第2章 2.2 第1课时 基本不等式（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

2．2　基本不等式 第1课时　基本不等式 [对应学生用书P29] 学习目标 1.了解基本不等式的证明过程． 2．掌握基本不等式，会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题． 知识点　基本不等式 我们已经学习过重要不等式：一般地，∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立． 现在我们讨论一种特别的情况，如果a>0，b>0，我们用，分别替换上式中的a，b，能得到什么样结论？ 1．有关概念 当a，b均为正数时，叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 2．基本不等式 当a，b是任意正实数时，a，b的几何平均数不大于它们的算术平均数，即≤，当且仅当a＝b时，等号成立． [例1] 给出下面四个推导过程： ①∵a，b为正实数，∴＋≥2＝2； ②∵a∈R，a≠0，∴＋a≥2＝4； ③∵x，y∈R，xy＜0，∴＋＝－[(－)＋(－)]≤－2＝－2. 其中正确的推导为(　　) A．①②　　B．①③　　C．②③　　D．①②③ B　解析：①∵a，b为正实数，∴，为正实数，符合基本不等式的条件，故①正确．②∵a∈R，a≠0，不符合基本不等式的条件，∴＋a≥2＝4是错误的．③由xy＜0，得，均为负数，但在推导过程中将整体＋提出负号后，－，－均为正数，符合基本不等式的条件，故③正确． 对基本不等式准确掌握的两个关键点 (1)定理成立的条件是a，b都是正数． (2)“当且仅当”的含义：当a＝b时，≤的等号成立，即a＝b⇒＝；仅当a＝b时，≥的等号成立，即＝⇒a＝b. [练1]下列不等式的推导过程正确的是_________________________________________． (填序号) ①若x＞1，则x＋≥2＝2； ②若x＜0，则x＋＝－[(－x)＋(－)]≤－2＝－4； ③若a，b∈R，则＋≥2＝2. 答案：②　解析：①中忽视了基本不等式等号成立的条件，当x＝，即x＝1时，x＋≥2等号成立，因为x＞1，所以x＋＞2，③中忽视了利用基本不等式时每一项必须为正数这一条件． 综合应用：用基本不等式求最值 角度1　求简单代数式的最值 [例2] 已知x>0，则x＋的最小值是____________________________________________． 答案：4　解析：因为x>0，所以x＋≥2＝4，当且仅当x＝，即x＝2时等号成立，因此所求的最小值为4. [变式探究1] 本例将条件“x>0”变为“x<0”时，则x＋的最大值是________． 答案：－4　解析：原多项式可变为x＋＝－(－x＋).因为x<0，所以－x>0，故有－x＋≥2＝4，所以－(－x＋)≤－4，当且仅当－x＝－，即x＝－2时等号成立．故原式的最大值为－4. [变式探究2] 本例变为：当x>1时，求x＋的最小值． 解：因为x>1，故有x－1>0，所以x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝5，当且仅当x－1＝，即x＝3时等号成立．因此所求最小值为5. 利用基本不等式求最值的原则 利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则，即 (1)一正：符合基本不等式≥成立的前提条件，a>0，b>0； (2)二定：化不等式的一边为定值； (3)三相等：必须存在取“＝”号的条件，即“＝”号成立． 以上三点缺一不可． 角度2　最值定理的应用 最值定理 　已知x，y都为正数，则： (1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2； (2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2， 简记为：积定和最小，和定积最大． [例3] (1)已知a>0，b>0，若a＋b－4＝0，则ab的最大值为(　　) A． B．2 C．4 D．8 (2)(2024·南宁高一检测)已知x>0，则x－4＋的最小值为(　　) A．－2 B．0 C．1 D．2 (1)D　(2)B　解析：(1)由已知得a＋b＝4，由基本不等式ab≤()2得ab≤()2＝8， 当且仅当a＝b＝2时，等号成立，ab取得最大值．所以ab的最大值为8. (2)∵x>0，∴x＋－4≥2－4＝0，当且仅当x＝，即x＝2时等号成立． 即x－4＋的最小值为0. 通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略 拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求最值应注意以下几个方面： (1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价转换； (2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标； (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提． [练2]已知a>0，b>0，且(a＋1)(b＋1)＝2，则a＋b的最小值为(　　) A．1－ B．2－ C．－1 D．2－2 D　解析：a>0，b>0，且(a＋1)(b＋1)＝2，则a＋b＝a＋1＋b＋1－2≥2－2＝2－2，当且仅当a＝b＝－1时取等号． 1．知识清单 (1)基本不等式的推导与证明； (2)求简单代数式的最值； (3)最值定理． 2．方法归纳：拼凑法． 3．常见误区：利用基本不等式的条件“一正、二定、三相等”缺一不可，尤其是“当且仅当，等号成立”这八个字，更是不能缺少． ◎随堂演练 1．下列不等式正确的是(　　) A．a＋≥2 B．(－a)＋(－)≤－2 C．a2＋≥2 D．(－a)2＋(－)2≤－2 C　解析：∵a2＞0，故a2＋≥2＝2，当且仅当a4＝1时等号成立，故C项正确． 2．(2024·广州高一上学期联考)已知x>0，则25x＋的最小值为(　　) A．50 B．40 C．20 D．10 C　解析：由x>0，得25x＋≥2＝20，当且仅当25x＝，即x＝时，等号成立，故25x＋的最小值为20. 3．当a，b∈R时，下列不等关系成立的是_______________________________． (填序号) ①≥；②a－b≥2；③a2＋b2≥2ab；④a2－b2≥2ab. 答案：③　解析：根据≥ab，≥成立的条件判断，知①②④错误，只有③正确． 4．(2024·邢台高一上学期期中)已知0<x<，则的最大值为________． 答案：　解析：因为0<x<，所以1－9x>0，则＝≤×＝， 当且仅当9x＝1－9x，即x＝时，等号成立．故的最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$