第4章 4.3.2 第2课时 换底公式（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

第2课时　换底公式 [对应学生用书P87] 学习目标 1.知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数，掌握换底公式及其推论． 2．能熟练运用对数的换底公式进行化简求值． 知识点　对数换底公式 1．上节课我们学习了对数的运算性质，但对于一些式子，比如log48，log927等的化简求值问题还不能做到，你能解决这个问题吗？ 2．是否对任意的logab都可以表示成logab＝(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1)？说出你的理由． 1．对数换底公式 logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0). 2．对数换底公式的重要推论 (1)logaN＝(N>0，且N≠1；a>0，且a≠1). (2)loganbm＝logab(a>0，且a≠1，b>0). (3)logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1). (1)换底公式成立的条件要使每一个对数式都有意义． (2)换底公式在具体运算中，我们习惯换成常用对数或自然对数，即logab＝或logab＝. [例1] 计算：(1)log225·log3·log5； (2)(log43＋log83)(log32＋log92)－log. 解：(1)方法一　log225·log3·log5＝2log25·(－4log32)(－2log53)＝16log25··＝16. 方法二　log225·log3·log5＝··＝··＝16. (2)(log43＋log83)(log32＋log92)－log＝(＋)·(log32＋)－＝(log23＋log23)×(log32＋log32)＋log232＝log23×log32＋＝××log23×log32＋＝＋＝. 用换底公式解题的策略 换底公式的作用是将不同底数的对数式转化成同底数的对数式，将一般对数式转化成自然对数式或常用对数式来运算．要注意换底公式的正用、逆用及变形应用． [练1](1)(2024·昆明高一上学期期末)log2＋(log54)·(log225)＋3log3＝(　　) A．1 B．－2 C．4 D．6 (2)求值：lg －log23×log5×log35＋ln ＋21＋log23. (1)D　解析：log2＋·＋3log3＝log22＋·＋＝＋4＋＝6. 故选D. (2)解：原式＝－2－××＋＋2log23×2＝－2－××＋＋3×2＝－2＋6＝4. 综合应用：对数运算的综合问题 角度1　用已知对数表示其他对数 [例2] 已知log189＝a，18b＝5，用a，b表示log3645. 解：方法一　∵log189＝a，18b＝5，∴log185＝b， ∴log3645＝＝＝＝＝. 方法二　∵log189＝a，18b＝5，∴lg 9＝a lg 18，lg 5＝b lg 18. ∴log3645＝＝＝＝＝. [变式探究1] 若本例的条件“18b＝5”改为“5b＝18”，试用a，b表示log3645. 解：∵5b＝18，∴log518＝b，∴log185＝， ∴log3645＝＝＝＝＝. [变式探究2] 若本例改为已知log3645＝a，18b＝5，试用a，b表示log189. 解：由18b＝5得log185＝b，由log3645＝＝＝＝a，得log189＝. [变式探究3] 若本例改为9a＝5b＝，求＋的值． 解：因为9a＝5b＝，两边取常用对数， 得a lg 9＝b lg 5＝lg 45，所以a＝，b＝， 所以＋＝＋＝＝＝3. 对数运算综合问题的思路 带有附加条件的代数式求值问题，需要对已知条件和所求式子进行化简转化，原则上是化为同底的对数，以便利用对数的运算法则．要整体把握代数式的结构特征，灵活运用指数式与对数式互化进行解题． 角度2　对数运算在实际问题中的应用 [例3] (2024·南昌高一上学期期末)据有关研究，核污水中的放射性元素有21种半衰期在10年以上；有8种半衰期在1万年以上．已知某种放射性元素在有机体体液内浓度c(Bq/L)与时间t(年)近似满足关系式c＝k·at(k，a为大于0的常数且a≠1).当c＝时，t＝10；当c＝时，t＝20.则据此估计，这种有机体体液内该放射性元素浓度c为时，大约需要________年(最终结果取整数，参考数据：log23≈1.58，log25≈2.32). 答案：53　解析：由题意得 解得所以c＝×， 当c＝时，得＝×， 即＝， 两边取对数得＝log＝log240＝3＋log25≈3＋2.32＝5.32. 所以t＝5.32×10＝53.2， 即这种有机体体液内该放射性元素浓度c为时，大约需要53年． 对数运算在实际问题中的应用 (1)在与对数相关的实际问题中，先将题目中数量关系理清，再将相关数据代入，最后利用对数运算性质、换底公式进行计算． (2)在与指数相关的实际问题中，可将指数式利用取对数的方法，转化为对数运算，从而简化复杂的指数运算． [练2](多选)(2024·武汉高一检测)历史上数学计算方面的三大发明为阿拉伯数字、十进制和对数，常用对数曾经在化简计算上为人们做过重大贡献，而自然对数成了研究科学、了解自然的必不可少的工具．现有如下四个关于对数的运算，其中正确的是(　　) A．ln e2＝2 B．lg 125＝3－3lg 2 C．log34×log32＝log38 D．log23×log34×log42＝1 ABD　解析：由对数运算规律可知，ln e2＝2，所以A项正确；lg 125＝lg 53＝3lg 5＝3－3lg 2，所以B项正确；log34＋log32＝log38，所以C项错误；log23×log34×log42＝××＝1，所以D项正确． 1．知识清单 (1)换底公式； (2)对数的实际应用． 2．方法归纳：换底公式、转化法． 3．常见误区：要注意对数的换底公式的结构形式，易混淆． ◎随堂演练 1．若lg 3＝a，lg 5＝b，则log53等于(　　) A． B． C．ab D．ba B　解析：log53＝＝. 2．(2024·泰州高一上学期期末调研)已知m＝5log63，n＝2log65，则mn＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 D　解析：由题意log6m＝log65·log63，log6n＝log65·log62， 所以log6mn＝log6m＋log6n＝log65·log63＋log65·log62＝log65·＝log65， 所以mn＝5. 3．某化工厂生产一种溶液，按市场需求，杂质含量不能超过0.1%.若初始时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，要使产品达到市场要求，则至少应过滤的次数为(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 C　解析：设至少需要过滤n次，则0.02×(1－)n≤0.001，即()n≤.所以n lg ≤lg ，即n(lg 2－lg 3)≤－lg 20，又lg 2－lg 3<0，即n≥＝≈7.4. 又n∈N，所以n≥8. 所以至少过滤8次才能使产品达到市场要求． 4．已知log23＝a，log37＝b，则log27＝________．(用a，b表示) 答案：ab　解析：由于log37＝＝b，又log23＝a，所以log27＝ab. 学科网（北京）股份有限公司 $$