阶段质量检测(三) 函数的概念与性质（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

阶段质量检测(三) (时间：120分钟　满分：150分) 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．函数f(x)＝的定义域为(　　) A．[1，2] B．(1，2] C．(1，2) D．(－∞，1)∪(2，＋∞) D　解析：由题意得x2－3x＋2>0，解得x<1或x>2.故选D. 2．下列四组函数中，表示同一个函数的一组是(　　) A．f(x)＝，g(x)＝x＋1 B．f(x)＝，g(x)＝()2 C．f(x)＝|x|，g(x)＝ D．f(x)＝·，g(x)＝ C　解析：对于A，f(x)＝，g(x)＝x＋1定义域不同，不是同一个函数；对于B，f(x)＝，g(x)＝()2定义域不同，对应法则不同，不是同一个函数；对于C，f(x)＝|x|，g(x)＝定义域相同，对应法则相同，是同一个函数；对于D，f(x)＝·，g(x)＝定义域不同，不是同一个函数．故选C. 3．若函数f(2x＋1)＝6x＋4，则f(x)＝(　　) A．3x＋1 B．3x－1 C．6x＋1 D．6x＋3 A　解析：令t＝2x＋1，则x＝t－，所以f(t)＝6(t－)＋4＝3t＋1，所以f(x)＝3x＋1.故选A. 4．(2024·新乡高一期末)已知函数f(x)＝则f(－4)＝(　　) A．6 B．4 C．3 D．5 B　解析：依题意得f(－4)＝f＝5－1＝4.故选B. 5．(2024·柳州高一检测)f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，且f(－1)＋g(1)＝4，f(1)＋g(－1)＝2，则g(1)＝(　　) A．3 B．－1 C．1 D．－3 A　解析：因为f(x)为奇函数，g(x)为偶函数， 则f(－1)＝－f(1)，g(－1)＝g(1)， 所以－f(1)＋g(1)＝4，f(1)＋g(1)＝2， 两式相加可得2g(1)＝6，即g(1)＝3. 6．已知函数f(x)对于任意x1≠x2，满足>0，则满足条件的函数可以是(　　) A．y＝－2x＋1 B．y＝(x>0) C．y＝x2(x>0) D．y＝|x| C　解析：已知函数f(x)对于任意x1≠x2，满足>0，根据函数单调性的定义，得函数是一个在定义域上的增函数．选项A，函数y＝－2x＋1是R上的减函数，所以不满足条件；选项B，函数y＝(x>0)在(0，＋∞)上单调递减，所以不满足条件；选项C，函数y＝x2(x>0)在(0，＋∞)上单调递增，所以满足条件；选项D，函数y＝|x|在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，所以不满足条件．故选C. 7．如图，△OAB是边长为2的正三角形，记△OAB位于直线x＝t(0≤t≤2)左侧的图形的面积为f(t).则函数y＝f(t)的图象大致为(　　) A　解析：依题意，当0<t≤1时，可得直角三角形的两条直角边分别为t，t， 从而可以求得f(t)＝t·t＝， 当1<t≤2时，阴影部分可以看作大三角形减去一个小三角形， 可求得f(t)＝－＝－t2＋2t－， 所以f(t)＝ 从而可知选项A的图象满足题意． 8．如果奇函数f(x)在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f(x)在区间[－7，－3]上是(　　) A．增函数且最小值为－5 B．增函数且最大值为－5 C．减函数且最小值为－5 D．减函数且最大值为－5 B　解析：因为奇函数f(x)在区间[3，7]上是增函数，所以f(x)在区间[－7，－3]上也是增函数，且奇函数f(x)在区间[3，7]上有f(3)min＝5，则f(x)在区间[－7，－3]上有f(－3)max＝－f(3)＝－5.故选B. 二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．关于函数f(x)＝，下列结论正确的是(　　) A．f(x)的图象过原点 B．f(x)是奇函数 C．f(x)在区间(1，＋∞)上单调递减 D．f(x)是定义域上的增函数 AC　解析：函数f(x)＝＝＝1＋，f(0)＝0，A正确；图象关于点(1，1)对称，B错误；在(－∞，1)，(1，＋∞)上是减函数，在整个定义域上不是减函数，故C正确，D错误．故选AC. 10．若y＝f(x)(x∈R)是奇函数，则下列点一定在函数y＝f(x)图象上的是(　　) A．(0，0) B．(－a，－f(a)) C．(－a，－f(－a)) D．(a，f(－a)) AB　解析：因为y＝f(x)(x∈R)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，即f(－a)＝－f(a).又x∈R，所以令x＝0，则f(－0)＝－f(0)，得f(0)＝0，所以点(0，0)，(－a，－f(a))一定在y＝f(x)的图象上．故选AB. 11．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数．例如：[－2.3]＝－3，[3.2]＝3，下列命题正确的是(　　) A．[xy]＝[x][y] B．[x＋y]＝[x]＋[y] C．[x＋1]＝[x]＋1 D．[x]＋[x＋]＝[2x] CD　解析：对于A，例如[1.5×1.5]＝[2.25]＝2，[1.5][1.5]＝1×1＝1，所以不正确；对于B，例如[1.5＋1.5]＝[3]＝3，[1.5]＋[1.5]＝2，所以不正确；对于C，设x＝n＋r，其中n为x的整数部分，r为小数部分，即[x]＝n，[x＋1]＝[x＋r＋1]＝n＋1，[x]＋1＝[n＋r]＋1＝n＋1，所以C是正确的；对于D，[x]＋[x＋]＝ [n＋r]＋[n＋r＋]，若0≤r<，可得[x]＋[x＋]＝2n，[2x]＝[2n＋2r]＝2n；若<r<1，可得[x]＋[x＋]＝2n＋1，[2x]＝[2n＋2r]＝2n＋1，所以D是正确的．故选CD. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分．请把正确答案填在题中的横线上) 12．设函数f(x)＝，若f(a)＝2，则实数a＝____________________________________. 答案：1　解析：因为函数f(x)＝，所以f(a)＝2，即＝2，解得a＝1. 13．已知幂函数f(x)＝x－m2－2m＋3(m∈Z)为偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数，则m的值为________，f(2)的值为________． 答案：－1　16　解析：因为幂函数f(x)＝x－m2－2m＋3(m∈Z)为偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数，则指数是偶数且大于0， 因为－m2－2m＋3＝－(m＋1)2＋4≤4，因此指数等于2或4，当指数等于2时，求得m非整数，舍去，所以m＝－1，即f(x)＝x4. 所以f(2)＝24＝16. 14．已知函数f(x)是R上的奇函数，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，f(－5)＝0，则不等式(x－3)f(x)>0的解集是________． 答案：(－5，0)∪(3，5)　解析：根据题意，得函数f(x)是R上的奇函数，且f(－5)＝0，则f(5)＝－f(－5)＝0，又函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，则在区间(0，5)上，f(x)>0，在区间(5，＋∞)上，f(x)<0，又函数为奇函数，则在区间(－5，0)上，f(x)<0，在区间(－∞，－5)上，f(x)>0，不等式(x－3)f(x)>0⇒或 则－5<x<0或3<x<5， 即不等式的解集为(－5，0)∪(3，5). 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(13分)如图是一个电子元件在处理数据时的流程图： (1)试确定y与x的函数解析式； (2)求f(－3)，f(1)的值； (3)若f(x)＝16，求x的值． 解：(1)y＝ (2)f(－3)＝(－3)2＋2＝11；f(1)＝(1＋2)2＝9. (3)若x≥1，则(x＋2)2＝16，解得x＝2或x＝－6(舍去). 若x＜1，则x2＋2＝16，解得x＝(舍去)或x＝－. 综上，可得x＝2或x＝－. 16．(15分)已知函数f(x)＝. (1)判断f(x)在区间[0，＋∞)上的单调性，并用函数单调性的定义给出证明； (2)设g(x)＝f(x)－k(k为常数)与x轴两个交点的横坐标为x1，x2，且x1＜x2，当x1＜－时，求k的取值范围． 解：(1)f(x)在区间[0，＋∞)上单调递减，证明如下， 任取x1，x2∈[0，＋∞)，且x1＜x2， 则f(x1)－f(x2)＝－＝. 因为0≤x1＜x2， 所以x2－x1＞0，x2＋x1＞0，x＋1＞0，x＋1＞0， 所以f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2). 故f(x)在区间[0，＋∞)上单调递减． (2)函数g(x)＝f(x)－k(k为常数)与x轴交点的横坐标 即方程f(x)－k＝0(k为常数)的解， 令－k＝0，解得x＝±(0＜k＜2). 因为x1＜x2，x1＜－， 所以－＜－，故0＜k＜， 故k的取值范围为(0，). 17．(15分)已知函数f(x)＝－(a>0，x>0). (1)用定义证明f(x)在(0，＋∞)上是增函数； (2)若f(x)在区间[，4]上取得最大值为5，求实数a的值． (1)证明：设任意 x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝－－＋＝， ∵ 0<x1<x2，∴ x1－x2<0，x1x2>0， ∴ f(x1)－f(x2)<0，即 f(x1)<f(x2)， 故f(x)在(0，＋∞)上是增函数． (2)解：f(x)＝－在区间[，4]上是增函数， ∴f(4)＝5＝f(x)max，∴f(4)＝－＝5， 解得a＝. 18．(17分)某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过600件． (1)设一次订购x件，服装的实际出厂单价为p元，写出函数p＝f(x)的表达式； (2)当销售商一次订购多少件服装时，该厂获得的利润最大？其最大利润是多少？ 解：(1)当0<x≤100时，p＝60； 当100<x≤600时，p＝60－(x－100)×0.02＝62－0.02x. ∴p＝ (2)设利润为y元，则当0<x≤100时，y＝60x－40x＝20x； 当100<x≤600时，y＝(62－0.02x)x－40x＝22x－0.02x2. ∴y＝ 当0<x≤100时，y＝20x是增函数，所以当x＝100时，y最大，此时y＝20×100＝2 000； 当100<x≤600时，y＝22x－0.02x2＝－0.02(x－550)2＋6 050， ∴当x＝550时，y最大，此时y＝6 050. 显然6 050>2 000. ∴当一次订购550件时，利润最大，最大利润为6 050元. 19．(17分)已知函数f(x)＝x|x|，函数g(x)＝x2－2x－m. (1)求不等式f(x3－2)>－1的解集； (2)如果对于任意x2∈[－1，2]，都存在x1∈[－2，1]，使得g(x2)＝f(x1)，求实数m的取值范围． 解：(1)函数f(x)＝x|x|，定义域为R，f(－x)＝－x|－x|＝－x|x|＝－f(x)， 所以f(x)为奇函数． 当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2，则f(x)在[0，＋∞)上单调递增，所以f(x)在R上单调递增． 不等式f(x3－2)>－1，即f(x3－2)>f(－1)，得x3－2>－1，解得x>1， 所以不等式f(x3－2)>－1的解集为(1，＋∞). (2)函数g(x)＝x2－2x－m在[－1，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增， 且g(－1)＝3－m，g(1)＝－1－m，g(2)＝－m，则当x2∈[－1，2]时，g(x2)∈[－1－m，3－m]； 因为f(x)在[－2，1]上单调递增，当x1∈[－2，1]时，f(x1)∈[－4，1]， 依题意有解得2≤m≤3. 所以实数m的取值范围为[2，3]. 学科网（北京）股份有限公司 $$