第5章 5.1.2 弧度制（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

5．1.2　弧度制 [对应学生用书P111] 学习目标 1.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的相互转化． 2．掌握弧度制下的扇形的弧长和面积公式． 知识点一　弧度制的概念 度量长度可以用米、英尺、码等单位制，度量质量可以用千克、磅等不同的单位制．不同的单位制能给解决问题带来方便．角的度量是否也能用不同的单位制呢？能否像度量长度那样，用十进制的实数来度量角的大小呢？ 1．弧度制 我们规定：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角． 2．弧度数的计算 在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为α rad，那么|α|＝. 3．一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0． “弧度角”即用等于半径长的圆弧来度量角，大小一定的圆心角α所对应的弧长和半径的比值是唯一确定的，与半径大小无关． [例1] 下列各命题中，为真命题的是(　　) A．1弧度就是1°的圆心角所对的弧 B．1弧度是长度等于半径的弧 C．1弧度是1°的弧与1°的角之和 D.1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角的大小 D　解析：根据弧度制和角度制的规定可知选项A，B，C均错误，选项D正确． 弧度制中的两个关注点 (1)圆心角α与所对应的弧长和半径的比值是唯一确定的； (2)任意角的弧度数与实数是一一对应的关系． [练1] 下列说法正确的是(　　) A．1弧度的圆心角所对的弧长等于半径 B．大圆中1弧度的圆心角比小圆中1弧度的圆心角大 C．所有圆心角为1弧度的角所对的弧长都相等 D．用弧度表示的角都是正角 A　解析：对于A项，根据弧度的定义知，“1弧度的圆心角所对的弧长等于半径”，故A项正确；对于B项，大圆中1弧度的圆心角与小圆中1弧度的圆心角相等，故B项错误；对于C项，只有在同圆或等圆中，1弧度的圆心角所对的弧长是相等的，故C项错误；对于D项，用弧度表示的角也可以是负角或零角，故D项错误． 知识点二　角度制与弧度制的换算 角度制与弧度制都是度量角的单位，它们之间能相互换算吗？ 1．角度与弧度的换算 (1)“弧度”单位rad可以省略； (2)在同一个题目中，弧度与角度不能混用． 2．一些特殊角的度数与弧度数的对应关系 度 0° 1° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧度 0 π 2π [例2] 将下列角度与弧度进行互化． (1)π；(2)－；(3)10°；(4)－855°. 解：(1)π＝×180°＝15 330°. (2)－＝－×180°＝－105°. (3)10°＝10×＝. (4)－855°＝－855×＝－. 角度制与弧度制互化的原则和方法 (1)原则：牢记180°＝π rad，充分利用1°＝ rad和1 rad＝()°进行换算． (2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n，则α rad＝(α·)°；n°＝n· rad. [练2] (多选)下列转化结果正确的是(　　) A．67°30′化成弧度是 B．－化成角度是－600° C．－150°化成弧度是－ D．化成角度是15° ABD　解析：67°30′＝67.5×＝，A项正确；－＝－×()°＝－600°，B项正确；－150°＝－150×＝－，C项错误；＝×()°＝15°，D项正确． 知识点三　弧度制下的扇形的弧长与面积公式 　设扇形的半径为R，弧长为l，α(0＜α＜2π)为其圆心角，则：(1)弧长公式：l＝αR． (2)扇形面积公式：S＝lR＝αR2. [例3] 已知一扇形的圆心角是α，所在圆的半径是R. (1)若α＝60°，R＝10，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积； (2)若扇形的周长是定值C(C＞0)，当|α|为多少弧度时，该扇形的面积最大？ 解：(1)设弧长为l，弓形面积为S弓， ∵α＝60°＝，R＝10，∴l＝，S弓＝S扇－S△＝××10－×10×5＝50(－). (2)扇形周长C＝2R＋l，∴l＝C－2R， ∴S扇＝lR＝(C－2R)R＝－R2＋RC＝－(R－)2＋， ∴当R＝时，S扇有最大值且为， 此时l＝C－2R＝，∴|α|＝＝·＝2. 故|α|＝2时，该扇形的面积最大． 扇形的弧长和面积的求解策略 (1)记公式：弧度制下扇形的面积公式是S＝lR＝αR2(其中l是扇形的弧长，R是扇形的半径，α是扇形圆心角的弧度数，0<α<2π). (2)找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解． [练3](2024·济南高一检测)工艺扇面是中国书画的一种常见表现形式．如图所示，已知扇面展开后形成一个中心角为的扇环，其中扇环的外圆半径为30 cm，内圆半径为10 cm，某同学准备用布料制作这样一个扇面，若不计损耗，则需要布料(　　) A．15π cm2 B．30π cm2 C．300π cm2 D．600π cm2 C　解析：由题意可知，需要的布料为××(302－102)＝300π(cm2). 综合应用：用弧度表示角 [例4] 将－1 125°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α<2π，并判断它是第几象限角． 解：－1 125°＝－1 125×＝－＝－8π＋， 其中<<2π，所以是第四象限角， 所以－1 125°是第四象限角． 用弧度制表示终边相同的角的两个关注点 (1)用弧度制表示终边相同的角2kπ＋α(k∈Z)时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍． (2)注意角度制与弧度制不能混用． [练4](2024·济南高一检测)用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如图).　 解：图1所表示的角的集合为{α|2kπ－＜α＜2kπ＋，k∈Z}．图2终边落在阴影部分的角的集合为{α|2kπ＋＜α＜2kπ＋，k∈Z}． 1．知识清单 (1)弧度制的概念； (2)弧度与角度的相互转化； (3)掌握特殊角的度数与弧度数的对应关系； (4)扇形的弧长与面积的计算． 2．方法归纳：由特殊到一般、数学运算． 3．常见误区：弧度与角度混用． ◎随堂演练 1．(多选)下列说法中，正确的是(　　) A．半圆所对的圆心角是π rad B．周角的大小等于2π C．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径 D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度 ABC　解析：根据弧度的定义及角度与弧度的换算知A，B，C均正确，D错误． 2．若α＝－2 rad，则α的终边在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：C 3．(2024·重庆高一检测)“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出人怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号，如图，这是折扇的示意图．已知D为OA的中点，OA＝4，∠AOB＝，则此扇面(扇环ABCD)部分的面积是________． 答案：4π　解析：由题意可得整个折扇扇形的半径r＝4，圆心角α＝，故扇面面积S＝αr2－α·()2＝αr2＝××42＝4π. 学科网（北京）股份有限公司 $$