第4章 4.3.2 第1课时 对数运算（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

4.3.2　对数的运算 第1课时　对数运算 [对应学生用书P85] 学习目标 1.理解对数的运算性质、推导过程和成立的条件． 2．能熟练运用对数的运算性质进行化简求值． 知识点一　对数的运算性质 对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M >0，N>0，那么 (1)loga(MN)＝logaM＋logaN； (2)loga＝logaM－logaN； (3)logaMn＝nlogaM(n∈R). (1)“M>0，N>0”，不是MN>0，比如式子log2[(－2)·(－3)]有意义，而log2(－2)与log2(－3)都没有意义； (2)性质的逆运算仍然成立； (3)性质(1)可以推广为loga(N1·N2·…·Nk)＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk，其中Nk>0，k∈N*. [例1] 求下列各式的值． (1)ln e2；(2)log3e＋log3；(3)lg 50－lg 5. 解：(1)ln e2＝2ln e＝2. (2)log3e＋log3＝log3(e·)＝log33＝1. (3)lg 50－lg 5＝lg ＝lg 10＝1. 对数运算的思路 对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行． [练1] 求下列各式的值． (1)log3(27×92)；(2)lg 5＋lg 2； (3)ln 3＋ln ；(4)log35－log315. 解：(1)方法一　log3(27×92)＝log327＋log392＝log333＋log334＝3log33＋4log33＝3＋4＝7. 方法二　log3(27×92)＝log3(33×34)＝log337＝7log33＝7. (2)lg 5＋lg 2＝lg (5×2)＝lg 10＝1. (3)ln 3＋ln ＝ln (3×)＝ln 1＝0. (4)log35－log315＝log3＝log3＝log33－1＝－1. 知识点二　 对数运算性质的综合 [例2] (2024·南宁高一检测)已知lg 2＝a，lg 3＝b，用a，b表示下列对数的值． (1)lg 18；(2)lg ；(3)lg . 解：(1)lg 18＝lg (2×32)＝lg 2＋lg 32＝lg 2＋2lg 3＝a＋2b. (2)lg ＝lg 1－lg 12＝0－lg (22×3)＝－(2lg 2＋lg 3)＝－2a－b. (3)lg ＝lg －lg 125＝lg 3－lg 53＝lg 3－3(1－lg 2)＝3a＋b－3. 对数综合运算的策略 (1)对数的运算实质是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减、乘的运算． (2)对于含有对数式的多项式运算问题： ①可以将式中真数的积、商、幂、方根运用运算性质化为对数的和、差、积，然后化简求值； ②可以将式中的对数的和、差、积化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值． [练2](2024·南昌高一期末)已知实数a，b满足3a＝2，blog34＝1，用a表示log34－log36. 解：由题意可知a＝log32， 所以log34－log36＝log3＝log32－1＝a－1. 1．知识清单 (1)对数的运算性质； (2)对数运算性质的运用； (3)利用对数的运算性质化简、求值． 2．方法归纳：转化法． 3．常见误区：要注意对数的运算性质的结构形式，易混淆． ◎随堂演练 1．(2024·南京高一检测)lg 1－ln e2＋21＋log23的值是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 C　解析：原式＝0－2＋2log22＋log23＝－2＋2log2(2×3)＝－2＋6＝4. 2．(2024·内江高一上学期期末)已知2a＝5，则lg 2＝(　　) A． B． C． D． A　解析：由2a＝5，得lg 2a＝lg 5，即a lg 2＝lg ＝1－lg 2，解得lg 2＝. 3．(2024·大连第二十四中学高一期末)在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法运算，数学家拉普拉斯称赞“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”．已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，设M＝47×910，则M所在的区间为(　　) A．(1011，1012) B．(1012，1013) C．(1013，1014) D．(1014，1015) C　解析：因为M＝47×910，lg M＝lg 47＋lg 910＝lg 214＋lg 320＝14lg 2＋20lg 3≈4.214＋9.542＝13.756， 所以M≈1013.756∈(1013，1014). 4．求值：2log32－log3＋log38＋3log5. 解：原式＝log34－log3＋log38－3log55＝log3(4××8)－3＝log39－3＝2－3＝－1. 学科网（北京）股份有限公司 $$