第2章 2.2 第2课时 基本不等式的应用（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

第2课时　基本不等式的应用 [对应学生用书P31] 学习目标 1.会用基本不等式证明不等式． 2．会用基本不等式解决生活中简单的最大(小)值问题. 知识点一　利用基本不等式证明不等式 [例1] 已知a，b，c是互不相等的正数，且a＋b＋c＝1，求证：＋＋>9. 证明：∵a，b，c是互不相等的正数，且a＋b＋c＝1， ∴＋＋＝＋＋＝3＋＋＋＋＋＋＝3＋(＋)＋(＋)＋(＋)≥3＋2＋2＋2＝3＋2＋2＋2＝9. 当且仅当即a＝b＝c＝时等号成立， ∵a，b，c是互不相等的正数，∴＋＋>9. [变式探究] 本例条件不变，求证：(－1)(－1)(－1)>8. 证明：∵a，b，c是互不相等的正数，且a＋b＋c＝1， ∴－1＝>0，－1＝>0，－1＝>0， ∴(－1)(－1)(－1)＝··≥＝8， 当且仅当即a＝b＝c＝时等号成立， 又∵a，b，c是互不相等的正数， ∴(－1)(－1)(－1)>8. 利用基本不等式证明不等式的策略和注意事项 (1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”． (2)注意事项： ①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立； ②累加法是不等式证明中的一种常用方法，在证明不等式时注意使用条件； ③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型再使用． [提醒]在含有三个字母的不等式证明中要注意利用对称性． [练1](2024·南宁高一检测)若a>0，b>0，求证：＋＋≥2. 证明：因为a>0，b>0，所以＋≥2＝， 当且仅当＝，即a＝b时，等号成立． 又＋≥2，当且仅当＝时，等号成立， 所以＋＋≥＋≥2， 当且仅当即a＝b＝时，等号成立． 知识点二　利用基本不等式解决实际问题 角度1　利用基本不等式求实际问题中的最大值问题 [例2] 某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元． (1)求仓库面积S的最大允许值是多少； (2)为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？ 解：设铁栅长为x m，一侧砖墙长为y m，则顶部面积为S＝xy(m2). (1)依题设，得40x＋2×45y＋20xy＝3 200. 由基本不等式得3 200≥2＋20xy＝120＋20xy＝120＋20S，当且仅当40x＝90y时等号成立． 所以S＋6－160≤0，即(－10)(＋16)≤0， 故0＜≤10，从而0＜S≤100. 所以S的最大允许值是100 m2. (2)S取得最大值的条件是40x＝90y且xy＝100， 所以求得x＝15，即正面铁栅的长是15 m． [练2](2024·柳州高一检测)用一段长为L的篱笆围成一个一边靠墙(墙足够长)的矩形菜园，则菜园的最大面积为(　　) A． B． C． D．L2 A　解析：由题意可设菜园的长为x(墙所对的边)，宽为y，则x＋2y＝L，面积S＝xy. 因为x＋2y≥2，所以xy≤()2＝， 当且仅当x＝2y＝，即x＝，y＝时，等号成立，所以菜园的最大面积为. 角度2　利用基本不等式求实际问题中的最小值问题 [例3] 小明的爸爸要在家用围栏做一个面积为16 m2的矩形游乐园，当这个矩形的边长为多少时，所用围栏最省？并求所需围栏的长度． 解：设矩形围栏相邻两条边长分别为x m，y m，围栏的长度为2(x＋y)m. 方法一　已知xy＝16，由≥，可知x＋y≥2＝8，所以2(x＋y)≥16，当且仅当x＝y＝4时，等号成立， 因此，当这个矩形游乐园是边长为4 m的正方形时，所用围栏最省，所需围栏的长度为16 m. 方法二　由已知xy＝16，可知y＝， 所以2(x＋y)＝2(x＋)≥2×2＝16. 当且仅当x＝y＝4时，等号成立， 因此，当这个矩形游乐园是边长为4 m的正方形时，所用围栏最省，所需围栏的长度为16 m． [变式探究] 如果小明的爸爸只有12 m长的围栏，如何设计，才能使游乐园的面积最大？ 解：由已知得2(x＋y)＝12，故x＋y＝6，面积为xy， 由≤＝＝3或＝≤＝3， 可得xy≤9，当且仅当x＝y＝3时，等号成立． 因此，当游乐园为边长为3的正方形时，面积最大，最大面积为9 m2. 运用基本不等式解决实际问题的步骤 (1)认真审题，恰当选择变量(x或y)，并求其取值范围； (2)用x或y表示要求最大(小)值的量z； (3)利用基本不等式，求出z的最大(小)值； (4)回到实际问题中去，写出实际问题的答案． [练3](2024·上海财经大学附属中学高一期中)某公司需要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左、中、右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为60 000 cm2，四周空白的宽度为10 cm，栏与栏之间的中缝空白的宽度为5 cm. (1)试用栏目高a cm与宽b cm(a>0，b>0)表示整个矩形广告面积S cm2； (2)怎样确定矩形栏目高与宽的尺寸，能使整个矩形广告面积最小？并求最小值． 解：(1)已知矩形栏目的高为a cm，宽为b cm，则ab＝＝20 000(cm2)， ∴b＝，广告的高为(a＋20)cm， 宽为(3b＋30)cm(其中a>0，b>0)， 故广告的面积S＝(a＋20)(3b＋30)＝30(a＋2b)＋60 600(cm2). (2)S＝30(a＋2b)＋60 600＝30(a＋)＋60 600≥30×2＋60 600＝12 000＋60 600＝72 600(cm2)， 当且仅当a＝，即a＝200时等号成立，此时b＝100. 故当矩形栏目的高为200 cm，宽为100 cm时，可使矩形广告的面积最小． 1．知识清单 (1)利用基本不等式证明不等式； (2)基本不等式在生活中的应用． 2．方法归纳：解应用题的四个步骤． 3．常见误区：生活中的变量有它自身的意义，容易忽略变量的取值范围． ◎随堂演练 1．汽车上坡时的速度为a，原路返回时的速度为b，且0＜a＜b，则汽车全程的平均速度比a，b的平均值(　　) A．大 B．小 C．相等 D．不能确定 B　解析：令路程长度为s，则上坡时间为t1＝，下坡时间为t2＝，平均速度为＝＝<. 2．(2024·成都高一段考)在中国，周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例．在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他们用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和．若一个直角三角形的斜边长等于6，则这个直角三角形面积的最大值为(　　) A．6 B．9 C．12 D．18 B　解析：设直角三角形两直角边长分别为m，n(m，n>0)， 依题意可得m2＋n2＝36， 所以三角形的面积S＝mn≤×＝9，当且仅当m＝n＝3时等号成立． 3．(2024·贵港高一检测)已知a，b均为正实数，求证：a2b2＋a2＋b2≥ab(a＋b＋1). 证明：由基本不等式得a2b2＋a2≥2a2b，a2b2＋b2≥2b2a，b2＋a2≥2ab，当且仅当a＝b＝1时，上述三式等号成立． 三式相加得2a2b2＋2a2＋2b2≥2a2b＋2ab2＋2ab＝2ab(a＋b＋1).所以a2b2＋a2＋b2≥ab(a＋b＋1). 学科网（北京）股份有限公司 $$