第5章 5.2.1 第1课时 三角函数的概念(一)（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

5．2　三角函数的概念 5．2.1　三角函数的概念 [对应学生用书P113] 学习目标 1.借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义，并能确定三角函数值在各象限的符号． 2．掌握利用诱导公式一求给定角的三角函数值． 第1课时　三角函数的概念(一) 知识点　三角函数的概念 1．我们已经学习过直角的三角函数，如图： sin A＝，cos A＝，tan A＝.能否在直角坐标系中表示锐角三角函数？ 2．使锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P，作PM⊥x轴于点M，设P(x，y)，|OP|＝r. (1)角α的正弦、余弦、正切分别等于什么？ (2)当取|OP|＝1时，sin α，cos α，tan α的值怎样表示？ 条件 如图，设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆交于点P(x，y) 定义 正弦函数 把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sin α，即y＝sin_α 余弦函数 把点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cos α，即x＝cos_α 正切函数 以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数，称为正切函数，记作tan α，即＝tan_α(x≠0) 三角函数 正弦函数、余弦函数、正切函数都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数． 通常记作： 正弦函数：y＝sin x，x∈R， 余弦函数：y＝cos x，x∈R， 正切函数：y＝tan x，x∈{x|x≠kπ＋(k∈Z)} (1)“三角函数”值是比值，是一个实数； (2)三角函数值的大小只与角的大小有关； (3)推广：已知终边上任意一点可求三角函数值的大小，若已知角α终边上一点P(x，y)不是单位圆上一点，则先求r＝，再求sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0). 角度1　已知角的终边上一点求三角函数值 [例1] 在平面直角坐标系中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为，则tan α＝________________________________________________________________________. 答案：或－　解析：由题意，设点A的坐标为(x，)， 所以x2＋()2＝1，解得x＝或x＝－. 当x＝时，角α在第一象限，tan α＝＝； 当x＝－时，角α在第二象限，tan α＝＝－. 单位圆法求三角函数值 先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用三角函数的定义求出相应的三角函数值． [练1]在平面直角坐标系xOy中，角α以x轴非负半轴为始边，它的终边经过点(5，12)，则cos α＝(　　) A．－ B． C．－ D． B　解析：由任意角的三角函数的定义可知，cos α＝＝.故选B. 角度2　已知角α终边所在直线求三角函数值 [例2] 已知角α的终边在直线y＝x上，求sin α，cos α，tan α的值． 解：因为角α的终边在直线y＝x上， 所以可设P(a，a)(a≠0)为角α终边上任意一点， 则r＝ ＝2|a|(a≠0). 若a>0，则α为第一象限角，r＝2a， 所以sin α＝＝，cos α＝＝，tan α＝＝. 若a<0，则α为第三象限角，r＝－2a，所以sin α＝＝－，cos α＝－＝－，tan α＝＝. 已知角终边所在直线求三角函数值时应注意的问题 在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上异于原点的任意一点的坐标的(a，b)，则对应角的三角函数值分别为sin α＝，cos α＝，tan α＝. [练2](2024·重庆高一检测)已知角α的终边在直线y＝－x上，且cos α＜0，则tan α＝________． 答案：－1　解析：由题意可知，角α的终边在第二象限， 在其终边上任意一点P(x，－x)(x＜0)，由三角函数的定义可知tan α＝＝－1. 角度3　含参数的三角函数问题 [例3] 已知角α终边经过点P(－8m，－6cos 60°)且cos α＝－，则m的值为(　　) A． B．－ C．－ D． A　解析：点P的坐标可化为(－8m，－3)，由r＝＝，由三角函数的定义知cos α＝＝＝－.即100m2＝64m2＋9，解得m＝±，当m＝－时，点P的坐标为(4，－3)，则cos α为正，不符合题意，故m＝. 含参数的三角函数问题的思路 当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论． [练3](2024·佛山高一月考)已知角α的始边与x轴非负半轴重合，终边过点P(x，1)，且sin α＝，则x＝(　　) A．－ B． C．± D．± C　解析：因为角α的始边与x轴非负半轴重合，终边过点P(x，1)，所以sin α＝＝，解得x＝±. 1．知识清单 三角函数定义的两种形式． 2．方法归纳：定义法、数形结合法． 3．常见误区：求三角函数值时对终边位置考虑不全致错． ◎随堂演练 1．(2024·石家庄高一期末)已知角α的始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P(4，－3)，则sin α＋cos α的值是(　　) A． B．－ C． D．－ A　解析：由题意可得x＝4，y＝－3，r＝5，则sin α＝＝－，cos α＝＝，sin α＋cos α＝，故选A. 2．已知sin α＝，cos α＝－，则角α的终边与单位圆的交点坐标是(　　) A．(，－) B．(－，) C．(，－) D．(－，) D　解析：设交点坐标为P(x，y)，则y＝sin α＝，x＝cos α＝－，∴点P(－，). 3．(2024·泰安高一期末)已知角θ的终边经过点P(x，3)，且cos θ＝－，则x＝(　　) A．－4 B．4 C．－ D． A　解析：∵角θ的终边经过点P(x，3)，∴cos θ＝＝－，解得x＝－4. 4．若α的终边与x轴负半轴重合，则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________． 答案：0　－1　0　解析：当α的终边与x轴负半轴重合时，角α的终边与单位圆的交点坐标为(－1，0)，故sin α＝0，cos α＝－1，tan α＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $$