第4章 4.4.3 不同函数增长的差异（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

4.4.3　不同函数增长的差异 [对应学生用书P96] 学习目标 1.结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较对数函数、一次函数、指数函数增长速度的差异． 2．理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义． 知识点　三种函数模型的比较 y＝ax(a>1) y＝kx(k>0) y＝logax(a>1) 在(0，＋∞)上的增减性 增函数 增函数 增函数 图象的变化 随x增大逐渐接近与y轴平行 增长速度固定 随x增大逐渐接近与x轴平行 增长速度 (1)y＝ax(a>1)：随着x的增大，y增长速度越来越快，会远远大于y＝kx(k>0)的增长速度，y＝logax(a>1)的增长速度越来越慢； (2)存在一个x0，当x>x0时，有ax>kx>logax (1)“指数爆炸”——当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型； (2)“对数增长”——当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长很大时，常常选用对数函数模型； (3)“直线上升”——一次函数增长速度不变，平稳变化； (4)函数值的大小不等同于增长速度快慢，数值大不一定增长速度快，增长速度体现在函数值的变化趋势上. 角度1　三类函数模型增长差异的比较 [例1] 甲、乙、丙、丁四个物体可同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程fi(x)(i＝1，2，3，4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)，有以下结论： ①当x＞1时，甲走在最前面； ②当x＞1时，乙走在最前面； ③当0＜x＜1时，丁走在最前面，当x＞1时，丁走在最后面； ④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面； ⑤如果它们一直运动下去，那么最终走在最前面的是甲． 其中正确结论为________(填序号). 答案：③④⑤　解析：在同一直角坐标系中作出这四个函数的图象(图略)，易得①错误．因为f1(2)＝22－1＝3，f2(2)＝22＝4，所以f1(2)＜f2(2)，所以x＝2时，乙在甲的前面；②错误．因为f1(5)＝25－1＝31，f2(5)＝52＝25，所以f1(5)＞f2(5)，所以x＝5时，甲在乙的前面；③正确．当0＜x＜1时，f1(x)，f2(x)的图象在f3(x)图象的下方，f4(x)的图象在f3(x)图象的上方，即丁走在最前面；当x＞1时，f4(x)的图象在最下方，即丁走在最后面；④正确．当0＜x＜1时，丙在甲、乙前面，在丁后面；当x＞1时，丙在丁前面，在甲、乙后面；当x＝1时，甲、乙、丙、丁四人并驾齐驱；⑤正确．当x充分大时，指数函数的增长速度越来越快，f1(x)的图象必定在f2(x)，f3(x)，f4(x)的上方，所以最终走在最前面的是甲．故填③④⑤. 三种不同增长方式的特征 在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a＞1)，y＝logax(a>1)和y＝xn(n＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个档次上，随着x的增大，y＝ax的增长速度越来越快，远远超过y＝xn的增长速度，而y＝logax的增长速度越来越慢．因此，总会存在一个数x0，当x＞x0时，有ax>xn>logax(a＞1，n＞0). [练1] “红豆生南国，春来发几枝”．如图给出了红豆生长时间t(单位：月)与枝数y(单位：枝)的关系图，那么最适合拟合红豆的枝数与生长时间的关系的函数是(　　) A．指数函数y＝2t B．对数函数y＝log2t C．幂函数y＝t3 D．二次函数y＝2t2 A　解析：根据已知所给的关系图，观察得到图象在第一象限，且从左到右图象是上升的，并且增长速度越来越快，根据四个选项中函数的增长趋势可得，用指数函数拟合最好，故选A. 角度2　不同增长的函数模型的图象特征 [例2] y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，当2<x<4时，有(　　) A．y1>y2>y3 B．y2>y1>y3 C．y1>y3>y2 D．y2>y3>y1 B　解析：由题意可知，三个函数在区间(2，4)上都是单调递增的，所以4<y1<16，4<y2<16，1<y3<2，所以y3最小，由函数y1，y2的图象可知，在区间(2，4)上，函数y2的图象恒在函数y1的图象上方，所以y2>y1>y3. 由图象判断指数函数、对数函数和一次函数的方法 根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和一次函数时，通常是观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数． [练2] 函数f(x)＝2x和g(x)＝x3(x≥0)的图象，如图所示．设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2. (1)请指出示意图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数； (2)结合函数图象，比较f(8)，g(8)，f(2 024)，g(2 024)的大小． 解：(1)C1对应的函数为g(x)＝x3(x≥0)，C2对应的函数为f(x)＝2x. (2)因为g(1)＝1，f(1)＝2，g(2)＝8，f(2)＝4，g(9)＝729，f(9)＝512，g(10)＝1 000，f(10)＝1 024， 所以f(1)>g(1)，f(2)<g(2)，f(9)<g(9)，f(10)>g(10). 所以1<x1<2，9<x2<10，所以x1<8<x2<2 024. 从图象上知，当x1<x< x2时，f(x)<g(x)； 当x>x2时，f(x)>g(x)，且g(x)在(0，＋∞)上是增函数， 所以f(2 024)>g(2 024)>g(8)>f(8). 角度3　函数模型的选择 [例3] 某公司为了实现60万元的销售利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到5万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该公司的要求？ 解：作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的图象(如图所示). 观察图象可知，在区间[5，60]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝log5x的图象始终在y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有按模型y＝log5x进行奖励才符合该公司的要求． 探究函数模型的步骤 开放型的探究题，函数模型不是确定的，需要我们去探索，去尝试，找到最合适的模型，解题的步骤如下： (1)用待定系数法求出函数解析式； (2)检验，将(1)中求出的几个函数模型进行比较、验证，得出最适合的函数模型； (3)利用所求出的函数模型解决问题． [练3]在飞机制造业中，发现一条规律：制造第2架飞机所需的工时数是第1架的80%；第4(即22)架是第2架的80%；第8(即23)架是第4架的80%，…，这就是说，通过积累经验，可以提高效率．这也是符合学习规律的，这里的80%称为“进步率”，所制造的飞机架数与所需工时数之间的函数关系所确定的曲线常称为“学习曲线”．设制造第1架飞机需要用k个工时，进步率为r，试求出制造第x架飞机与需用的工时数y之间的函数表达式？ 解：由题意，可知第1架用k个工时，第2架用kr个工时，第22架用kr2个工时，…，第2n架用krn个工时． 令x＝2n，则n＝log2x， 因此y＝krn＝krlog2x＝kxlog2r， 所以制造第x架飞机关于需用的工时数y之间的函数表达式为y＝kxlog2r(x＞0). 1．知识清单：三种函数模型，即线性函数增长模型、指数型函数增长模型、对数型函数增长模型． 2．方法归纳：转化法． 3．常见误区：不理解三种函数增长的差异． ◎随堂演练 1．(2024·南昌高一联考)已知a>1，则下列命题中正确的是(　　) A．∃x0，∀x>x0，有ax>xa>logax成立 B．∃x0，∀x>x0，有ax>logax>xa成立 C．∃x0，∀x>x0，有xa>ax>logax成立 D．∃x0，∀x>x0，有xa>logax>ax成立 A　解析：因为a>1，所以函数y＝ax，y＝xa，y＝logax均为增函数，而且各类函数的增长速度为：指数函数快于幂函数、幂函数快于对数函数．所以∃x0，∀x>x0，有ax>xa>logax成立．故选A. 2．甲从A地到B地，途中前一半路程的行驶速度是v1，后一半路程的行驶速度是v2(v1<v2)，则下图中 能正确反映甲从A地到B地走过的路程s与时间t的关系的图象是(　　) B　解析：∵v1＜v2，故前一半路程耗时多，后一半路程耗时少，B选项正确． 3．在同一坐标系中，画出函数y＝x＋5和y＝2x，x∈[0，＋∞)的图象，并比较x＋5与2x的大小． 解：根据函数y＝x＋5与y＝2x在x∈[0，＋∞)上的图象增长差异得： 当x<3时，x＋5>2x， 当x＝3时，x＋5＝2x， 当x>3时，x＋5<2x. 学科网（北京）股份有限公司 $$