第5章 5.1.1 任意角（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

5．1　任意角和弧度制 5．1.1　任意角 [对应学生用书P108] 学习目标 1.了解任意角的概念，区分正角、负角与零角． 2．了解象限角的概念，理解并掌握终边相同的角的概念，能写出终边相同的角所组成的集合． 3．利用象限角和终边相同角的概念解决简单的问题． 知识点一　任意角的概念 跳水比赛中某运动员做“两周半”的动作． 运动员会做出“转体两周”或“转体两周半”等动作是什么意思呢？ 1．角的概念 角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形． 2．角的表示 如图，(1)始边：射线的起始位置OA； (2)终边：射线的终止位置OB； (3)顶点：射线的端点O； (4)记法：图中的角α可记为“角α”或“∠α”或“∠AOB”． 3．角的分类 类型 定义 图示 正角 一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角 负角 按顺时针方向旋转形成的角 零角 如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个零角 4．任意角 我们把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角． 5．相反角 我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角，角α的相反角记为－α． “正角”“负角”“零角”“相反角”同实数中的正数、负数、零、相反数类似，都是表示相反意义的量． [例1] (1)若手表时针走过4小时，则时针转过的角度为(　　) A．120° B．－120° C．－60° D．60° (2)如图，射线OA先绕端点O逆时针方向旋转60°到OB处，再按顺时针方向旋转820°至OC处，则β＝________． 答案：(1)B　(2)－40°　解析：(1)由于时针是顺时针旋转，故时针转过的角度为负数，即为－×360°＝－120°. (2)∠AOC＝60°＋(－820°)＝－760°， β＝－(760°－720°)＝－40°. 判断角的概念问题的关键与技巧 (1)关键：正确理解锐角、直角、钝角、平角、周角等概念． (2)技巧：判断一种说法正确需要证明，而判断一种说法错误只要举出反例即可． [练1] 写出图(1)，图(2)中的角α，β，γ的度数． 　 解：题干图(1)中，α＝360°－30°＝330°； 题干图(2)中，β＝－360°＋60°＋150°＝－150°， γ＝360°＋60°＋(－β)＝360°＋60°＋150°＝570°. 知识点二　象限角 现在，我们把角的概念推广到了任意角，如何更形象的表示一个角？ (1)前提：角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合． (2)分类： (1)每一个象限都有正角和负角； (2)“象限角”是一个位置角，无法比较象限角的大小． [例2] 在①160°；②480°；③－960°；④1 530°这四个角中，属于第二象限角的是(　　) A．① B．①② C．①②③ D．①②③④ C　解析：①160°很显然是第二象限角；②480°＝120°＋360°是第二象限角；③－960°＝－3×360°＋120°是第二象限角；④1 530°＝4×360°＋90°不是第二象限角，故选C. 象限角的判定方法 (1)根据画图判定．利用画图实际操作时，依据是终边相同的角的思想，因为0°～360°之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系． (2)将角转化到0°～360°范围内．在平面直角坐标系中，在0°～360°之间没有两个角终边是相同的． [练2] 下列说法叙述正确的是(　　) A．三角形的内角是第一象限角或第二象限角 B．钝角是第二象限角 C．第二象限角比第一象限角大 D．小于180°的角是钝角、直角或锐角 B　解析：直角不属于任何一个象限，故A项不正确；钝角是大于90°小于180°的角，是第二象限角，故B项正确；由于120°是第二象限角，390°是第一象限角，120°<390°，故C项不正确；由于零角和负角也小于180°，故D项不正确． 知识点三　终边相同的角 给定一个角，它的终边是否唯一？若两角的终边相同，那么这两个角相等吗？ 终边相同的角 “终边相同的角”顾名思义即相同终边的角，前提条件是角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合． [例3] (2024·厦门高一检测)已知α＝－1 090°. (1)把α写成β＋k·360°(k∈Z，0°≤β＜360°)的形式，并指出它是第几象限角； (2)写出与α终边相同的角θ构成的集合S，并把S中适合不等式－360°≤θ＜360°的元素θ写出来． 解：(1)∵－1 090°＝－4×360°＋350°，270°＜350°＜360°， ∴把角α写成β＋k·360°(k∈Z，0°≤β＜360°)的形式为－1 090°＝－4×360°＋350°， 它是第四象限角． (2)∵θ与α的终边相同，∴令θ＝k·360°＋350°，k∈Z， ∴S＝{θ|θ＝k·360°＋350°，k∈Z}， 当k＝－1，0时，满足题意，得到θ＝－10°，350°. 终边相同的角的表示方法 (1)与角α终边相同的角都可以表示成α＋k·360°(k∈Z)的形式． (2)终边相同的角相差360°的整数倍． [练3](2024·德州高一期中)下列各角中，与2 024°角终边相同的是(　　) A．－224° B．224° C．－147° D．147° B　解析：因为2 024°－224°＝5×360°，所以角2 024°与角224°的终边相同； 因为2 024°－(－224°)＝2 248°不是360°的整数倍，所以它们的终边不同； 因为2 024°－(－147°)＝2 171°不是360°的整数倍，所以它们的终边不同； 因为2 024°－147°＝1 877°不是360°的整数倍，所以它们的终边不同． 综合应用：区间角的表示及应用 [例4] 如图所示． (1)分别写出终边落在OA，OB边上的角的集合； (2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合． 解：(1)终边落在OA边上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}，终边落在OB边上的角的集合为{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}． (2)由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于－30°到135°之间的与之终边相同的角组成的集合，故可表示为{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}． 表示区间角的三个步骤 第一步：先按逆时针的方向找到区间的起始和终止边界； 第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的在－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α<x<β}，其中β－α<360°； 第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角的集合． [练4] 已知角α的终边在如图所示的阴影部分内，试指出角α的取值范围． 解：终边在30°角的终边所在直线上的角的集合为S1＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}，终边在180°－75°＝105°的终边所在直线上的角的集合为S2＝{α|α＝105°＋k·180°，k∈Z}，因此终边在图中阴影部分的角α的取值范围为{α|30°＋k·180°≤α＜105°＋k·180°，k∈Z}． 1．知识清单 (1)正角、负角、零角的概念； (2)终边相同的角的表示； (3)象限角、区间角的表示． 2．方法归纳：数形结合、分类讨论． 3．常见误区：锐角与小于90°角的区别，终边相同角的表示中漏掉k∈Z. ◎随堂演练 1．已知角α在平面直角坐标系中，如图所示，其中射线OA与y轴正半轴的夹角为30°，则α的值为(　　) A．－480° B．－240° C．150° D．480° D　解析：由角α的终边绕原点O按逆时针方向旋转，可知α为正角．又旋转量为360°＋90°＋30°＝480°，∴α＝480°. 2．下列各角中，与760°角终边相同的角是(　　) A．60° B．360° C．－320° D．－440° C　解析：与760° 角终边相同的角为k·360°＋760°(k∈Z)， 当k＝1时，360°＋760°＝1 120°； 当k＝－1 时，－360°＋760°＝400°； 当k＝－2时，－2×360°＋760°＝40°； 当k＝－3时，－3×360°＋760°＝－320°. 学科网（北京）股份有限公司 $$