第5章 5.2.1 第2课时 三角函数的概念(二)（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

第2课时　三角函数的概念(二) [对应学生用书P115] 知识点一　三角函数值在各象限的符号 设P(x，y)为α终边上任意一点(异于原点)，记r＝|OP|，则 sin α＝，cos α＝，tan α＝. 任意角α的三角函数值的符号与谁有关？ 　根据三角函数的定义，三角函数值在各象限的符号，如图所示： 记忆口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”． [例1] (1)若sin αtan α＜0，且＜0，则角α是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 (2)确定下列各三角函数值的符号： ①cos 260°；②sin (－)；③tan . (1)C　解析：由sin αtan α＜0可知sin α，tan α异号，从而α是第二或第三象限角．由＜0可知cos α，tan α异号，从而α是第三或第四象限角．综上可知，α是第三象限角． (2)解：①因为260°是第三象限角，所以cos 260°＜0. ②因为－是第四象限角，所以sin (－)＜0. ③因为是第三象限角，所以tan ＞0. 判断三角函数值的思路 三角函数值“符号看象限”，熟练掌握各象限内的三角函数值符号，是解题的基础．对绝对值大于360°或2π的角，可通过找终边相同的角判断其象限． [练1]已知角θ在第二象限，则(　　) A．sin θ＞0，cos θ＞0 B．sin θ＞0，cos θ＜0 C．sin θ＜0，cos θ＞0 D．sin θ＜0，cos θ＜0 B　解析：因为角θ在第二象限，所以有sin θ＞0，cos θ＜0. [练2](2024·太原高一期末)已知sin θcos θ>0，且|cos θ|＝cos θ，则角θ是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 A　解析：sin θcos θ>0，且|cos θ|＝cos θ， 则故角θ是第一象限角． 知识点二　诱导公式一 终边相同角的三角函数值有何关系？ 　文字语言：终边相同的角的同一三角函数的值相等． 诱导公式一： sin (α＋k·2π)＝sin_α， cos (α＋k·2π)＝cos_α， tan (α＋k·2π)＝tan_α， 其中k∈Z. (1)“同一三角函数值”即同名三角函数值． (2)公式一的结构特征：①左、右为同一三角函数； ②公式左边的角为α＋k·2π，右边为α，k∈Z不可遗漏． (3)公式一的作用：把求任意角的三角函数值转化为求0～2π(或0°～360°)角的三角函数值． [例2] 计算下列各式的值． (1)sin (－1 395°)cos 1 110°＋cos (－1 020°)·sin 750°； (2)sin (－)＋cos ·tan 4π. 解：(1)原式＝sin (－4×360°＋45°)cos (3×360°＋30°)＋cos (－3×360°＋60°)sin (2×360°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝×＋×＝＋＝. (2)原式＝sin (－2π＋)＋cos (2π＋)·tan (4π＋0)＝sin＋cos ×0＝. 利用诱导公式求解任意角的三角函数的步骤 [练3](2024·泰安高一检测)cos (－π)－sin(－π)＝________． 答案：　解析：cos (－)－sin (－)＝cos ＋sin ＝cos (4π＋)＋sin (4π＋)＝cos＋sin＝＋＝. [练4](2023·重庆高一检测)计算：7cos 270°＋3sin 270°＋tan 765°＝________． 答案：－2　解析：7cos 270°＋3sin 270°＋tan 765°＝7×0＋3×(－1)＋tan (2×360°＋45°)＝－3＋1＝－2. 1．知识清单 (1)三角函数值在各象限的符号；(2)诱导公式一． 2．方法归纳：由特殊到一般、转化与化归、分类讨论． 3．常见误区：(1)特殊角三角函数值记忆不准确致错； (2)对三角函数值在各象限符号记忆不准确致错． ◎随堂演练 1．(2024·深圳高一期末)sin 420°的值是(　　) A．－ B． C．－ D． D　解析：sin 420°＝sin (360°＋60°)＝sin 60°＝. 2．cos (－315°)的值是(　　) A．－ B．－ C． D． C　解析：cos (－315°)＝cos (－360°＋45°)＝cos 45°＝. 3．已知点P(sin θ，tan θ)是第二象限的点，则θ的终边位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 C　解析：∵点P(sin θ，tan θ)是第二象限的点， ∴sin θ<0，tan θ>0，则θ的终边位于第三象限． 4．已知tan α＝3，则tan (α＋4π)的值为________． 答案：3　解析：因为tan α＝3，所以tan (α＋4π)＝tan α＝3. 学科网（北京）股份有限公司 $$