第4章 4.5.2 用二分法求方程的近似解（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

4．5.2　用二分法求方程的近似解 [对应学生用书P102] 学习目标 1.探索二分法求方程近似解的思路． 2．掌握二分法的实施步骤． 3．体会二分法中蕴含的逐步逼近与程序化思想． 知识点一　二分法的概念 在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障．这是一条10 km长的线路，如何迅速查出故障所在？ 如果你是维修工人，你会爬上每根线杆测试吗？ 想一想，怎样工作最合理？ 二分法 　对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． (1)二分法的求解原理是函数零点存在定理． (2)用二分法只能求变号零点，即零点左右两侧函数值的符号相反，比如y＝x2，该函数有零点为0，但不能用二分法求解． [例1] (多选)以下每个图象表示的函数都有零点，但能用二分法求函数零点的(　　) ABD　解析：当函数的图象在x轴的同一侧时，不能用二分法进行求解．选项A，B，D的图象均在x轴的两侧，可用二分法求解，只有选项C的图象在x轴的同一侧，不能用二分法求解． 二分法的适用条件 判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是，其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用． [练1] 已知函数f(x)的图象如图所示，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为(　　) A．4，4 B．3，4 C．5，4 D．4，3 D　解析：由题可知此图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右函数值异号的零点有3个，所以用二分法求解的个数为3，故选D. 知识点二　用二分法求函数零点的近似值 用二分法求函数零点近似值的步骤 　给定精确度ε，用二分法求函数y＝f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下： (1)确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)f(b)<0. (2)求区间(a，b)的中点c. (3)计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间： ①若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点； ②若f(a)f(c)<0，此时x0∈(a，c)，则令b＝c； ③若f(c)f(b)<0，此时x0∈(c，b)，则令a＝c. (4)判断是否达到精确度ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)～(4). [例2] (多选)用二分法求函数f(x)＝5x＋7x－2的一个零点，其参考数据如下： x 0.062 5 0.093 75 0.125 0.156 25 0.187 5 f(x) －0.456 7 －0.180 9 0.097 8 0.379 7 0.664 7 根据上述数据，可得f(x)＝5x＋7x－2的一个零点近似值(精确度为0.05)为(　　) A．0.625 B．0.093 75 C．0.125 D．0.096 BCD　解析：已知f(0.093 75)<0，f(0.125)>0，则函数f(x)的零点的初始区间为(0.093 75，0.125)，所以零点在区间(0.093 75，0.125)上，|0.125－0.093 75|＝0.031 25<0.05，所以0.093 75，0.096，0.125都符合题意． 二分法求函数零点的关注点 (1)验证零点所在的区间是否符合精确度要求； (2)区间内的任一点都可以作为零点的近似值，一般取端点作为零点的近似解． [练2](2024·南宁高一检测)若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下： f(1)＝－2 f(1.5)＝0.625 f(1.25)＝－0.984 f(1.375)＝－0.260 f(1.437 5)＝0．162 f(1.406 25)＝－0.054 那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确度为0.05)可以是(　　) A．1.25 B．1.375 C．1.42 D．1.5 C　解析：由表格可得，函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的零点在(1.406 25，1.437 5)之间；结合选项可知，方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确度为0.05)可以是1.42，故选C. 1．知识清单 (1)二分法的定义； (2)利用二分法求函数的零点、方程的近似解； (3)二分法在实际生活中的应用． 2．方法归纳：化归、逼近． 3．常见误区：二分法并不适用于所有零点，只能求函数的变号零点，且函数图象在零点附近是连续的． ◎随堂演练 1．观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是(　　) 答案：A 2．下列函数中，必须用二分法求其零点的是(　　) A．y＝x＋7 B．y＝5x－1 C．y＝log3x D．y＝()x－x D　解析：A，B，C项均可用解方程求其根，D项不能用解方程求其根，只能用二分法求零点． 3．(2024·德州高一检测)用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间[2，3]内的实根，取区间中点为x0＝2.5，那么下一个有根的区间是(　　) A．[2，2.5] B．[2.5，3] C．[2，2.25] D．[2.75，3] A　解析：由题意，设f(x)＝x3－2x－5， 其中f(2)＝23－2×2－5＝－1＜0，f(3)＝33－2×3－5＝16＞0. 又由f(2.5)＝(2.5)3－2×2.5－5＝5.625＞0，则f(2)·f(2.5)＜0，可得方程根在区间[2，2.5]内． 4．对于函数f(x)在定义域内用二分法的求解过程如下：f(2 023)<0，f(2 024)<0，f(2 025)>0，下列叙述正确的是(　　) A．函数f(x)在(2 024，2 025)内不存在零点 B．函数f(x)在(2 023，2 024)内不存在零点 C．函数f(x)在(2 024，2 025)内存在零点，并且仅有一个 D．函数在(2 023，2 024)内可能存在零点 D　解析：f(2 023)·f(2 024)>0，只能说在(2 023，2 024)内可能存在零点，也可能不存在零点．f(2 024)·f(2 025)<0，说明在(2 024，2 025)内至少有一个零点，不能说是唯一，故答案选D. 学科网（北京）股份有限公司 $$