第2章 2.3 第2课时 一元二次不等式及其应用（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

第2课时　一元二次不等式及其应用 [对应学生用书P37] 学习目标 1.熟练掌握分式不等式的解法． 2．掌握含参数的一元二次不等式的解法． 3．构建二次函数模型，解决实际问题． 知识点一　分式不等式的解法 [例1] 解下列不等式： (1)<0；(2)≤1. 解：(1)∵<0，∴(x－3)(x＋2)<0，解得－2<x<3， ∴原不等式的解集为{x|－2<x<3}． (2)∵≤1，∴－1≤0，∴≤0，即≥0. 此不等式等价于(x－4)(x－)≥0且x－≠0，解得x<或x≥4，∴原不等式的解集为{x|x<或x≥4}． 分式不等式的解法 (1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元二次不等式组求解，但要注意等价变形，保证分母不为零． (2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零的形式，然后再用上述方法求解． [练1](2024·贺州高一检测)解不等式： (1)≥0；(2)≥3. 解：(1)x2－x＋1＝(x－)2＋>0，原不等式可化为x＋3≥0⇒x≥－3， 所以原不等式的解集为{x|x≥－3}． (2)因为－3≥0，所以≤0， 故解得－7≤x<－2. 所以原不等式的解集为{x|－7≤x<－2}． 知识点二　含参数的一元二次不等式 [例2] 解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0. 解：当a＝0时，原不等式可化为x>1. 当a≠0时，原不等式可化为(ax－1)(x－1)<0. 当a<0时，不等式可化为(x－)(x－1)>0， ∵<1，∴x<或x>1. 当a>0时，原不等式可化为(x－)(x－1)<0. 若<1，即a>1，则<x<1； 若＝1，即a＝1，则x∈∅； 若>1，即0<a<1，则1<x<. 综上所述，当a<0时，原不等式的解集为{x|x<或x＞1}；当a＝0时，原不等式的解集为{x|x>1}；当0<a<1时，原不等式的解集为；当a＝1时，原不等式的解集为∅；当a>1时，原不等式的解集为. 含参数一元二次不等式的求解策略 在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑： (1)关于不等式类型的讨论：二次项系数a>0，a<0，a＝0. (2)关于不等式对应的方程根的讨论：两不同实根(Δ>0)，两相同实根(Δ＝0)，无实根(Δ<0). (3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1>x2，x1＝x2，x1<x2. [练2]解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3＞0(a∈R). 解：原不等式可化为(x－a)(x－a2)＞0. 当a＜0时，a＜a2，原不等式的解集为{x|x＜a或x＞a2}； 当a＝0时，x2＞0，原不等式的解集为{x|x≠0}； 当0＜a＜1时，a2＜a，原不等式的解集为{x|x＜a2或x＞a}； 当a＝1时，a2＝a，原不等式的解集为{x|x≠1}； 当a＞1时，a＜a2，原不等式的解集为{x|x＜a或x＞a2}． 综上所述，当a＜0或a＞1时，原不等式的解集为{x|x＜a或x＞a2}；当0＜a＜1时，原不等式的解集为{x|x＜a2或x＞a}；当a＝0时，原不等式的解集为{x|x≠0}；当a＝1时，原不等式的解集为{x|x≠1}． 知识点三　一元二次不等式的实际应用 [例3] 为了鼓励大学毕业生自主创业，某市出台了相关政策，由政府协调，企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．某大学毕业生按照相关政策投资销售一种新型节能灯．已知这种节能灯的成本价为10元/台，出厂价为12元/台，每月的销售量y(台)与销售单价x(元)之间的关系近似满足一次函数y＝－10x＋500. (1)设他每月获得的利润为W元，写出W与x之间的函数关系式； (2)根据相关部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．如果他想要每月获得不少于3 000元的利润，那么政府每个月为他承担的总差价的取值范围是多少？ 解：(1)依题意可知每台节能灯的销售利润为(x－10)元，每月的销售量为(－10x＋500)台， 所以每月获得的利润W与销售单价x之间的函数关系式为W＝(x－10)(－10x＋500). (2)由每月获得不少于3 000元的利润，得(x－10)·(－10x＋500)≥3 000， 化简得x2－60x＋800≤0，解得20≤x≤40.又因为这种节能灯的销售单价不得高于25元，所以20≤x≤25. 设政府每个月为他承担的总差价为p元，则p＝(12－10)·(－10x＋500)＝－20x＋1 000. 由20≤x≤25，得500≤－20x＋1 000≤600. 故政府每个月为他承担的总差价的取值范围为{p|500≤p≤600}． 解一元二次不等式应用题的关键点 解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，即分析题目中有哪些未知量，然后选择其中起关键作用的未知量，设此未知量为x，用x来表示其他未知量，再根据题目中的不等关系列不等式. [练3](2024·宁波高一检测)某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为25元，年销售8万件．据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？ 解：设每件商品的定价为t元，依题意得(8－×0.2)t≥25×8，整理得t2－65t＋1 000≤0，解得25≤t≤40. 所以要使销售的总收入不低于原收入，每件商品的定价最多为40元． 1．知识清单 (1)简单的分式不等式的解法； (2)含参数的一元二次不等式的解法； (3)一元二次不等式的实际应用． 2．方法归纳：转化、恒等变形． 3．常见误区 (1)解分式不等式要等价变形； (2)解含参数的一元二次不等式时注意对二次项系数的讨论； (3)利用一元二次不等式解决实际问题时，应注意实际意义． ◎随堂演练 1．(2024·亳州第二中学高一期中)不等式≤0的解集为(　　) A． B． C． D． C　解析：不等式≤0⇔解得－<x≤1.故选C. 2．若产品的总成本y(单位：万元)与产量x(单位：台)之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1x2(0<x<240)，当每台产品的售价为25万元时，生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是(　　) A．100台 B．120台 C．150台 D．180台 C　解析：由题意知y－25x＝－0.1x2－5x＋3 000≤0，即x2＋50x－30 000≥0，解得x≥150或x≤－200(舍去). 3．(2024·河北师大附中高一期中)若关于x的不等式>0的解集为{x|－1<x<4}，则关于x的不等式ax<b的解集为(　　) A． B． C．{x|x<－4} D．{x|x>－4} D　解析：由题意得－1，4是方程(2x＋2)(ax＋b)＝0两根，且a<0，则4a＋b＝0，则b＝－4a，所以不等式ax<b，即ax<－4a，所以x>－4，故选D. 4．用一根长为100 m的绳子能围成一个面积大于600 m2的矩形吗？若“能”，求出该矩形边长的取值范围． 解：设矩形一边的长为x m，则另一边的长为(50－x)m，0<x<50.由题意，得x(50－x)>600，即x2－50x＋600<0，解得20<x<30. 所以当矩形一边的长在(20，30)的范围内取值时，能围成一个面积大于600 m2的矩形． 学科网（北京）股份有限公司 $$