第4章 4.3.1 对数的概念（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

4．3　对　数 4．3.1　对数的概念 [对应学生用书P83] 学习目标 1.理解对数、常用对数、自然对数的概念． 2．会进行对数式与指数式的互化． 3．会求简单的对数值． 知识点一　对数的概念 某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，…，以此类推．如图，请思考： 1. 1个这样的细胞分裂2次得到多少个细胞？分裂x次得到多少个细胞？ 2．分裂多少次可得到8个，16个呢？如何求解？ 3．若ax＝N，如何表示x呢？ 1．对数的概念 一般地，如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． (1)“对数”是由指数转化而来，则底数a，指数或对数x，幂或真数N的范围不变，只是位置和名称发生了变换； (2)“logaN”的读法为以a为底N的对数． 2．常用对数与自然对数 名称 定义 记法 常用对数 以10为底的对数叫做常用对数 lg_N 自然对数 以无理数e＝2.718 28…为底的对数称为自然对数 ln_N 3．对数与指数间的关系 当a＞0，且a≠1时，ax＝N⇔x＝logaN. [例1] 若对数式log(t－2)3有意义，则实数t的取值范围是(　　) A．[2，＋∞) B．(2，3)∪(3，＋∞) C．(－∞，2) D．(2，＋∞) B　解析：要使对数式log(t－2)3有意义，需解得t>2，且t≠3.所以实数t的取值范围是(2，3)∪(3，＋∞). 利用对数的意义解题的关注点 利用式子logab⇒求其范围即可． [练1] 在M＝log(x－3)(x＋1)中，要使式子有意义，x的取值范围为(　　) A．(－∞，3] B．(3，4)∪(4，＋∞) C．(4，＋∞) D．(3，4) B　解析：由对数的概念可得解得3<x<4或x>4. [例2] 将下列指数式与对数式互化． (1)log216＝4；(2)log27＝－3； (3)ln 100≈4.606；(4)43＝64； (5)3－2＝；(6)10－3＝0.001. 解：(1)24＝16.(2)()－3＝27. (3)e4.606≈100.(4)log464＝3. (5)log3＝－2.(6)lg 0.001＝－3. 指数式与对数式互化的思路 (1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式； (2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式． [练2] (多选)下列指数式与对数式互化正确的是(　　) A．100＝1与lg 1＝0 B．27－＝与log27＝－ C．log39＝与9＝3 D．log55＝1与51＝5 ABD　解析：因为9＝3化为对数式应为log93＝，故C项不正确，其他均正确． 知识点二　对数的基本性质 对数的基本性质 (1)loga1＝0(a>0，且a≠1). (2)logaa＝1(a>0，且a≠1). (3)零和负数没有对数． (4)对数恒等式：alogaN＝N；logaax＝x(a>0，且a≠1，N>0). [例3] 求下列各式的值． (1)log81；(2)lg 0.000 1；(3)log(－2)(＋2). 解：(1)设log81＝m，则()m＝81， 又81＝34＝()－4，∴()m＝()－4. ∴m＝－4，即log81＝－4. (2)设lg 0.000 1＝n，则10n＝0.000 1. 又0.000 1＝10－4，∴10n＝10－4. ∴n＝－4，即lg 0.000 1＝－4. (3)设log(－2)(＋2)＝p，则(－2)p＝＋2. 又＋2＝＝(－2)－1， ∴(－2)p＝(－2)－1，∴p＝－1. ∴log(－2)(＋2)＝－1. 求对数式logaN的值的步骤 (1)设logaN＝m； (2)将logaN＝m写成指数式am＝N； (3)将N写成以a为底的指数幂N＝ab，即logaN＝b，则m＝b. [练3]计算下列各式的值． (1)log525；(2)log32；(3)3log310； (4)ln 1；(5)log2.52.5. 解：(1)log525＝log552＝2.(对数的性质：logaax＝x) (2)log32＝log()－5＝－5. (3)3log310＝10.(对数恒等式：alogaN＝N) (4)ln 1＝0.(对数的性质：1的对数等于0) (5)log2.52.5＝1.(对数的性质：底数的对数等于1) [例4] 求下列各式中x的值． (1)logx＝－3；(2)logx49＝4； (3)lg 0.000 01＝x；(4)ln ＝－x. 解：(1)∵logx＝－3，∴()－3＝x， ∴x＝33＝27. (2)∵logx49＝4，∴x4＝49， ∵x>0，∴x＝. (3)∵lg 0.000 01＝x， ∴10x＝0.000 01＝10－5， ∴x＝－5. (4)∵ln ＝－x，∴e－x＝＝e， ∴－x＝，∴x＝－. 利用对数的性质求值的方法 (1)求解此类问题时，应根据对数的两个结论loga1＝0(a＞0且a≠1)和logaa＝1(a>0，且a≠1)进行变形求解，若已知对数值求真数，则可将其化为指数式运算． (2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log ”后再求解． 1．知识清单 (1)对数的概念； (2)自然对数、常用对数； (3)指数式与对数式的互化； (4)对数的基本性质． 2．方法归纳：转化法． 3．常见误区：易忽视对数式中底数与真数的范围． ◎随堂演练 1．(2024·哈尔滨高一上学期期中)将23＝8化为对数式正确的是(　　) A．log23＝8 B．log28＝3 C．log82＝3 D．log32＝8 B　解析：23＝8化为对数式为log28＝3，故选B. 2．已知loga2b＝c，则有(　　) A．a2b＝c B．a2c＝b C．bc＝2a D．c2a＝b B　解析：由题意得(a2)c＝b，即a2c＝b. 3．计算：3log22＋2log31－3log77＋3ln 1＝________． 答案：0　解析：原式＝3×1＋2×0－3×1＋3×0＝0. 4．(2024·安庆高一上学期“三新”检测考试)已知a＝log23，2b＝5，则4a－2b＝________． 答案：　解析：由a＝log23，得2a＝3； 4a－2b＝＝＝＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$