； （2）根据题意建立平面直角坐标系，进而可得点坐标． 【详解】（1）解：由平移的性质作图，如图1，即为所作；           图1 （2）解：建立平面直角坐标系如图2，           图2 ∴，． 2．（22-23八年级下·河北邢台·期末）如图，已知A，B两点的坐标分别为． (1)在网格图中建立平面直角坐标系，标出点B关于x轴的对称点C，并写出点C的坐标； (2)平移线段使点A移动到点C，画出平移后的线段，并写出点D的坐标； (3)若x轴上存在一点P，使得，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)见解析， (2)见解析， (3)点P的坐标为或 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中坐标与图形，平移等知识； （1）根据点A，B的坐标建立平面直角坐标系，即可得点C的坐标． （2）根据平移的性质作图，即可得出答案． （3）设点P的坐标为，根据题意可列方程为=3，求出m的值即可． 【详解】（1）解：如图，平面直角坐标系、点C即为所求． 由图可得，． （2）由题意知，线段是向左平移3个单位长度，向下平移1个单位长度得到的线段， 如图，线段即为所求． 由图可得，． （3）设线段与x轴交于点E， 可知． 设点P的坐标为， ， 解得或6， ∴点P的坐标为或． 3．（23-24七年级下·广西钦州·期末）如图，在边长为的正方形网格中，三角形的三个顶点均在格点上，点的坐标为． (1)将三角形向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度后得到三角形A'B'C'，请画出三角形，并写出，的坐标； (2)连结，，直接写出与的位置关系． 【答案】(1)作图见解析，， (2) 【分析】本题考查作图—平移变换，坐标与图形， （1）根据题意画出平面直角坐标系，根据平移的性质分别确定、、的对称点、、，再顺次连接即可； （2）根据平移性质即可得出结论； 解题的关键是掌握平移的性质：①平移不改变图形的大小、形状，只改变图形的位置；②图形上的每个点都平移了相同的距离，对应点之间的距离就是平移的距离；③连接各组对应点的线段平行（或在同一直线上）且相等． 【详解】（1）解：如图建立平面直角坐标系，，； （2）与位置关系为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$