第4章 4.5.3 函数模型的应用（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

4．5.3　函数模型的应用 [对应学生用书P104] 学习目标 1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具． 2．在实际情境中，会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律． 知识点　几种常见函数模型 名称 解析式 条件 一次函数模型 y＝kx＋b k≠0 反比例函数模型 y＝＋b k≠0 二次函数模型 一般式：y＝ax2＋bx＋c 顶点式：y＝a(x＋)2＋ a≠0 指数函数模型 y＝b·ax＋c a＞0且a≠1， b≠0 对数函数模型 y＝mlogax＋n a＞0且a≠1， m≠0 幂函数模型 y＝axn＋b a≠0，n≠1 角度1　指数函数模型 [例1] 一种放射性元素，最初的质量为500 g，按每年10%衰减． (1)求t年后，这种放射性元素的质量w的表达式； (2)由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期(参考数据：lg 0.5≈－0.301 0，lg 0.9≈－0.045 8.结果精确到0.1). 解：(1)最初的质量为500 g. 经过1年，w＝500(1－10%)＝500×0.9； 经过2年，w＝500×0.92； 由此推知，t年后，w＝500×0.9t. (2)由题意得500×0.9t＝250， 即0.9t＝0.5，两边取以10为底的对数， 得lg 0.9t＝lg 0.5，即t lg 0.9＝lg 0.5， ∴t＝≈6.6，即这种放射性元素的半衰期为6.6年. 指数函数模型的关注点 在实际问题的应用中，常见的增长率问题的解析式可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式．有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示． [练1](2024·郑州高一期末)心理学家有时用函数L(t)＝250(1－e－kt)来测定人们在时间t(min)内能够记忆的单词量L，其中k表示记忆率．心理学家测定某学生在10 min内能够记忆50个单词，则该学生在40 min内能记忆的单词个数约为(　　) A．148 B．136 C．128 D．122 A　解析：由题可得：L(10)＝250(1－e－10k)＝50，则e－10k＝，所以L(40)＝250(1－e－40k)＝250[1－(e－10k)4]＝250×[1－()4]≈148， 即该学生在40 min内能记忆的单词个数约为148. 角度2　对数函数模型 [例2] (2024·成都高一检测)已知火箭的最大速度v(单位：km/s)与燃料质量M(单位：kg)、火箭质量m(单位：kg)的函数关系为v＝2ln (1＋)，当火箭的质量为3 000 kg，最大速度为9 km/s，若保持火箭(除燃料外)质量不变，为使最大速度达到10 km/s，则需要再加注的燃料质量约为(ln 90≈4.5，e5≈148)(　　) A．267 000 kg B．174 000 kg C．147 000 kg D．441 000 kg B　解析：由题意知当m＝3 000时，v＝9，设此时燃料质量为M1， 将m＝3 000，v＝9，代入v＝2ln (1＋)， 得9＝2ln (1＋)， 所以ln (1＋)＝4.5≈ln 90， 即＋1≈90，解得M1≈267 000， 当v＝10时，设此时燃料质量为M2，则10＝2ln (1＋)， 即1＋＝e5≈148，解得M2≈441 000， 所以需要再加注的燃料质量约为M2－M1＝441 000－267 000＝174 000(kg). 对数函数应用题的基本类型和求解策略 (1)基本类型：有关对数函数的应用题一般都会给出函数的解析式，然后根据实际问题求解． (2)求解策略：首先根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据数值回答其实际意义． [练2] 有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙，飞往繁殖地产卵，科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数v＝log3－lg x0，单位是km/min，其中x表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，x0代表测量过程中该类候鸟每分钟的耗氧量偏差(参考数据：lg 2≈0.30，31.2≈3.74，31.4≈4.66). (1)当x0＝2，候鸟每分钟的耗氧量为8 100个单位时，候鸟的飞行速度是多少？ (2)当x0＝5，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少单位？ (3)若雄鸟的飞行速度为2.5 km/min，同类雌鸟的飞行速度为1.5 km/min，则此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的多少倍？ 解：(1)由题意，x0＝2，x＝8 100， 得v＝log3－lg 2≈1.7， 故此时候鸟的飞行速度为1.7 km/min. (2)由题意得，当候鸟停下休息时，它的速度是0， 可得0＝log3－lg 5， 即log3＝2lg 5＝2(1－lg 2)，解得x≈466， 故候鸟停下休息时每分钟的耗氧量约为466个单位． (3)设雄鸟每分钟的耗氧量为x1，雌鸟每分钟的耗氧量为x2， 由题意得 两式相减可得1＝log3()，解得＝9， 故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的9倍． 角度3　建立拟合函数模型解决实际问题 [例3] (2024·大同高一上学期考试)某果园占地约200公顷，拟种植某种果树，在相同种植条件下，该种果树每公顷最多可种植600棵，种植成本y(单位：万元)与果树数量x(单位：百棵)之间的关系如下表所示． x 0 4 9 16 36 y 3 7 9 11 15 为了描述种植成本y(单位：万元)与果树数量x(单位：百棵)之间的关系，现有以下三种模型供选择：①y＝bx＋c；②y＝b＋c；③y＝blogax＋c. (1)选出你认为最符合实际的函数模型，并写出相应的函数解析式； (2)已知该果园的年利润z(单位：万元)与x，y的关系式为z＝3y－0.1x－20，则果树数量x(单位：百棵)为多少时年利润最大？并求出年利润的最大值． 解：(1)因为模型③在x＝0处无意义，所以不符合题意. 若选择①作为y与x的函数模型，将(0，3)，(4，7)代入，得 解得则y＝x＋3. 则当x＝9时，y＝12，当x＝16时，y＝19，当x＝36时，y＝39， 与表格中的实际值相差较大，所以①不适合作为y与x的函数模型. 若选择②作为y与x的函数模型，将(0，3)，(4，7)代入，得 解得则y＝2＋3, 当x＝9时，y＝9，当x＝16时，y＝11，当x＝36时，y＝15， 与表格中的实际值相同，所以②更适合作为y与x的函数模型， 且相应的函数解析式为y＝2＋3(100x∈N). (2)由题可知，该果园最多可种120 000棵该种果树，所以x∈[0，1 200]，且100x∈N. z＝3y－0.1x－20＝6＋9－0.1x－20＝－0.1x＋6－11, 令＝t(0≤t≤20)，则z＝－0.1(t－30)2＋79， 当t＝30，即x＝900时，z取得最大值， 最大值为79万元． 建立拟合函数与预测的基本步骤 [练3] 假设某地初始物价为1，其物价每年以5%的增长率递增，当该地物价不低于1.5时，至少需要经过的年数为(参考数据：lg 2≈0.3，lg 3≈0.48，lg 21≈1.32)(　　) A．8 B．9 C．10 D．11 B　解析：经过x年后该地物价为()x，所以由题意得()x≥，得x≥log，而log＝＝≈9，所以x≥9，故至少需要经过的年数为9. 1．知识清单 (1)应用已知函数模型解决实际问题； (2)指数型函数模型； (3)对数型函数模型． 2．方法归纳：转化法． 3．常见误区：实际应用题易忘记定义域和结论． ◎随堂演练 1．我国古代著名的思想家庄子在《庄子·天下篇》中说：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”用现代语言叙述为一尺长的木棒，每天取其一半，永远也取不完．这样，每天剩下的部分都是前一天的一半，如果把“一尺之棰”看成单位“1”，那么x天后剩下的部分y与x的函数关系式为(　　) A．y＝x(x∈N*) B．y＝x(x∈N*) C．y＝2x(x∈N*) D．y＝(x∈N*) 答案：D 2．某种产品今年的产量是a，如果保持5%的年增长率，那么经过x年(x∈N*)，该产品的产量y满足(　　) A．y＝a(1＋5%x) B．y＝a＋5% C．y＝a(1＋5%)x－1 D．y＝a(1＋5%)x D　解析：经过1年，y＝a(1＋5%)，经过2年，y＝a(1＋5%)2，…，经过x年，y＝a(1＋5%)x. 3．某位股民购进某只股票，在接下来的交易时间内，他的这只股票先经历了3次涨停(每次上涨10%)，又经历了3次跌停(每次下降10%)，则该股民这只股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为(　　) A．略有亏损 B．略有盈利 C．没有盈利也没有亏损 D．无法判断盈亏情况 A　解析：由题意可得(1＋10%)3(1－10%)3＝0.970 299≈0.97<1.因此该股民这只股票的盈亏情况为略有亏损． 学科网（北京）股份有限公司 $$