第4章 4.4.2 第2课时 对数函数的图象和性质(二)（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

第2课时　对数函数的图象和性质(二) [对应学生用书P94] 学习目标 1.知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax互为反函数，会运用对数函数建立模型，解决简单的实际问题． 2．会用函数的图象和代数运算的方法研究对数型函数的相关问题． 知识点　反函数 在同一坐标系中，画出函数y＝2x与y＝log2x的图象，观察两函数图象的位置关系，并思考它们定义域与值域的关系． 　反函数 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数．它们的定义域与值域正好互换． (1)同底数的“指数函数与对数函数互为反函数”； (2)互为反函数的两个函数图象关于直线y＝x对称(高中阶段只要求掌握这一类反函数). [例1] 若函数y＝f(x)是函数y＝2x的反函数，则f(f(2))的值为(　　) A．16 B．0 C．1 D．2 B　解析：函数y＝2x的反函数是y＝log2x，即f(x)＝log2x，∴f(f(2))＝f(log22)＝f(1)＝log21＝0. 互为反函数的函数的特征 (1)同底数的指数函数与对数函数互为反函数． (2)互为反函数的两个函数的定义域与值域互换． (3)互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称． [练1](2024·咸阳高一上学期期末)已知函数f(x)＝x的图象与g(x)的图象关于直线y＝x对称，则g(x2＋1)的值域为________． 答案：(－∞，0]　解析：因为函数f(x)＝x的图象与g(x)的图象关于直线y＝x对称， 所以g(x)＝logx，因此g(x2＋1)＝log(x2＋1)， 因为x2＋1≥1，且g(x)为减函数， 所以log(x2＋1)≤log1＝0， 因此g(x2＋1)的值域为(－∞，0]. 综合应用： 对数函数图象和性质的综合问题 角度1　对数型函数的单调性 [例2] 函数f(x)＝ln (x2－2x－8)的单调递增区间是(　　) A．(－∞，－2) B．(－∞，1) C．(4，＋∞) D．(1，＋∞) C　解析：由x2－2x－8>0得x∈(－∞，－2)∪(4，＋∞)，令t＝x2－2x－8，则y＝ln t，∵当x∈(－∞，－2)时，t＝x2－2x－8为减函数；当x∈(4，＋∞)时，t＝x2－2x－8为增函数；y＝ln t为增函数，故函数f(x)＝ln (x2－2x－8)的单调递增区间是(4，＋∞)，故选C. 形如f(x)＝logag(x)(a>0，且a≠1)的函数的 单调区间的求法 (1)先求g(x)>0的解集也就是函数f(x)的定义域． (2)当底数a>1时，在g(x)>0这一前提下，g(x)的单调递增区间是f(x)的单调递增区间；g(x)的单调递减区间是f(x)的单调递减区间． (3)当底数0<a<1时，在g(x)>0这一前提下，g(x)的单调递增区间是f(x)的单调递减区间，g(x)的单调递减区间是f(x)的单调递增区间． [练2](2024·张家口高一上学期期末)函数f(x)＝lg(x2－ax－1)在(1，＋∞)上单调递增的一个充分不必要条件是(　　) A．a≤0 B．a<2 C．－1≤a<2 D．－1≤a≤0 D　解析：因为函数f(x)＝lg (x2－ax－1)在(1，＋∞)上单调递增， 所以y＝x2－ax－1在(1，＋∞)上单调递增，且x2－ax－1>0在(1，＋∞)上恒成立， 即解得a≤0， 结合选项可知－1≤a≤0是a≤0的一个充分不必要条件． 角度2　对数型函数的综合问题 [例3] (2024·贵港高一检测)已知函数f(x)＝loga(3－x)＋loga(x＋3)(0<a<1). (1)求函数f(x)的定义域； (2)若函数f(x)的最小值为－2，求a的值． 解：(1)对于函数f(x)＝loga(3－x)＋loga(x＋3)(0<a<1)，有解得－3<x<3，所以函数f(x)的定义域为(－3，3). (2)因为f(x)＝loga(9－x2)，且－3<x<3，则0<9－x2≤9. 因为0<a<1，则函数y＝logau为(0，＋∞)上的减函数， 故f(x)min＝loga9＝－2，可得a－2＝9， ∵0<a<1，解得a＝. 对数型函数综合问题的思路 (1)求对数型函数的值域一般是先求真数的范围，然后利用对数函数的单调性求解； (2)判断函数的奇偶性，一定要先求函数的定义域，再研究f(x)与f(－x)的关系． [练3] 函数f(x)＝loga(a>0，且a≠1)的图象(　　) A．关于原点对称 B．关于直线y＝x对称 C．关于直线y＝－x对称 D．关于y轴对称 A　解析：因为函数f(x)的定义域为(－1，1)，f(－x)＝loga＝loga()－1＝－loga＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，所以函数f(x)的图象关于原点对称． 1．知识清单 (1)反函数； (2)指数型函数的单调性； (3)求简单对数型函数的值域、最值、奇偶性问题． 2．方法归纳：数形结合． 3．常见误区：求对数型函数的单调区间时注意函数定义域． ◎随堂演练 1．函数y＝x＋log2x(x≥1)的值域为(　　) A．(1，＋∞) B．(－∞，1) C．[1，＋∞) D．[－1，＋∞) 答案：C 2．函数f(x)＝logax(0<a<1)在[a2，a]上的最大值是(　　) A．0 B．1 C．2 D．a C　解析：∵a＞a2，∴0<a<1，∴f(x)＝logax在[a2，a]上是减函数，∴f(x)max＝f(a2)＝logaa2＝2. 3．(2024·重庆巴蜀中学期末)函数f(x)＝log2(－x2＋2x)的单调递增区间为(　　) A．(－∞，1) B．(0，1) C．(1，2) D．(1，＋∞) B　解析：由题意得－x2＋2x>0，解得0<x<2， y＝－x2＋2x开口向下，对称轴为直线x＝1， 所以y＝－x2＋2x在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减； 因为y＝log2x是定义域上的增函数， 利用复合函数的性质可得f(x)＝log2(－x2＋2x)的单调递增区间为(0，1)． 4．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，其图象经过点(，)，求a取值范围． 解：由题意得f(x)＝logax(a>0，且a≠1，x>0)， 因为f(x)的图象过点(，)，所以loga＝，所以a＝，所以a2＝2，所以a＝(负值舍去). 学科网（北京）股份有限公司 $$